數學基數是什麼意思

⑴ 一年級數學中的數的基數和序數是什麼意思

根據對等這種關系對集合進行分類，凡是互相對等的集合就劃入同一類。這樣，每一個集合都被劃入了某一類。任意一個集合A所屬的類就稱為集合A的基數，記作|A|（或cardA)。這樣，當A 與B同屬一個類時，A與B 就有相同的基數，即|A|=|B|。而當 A與B不同屬一個類時，它們的基數也不同。

例如：
基數：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十。
序數：第一、第二、第三、第四、第五、第六、第七、第八、第九、第十。
基數：
在數學上，基數（cardinal number）是集合論中刻畫任意集合大小的一個概念。兩個能夠建立元素間一一對應的集合稱為互相對等集合。例如3個人的集合和3匹馬的集合可以建立一一對應，是兩個對等的集合。
序數：
集合論基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的數的推廣。序數概念是建立在良序集概念之上的，而良序集又是偏序集、全序集的特殊情形。

⑵ 怎麼給學生解釋「基數」一詞

在數學上，基數(cardinal number)也叫勢(cardinality)，指集合論中刻畫任意集合所含元素數量多少的一個概念。兩個能夠建立元素間一一對應的集合稱為互相對等集合。例如3個人的集合和3匹馬的集合可以建立一 一對應，是兩個對等的集合。根據對等這種關系對集合進行分類，凡是互相對等的集合就劃入同一類。這樣，每一個集合都被劃入了某一類 。任意一個集合A所屬的類就稱為集合A的基數，記作(或｜A｜，或cardA)。這樣，當A 與B同屬一個類時，A與B 就有相同的基數，即。而當 A與B不同屬一個類時，它們的基數也不同。即。 如果把單元素集的基數記作1，兩個元素的集合的基數記作2，等等，則任一個有限集的基數就與通常意義下的自然數一致 。空集�的基數也記作σ 。於是有限集的基數也就是傳統概念下的「個數」。但是，對於無窮集，傳統概念沒有個數，而按基數概念，無窮集也有基數，例如，任一可數集（也稱可列集）與自然數集N有相同的基數，即所有可數集是等基數集。不但如此，還可以證明實數集R與可數集的基數不同，即。所以集合的基數是個數概念的推廣。基數可以比較大小。假設A，B的基數分別是a，β，即＝a，＝β，如果A與B的某個子集對等，就稱 A 的基數不大於B的基數，記作a≤β，或β≥a。如果 a≤ β，但a≠β（ 即A與B不對等 ），就稱A的基數小於B的基數，記作a＜β，或β＞a。基數可以進行運算 。設＝a ，＝β，且 A∩B＝，則規定為a 與β之和記作＝a ＋β。設＝a，＝β，A×B為 A與B的積集，規定為 a 與β的積，記作＝a·β。
◆歷史
康托爾在1874年～1884年引入最原始的集合論（現稱樸素集合論）時, 首次引入基數概念。 他最先考慮的是集合 {1,2,3} 和 {2,3,4}，它們並非相同，但有相同的基數。驟眼看來，這是顯而易見，但究竟可謂兩個集合有相同數目的元素？
康托爾的答案，是所謂一一對應，即把兩個集合的元素一對一的排起來——若能做到，兩個集合的基數自然相同。這答案，容易理解但卻是革命性的，因為用相同的方法即可比較任意集合，包括無窮集合的大小。
最先被考慮的無窮集合是自然數集 N = {1, 2, 3, ...} 及其無限子集。他把所有與 N 能一一對應的集為可數集。大出康托爾意外，原來 N 的所有無限子集都能與 N一一對應！他把N的基數稱為Nο，是最少的超窮基數（transfinite cardinal numbers）。
康托爾發現，原來有理數集合與代數數集合也是可數的！於是乎在1874年初，他嘗試證明是否所有無限集合均是可數，稍後他得出著名的對角論證法，實數集是不可數的。實數集的基數，記作c，代表連續統。
接著康托爾構作一個比一個大的集合，得出一個比一個大的基數，而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論，需要一個新的語言描述，這就是康托爾發明集合論的主因。
