數學環是什麼

A. 數學上的群，域，環等有什麼區別和聯系

（1）群：集合G上定義了二元運算記作「 * 」，滿足以下四個條件:

1. 封閉性。2.結合律。3.含幺。4.有逆。

那麼該集合和二元運算一起構成的代數結構（G，*）稱作一個群。

（2）Abel群：二元運算還滿足交換律的群。所以Abel群也叫做交換群，是一類特殊的群。二元運算記作「 + 」

（3）半群：集合上定義的二元運算，滿足前兩個條件：

1.封閉性。2.結合律。

(群一定是半群，但是半群不一定是群。)

有了以上的定義，我們來看一下什麼是環和域。

（4）環：設集合R上定義了兩個二元運算「 + 」，「 * 」且滿足

1.（R，+）是Abel群。

2.（R，*）是半群。

3.兩種運算滿足分配率，a*（b+c）=a*b+a*c

則集合R和兩個二元運算構成的代數結構叫做環。

（5）域：環中的半群結構，滿足含幺和交換律，則稱作域。可見域是一種特殊的環。

綜上：最大的概念是半群，群是半群的子集，Abel群又是群的子集。環是在Abel群的基礎上進行「修飾」，也就是再增加一種二元運算使得集合構成半群，且兩種運算滿足上面提到的分配率。最後域是環的子集，要求增加的這種二元運算還要滿足含幺和交換律。

B. 數學中，群、環、域、集分別是什麼它們的范圍不同嗎

群：在數學中，群表示一個擁有滿足封閉性、結合律、有單位元、有逆元的二元運算的代數結構，包括阿貝爾群、同態和共軛類。

環(Ring)：是一類包含兩種運算(加法和乘法)的代數系統，是現代代數學十分重要的一類研究對象。其發展可追溯到19世紀關於實數域的擴張及其分類的研究。

域：定義域，值域，數學名詞，函數經典定義中，因變數改變而改變的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。

集合：簡稱集，是數學中一個基本概念，也是集合論的主要研究對象。集合論的基本理論創立於19世紀，關於集合的最簡單的說法就是在樸素集合論（最原始的集合論）中的定義，即集合是「確定的一堆東西」，集合里的「東西」則稱為元素。現代的集合一般被定義為：由一個或多個確定的元素所構成的整體。

范圍：

群、環、域都是滿足一定條件的集合，可大可小，可可數 也可 不可數，一個元素可以是群『0』，三個也可以『0，1，-1』，可數的：以整數為系數的多項式（可以驗證也是環），當然R也是；環不過是在群的基礎上加上了交換律和另外一種運算，域的條件更強（除0元可逆），常見的一般是數域，也就是：整數，有理數，實數，復數。

群，環，域都是集合，在這個集合上定義有特定元素和一些運算，這些運算具有一些性質。群上定義一個運算，滿足結合律，有單位元（元素和單位元進行運算不變），每個元素有逆元（元素和逆元運算得單位元） 例整數集，加法及結合律，單位元0,逆元是相反數， 正數集，乘法及結合律，單位元1，逆元是倒數 環是一種群，定義的群運算（記為＋）還要滿足交換律。

另外環上還有一個運算（記為×），滿足結合律，同時有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由於×不一定有交換律，所以分開寫。 例整數集上加法和乘法。 域是一種環，上面的×要滿足交換律，除了有＋的單位元還要有×的單位元（二者不等），除了＋的單位元外其他元素都有×的逆元。 例整數集上加法和乘法，單位元0,1。

(2)數學環是什麼擴展閱讀

群、環、域代數結構：

群、環、域、向量空間、有序集等等，用集合與關系的語言給出來的統一的形式。首先，由於數學對象的多樣性，有不同的類型的集。

如群表示的集為G×G.實際上，群涉及的是二元運算；而向量空間表示的集為F×F→F，F×V→V，V×V→V，向量空間涉及域F中的運算，域F中的元對V中元的運算，V中元的運算.引入基本概念——「合成」(如，群的合成就是乘法運算；向量空間的「合成」有F中的元對V中元的作用乘法，V中元的加法運算)，並且，要求「合成」適合給定的公理體系，得到的就是一個數學結構。

事實上，代數結構中，所有概念均可用集合及關系來定義，即用集合及關系的語言來表述。

做為基本概念，若僅僅著眼於「合成」(即「運算」)，則這種數學結構稱為代數結構，或代數系(統).換言之，代數結構(代數系)就是帶有若干合成(運算)的集合。

C. 數學上的群、域、環等有什麼區別和聯系

1、群(group)是兩個元素作二元運算得到的一個新元素，需要滿足群公理(group axioms)，即：

①封閉性：a ∗ b is another element in the set

②結合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

③單位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a

④逆 元：加法的逆元為-a，乘法的逆元為倒數1/a，… (對於所有元素)

⑤如整數集合，二次元運算為加法就是一個群(封閉性是顯然的，加法滿足結合律，單位元為0，逆元取相反數-a)。

2、環(ring)在阿貝爾群(也叫交換群)的基礎上，添加一種二元運算·(雖叫乘法，但不同於初等代數的乘法)。一個代數結構是環(R, +, ·)，需要滿足環公理(ring axioms)，如(Z,+, ⋅)。環公理如下：

