『壹』 什麼樣的數學問題是好的數學問題
數學是一門工具性學科，問題不存在好壞之分。他本身的問題就是角決問題。只不過現在的數學作為一門學科，來選拔出有一定數學思維的人。就這而言，好的數學問題是能夠較好的符合考綱精神的題。
其實，老師說的所謂的好題只不過是在套用那些專家的話而矣，實質就是假大空。
你要是數學考滿分，哪怕是不做題，老師也會說你是個能發現好的數學問題的人
『貳』 學好數學靠的到底是什麼邏輯思維嗎
學好數學需要的並不僅僅是邏輯思維
我們老師曾經說過，學好英語靠勤奮，學好數學靠思考
對與於一些數學沒學好的人來說
我認為只有兩種：一是基礎差，二是方法差
對於基礎差的人來說，學數學是最困難的，因為他要學好數學一定會比基礎好的人難
基礎源於小學，小學的數學可以說是讀中學的基石，很多人到了中學由於基礎差加上沒認真學，最後就什麼都聽不懂-不過數學的補習一定比英語快，英語差就要花時間，而數學差，只要掌握技巧，就可以將難題都迎嫩而解———
而有的人方法差-考慮數學問題不能僅僅用腦-除非單純的口算題-有的題目看似簡單-而往往只是用腦子思考，時間長了，習以為常，漸漸就會忘了原來我們還有手，我做題目的時候，不管是否困難，只要是數學題目，都會放一長紙在桌上，手上抓只筆，隨時在紙上龍飛鳳舞，寫明自己的思路，這樣既可以將問題看的透徹，又可以起到檢驗的效果-
一個初中數學科代表的述說
『叄』 什麼是好的數學
什麼是「好的數學」X
一、「好的數學」不僅是「數學」，更是「人學」
我們的數學教育，不僅是讓學生掌握必須的基本知識，基本技能，還要讓學生感悟更重要的基本思想、基本生活經驗：同時，還要讓學生學會運用數學的思維方式進行思考、了解數學的內在價值、養成良好的學習習慣、具有初步的創新意識和實事求是的科學態度等等。簡言之，我們的數學教育，不僅是知識的訓練，還是智慧的累積，更是生命的成長、人生價值與意義的體現。
人學是以人性(人的本質)、人生意義及人的行為准則為思考對象，是以人性論為核心，兼含人生觀(人生價值論和行為准則論)、人治論(自治的修養論和他治的政治論)、人的社會理想 論而構成的一個有機思想體系，把數學不僅看作「數學」．更當作「入學」，是數學工具性與人文性的辯證統一。「好的數學」是以人為核心的數學，是真真正正的「人學」。
二、「好的數學」不只是教知識與方法，還教思想
教學有三個層次：教知識，教方法，教思想。
數學思想方法的優秀品質在於，她支撐著整座數學大廈，無處不在，無時不有，應用廣泛，容易保留在人的長時間記憶之中。任何學科都要用到數學思想方法，只不過應用的方式、程度有所差別而已。
教師的教與學生的學是一個統一體。「好的數學」首先要追問四個問題：第一，教與學的內容是什麼(分別審思究竟，應該、能夠教學什麼)；第二，為什麼要教與學這些內容；第三，師生應該怎麼做；第四，為什麼要這樣做+在此基礎上，教師對文本進行還原性、探源性的深讀與細讀，對學生學習的邏輯起點進行調研與分析，便會明白一節課學生應該掌握哪些知識與技能，更應該感悟與提升哪些方法與思想。掌握數學思想方法，認識客觀世界的數量變化規律，並用於認識世界和改造世界，才是數學科學的真諦。
三、「好的數學」不僅關注昨天和今天，更指向明天
數學總是挑戰與危機並存著，隨著科學技術的迅猛發展，人類的知識總量在不斷增加，知識更新的速度也日益加快，不斷涌現的新技術，新學科又與數學密切相關，特別是由於計算機技術的發展，數學的應用范圍更廣泛。我們必須與時俱進，還要帶有前瞻的目光。好的數學是運動著的，她不會停留在過去，也不會在今天原地踏步。