康托爾隨後提出連續統假設： c 就是第二個超窮數N1, 即継Nο之後最小的基數。多年後，數學家發現這假設是不能證明的，即接受或否定它會得出兩套不同但邏輯上可行的公理化集合論。
◆動機
在非形式使用中，基數就是通常被稱為計數的東西。它們同一於開始於 0 的自然數(就是 0, 1, 2, ...)。計數嚴格的是可形式定義為有限基數的東西。無限基數只出現在高級數學和邏輯中。
更加形式的說，非零數可以用於兩個目的: 描述一個集合的大小，或描述一個元素在序列中位置。對於有限集合和序列，可以輕易的看出著兩個概念是相符的，因為對於所有描述在序列中的一個位置的數，我們可以構造一個有精確的正好大小的集合，比如 3 描述 'c' 在序列 <'a','b','c','d',...> 中的位置，並且我們可以構造有三個元素的集合 {a,b,c}。但是在處理無限集合的時候，在這兩個概念之間的區別是本質的 — 這兩個概念對於無限集合實際上是不同的。考慮位置示象(aspect)導致序數，而大小示象被這里描述的基數所普遍化。
在基數形式定義背後的直覺是構造一個集合的相對大小的概念而不提及它有那些成員。對於有限集合這是容易的；你可以簡單的計數一個集合的成員的數目。為了比較更大集合的大小，必須藉助更加微妙的概念。
一個集合 Y 是至少等大小於或大於等於一個集合 X，如果有從 X 的元素到 Y 的元素的一個單射(一一映射)。一一映像對集合 X 的每個元素確定了一個唯一的集合 Y 的元素。這通過例子是最容易理解的；假設我們有集合 X = {1,2,3} 和 Y = {a,b,c,d}，則使用這個大小概念我們可以觀察到有一個映射:
1 → a
2 → b
3 → c
這是一對一的，因此結論出 Y 有大於等於 X 的勢。注意元素 d 沒有元素映像到它，但這是允許的，因為我們只要求一一映射，而不必須是一對一並且完全的映射。這個概念的好處是它可以擴展到無限集合。
我們可以擴展這個概念到一個等式風格的關系。兩個集合 X 和 Y 被稱為有相同的勢，如果存在 X 和 Y 之間的雙射。通過 Schroeder-Bernstein定理，這等價於有從 X 到 Y 和從 Y 到 X 的兩個一一映射。我們接著寫為 | X | = | Y |。X 的基數自身經常被定義為有著 | a | = | X | 的最小序數 a。這叫做馮·諾伊曼基數指派；為使這個定義有意義，必須證明所有集合都有同某個序數一樣的勢；這個陳述就是良序原理。然而有可能討論集合的相對的勢而不用明確的指派名字給對象。
在無限旅館悖論也叫做希爾伯特大旅館悖論中使用的經典例子。假設你是有無限個房間的旅館的主人。旅館客滿，而又來了一個新客人。有可能通過讓在房間 1 的客人轉移到房間 2，房間 2 的客人轉移到房間 3 以此類推，騰空房間 1 的方式安置這個新客人。我們可以明確的寫出這個映射的一個片段:
1 ↔ 2
2 ↔ 3
3 ↔ 4
...
n ↔ n+1
...
在這種方式下我們可以看出集合 {1,2,3,...} 和集合 {2,3,4,...} 有相同的勢，因為已經展示了這兩個集合之間的雙射。這激發了定義無限集合是有著相同的勢的真子集的任何集合；在這個情況下 {2,3,4,...} 是 {1,2,3,...} 的真子集。
當我們考慮這些大對象的時候，我們還想看看計數次序的概念是否符合上述為無限集合定義的基數。碰巧不符合；通過考慮上面的例子，我們可以看到「比無限大一」某個對象存在，它必須有同我們起初的無限集合有一樣的勢。有可能使用基於計數並依次考慮每個數的想法的叫做序數的不同的數的形式概念，而我們發現勢和序(ordinality)的概念對於無限數是有分歧的。
可以證明實數的勢大於剛才描述的自然數的勢。這可以使用對角論證法來可視化；勢的經典問題(比如連續統假設)關心發現在某一對無限基數之間是否有某個基數。最近數學家已經描述了更大更大基數的性質。
因為基數是數學中如此常用的概念，使用了各種各樣的名字。勢相同有時叫做等勢、均勢或等多(equipotence, equipollence, equinumerosity)。因此稱有相同勢的兩個集合為等勢的、均勢的或等多的(equipotent, equipollent, equinumerous)。
