數學什麼是實數

㈠ 什麼是實數實數的定義是什麼

實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。

㈡ 什麼是實數

對實數有很多不同的理解方法。

初一的時候，第一次明確實數的概率，是用分類法來定義的。

解釋不清楚的原因，是我們對實數的定義還不夠具體。由此，就引出了關於實數的完備性的討論。這是一個很高深的數學理論研究，不是老黃用一篇文章就可以說得明白的。

指個例子，我們知道，在任意兩個實數之間，肯定會有第三個實數存在，道理很簡單，但是要說明白卻難上加難。因此，在關於實數的完備性定理的研究中，就得出了一個區間套定理：若{[an,bn]}是一個區間套，則在實數系中存在唯一的一點ξ，使得ξ∈[an,bn], n=1,2,…, 即an≤ξ≤bn, n=1,2,….當然，首先，還要知道什麼叫做區間套。

話題說得有點遠了。老黃的意思是說，對於一些我們看起來很簡單的東西，如果深剖它最深層的真相，未必有我們想像地那麼簡單，所以我們應該有探究的精神，去發現更多知識的真相，世界的真相。

㈢ 什麼是實數,什麼是虛數

1、實數（real number）是有理數和無理數的總稱。

實數定義為與數軸上的實數，點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母R表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。

所有實數的集合則可稱為實數系（real number system）或實數連續統。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數系。在保序同構意義下它是惟一的，常用R表示。由於R是定義了算數運算的運算系統，故有實數系這個名稱。

2、虛數

虛數是指實數以外的復數，其中實部為0的虛數稱為純虛數。

在數學中，虛數就是形如a+b*i的數，其中a,b是實數，且b≠0,i² = - 1。虛數這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創立，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數a+b*i的實部a可對應平面上的橫軸，虛部b與對應平面上的縱軸，這樣虛數a+b*i可與平面內的點(a,b)對應。

可以將虛數bi添加到實數a以形成形式a + bi的復數，其中實數a和b分別被稱為復數的實部和虛部。一些作者使用術語純虛數來表示所謂的虛數，虛數表示具有非零虛部的任何復數。

(3)數學什麼是實數擴展閱讀：

1777年瑞士數學家歐拉(Euler，或譯為歐勒)開始使用符號i表示虛數的單位。而後人將虛數和實數有機地結合起來,寫成a+bi形式 (a、b為實數，a等於0時叫純虛數，ab都不等於0時叫復數，b等於0時就是實數)。通常，我們用符號C來表示復數集，用符號R來表示實數集。

