數學家為什麼要規定0的階乘是1

1. 0！為什麼要定義為等於1

主要是因為0本身也是一種情況，而且也是由於一些問題涉及到0！時，要使計算有意義

階乘作為一種運算，有自己的法則，0!=1是基本法則之一，是由人規定的，你要明確，階乘是用來計算排列組合問題的，排列組合的情況至少為1（沒有情況就是一種情況）。

基本事物是難以定義或推導的，好比點、直線無法定義一樣。因此，0!=1隻要記住就行。

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一個正整數的階乘是所有小於及等於該數的正整數的積，並且0的階乘為1。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。

x! =x*(x-1)!, (x-1)!=x!/x , (1-1)!=1!/1=0!

1的階乘是1，(n+1)的階乘是n的階乘乘以(n+1)，也就是說（n-1)的階乘是n的階乘除以n，那麼取n=1，就得到0的階乘等於1。

2. 0的階乘為什麼等於1

對階乘進行解析延拓後，就能得到著名的伽馬函數，我們根據伽馬函數，就可以得到"0！=1"。或者你可以簡單地理解為為了方便計算而定義的。

按照階乘的定義，我們很容易得出這么一個結論：（n+1）!=(n+1)*n!，其中n≥1且為整數；

至於n=0的情況，超出了階乘的定義范圍，但是我們為了讓上面式子繼續成立，我們強行把n=0帶進去有：（0+1）！=（0+1）*0！

由於1！=1，所以我們得出0！=1的結論，大家要注意了，這只是一個試探性的結論，不過我們為了保證數學公式的連續性，完全可以定義：0！=1。

對於0的階乘等於零，更嚴謹的證明需要用到伽馬函數Γ（n）：這是大數學家歐拉在1729年，經過解析延拓後得到的函數，也是對階乘函數的擴展，這個函數擁有一個非常有趣的性質：Γ（n+1）=nΓ（n），其中n>0。

3. 零的階乘為什麼是一

0的階乘為1。

具體如下：

一個正整數的階乘是所有小於及等於該數的正整數的積，並且有0的階乘為1。簡單一點是認為規定的，但它是有道理的，因為階乘是一個遞推定義，n!=n*(n-1)!，那麼必然有一個初值需要人為規定。

因為1!=1，根據1!=1*0!，所以0!=1而不是0。

一個正整數的階乘是所有小於及等於該數的正整數的積，並且0的階乘為1。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。

亦即n!=1×2×3×...×n。階乘亦可以遞歸方式定義：0!=1，n!=(n-1)!×n。

相關信息：

通常我們所說的階乘是定義在自然數范圍里的（大多科學計算器只能計算 0～69 的階乘），小數科學計算器沒有階乘功能，如 0.5！，0.65！，0.777！都是錯誤的。但是，有時候我們會將Gamma 函數定義為非整數的階乘，因為當 x 是正整數 n 的時候，Gamma 函數的值是 n－1 的階乘。

真正嚴謹的階乘定義應該為：對於數n，所有絕對值小於或等於n的同餘數之積。稱之為n的階乘，即n!