①(R, +)是交換群

封閉性：a + b is another element in the set

結合律：(a + b) + c = a + (b + c)

單位元：加法的單位元為0，a + 0 = a and 0 + a = a

逆 元：加法的逆元為-a，a + (−a) = (−a) + a = 0 (對於所有元素)

交換律：a + b = b + a

②(R, ·)是幺半群

結合律：(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)

單位元：乘法的單位元為1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a

③乘法對加法滿足分配律Multiplication distributes over addition

3、域(Field)在交換環的基礎上，還增加了二元運算除法，要求元素(除零以外)可以作除法運算，即每個非零的元素都要有乘法逆元。

由此可見，域是一種可以進行加減乘除(除0以外)的代數結構，是數域與四則運算的推廣。整數集合，不存在乘法逆元(1/3不是整數)，所以整數集合不是域。有理數、實數、復數可以形成域，分別叫有理數域、實數域、復數域。

D. 離散數學里，環是不是圈為什麼

環是圈，是長度為1的圈

環：設G=<V,E>為無向圖，ek=(vi,vj)∈E，若vi=vj,稱ek為環。有向圖幾乎一樣。

圈：設G為無向標定圖，G中頂點與邊的交替序列Γ=vi0 ej1 vi1 ej2...ejl vil稱作vi0到vit的通路，若Γ所有頂點各異（除vi0和vil），所有邊各異，且vi0=vil，則稱Γ為初級迴路或圈。

（說明：答案中v和e後的字母和數字都是下標）

參考自：離散數學第2版 [屈婉玲，耿素雲，張立昂 編著] 2015年版

E. 數學:圓環是什麼

數學中，環形（annulus）是一個環狀的幾何圖形，或者更一般地，一個環狀的對象。幾何學中通常所說的環形就是圓環，一個大圓盤挖去一個小同心圓盤剩下的部分。圓環的對稱性非常強，是一個以圓心為對稱中心的中心對稱圖形，也是有無數條對稱軸的軸對稱圖形。圓環的幾何中心就是圓心。一個以圓心為中心，半徑為內外半徑的幾何平均值的反演保持圓環整體不變，將內外邊緣互換，內圓內部與外圓外部互換。

F. 請用通俗的語言解釋一下數學中群，環，域的概念

群，環，域都是集合，在這個集合上定義有特定元素和一些運算，這些運算具有一些性質
群上定義一個運算，滿足結合律，有單位元（元素和單位元進行運算不變），每個元素有逆元（元素和逆元運算得單位元）
例整數集，加法及結合律，單位元0,逆元是相反數，
正數集，乘法及結合律，單位元1，逆元是倒數
環是一種群，定義的群運算（記為＋）還要滿足交換律。另外環上還有一個運算（記為×），滿足結合律，同時有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由於×不一定有交換律，所以分開寫
例整數集上加法和乘法
域是一種環，上面的×要滿足交換律，除了有＋的單位元還要有×的單位元（二者不等），除了＋的單位元外其他元素都有×的逆元
例整數集上加法和乘法，單位元0,1

G. 環是什麼意思

環
環 huán〈名〉

(形聲。從玉,瞏 huán聲。本義:圓形而中間有孔的玉器)
同本義 [jade bracelet]
環,璧也。——《說文》
肉好若一謂之不。——《爾雅·釋器》。李注:「其孔及邊肉大小適等。」
行步則有環佩之聲。——《禮記·經解》
孔子佩象環五寸。——《禮記·玉藻》
聞水聲,如鳴佩環。——唐· 柳宗元《至小丘西小石潭記》
腰白玉之環。——明· 宋濂《送東陽馬生序》
又如:環佩(古人衣帶上所系的佩玉);環玦(玉環和玉玦);環琨(環與琨,並為玉佩);環塡(兩種玉制的耳飾。環,耳環。塡,冠冕上的塞耳之玉)
泛指圓圈形的物品 [ring]
布巾環幅。——《儀禮·士喪禮》
瓜祭上環。——《禮記·玉藻》。注:「上環,頭忖也。」
又如:環中(圓環的中心;又比喻空虛而無是無非的境界);環利通索(連環鐵索)
數學中,具有加法和乘法運算的集合 [ring]。其中任兩個元素的並與對稱差仍是該族中的元素
環論
化學中,環形的結構或多個原子的一種閉鏈 [ring]。如:苯環;甾環

H. <R,+,·>是什麼類型的環，是整環還是除環，有什麼區別嗎這個代數系統表示實數范圍內的加和乘。

<R,+,·>是各種各樣類型的環的統稱。<R,+,·>也可以記為<R,+,x>。在非空集合R中，若定義了兩種代數運算+和x（不一定為加與乘），且滿足：

整環：若環<R,+,·>是交換、含幺和無零因子的，則稱R為整環。

除環：若環<R,+,·>至少含有2個元素且是含幺和無零因子的，並且∀a∈R（≠0），有a^(-1)∈R則稱R為除環。