蘭琦的數學之旅是什麼

❷ 1+1=2是為什麼

下文曾於2019年11月28日發表於《返樸》。鑒於今時長假漫漫，許多朋友困居家中亟需精神食糧，《返樸》編輯部特擇經典之作，舊文新品，以勞新老朋友。

創造?的來源是天真。你還記得自己在幼兒園時，將一個蘋果和數字「1」聯系起來，然後數著蘋果計算「1+1=2」時遭遇的困惑嗎？這種困惑或許並非偶然，我們接受的數學教育常常是抽象出概念而忽略具體差異的過程，但我們的思考方式卻天?是范疇學的，它關注一個蘋果和另一個蘋果的不同，關注事物之間的相互關系。

80年前，物理學家為了研究量子系統中的對稱性，把數學的群論引入了物理。今天物理學家為了研究復雜系統中的量子糾纏，又開始學習數學的范疇學。這類量子糾纏是用演生論的眼光來理解量子物態性質起源、基本粒子起源，甚至時空起源的關鍵。在還原論和演?論角逐的今天，范疇學正變得越來越重要。可以說，微積分對還原論的物理有多重要，范疇學對演?論的物理就有多重要。范疇學帶來了超乎數學家想像的波瀾壯闊，它在概念上統?了分析和代數，統?了離散和連續。今天我們就帶著曾經對 1+1=2 抱有的好奇?，進入范疇學的奇妙世界吧！

撰文 | 孔良（深圳量子科學與工程研究院，南方科技大學）

引 言

這篇?章真的是講你在幼?園學的1+1=2，不需要任何數學背景也可以讀，只需要你有對1+1=2的好奇?。但是我們的動機卻是要介紹數學??的范疇學的基本精神，所以有必要先簡單提?下范疇學，不關?的讀者可以直接跳過引?。

范疇學起源於代數拓撲，由Samuel Eilenberg（1913-1998）和Saunders Mac Lane（1909-2005）於上個世紀40年代提出。?從六?年代Alexander Grothendieck （1928-2014）?范疇學的語?重建了代數?何基礎以來，數學中就出現了?范疇學替代集合論作為數學的新基礎的潮流。這個潮流不但在數學??愈演愈烈，還在90年代被注?了新的強?動?：物理。?們發現描述二維有理共形量?場論和任意維拓撲序的數學語?也是范疇學。當然這也沒有什麼奇怪的，了解范疇學的?都不會驚訝。因為范疇學帶來的變?是如此底層，它從根本上改變了我們看待數學（甚?是其他學科）的基本範式。?不了解范疇學的?可能會對這句話有很?的抵觸。這個也是正常的，沒有真正了解范疇學，會很難想像范疇學是可能的，也許看完此?，你的抵觸會稍稍減少?些。我認為范疇學是繼?頓的微積分?命之後，??次語?的?命，其實范疇學本身就是?個新的微積分。她的?量體現在許多??，?如：?個簡單的范疇學的公式就可以完成?個復雜的量?場論的構造，或同時計算?窮多量?場論的融合 (fusion) ；很多復雜的物理和數學結構?然?然就是范疇學的；更重要的是，很多超越集合論的數學或物理事實只能在范疇學的意義下陳述和理解。僅僅是最後?條就告訴我們，有?個集合論之外的數學新?陸等我們去發現、去探索。現在還有更瘋狂的猜測，那就是范疇學是多體量?糾纏和量?引?的基礎。

范疇學的變?是如此底層，它會毫?疑問地在?乎所有科學領域發揮作?，包括邏輯學、數學、物理、計算機科學、語?學、社會學、經濟學等等。所以讓更多數學以外的?了解它是有意義的。本?就拋磚引?地講講，這個變?是如何的底層，底層到需要我們不斷地回歸，直到每?個?開始數學啟蒙的那?刻。