◆基數算術
我們可在基數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。給出集合 X 與 Y，定義 X+Y={(x,0):x ∈ X} ∪ {(y,1):y ∈ Y}，則基數和是|X| + |Y| = |X + Y|。 若 X 與 Y 不相交，則 |X| + |Y| = |X ∪ Y|。基數積是|X| |Y| = |X × Y|，其中 X × Y 是 X 和 Y 的笛卡兒積。基數指數是|X||Y| = |XY|，其中 XY 是所有由 Y 到 X 的函數的集合。
在有限集時，這些運算與自然數無異。一般地，它們亦有普通算術運算的等質：
加法和乘法是可置換的，即 |X|+|Y|=|Y|+|X| 及 |X||Y|=|Y||X|。
加法和乘法適合結合律，(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|) 及 (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)
分配律，即 (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|。
|X||Y| + |Z| = |X||Y| |X||Z|
|X||Y| |Z| = (|X||Y|)|Z|
(|X||Y|)|Z| = |X||Z| |Y||Z|
無窮集合的加法及乘法（假設選擇公理）非常簡單。若 X 與 Y 皆非空而其中之一為無限集，則|X| + |Y| = |X||Y| = max{|X|, |Y|}. （注意 2| X | 是 X 的冪集之基數。由對角論證法可知 2| X | > | X |，是以並不存在最大的基數。事實上，基數的類是真類。）
還有些關於指數的有趣性質：
|X|0 = 1 (很奇怪地 00 = 1)。
0|Y| = 0 若 Y 非空。
1|Y| = 1。
|X| ≤ |Y| 則 |X||Z| ≤ |Y||Z|。
若 |X| 和 |Y| 俱有限且大於 1，而 Z 是無窮，則 |X||Z| = |Y||Z|。
若 X 是無窮而 Y 是有限及非空，則 |X||Y| = |X|。
◆基數序列及連續統假設
對每一個基數，存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是Nο，康托爾稱下一個是 N1，相類似的,還定義了如下一個序列: Nο, N1, …Nn…。
注意c＝Nο。連續統假設猜想，就是 c＝N1。
連續統假設是與一般集論公理（即Zermelo-Fraenkel 公理系統加上選擇公理）是獨立的。
更一般的假設，即Nn+1＝2Nn（2的Nn次）。
廣義連續統假設，就是對所有無窮基數N，都不存在界乎 N與 2N（2的N次）之間的基數。
編輯本段基數（語言學）
在語言學中，基數是對應量詞的「數」，例如在以下句子中的「一」及「四」：
有一個橙，有四個柑。
序數是對應排列的「數」，例如在以下句子中的「一」及「二」：
這人一不會打字，二不懂速記，所以不可以做秘書。
在某些語言如英語，基數one,two,three和序數first,second,third是不同的。
編輯本段基數（軍事）
軍事術語基數是彈葯等軍械物資供應的一種計算單位，基數量是對單項裝備或人員規定的物資數量或重量，對於槍炮即為彈葯基數，常用於儲備、請領、報銷、補充彈葯。例如：7.62毫米半自動步槍的一個彈葯基數量為200發槍彈，一門82迫擊炮一個彈葯基數是120發炮彈，100人份的戰救葯物一個基數量為9千克。
基數量的標准由軍隊高層根據本國工業生產水平、軍隊的攜行能力、武器裝備的戰術技術性能和一般的消耗規律統一規定。
使用術語基數的優點在於簡單化、規范化，便於計算、供應、記憶和保密，方便部隊指揮和保障：便於上級下達軍事命令、指示和其他行文，也便於各級軍械部門計算彈葯數量，報告彈葯保障程度。