4. 為什麼0的階乘是1

0的階乘就是1，這是人為的規定。

再舉一個比較貼切的例子。

對於單項式，單項式中所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。

只含有一個字母的單項式，它的次數就是1。

但是單獨一個數也是單項式，於是我們又規定單獨一個數看成單項式時，它的次數為0。

因為本來n（n是正整數）的階乘就是從1×2×……×n這n個數相乘，但是這個定義對0就無效了。

那麼我們只能根據不同數的階乘關系來擴展定義，從正整數的階乘能看出來，（n+1）！÷n!=n+1，所以n!=（n+1）！÷（n+1）。

首先，這是定義，然後有以下現象值得這樣定義：

1、階乘滿足函數，函數的取值符合這一定義。

2、階乘滿足遞推：1！＝1，n！＝n×(n-1)！，令n=1，可知0！＝1。

3、階乘的引入與全排列有關，0！的解釋是0個元素的排列數，可以認為是1。

5. 數學家為什麼要規定0的階乘是1

你是否看過雜技團演出中"小狗做算術"這個節目？台下觀眾出一道10以內的加法題，比如"2+5"，由演員寫到黑板上。小狗看到後就會"汪汪汪……"叫7聲。台下觀眾會報以熱烈的掌聲，對這只狗中的"數學尖子"表示由衷的贊許，並常常驚嘆和懷疑狗怎麼會這么聰明？因為在一般人看來狗是不會有數量概念的。 人類是動物進化的產物，最初也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實踐中，由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。"結繩記事"也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。我國古書《易經》中有"結繩而治"的記載。傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了，就逐漸形成數的概念和記數的符號。 數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻大小相同。 古羅馬的數字相當進步，現在許多老式掛鍾上還常常使用。 實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的。它們按照下列規律組合起來，就能表示任何數： 1．重復次數：一個羅馬數字元號重復幾次，就表示這個數的幾倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。 2．右加左減：一個代表大數字的符號右邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字加小數字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一個代表大數字的符號左邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字減去小數字的數目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。 3．上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數字的一千倍。如：" "表示 "15,000"，" "表示"165,000"。 我國古代也很重視記數符號，最古老的甲骨文和鍾鼎中都有記數的符號，不過難寫難認，後人沒有沿用。到春秋戰國時期，生產迅速發展，適應這一需要，我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法--籌算。籌算用的算籌是竹製的小棍，也有骨制的。按規定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數和進行運算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數的符號了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數字。 從算籌數碼中沒有"10"這個數可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴格遵循十位進制。9位以上的數就要進一位。同一個數字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計演算法在當時是很先進的。因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀末。但籌算數碼中開始沒有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示為"┴ ╥ "。數字中沒有"零"，是很容易發生錯誤的。所以後來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與"零"的出現有關。不過多數人認為，"0"這一數學符號的發明應歸功於公元6世紀的印度人。他們最早用黑點（·）表示零，後來逐漸變成了"0"。 說起"0"的出現，應該指出，我國古代文字中，"零"字出現很早。不過那時它不表示"空無所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零頭"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨著阿拉數字的引進。"105"恰恰讀作"一百零五"，"零"字與"0"恰好對應，"零"也就具有了"0"的含義。 如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有"0"。其實在公元5世紀時，"0"已經傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用"0"。有一位羅馬學者在筆記中記載了關於使用"0"的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。 但"0"的出現，誰也阻擋不住。現在，"0"已經成為含義最豐富的數字元號。"0"可以表示沒有，也可以表示有。如：氣溫 ，並不是說沒有氣溫；"0"是正負數之間唯一的中性數；任何數（0除外）的0次冪等於1；0！=1（零的階乘等於1）。 除了十進制以外，在數學萌芽的早期，還出現過五進制、二進制、三進制、七進制、八進制、十進制、十六進制、二十進制、六十進制等多種數字進製法。在長期實際生活的應用中，十進制最終佔了上風。 現在世界通用的數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯數字。實際上它們是古代印度人最早使用的。後來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去，又把這一簡便易寫的十進制位值記數法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯數字。 數的概念、數碼的寫法和十進制的形成都是人類長期實踐活動的結果。 隨著生產、生活的需要，人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？於是分數就產生了。中國對分數的研究比歐洲早1400多年！自然數、分數和零，通稱為算術數。自然數也稱為正整數。 隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和後退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產生了負數。正整數、負整數和零，統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。有了這些數字表示法，人們計算起來感到方便多了。 但是，在數字的發展過程中，一件不愉快的事發生了。讓我們回到大經貿部2500年前的希臘，那裡有一個畢達哥拉斯學派，是一個研究數學、科學和哲學的團體。他們認為"數"是萬物的本源，支配整個自然界和人類社會。因此世間一切事物都可歸結為數或數的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數是指整數。分數的出現，使"數"不那樣完整了。但分數都可以寫成兩個整數之比，所以他們的信仰沒有動搖。但是學派中一個叫希帕索斯的學生在研究1與2的比例中項時，發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它。如果設這個數為X，既然 ，推導的結果即 。他畫了一個邊長為1的正方形，設對角線為x ，根據勾股定理 ，可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個數，這個數肯定是存在的。可它是多少？又該怎樣表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最後認定這是一個從未見過的新數。這個新數的出現使畢達哥拉斯學派感到震驚，動搖了他們哲學思想的核心。為了保持支撐世界的數學大廈不要坍塌，他們規定對新數的發現要嚴守秘密。而希帕索斯還是忍不住將這個秘密泄露了出去。據說他後來被扔進大海餵了鯊魚。然而真理是藏不住的。人們後來又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率就是最重要的一個。人們把它們寫成 等形式，稱它們為無理數。 有理數和無理數一起統稱為實數。在實數范圍內對各種數的研究使數學理論達到了相當高深和豐富的程度。這時人類的歷史已進入19世紀。許多人認為數學成就已經登峰造極，數字的形式也不會有什麼新的發現了。但在解方程的時候常常需要開平方如果被開方數負數，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數學運算就像走在胡同中那樣處處碰壁。於是數學家們就規定用符號"i "表示"-1"的平方根，即i＝ ，虛數就這樣誕生了。"i "成了虛數的單位。後人將實數和虛數結合起來，寫成 a＋bi的形式（a、b均為實數），這就是復數。在很長一段時間里，人們在實際生活中找不到用虛數和復數表示的量，所以虛數總讓人感到虛無縹緲。隨著科學的發展，虛數現在在水力學、地圖學和航空學上已經有了廣泛的應用，在掌握和會使用虛數的科學家眼中，虛數一點也不"虛"了。 數的概念發展到虛和復數以後，在很長一段時間內，連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了，數學家族的成員已經都到齊了。可是1843年10月16日，英國數學家哈密爾頓又提出了"四元數"的概念。所謂四元數，就是一種形如 的數。它是由一個標量（實數）和一個向量 （其中x 、y 、z 為實數）組成的。四元數的數論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用。與此同時，人們還開展了對"多元數"理論的研究。多元數已超出了復數的范疇，人們稱其為超復數。 由於科學技術發展的需要，向量、張量、矩陣、群、環、域等概念不斷產生，把數學研究推向新的高峰。這些概念也都應列入數字計算的范疇，但若歸入超復數中不太合適，所以，人們將復數和超復數稱為狹義數，把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數。盡管人們對數的歸類法還有某些分歧，但在承認數的概念還會不斷發展這一點上意見是一致的。到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。