一、1 + 1 = 2 ？

我相信我們每?個?的數學教育都是從1+1=2開始的，從那?刻開始，我們就開啟了?場「去范疇化」的抽象數學之旅，?范疇學則是?場回歸。

創造?的來源是天真。

－－ Alexander Grothendieck

我希望?家和我?起回到學齡前?童的狀態。只有這樣你才能看清問題的本質。

1+1=2 是很難理解的。我們真正理解了嗎？也許你覺得沒有什麼困難，但是只有當你給?個從來沒有聽過 1+1=2 的學齡前?童解釋的時候，你才能明?這個問題有多麼困難。

第?個難點是：什麼是「1」？

第?個難點是：什麼是「＋」？

第三個難點是：什麼是「＝」？

第四個難點是：什麼是「2」？

什麼是「1」？你確定自己知道什麼是「1」嗎？你?過1嗎？?朋友不知道什麼是「1」 。為了讓小朋友理解數字，通常情況下，?師的教法是?實物，?如?帶磁鐵的?豬、?鴨、蘋果、?蕉等等，把它們吸到帶?屬的?板上。真實可?的東?才是我們對存在的基本體驗，其他都不太可靠。

讓我?符號 O 來表示蘋果，J 來表示?蕉。我們再把?個蘋果放到?起，於是?板上出現了如下公式：

O+O=OO, （1）

好吧。我們?過蘋果，所以O沒什麼問題。但什麼是「＋」？什麼是「＝」呢？

其實?朋友?般還可以接受（1），接受的辦法就是忽略「＋」。（1）不就是 「OO=OO」嗎？理解「＋」是很難的。我先跳過，先來談談「＝」，其實這個更難！

「＝」（等於）是?個很難理解的東?。在現實世界?我們基本沒有?過兩個完全?樣的東?。「OO=OO」 兩邊的蘋果其實是不?樣的。真實情況往往是，也許它們的顏?有些區別，或者磁鐵的吸?有些差別，等等。那麼「＝」 就很難理解了。在?活?說中?時，我們不說等於，我們說「?樣」。那麼左邊的「OO」 和右邊的「OO」在什麼意義下是「?樣」的呢？

請讓講?個讓我震驚的故事。我第?次在深圳中學做報告的時候，我說我不知道什麼是「?樣」，請中學?為我這樣?個「學齡前?童」解釋。然後有?位勇敢的同學上來，他分別從左邊的OO和右邊的OO ??各拿出?個蘋果，然後把這兩個蘋果放在?起，再把剩下的兩個蘋果放在?起，他說這個就是「?樣」。事實上他給出了左邊OO和右邊OO的?個??對應，可以??個圖來代表他的這個??對應：

這圖啥意思？啥意思不重要。重要的是，你發現沒有，?個具有?窮?由度的復雜物理系統，邊界和內部的關系竟然沒有?1+1和1的關系更復雜！這是因為范疇學有能?把有限維的數學和?限維的數學統?在同?個框架下處理。值得?提的是，上?圖表揭示的關系也同時刻畫了弦論??開弦和閉弦的對偶！這些都是?窮維數學結構之間的對偶。如果真的把對偶兩邊的數學結構??成元和它們的關系寫下來，會復雜得嚇死?的。呵呵。

在演?論 PK 還原論的今天，范疇學越來越重要。這是因為范疇學就是為演?論准備的。你看看「1+1」難道不是從所有集合中演?的概念嗎？同理，所有數學概念都是在包含?定意義下的「所有」對象的圖表中演?的對象。甚?范疇學強調要放棄還原論的觀點，不要問?個集合??的元素，?要去看映射，後者更加豐富。?如，?個集合X ??的?個元素其實就是1到X的?個映射！

這樣的觀點難道不就是加速器的原理嗎？想知道粒???有什麼東?，就拿其他東?，甚?是「它」??，去轟「它」。我想微積分對還原論的物理有多重要，范疇學對演?論的物理就有多重要。范疇學和物理學家理解??然的基本?法和原理是完全相合的，她們都強調：