㈣ 在數學中什麼叫實數

1、有理數和無理數統稱為實數.
2、實數和數軸上的點是一一對應的
在數軸上,右邊的點表示的數比左邊的點表示的數大．
3、在實數范圍內,相反數、倒數、絕對值的意義與有理數范圍的相反數、倒數、絕對值的意義完全一樣．
4、實數可以進行加、減、乘、除、乘方等運算,而且有理數的運演算法則與運算律對實數仍然適用．實數理論千百年來,數學愛們都在為整個數學尋找一個可靠的邏輯基礎而不懈努力,然而分析的算術化,是以實數為基礎的.不弄清實數的本質,不給實數以明確的定義、建立實數大小、運算等理論,連續函數的性質就無法徹底弄清,甚至連柯西收斂准則的充分性也無法嚴格證明.
這就迫使數學家們加快建立數學理論的步伐.
實數理論的核心問題是對無理數的認識,早在19世紀前期,柯西就已感到定義無理數的重要性.他在《分析教程》中,把無理數定義為收斂的有理數列的極限,設{yn}是一列有理數,如果存在一個數y,yn-->y,那麼y就是一個無理數.
這個定義存在邏輯上的毛病.因為有理數序列{yn}不收斂於無理數（即y為有理數）,則定義不出無理數；不收斂於有理數,那得不承認y是無理數才行,才能定義它是無是數,這就犯了循環定義的錯誤.
19世紀60年代末以後,出現了幾種不同的無理數定義,分別出自維爾期特拉斯、梅雷、康托和戴德金等人之手,但不論他們定義實數的具體方法有何不同,都符合以下三個條件：第一,把不理數當作已知,從有理數出發定義無理數；第二,所定義的褸的性質及其運算律,與有理數所具有的一三,這樣定義的實數是完備的,即在極限運算下不會再出現新數.為了避免柯西理數定義中的錯誤,維爾斯特拉斯堅持了他的表態觀點,曾引入"復合數"概念.並用復合數定義有理數.如3（2/3）由3α和2β組成,其中α=1是主要單位,元素β=1/3.一個數已知它由什麼元素組成,以及每個元素出現的次數時,就完全確定了,維爾斯特拉斯繼而定義無理數如√2定義為1α,4β1γ----康托與梅雷定義的無理數基本相同,以有理數為出發點引進新數類----實數.該數類包括有理數和無理數.在褸理論建樹中,戴德金的實數理論是最完整的.人用有理數分割來定義實數這一思想來源於對直線連續性的考慮.人和康託大致同時提出了實數集與直線上的點一一對應假設.這一假設後來稱為「康托-戴德金"公理,他想,直線上的有理點是不連續的,必然由無量數填補空位,才能使直線成為連續.如何才能把這些補空位的無理數表示出來?戴德金用全體有理數的一個分割,來表示一個無理數.
上面所說的幾種無理數定義,都把有理數當作已知的,因為任何一個有理數,都可以寫成兩個整數之比,因此問題歸結為整數.那麼對於整數需不需要再下定義呢?對這個問題也產生了分歧,維爾斯特拉斯就認為沒必要,有理數邏輯地歸為一對整數,對整數的邏輯無須做進一步研究.
戴德金則不然,他在《數的性質與意義》一書中,利用集合論思想給出了一個整數理論,雖因過於復雜未被採用,卻給皮亞諾以直接啟示.
1889年,義大利數學家皮亞諾在他的《算術原理新方法》一書中,用公理方法給出了自然數理論,從而完成了整個數系邏輯化工作.
皮亞諾出生於都靈,曾任都靈大學講師和教授,是一位數理邏輯學家.他不像邏輯主義者那樣,主張把數學建立在邏輯上,而是主張把邏輯作為數學工具.
皮亞諾在《算術原理方法》一書中,使用了一系列符號,如用∈,NO和a+分別表示屬於、包含、自然數類和a的下一個自然數等；給出了四個不加定義的原始概念：集合,自然數,後繼數和屬於；還提出了自然數的五個公理：
1）1是自然數；
2）1不是任何自然數的後繼數；
3）每個自然數a都不一個後繼數a+;
4）如果a+=b+,則a=b;
5）如果s是一個含有1的自然數集合,且當s含有a時,也含有a+,則s含有全部自然數.這個公理是數學歸納法的邏輯基礎.
接著,皮亞諾根據自然數定義整數：設a,b為自然數.則數對（a,)即"a-b"定義整數.當a>b,a/span>
有了整數概念,再通過有序對定義有理數：若n,m為整數,則有序對（n,m)(m0)即n/m定義一個有理數.
這樣,皮亞諾應用數學符號和公理方法,在自然數公理的基礎上,簡明扼要地建立起自然數系、整數系和有理數系.當然用公理的、邏輯的方法構造出來的數系,使一數學家感到很不自然.他們認為這是將本一清楚的概念"做了不可理解的推廣,然而,實數理論的建立,譜寫了19世紀數學史上輝煌的一章.

㈤ 實數指的什麼

詞典含義
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shíshù
（一）數學名詞。不存在虛數部分的復數，有理數和無理數的總稱。
（二）真實的數字。【例】公司到底還有多少錢？請你告訴我實數！

基本概念
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實數包括有理數和無理數。其中無理數就是無限不循環小數和開根開不盡的數，有理數就包括無限循環小數、有限小數、整數。

數學上，實數直觀地定義為和數軸上的點一一對應的數。本來實數僅稱作數，後來引入了虛數概念，原本的數稱作「實數」——意義是「實在的數」。

實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類，或正數，負數和零三類。實數集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而 R^n 表示 n 維實數空間。實數是不可數的。實數是實分析的核心研究對象。

實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是循環的，也可以是非循環的）。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後 n 位，n 為正整數）。在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。

①相反數（只有符號不同的兩個數，我們就說其中一個是另一個的相反數） 實數a的相反數是-a

②絕對值（在數軸上一個數所對應的點與原點0的距離） 實數a的絕對值是：│a│=①a為正數時，|a|=a
②a為0時， |a|=0
③a為負數時，|a|=-a

③倒數 （兩個實數的乘積是1，則這兩個數互為倒數） 實數a的倒數是：1/a （a≠0）

歷史來源
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埃及人早在大約公元前1000年就開始運用分數了。在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們意識到了無理數存在的必要性。印度人於公元600年左右發明了負數，據說中國也曾發明負數，但稍晚於印度。

直到17世紀，實數才在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。直到1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。

相關定義
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從有理數構造實數

實數可以用通過收斂於一個唯一實數的十進制或二進制展開如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定義的序列的方式而構造為有理數的補全。實數可以不同方式從有理數構造出來。這里給出其中一種，其他方法請詳見實數的構造。

公理的方法

設 R 是所有實數的集合，則：

集合 R 是一個域： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結合律等常見性質。
域 R 是個有序域，即存在全序關系 ≥ ，對所有實數 x, y 和 z：
若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z；
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。
集合 R 滿足戴德金完備性，即任意 R 的非空子集 S (S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 內有上界，那麼 S 在 R 內有上確界。