昨天，意味著基點與重復；今天，意味著起點與出發；明天則是希望與方向。昨天的「舊船票」難以登上明天的「新客船」，沒有未來的數學學習活動的確是非常可怕的。「好的數學」不會讓學生做一個機械的、復制粘貼的搬運工，而要讓學生揚起奮進的風帆，激發起思維探究的慾望，走向充滿不確定的、創造的未來。
四。「好的數學」不僅是記憶與模仿，更是發展與創造
美國學者斯蒂恩在給鄭毓信教授的信中，曾誠懇地指出：「中國與美國學生的一個重要差異在於：中國學生比較適應適用於特定問題的特定解法的『演算法』學習，而美國學生則較善於解決那種開放性的、含糊的、具有『現實』意義的、並需要更多創造性的非常規的問題。」
『肆』 學好數學的關鍵是什麼
學好數學是能力的培養：
一、數學運算
運算是學好數學的基本功。初中階段是培養數學運算能力的黃金時期，初中代數的主要內容都和運算有關，如有理數的運算、整式的運算、因式分解、分式的運算、根式的運算和解方程。初中運算能力不過關，會直接影響高中數學的學習。在面對復雜運算的時候，常常要注意以下兩點：①情緒穩定，算理明確，過程合理，速度均勻，結果准確；②要自信，爭取一次做對；慢一點，想清楚再寫；少心算，少跳步，草稿紙上也要寫清楚。
二、數學基礎知識
理解和記憶數學基礎知識是學好數學的前提。理解就是用自己的話去解釋事物的意義，同一個數學概念，在不同學生的頭腦中存在的形態是不一樣的。所以理解是個體對外部或內部信息進行主動的再加工過程，是一種創造性的「勞動」。理解的標準是「准確」、「簡單」和「全面」。「准確」就是要抓住事物的本質；「簡單」就是深入淺出、言簡意賅；「全面」則是「既見樹木，又見森林」，不重不漏。對數學基礎知識的理解可以分為兩個層面：一是知識的形成過程和表述；二是知識的引申及其蘊涵的數學思想方法和數學思維方法。
記憶是個體對其經驗的識記、保持和再現，是信息的輸入、編碼、儲存和提取。藉助關鍵詞或提示語嘗試回憶的方法是一種比較有效的記憶方法，比如，看到「拋物線」三個字，你就會想到：拋物線的定義是什麼？標准方程是什麼？拋物線有幾個方面的性質？關於拋物線有哪些典型的數學問題？不妨先寫下所想到的內容，再去查找、對照，這樣印象就會更加深刻。另外，在數學學習中，要把記憶和推理緊密結合起來，比如在三角函數一章中，所有的公式都是以三角函數定義和加法定理為基礎的，如果能在記憶公式的同時，掌握推導公式的方法，就能有效地防止遺忘。
三、數學解題
學數學沒有捷徑可走，保證做題的數量和質量是學好數學的必由之路。保證數量就是①選准一本與教材同步的輔導書或練習冊。②做完一節的全部練習後，對照答案進行批改。千萬別做一道對一道的答案，因為這樣會造成思維中斷和對答案的依賴心理；先易後難，遇到不會的題一定要先跳過去，以平穩的速度過一遍所有題目，先徹底解決會做的題；不會的題過多時，千萬別急躁、泄氣，其實你認為困難的題，對其他人來講也是如此，只不過需要點時間和耐心；對於例題，有兩種處理方式：「先做後看」與「先看後測」。③選擇有思考價值的題，與同學、老師交流，並把心得記在自習本上。④每天保證1小時左右的練習時間。
保證質量就是①題不在多，而在於精，學會「解剖麻雀」。充分理解題意，注意對整個問題的轉譯，深化對題中某個條件的認識；看看與哪些數學基礎知識相聯系，有沒有出現一些新的功能或用途？再現思維活動經過，分析想法的產生及錯因的由來，要求用口語化的語言真實地敘述自己的做題經過和感想，想到什麼就寫什麼，以便挖掘出一般的數學思想方法和數學思維方法；一題多解，一題多變，多元歸一。②落實：不僅要落實思維過程，而且要落實解答過程。③復習：「溫故而知新」，把一些比較「經典」的題重做幾遍，把做錯的題當作一面「鏡子」進行自我反思，也是一種高效率的、針對性較強的學習方法。
四、數學思維