6. 0的階乘為什麼等於1

從階乘的定義出發。從階乘表達式n！=n×（n-1）!中，知道一個數的階乘是遞推定義的。比如要計算一個任意的整數m的階乘，我們就把m作為初值，計算m!=m×（m-1）!。

同樣的，當m=l時，m！=1!=1×0!=1，取等式中最後一個等號的兩邊，即1×0!=1，這個等式兩邊同時約去1，就得到如下結果：0!=1。

階乘的計算方法是1乘以2乘以3乘以4，一直乘到所要求的數。例如所要求的數是6，則階乘式是1×2×3×…×6，得到的積是720，720就是6的階乘。

如果所要求的數是n，則階乘式是1×2×3×…×n，設得到的積是x，x就是n的階乘。任何大於1的自然數n的階乘的表示方法是：n！=1×2×3×……×n或n！=n×（n-1）!。

(6)數學家為什麼要規定0的階乘是1擴展閱讀

雙階乘：

雙階乘用「m！！」表示。當 m 是自然數時，表示不超過 m 且與 m 有相同奇偶性的所有正整數的乘積。如：

7. 數學家為什麼要規定0的階乘是1

1的階乘是1,這個好理解吧。 (n+1)的階乘是n的階乘乘以(n+1),也就是說(n-1)的階乘是n的階乘除以n,那麼取n=1,就得到0的階乘等於1。

8. 0的階乘等於多少為什麼

0的階乘就是1，這是人為的規定。

但是這個人為規定不是隨意規定的，是根據正整數的階乘運算關系擴展而來的。

因為本來n（n是正整數）的階乘就是從1×2×……×n這n個數相乘。但是這個定義對0就無效了。那麼人們只能根據不同數的階乘關系來擴展定義。

從正整數的階乘能看出來，（n+1）！÷n！=n+1，所以n！=（n+1）！÷（n+1）。那麼把這個式子擴展到0上，就得到0！=1！÷1=1÷1=1。就是這樣擴展定義的。

(8)數學家為什麼要規定0的階乘是1擴展閱讀：

一個正整數的階乘（factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積，並且0的階乘為1。自然數n的

階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。階乘常用於計算機領域。

大於等於1

任何大於等於1 的自然數n 階乘表示方法:

n!=1×2×3×...×（n-1）n或n!=(n-1)!×n0的階乘

其中0！=1

9. 數學家為什麼要規定0的階乘是1

n!=n（n-1）
1!=1×0!
0!=1

10. 為什麼規定0的階乘等於1怎麼理解

0的階乘為1。

具體如下：

一個正整數的階乘是所有小於及等於該數的正整數的積，並且有0的階乘為1。簡單一點是認為規定的,但它是有道理的,因為階乘是一個遞推定義,n!=n*(n-1)!,那麼必然有一個初值需要人為規定.

因為1!=1,根據1!=1*0!,所以0!=1而不是0.

(10)數學家為什麼要規定0的階乘是1擴展閱讀：

n!=1×2×3×...×n或者0!=1，n!=(n-1)!×n

例如，求1x2x3x4...xn的值，此時可以用階乘的方式表示：

n!=1×2×3×...×（n-1)n或者n!=(n-1)!×n

由於正整數的階乘是一種連乘運算，而0與任何實數相乘的結果都是0。所以用正整數階乘的定義是無法推廣或推導出0！=1的。即在連乘意義下無法解釋「0！=1」。

給「0！」下定義只是為了相關公式的表述及運算更方便。

在離散數學的組合數定義中，對於正整數這個定義使用至今可謂久經考驗方便多多，沒有出現過任何邏輯上不合理的現象。