最後一條是區分實數和有理數的關鍵。例如所有平方小於 2 的有理數的集合存在有理數上界，如 1.5；但是不存在有理數上確界（因為 √2 不是有理數）。

實數通過上述性質唯一確定。更准確的說，給定任意兩個戴德金完備的有序域 R1 和 R2，存在從 R1 到 R2 的唯一的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。

相關性質
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基本運算

實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、平方等，對非負數還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除（除數不為零）、平方後結果還是實數。任何實數都可以開奇次方，結果仍是實數，只有非負實數，才能開偶次方其結果還是實數。

完備性

作為度量空間或一致空間，實數集合是個完備空間，它有以下性質：

所有實數的柯西序列都有一個實數極限。

有理數集合就不是完備空間。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數的柯西序列，但沒有有理數極限。實際上，它有個實數極限 √2。實數是有理數的完備化——這亦是構造實數集合的一種方法。

極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於歐幾里德幾何的直線沒有「空隙」。

「完備的有序域」

實數集合通常被描述為「完備的有序域」，這可以幾種解釋。

首先，有序域可以是完備格。然而，很容易發現沒有有序域會是完備格。這是由於有序域沒有最大元素（對任意元素 z，z + 1 將更大）。所以，這里的「完備」不是完備格的意思。

另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經定義。上述的唯一性也說明了這里的「完備」是指戴德金完備性的意思。這個完備性的意思非常接近採用戴德金分割來構造實數的方法，即從（有理數）有序域出發，通過標準的方法建立戴德金完備性。

這兩個完備性的概念都忽略了域的結構。然而，有序群（域是種特殊的群）可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的概念。上述完備性中所述的只是一個特例。（這里採用一致空間中的完備性概念，而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性，這是由於度量空間的定義依賴於實數的性質。）當然，R 並不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實際上，「完備的阿基米德域」比「完備的有序域」更常見。可以證明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的（當然反之亦然）。這個完備性的意思非常接近採用柯西序列來構造實數的方法，即從（有理數）阿基米德域出發，通過標準的方法建立一致完備性。

「完備的阿基米德域」最早是由希爾伯特提出來的，他還想表達一些不同於上述的意思。他認為，實數構成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。這樣 R 是「完備的」是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。這個完備性的意思非常接近用超實數來構造實數的方法，即從某個包含所有（超實數）有序域的純類出發，從其子域中找出最大的阿基米德域。

㈥ 實數是什麼

實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的實數，點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。

實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母R表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。

(6)數學什麼是實數擴展閱讀：

一、發展歷史

在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們認識到有理數在幾何上不能滿足需要，但畢達哥拉斯本身並不承認無理數的存在。 直到17世紀，實數才在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。

根據日常經驗，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，於是古人一直認為用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1厘米的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001厘米），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414厘米）。

但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念，他們原以為：

任何兩條線段（的長度）的比，可以用自然數的比來表示。

二、相關性質

1、封閉性

實數集對加、減、乘、除（除數不為零）四則運算具有封閉性，即任意兩個實數的和、差、積、商（除數不為零）仍然是實數。

2、有序性

實數集是有序的，即任意兩個實數a、b必定滿足並且只滿足下列三個關系之一：a＜b，a＞b，a＝b。

3、傳遞性

實數大小具有傳遞性，即若a＞b，且b＞c，則有a＞b。

4、稠密性

R實數集具有稠密性，即兩個不相等的實數之間必有另一個實數，既有有理數，也有無理數。

㈦ 數學中什麼是實數

實數包括整數如1、2、10
小數如1.1
非有理數派、根3
and
so
on

數包括實數和虛數
虛數是有i的

㈧ 實數是什麼0是不是實數

實數，是有理數和無理數的總稱，0也是實數。

實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是循環的，也可以是非循環的）。

在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後 n 位，n為正整數）。在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。

(8)數學什麼是實數擴展閱讀：

數軸帶來的不是真正的實數。它們是有理數。有理數是可以表示為簡單分數的數的集合：它們是一個整數與另一個整數的比。如1/2、1/4、3/5、124342/58964958。當我們看數軸時，通常想到有理數。

考慮一下前面描述的數軸：「可以一直劃分：在兩個實數之間，總能找到另一個實數。」這個劃分過程總是提供一個有理數。

把任何分數分成相等的數，結果仍然是一個分數。無論多少次使用有理數和整數進行劃分，永遠不會得到不是有理數的任何東西。

㈨ 什麼是實數包括0嗎

實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的實數，是有理數和無理數的總稱。

數學上，實數定義為與數軸上的實數，點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。

實數包括0。

(9)數學什麼是實數擴展閱讀：

實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負數（即正數和0）還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除（除數不為零）、平方後結果還是實數。任何實數都可以開奇次方，結果仍是實數，只有非負實數，才能開偶次方其結果還是實數。

實數集通常用黑正體字母R表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。

㈩ 在數學中什麼叫實數

實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，它們能把數軸「填滿」。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。
實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是循環的，也可以是非循環的）。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後 n 位，n 為正整數，包括整數）。在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。