數學思維與哲學思想的融合是學好數學的高層次要求。比如，數學思維方法都不是單獨存在的，都有其對立面，並且兩者能夠在解決問題的過程中相互轉換、相互補充，如直覺與邏輯，發散與定向、宏觀與微觀、順向與逆向等等，如果我們能夠在一種方法受阻的情況下自覺地轉向與其對立的另一種方法，或許就會有「山重水復疑無路，柳暗花明又一村」的感覺。比如，在一些數列問題中，求通項公式和前n項和公式的方法，除了演繹推理外，還可用歸納推理。應該說，領悟數學思維中的哲學思想和在哲學思想的指導下進行數學思維，是提高學生數學素養、培養學生數學能力的重要方法。
只要我們重視運算能力的培養，扎扎實實地掌握數學基礎知識，學會聰明地做題，並且能夠站到哲學的高度去反思自己的數學思維活動，就一定能把數學學好。
『伍』 什麼才是數學好
在中國這種應試教育的大背景下，大家都可能認為考試成績好，就代表這個人有能力，其實這是非常錯誤的一個觀點，比如說數學，考得好，就不一定數學能力好，數學能力指的是一個人的邏輯思維能力，所以，數學學得好就是你的邏輯思維能力要好，而不是你數學考得好不好所能體現的，不好數學考好可以對你的數學學好有很大的幫助，因為考得都是基礎的，前人所知道的，你只有在前人的基礎上才有自己的創新，我的意思你懂了嘛？希望你的數學能夠真正的學好，不要太看重成績，但要重視成績。。。。希望採納
『陸』 與陶哲軒談談什麼是好數學
後來查了一下，原來文章就是數學家陶哲軒寫的，也真是大家所見略同了啊！下面我就對陶哲軒的好數學補充一下實例，而且盡量都選用與自己有關的例子，畢竟Strongart教授的很多數學思想正是屬於這樣的好數學啊！ 好的數學題解(比如在一個重要數學問題上的重大突破) 答：這一點我還沒有明確的結果，只不過偶爾能回答一些網友的問題。 好的數學技巧(比如對現有方法的精湛運用， 或發展新的工具) 答：這一點我也沒有明確結果，對技巧之類的並不在行。 好的數學理論(比如系統性地統一或推廣一系列現有結果的概念框架或符號選擇) 答：Strongart教授獨立提出Noether運算元與Artin運算元的概念，它與Fredholm一樣可以作為I-T緊運算元的推廣，假若你沒有學過標準的泛函分析理論，很可能以為這兩個概念在泛函分析中本來就有的呢！ 好的數學洞察(比如一個重要的概念簡化， 或對一個統一的原理、 啟示、 類比或主題的實現) 答：比如Fredholm運算元中閉值域的條件可以省略，這個盡管不是我先發現的，但我立刻就領會到它的意義，並且把它解釋為忽略了有限維空間的同構，引入到自己的泛函分析視頻當中。 好的數學發現(比如對一個出人意料、 引人入勝的新的數學現象、 關聯或反例的揭示) 答：大約十年前我找到一個很初等的反例，就是三維歐式空間中異面直線的距離不滿足度量空間的公理，這是因為度量空間是對點之間距離的抽象，並不是適合集合之間的距離。 好的數學應用(比如應用於物理、 工程、 計算機科學、 統計等領域的重要問題， 或將一個數學領域的結果應用於另一個數學領域) 答：對物理工程的應用我不太關心，但Strongart教授提出S-divisor，把代數幾何中的除子推廣了集合上，並且給出了模糊數學的解釋。 好的數學展示(比如對新近數學課題的詳盡而廣博的概覽， 或一個清晰而動機合理的論證) 答：我的數學視頻A Story of Limit就是典型，它小結了微積分中極限概念是如何一部部發展到范疇理論的。 好的數學教學(比如能讓他人更有效地學習及研究數學的講義或寫作風格， 或對數學教育的貢獻） 答：我的數學視頻完全符合此標准，在講解內射模時引入半單模，把外可裂與內可裂做比較；在講解譜理論時，特別定義的不完備情形的烏索普等等，這些都是非常個性也非常有啟發的內容。我的很多數學筆記都屬於此類，比如總結了交換環是怎麼推廣到非交換環的，單復變函數是怎麼推廣到多復變函數的，整理了極分解定理在泛函分析運算元代數與李群代數群理論中的表現等等。Strongart教授能夠像講故事一樣講代數與泛函之類的研究生水準的數學，在數學教育方面的貢獻是無可匹及的！