沒有?相互關系或相互作?更基本的存在，其他都是演?的。

范疇學和物理的關系當然值得?書特書，很多最前沿的論?都在不斷地講述這個關系。這?我們點到為?，雖意猶未盡，只盼能拋磚引?，誘發?家的興趣。

如果說范疇學在數學?很基本，那麼在物理或其他學科??是不是也應該很基本？現實是，在物理中?的上范疇學的可能只是很少的?個?常小眾的課題。這是為什麼呢？這是暫時的還是?久的？范疇學會帶來描述物理學的新的微積分嗎？范疇學對未來的計算機科學會有何影響？圖靈計算用bit（0和1），量子計算用qubit（2維線性空間），而范疇化的道路是，從數字，到線性空間，到1階范疇，到2階范疇，到高階范疇，那麼我們是不是可以暢想未來會有1階范疇計算、2階范疇計算？希望將來我們有機會來解讀這些問題。

你們喜歡范疇學嗎？歡迎?家來到范疇學的奇妙世界。

附錄

?章結尾我們來談談學習范疇學的過程中常?的困惑和誤解。

很多?（包括部分數學家）都抱怨范疇學抽象。我希望前?的討論能夠幫助?家意識到，我們的思考天?就是范疇學的，?引?「1」和「2」這樣的抽象概念反?是「去范疇化」了。我們的數學教育從?開始就是「去范疇化」，?通常的微積分可以看作是「去范疇化」的經典之作。最終的結果是，我們?多數?第?次學「范疇學」都會覺得好「抽象」，呵呵。有可能是因為 「去范疇化」的數學教育讓我們變得失去童真了。我記得有?次在做數學報告，有聽眾抱怨范疇學太抽象了。我說，抽象是?個沒有意義的概念，不過你所謂的不抽象的東?是啥？他回答說?如上同調。我的天，上同調不抽象？好吧，我耐?地問，為什麼你覺得上同調不抽象？他說，因為可以算啊。我說，原來可以算就是不抽象啊，這樣的話，范疇學也不抽象，因為它也可以算。但是這也不重要，因為這個說法本身很荒唐，如果上同調是可以算的話，總沒有1+1=2更好算吧？那麼請問什麼是「1」？平時我們嘴上說的所謂「不抽象」或「抽象」，其實就是「熟悉」或「不熟悉」。范疇學之所以顯得「抽象」，就是因為我們在「去范疇化」的路上?了很遠了，想要回歸也沒有那麼容易，放下包袱是很難的。

我記得有?次和物理學家Michael Levin吃午飯，他說他花不少時間看范疇學，但是總覺得范疇學空泛的好像什麼都沒有。他的感覺沒錯，當然也不只他?個?這樣抱怨。事實上，范疇學是和集合論?樣底層的東?。就象你去看集合論?樣，除了?些形式的定義，彷彿什麼都沒有。對物理學家來講，看集合論?乎沒有任何?處，真正有?的是微積分和線性代數。所以也只有當你看到了范疇學??的「微積分」和「線性代數」的時候，你才能理解它的強?。我認為，Grothendieck的代數?何就可以粗略地看成是?個新的「微積分」，?張量范疇理論 (tensor category theory) 可以看成是?個新的「線性代數」。范疇學??的「微積分」（或「線性代數」）都不是唯?的，?是千變萬化的。對物理學最有?的「微積分」和「線性代數」可能還沒有誕?。與集合論不同的是，對物理學家來說，集合論可以完全地忽略，直接跳到微積分和線性代數上，因為集合論的語?和基礎被函數論的語?覆蓋了。但是對范疇學來講，想要跳過她的基礎語?：范疇、函?、?然變換、Yoneda引理，直接學習她的「微積分」和「線性代數」是不可能的。遺憾的是，到?前為?，還沒有?個適合物理學家讀的范疇學的書。