這是在網路上找的啊

⑶ 什麼是基數

1、在數學上，基數（cardinal number）是集合論中刻畫任意集合大小的一個概念。兩個能夠建立元素間一一對應的集合稱為互相對等集合。例如3個人的集合和3匹馬的集合可以建立一一對應，是兩個對等的集合。

2、根據對等這種關系對集合進行分類，凡是互相對等的集合就劃入同一類。這樣，每一個集合都被劃入了某一類。任意一個集合A所屬的類就稱為集合A的基數，記作|A|（或cardA)。這樣，當A 與B同屬一個類時，A與B 就有相同的基數，即|A|=|B|。而當 A與B不同屬一個類時，它們的基數也不同。

3、如果把單元素集的基數記作1，兩個元素的集合的基數記作2，等等，則任一個有限集的基數就與通常意義下的自然數一致 。空集的基數也記作0。於是有限集的基數也就是傳統概念下的「個數」。但是，對於無窮集，傳統概念沒有個數，而按基數概念，無窮集也有基數，例如，任一可數集（也稱可列集）與自然數集N有相同的基數，即所有可數集是等基數集。不但如此，還可以證明實數集R與可數集的基數不同。所以集合的基數是個數概念的推廣。

4、基數可以比較大小。假設A，B的基數分別是a，β，即|A|=a，|B|=β，如果A與B的某個子集對等，就稱 A 的基數不大於B的基數，記作a≤β，或β≥a。如果 a≤ β，但a≠β（ 即A與B不對等 ），就稱A的基數小於B的基數，記作a<β，或β>a。在承認選擇公理的情況下，可以證明基數的三歧性定理——任何兩個集合的基數都可以比較大小，即不存在集合A和B，使得A不能與B的任何子集對等，B也不能與A的任何子集對等。

5、基數可以進行運算 。設|A|=a ，|B|=β，定義 a+β=|{(a,0):a ∈ A} ∪ {(b,1):b ∈ B}|。另，a與β的積規定為|AxB|，A×B為A與B的笛卡兒積。

(3)數學基數是什麼意思擴展閱讀

我們可在基數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。給定集合X 與 Y，定義 X+Y={(x,0):x ∈ X} ∪ {(y,1):y ∈ Y}，則基數和是|X| + |Y| = |X + Y|。 若 X 與 Y 不相交，則 |X| + |Y| = |X ∪ Y|。基數積是|X||Y| = |X × Y|，其中 X × Y 是 X 和 Y 的笛卡兒積。基數指數是|X|^|Y| = |X^Y|，其中 X^Y 是所有由 Y 到 X 的函數的集合。

⑷ 數學里的基數是什麼求解！

在數學上，基數也叫勢，指集合論中刻畫任意集合所含元素數量多少的一個概念。兩個能夠建立元素間一一對應的集合稱為互相對等集合。例如3個人的集合和3匹馬的集合可以建立一 一對應，是兩個對等的集合。

⑸ 什麼是基數和序數（數學術語）啊

在數學上，基數（cardinal number）是集合論中刻畫任意集合大小的一個概念。兩個能夠建立元素間一一對應的集合稱為互相對等集合。例如3個人的集合和3匹馬的集合可以建立一一對應，是兩個對等的集合。

表示次序的數目。漢語表示序數的方法較多。通常是在整數前加「第」，如：第一，第二。也有單用基數的。如：五行：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。此外還有些習慣表示法，如：頭一回、末一次、首次、正月、大女兒、小兒子。

(5)數學基數是什麼意思擴展閱讀

在有限集時，這些運算與自然數無異。一般地，它們亦有普通算術運算的特質：

加法和乘法是可交換的，即 |X|+|Y|=|Y|+|X| 及 |X||Y|=|Y||X|。

加法和乘法符合結合律，(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|) 及 (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)

分配律，即 (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|| = |X||Y|+|X||Z|。

無窮集合的加法及乘法（假設選擇公理）非常簡單。若 X 與 Y 皆非空而其中之一為無限集，則|X| + |Y| = |X||Y| = max{|X|, |Y|}.