好的數學遠見(比如富有成效的長遠計劃或猜想) 答：Strongart提出了流體數學的思想，可能就符合這個標准。 好的數學品味(比如自身有趣且對重要課題、 主題或問題有影響的研究目標) 答：我更加關注高貴的代數學，認為代數就是哲學與組合相結合的結果。 好的數學公關(比如向非數學家或另一個領域的數學家有效地展示數學成就)； 答：我講解纖維叢的視頻Visible Fibre Bundle就是一個典型例子。 好的元數學(比如數學基礎、 哲學、 歷史、 學識或實踐方面的進展) 答：Strongart既是數學家，又是哲學家，在這方面自然是卓有成就，提出了模型數學的概念，方法論上MLMA步驟，還有對數學公理化思想的揭示，乃至於最後把數學的本質解釋為德里達的differance等等。 嚴密的數學(所有細節都正確、 細致而完整地給出) 答：這個不是我擅長的。 美麗的數學(比如Ramanujan 的令人驚奇的恆等式； 陳述簡單漂亮， 證明卻很困難的結果) 答：美麗未必一定要證明困難，像Euler公式e^(iπ）+1=0就是美麗而簡單的，Strongart教授關於S-divisor也有一個美麗的公式：div �6�1={θ}. 優美的數學(比如Paul Erdos 的「來自天書的證明」 觀念； 通過最少的努力得到困難的結果) 答：在教學介紹了e-ab與e-ba可逆性等價的證明就非常優美，當然這不是我第一個發現的。 創造性的數學(比如本質上新穎的原創技巧、 觀點或各類結果) 答：我有各種不同的小創造，散見與文章與視頻之中，這個與上面幾條似乎有所重復。 有用的數學(比如會在某個領域的未來工作中被反復用到的引理或方法) 答：我曾經把泛函分析中Hahn-Banach定理與抽象代數中Baer判據做了比較，抽象出一個關於擴張問題的引理，只可惜後來發現類似的引理已經被提出過了。 強有力的數學(比如與一個已知反例相匹配的敏銳的結果， 或從一個看起來很弱的假設推出一個強得出乎意料的結論) 答：直線可以表為第一綱集與零測集的並，這個並不是我發現的，但我第一眼就看中了它，並且演繹出了一段直線上的童話故事。 深刻的數學(比如一個明顯非平凡的結果， 比如理解一個無法用更初等的方法接近的微妙現象) 答：比如可數維Banach空間的不存在性，它本質上要涉及到綱推理，這是我以前做過的一道習題，後來引入到自己的泛函分析視頻里。 直觀的數學(比如一個自然的、 容易形象化的論證) 答：這個我還沒有自己的結果，只是自己講課一般都不看講稿，因此就只能去尋找或者製作最簡單最容易記住的證明方式。 明確的數學(比如對某一類型的所有客體的分類， 對一個數學課題的結論) 答：我整理過球面上切叢的可平凡化問題，盡管這個不是我發現的，但可以對明確數學也有所意識。 以前就是數學家陶哲軒提出的種種好數學，這里我再補充一個好數學，那就是能夠已經被寫入或者可能被寫入教科書里的數學，而且還不能是那種生硬的引用，要能夠與教科書中原有的內容無縫銜接，就像從基礎知識中自然流淌出來一般。遺憾的是，國內很多數學系就是急功近利盲目趕時髦，結果只能是從論文中來，到論文中去，永遠不能被書本乃至於數學史所接納，那些靠時間堆積出來的東西，終究是會被時間給淹沒掉的！
『柒』 Fields 獎得主：什麼是好數學