還有?種誤解是，范疇學已經建?好了，學好了?本范疇學的數學書，在物理上的應?可能就夠了。如果你抱著這樣的?態，那你註定要失望了。?先，把任何（不論她有多麼優美）數學套?到物理上的想法都是緣?求?的做法。只有從物理實驗或物理圖像出發?發現的數學才是對物理有意義的，如果碰巧這個數學已經被數學家發現，那也只是偶然情況?已。通向未知之??多是沒有現成的鑰匙的。物理學真正需要的范疇學絕?多數還不存在，需要我們去?邊發展物理，?邊發展數學。在這種情況??，新的物理和新的數學沒有區別，它們都是??然的隱藏結構。現在的范疇學還在發展的初級階段，微積分可以發展?百年的話，范疇學?概也需要?百年。?我這些年的實踐告訴我，物理能給我們帶來的新的、超越數學家想像?的范疇學才是真的波瀾壯闊。

致謝

感謝德國哥廷根?學的朱晨暢?師、清華?學?等研究院的汪忠?師和丘成桐數學中?的?垠?師、南科?量?科學與?程研究院的吳詠時?師和鄭浩?師、麻省理?學院的??剛?師、中科院物理所的曹則賢?師和斯坦福?學的祁曉亮?師提出的很多寶貴意?。

注釋

[1] 這??我們還是?到了「唯?」這個概念，好像是循環定義「1」的意思。其實我們可以從技術上迴避它，?如：我們可以說萬有性質中的（讓圖表交換的）映射構成的集合存在到集合{O}的雙射，或者如果h和h『使得圖表交換，則h=h』（感謝知乎網友王英潔和凝結的火苗）。我們這?並不是想探討數學的基礎，?是展現?種對1和1+1的全新解讀。不過從萬有性質??不斷地?「存在」和「唯?」可以看出，在?然哲學的意義下，「唯?」有可能是和「存在」同等基本的概念。

❸ 蘭琦老師寫的《高考數學壓軸題的分析與解》怎麼樣

《高考數學壓軸題的分析與解》一改傳統，利用互聯網優勢擴展學習，採用「互動閱讀」，與我們的光子學習APP相互聯動，每道題都有更加詳細的進一步解析或動態圖解，以wiki形式展現數學相關知識點，讓你得到全方位的提升，學習變得生動有趣，效果倍增。線下線上結合學習，保證讀者們一邊刷題，一邊「漲姿勢」，輕輕鬆鬆實現「1+1＞2」的學習效果。
高考數學壓軸題是高考數學中最關鍵的部分，《高考數學壓軸題的分析與解》包含了200道左右全國各地最新高考數學壓軸題的分析與解答，補充了部分解析幾何與導數試題，並對一些經典問題進行了適當的拓展，《高考數學壓軸題的分析與解》全書最後總結了針對解析幾何與導數試題的「破解壓軸題有效10招」，完美配套練習，讓知識抓得更牢，不讓高考任何一分溜走。

❹ 《數學真美妙》讀後感

最近，學校組織全校同學開展「讀書節」活動。在學校老師的推薦下，我讀到了一本讓我在歡樂中學習的好書——《數學真好玩》。
「這是一本能讓人十分鍾愛上的數學書」字。書的扉頁上寫著這樣一行字。書中以作者的弟弟菲洛和爺爺為主角，通過爺爺生動風趣的一個個故事，帶領我們和菲洛一起探索數學王國的奧秘。
這本書看似其貌不揚，但讀起來卻讓人愛不釋手。平常被看得復雜和繁瑣的數字，被書中幽默的對話、生動的例子，充滿義大利風情的插圖，歡快地展現在讀者的面前。在作者的筆下，好奇的弟弟總是不斷地向爺爺提出問題，而教齡40年的爺爺總是不厭其煩地向他講解。
書中的爺爺慈祥和藹，弟弟菲洛聰明淘氣，所有抽象、枯燥的數學知識都在爺孫兩人的對話中展現出來，變得親切易懂，你會發現，數學並不僅僅是數字、公式、例題，它還是歷史、趣味和生活道理，原來數學這么好玩、如此簡單！
當然，書中最令我喜愛的，還是正文前面的那些標題。我不喜歡那些故弄玄虛的標題，一看到那樣的標題，我閱讀的興趣就會大打折扣。而《數學真好玩》這本書，卻給了我完全不一樣的感受。
就比如「肚臍的位置恰倒好處」這個標題，一見到它，我的心裡就產生了一個大大的懸念。恰到什麼好處？為什麼恰到好處？急切地催使我繼續看下去。
可相反的，如果把這個標題改為「黃金比例」或「0.618的比例」，給人的感覺就完全不一樣了。文章會顯得呆板、無趣，就更加談不上什麼生動形象了，而這些也正是我從這本書的閱讀中獲取的最大收獲。
同學們，這是一本讓人10分鍾就愛上數學的神奇之書，就在此書中，你會和菲洛一起體驗到前所未有的趣味數學學習方法，認識數學的奇妙與樂趣，學會用數學知識解決實際問題，變為生活中的小小數學達人。讓我們一同跟隨爺爺和菲洛在數學世界中探險，體驗一段快樂而充實的數學之旅