記 2 ^ | X | 是 X 的冪集之基數。由對角論證法可知 2 ^ | X | > | X |，是以並不存在最大的基數。事實上，基數的類是真類。

⑹ 一年級數學中的數的基數和序數是什麼意思

基數就是單純的1，2，3等數字 序數是表示「第幾」 你看了下面的事例後看看能不能理解； 基數與序數 女兒要讀一年級了我在一年級的數學書了發現了第四頁上的說一說，這個看似簡單的說一說，卻是基數與序數的問題，在小學一年級就有基數與序數的知識,這種知識點怎麼給學生講？一是在《數學課程設計》中，提到對數的認識要注重從現實世界中抽象出數的過程。這不由讓我想起了一個小故事：從前有一個人，到城裡去，發現自己餓了，就買包子吃，一連吃五個，才吃飽了。這時他問老闆，「我剛才吃的是第幾個？」這時老闆說：「是第五個，」此時，這人說，你為什麼不早把第五個拿給我！那我就吃一個包子就飽了！這時，我提出假如你是那個人，你是吃五個包子能吃飽，還是吃第五個能吃飽呢？為什麼？通過這個小故事，就把基數、序數與生活情境聯系再來了。二是在《數學課程設計》中，提到對數的認識要在現實情境及動手操作中體會數的含義。五個和第五個，這個人明白嗎？可是，這個給我們一年級的學生來講，學生能明白嗎？我們怎麼講學生才會理解呢？我正在迷惑時，姝婧芷老師給我這么一個教學片斷:片斷一：教學基數與序數 師：森林裡有一隻小猴子摘到了一大堆桃子，心裡特別高興。它每餐都吃桃子。桃子一天一天變少了，小猴子很心疼，心裡想：「哎，桃子快吃完了，怎麼辦呢？怎樣才能節約一點呢？」他想啊想，突然想到每次都是吃完第9個桃子肚子才飽的，這不是說明前面8個沒用嗎？哈，這下有辦法了。你知道小猴子想的是什麼辦法嗎？看看他是怎麼做的。小猴子把桃子一個個排隊，當數到第9個時，就把第9個桃子吃掉。他認為能填飽肚子的是第9個桃子。 師：小朋友們，小猴子能吃飽嗎？為什麼？先獨立思考，再同桌討論一下。 （學生思考，討論；教師巡視，發現問題。） 生1：小猴子很聰明，我想它能夠吃飽，因為還是吃9個。師：那其它同學有什麼意見？（一大片舉手的同學。） 生2：我們認為它不能吃飽，雖然只吃第9個可以節省桃子，但這樣會餓肚子的。師：為什麼呢？生2：因為一開始小猴子每次吃9個，而後來吃的是第9個，只吃了一個，肯定會挨餓的。生3：我們也同意生2說的。因為「第9個」和「9個」是不一樣的，第9個只有1個。師：說的很有道理（教師板書：9個=9個，第9個=1個）。幸虧小朋友們及時幫小猴子發現了問題，不然它肯定會餓得面黃肌瘦，謝謝大家的幫助。 這是我對基數與序數的思考與理解，我想這也許對我們教基數與序數的問題有一定的幫助。

⑺ 基數是什麼數

在數學上，基數(cardinal number)也叫勢(cardinality)，指集合論中刻畫任意集合所含元素數量多少的一個概念。 你的問題不知道你是指什麼基數？如果在社會保險當中，基數就是指本市勞動者前一年度的平均工資水平，比如去年某市的勞動者平均工資為1000元，那麼今年所有的社會保險就以1000為基數，按比例來繳納費用。

⑻ 數學里的基數是什麼意思 麻煩給個例子 謝謝

基數就是總數，比如說，中國有14億人口，其中的14億就是基數，比如，班級一共有六十人，其中的六十，就是基數，希望我的解答能幫助到你

⑼ 數學基數是什麼

基數
cardinal number

集合論中刻畫任意集合所含元素數量多少的一個概念。又稱勢。兩個能夠建立元素間一一對應的集合稱為互相對等集合。例如3個人的集合和3匹馬的集合可以建立一 一對應，是兩個對等的集合。根據對等這種關系對集合進行分類，凡是互相對等的集合就劃入同一類。這樣，每一個集合都被劃入了某一類 。任意一個集合A所屬的類就稱為集合A的基數，記作(或｜A｜，或cardA)。這樣，當A 與B同屬一個類時，A與B 就有相同的基數，即。而當 A與B不同屬一個類時，它們的基數也不同。即。 如果把單元素集的基數記作1，兩個元素的集合的基數記作2，等等，則任一個有限集的基數就與通常意義下的自然數一致 。空集�的基數也記作σ 。於是有限集的基數也就是傳統概念下的「個數」。但是，對於無窮集，傳統概念沒有個數，而按基數概念，無窮集也有基數，例如，任一可數集與自然數集N有相同的基數，即所有可數集是等基數集。不但如此，還可以證明實數集R與可數集的基數不同，即。所以集合的基數是個數概念的推廣。基數可以比較大小。假設A，B的基數分別是a，β，即＝a，＝β，如果A與B的某個子集對等，就稱 A 的基數不大於B的基數，記作a≤β，或β≥a。如果 a≤ β，但a≠β（ 即A與B不對等 ），就稱A的基數小於B的基數，記作a＜β，或β＞a。基數可以進行運算 。設＝a ，＝β，且 A∩B＝，則規定為a 與β之和記作＝a ＋β。設＝a，＝β，A×B為 A與B的積集，規定為 a 與β的積，記作＝a·β。