❺ 2019年八年級上冊數學追夢之旅卷子答案。

第三章追夢綜合演練卷

❻ 求語文老師賞析一篇我寫的作文《我的快樂之旅》

呵呵，你這個很好，只不過·····
你這篇作文，是很好，但是只要有些語句再精闢一點就可以了
人才，我看你骨骼清奇，
器宇軒昂,且有慧根,
乃是萬中無一的武林奇才.
潛心修習,將來必成大器，
鄙人有個小小的考驗請點擊在下答案旁的
"選為滿意答案"

❼ 有趣的數學科普小知識有哪些

有趣的數學科普小知識有：莫比烏斯環、克萊因瓶、黃金分割、斐波納契螺旋線、繆勒萊耶錯覺。

莫比烏斯環是一種拓撲學結構，它只有一個面和一個邊界。可以用一根紙條扭轉成180度後，兩頭再粘接起來，就形成了莫比烏斯環。莫比烏斯環沿著中線剪開，第一次，可以得到一個更大的環；

第二次及以後，每次都會得到兩個互相嵌套的環。中間永遠不會斷開，這也是莫比烏斯環的神奇之處。

科普知識涵蓋了科學領域的各個方面，無論是物理、化學、生物各個學科，還是日常生活無不涉及到科普知識。由於其范圍的廣泛性，奠定了科普知識的重要意義和影響。

科普知識的重要意義必然要求我們的科普教育必須與時俱進的與我們所提倡的素質教育同行。同步發展。使科普知識，科普教育真正意義上走進人們的生活。科普知識的意義和影響必將是深遠的、長久的。

❽ 求推薦 數學科普書

《數學糖果1》,作者胡順鵬,本書以數學概念、數學思維和數學家為關聯點，將與關聯點相關的星星點點的數學知識聯結成系統，嘗試引導讀者從發散性的思考中尋找樂趣，從系統性的總結中拓展認知。作者以數學為切入點，將趣味性的知識、八卦、故事串聯起來，內容豐富，很適合學生、家長和老師閱讀！

❾ 電視劇《天才基本法》首發海報，這部劇主要講述的是什麼故事

《天才基本法》是由沈嚴執導，雷佳音、張新成、張子楓等主演的電視劇。該劇改編自晉江人氣作者長洱同名小說。聚焦數學競技的超時空勵志情感劇，主要講述了一個「神秘」老師和兩個天才學生展開的一場對於真理與熱愛的追逐。

張子楓總是有一種害羞的感覺，和張新成同框，這身高差實在是太萌了，確實有一點點兄妹的既視感，不過最新的路透卻「打臉」了。有網友曬出了最新路透，是張新成摟著張子楓，兩人默默對視，有小情侶的氛圍了，兩人演技都不用擔心，所以不必提前焦慮兩人沒有CP感，相信兩人的演技，一定可以讓大家滿意的。