國際上最著名的、最有影響的數學獎是菲爾茲獎和沃爾夫獎，各國還另外設有自己的獎項。下面是這些獎項的設立以及獲獎情況、獲獎條件等等。 【菲爾茲獎】 菲爾茲獎是由已故加拿大數學家菲爾茲提議設立的，得獎者須在該年元旦前未滿四十歲。一9二四年他在多倫多市召開的國際數學家大會上，倡議將學術會議剩餘經費作為基金，並自己捐贈了部分資金。這個倡議得到了與會的各國數學家的一致擁護。一9三二年菲爾茲不幸病故，但是同年在蘇黎世召開的國際數學家大會通過了菲爾茲獎的成立並決定從一9三陸年起開始評定，在每屆國際數學家大會上頒發，菲爾茲獎的獎品為獎金一500美元和一枚金質獎章。 【沃爾夫獎】 沃爾夫獎也是國際數學界的一個大獎。不過，與菲爾茲獎不同的是，它是在一9漆陸年一月一日，由沃爾夫及其家族捐獻而成立的。沃爾夫出生於德國，在第一次世界大戰前移民古巴，他用了將近二0年的時間成功地發現了如何從熔爐廢渣中回收鐵，從而致富。沃爾夫家族總共捐款一千萬美金，宗旨是希望「促進科學和藝術的發展以造福人類」。沃爾夫獎每年頒發一次，獎給在化學、農業、醫學、物理、數學和藝術領域的傑出成就者，每個領域獎金一0萬，可由幾個人聯合獲得，它沒有年齡的限制，而且獲獎者都是世界上作出卓越貢獻的科學家.這些科學家的巨大聲譽使得該獎廣為人知，也可以說沃爾夫獎就是數學界的「諾貝爾獎」。 除了這兩個國際性的大獎外，世界各國都設有了自己的數學獎。 比如，在美國，美國數學會設立了兩個獎：一個是伯克霍夫應用數學獎，它是由一9陸漆年由美國數學會和工業及應用數學會共同發起設立的；另一個是維納應用數學獎，是一9陸漆年為了向N·維納教授表示敬意而設立，獎金由美國麻省理工學院的數學系捐贈，總數為二000美元。 在加拿大設立的皇家學會托里獎章，創立於一9四三年，目的是表彰在物理、化學、數學、天文學或有關學科中某個分支作出傑出研究成果的人，不限國籍. 法國設有科學院紀念一9四0年—一9四5年被德國人殺害的法國學者基金獎、法國科學院孔泰獎、法國科學院彭賽列獎等。 義大利有費爾特里內里基金會安托尼奧·費爾特里內里獎等。 比利時有知識青年聯盟恩佩科學獎。 奧地利有紅衣主教因尼策爾基金獎等。 以色列有魏茨曼科學研究院利迪紀念獎等。 中國有陳省身數學獎、鍾家慶數學獎等。 *其他數學獎 【阿貝爾獎】 為了紀念挪威著名數學家阿貝爾誕辰二00周年，挪威政府於二00三年設立了一項數學獎——阿貝爾獎。這項每年頒發一次的獎項的獎金高達吧0萬美元，相當於諾貝爾獎的獎金，是世界上獎金最高的數學獎。 【華羅庚數學獎】 一99二年一一月四日，中國首屆「華羅庚數學獎」在北京頒獎。為了紀念世界著名數學家華羅庚對中國數學事業的傑出貢獻，促進中國數學的發展，由湖南教育出版社捐資，與中國數學會共同主辦的「華羅庚數學獎」，以獎勵和鼓勵對中國數學事業的發展作出突出貢獻的中國數學家，每兩年評獎一次。 遵照華羅庚數學獎獎勵條例，該獎主要獎勵長期以來對發展中國的數學事業作出傑出貢獻的中國數學家。獲獎人年齡在50歲至漆0歲之間。獲得這一獎勵的數學家都具備較高的學術水平，引起了國內外數學界的矚目，對促進中國數學研究起到了積極作用。 【陳省身數學獎】 華裔美籍數學家、中國科學院外籍院士陳省身教授是一位國際數學大師，他對發展數學做出了卓越貢獻。陳省身先生非常關心祖國數學事業的發展，幾十年來為發展中國的數學事業、培養數學人才等方面做了大量工作。為了肯定陳省身教授的功績，激勵中國中青年數學工作者對發展中國的數學事業做出貢獻，中國數學會常務理事會決定設立「陳省身數學獎」。獎勵范圍為在數學領域做出突出成果的中國中青年數學家。 參考資料： 數學獎_網路 中國ke.中國/link?url=二vi四5XPXsez5吧gcd陸PW陸WNHtOAxVuXJ三nAqmrnjY吧MaztLXTSLaQ吧5odfBuQWBCjTqXnlnNpsswztGSM吧uj漆E
『捌』 學好數學的方法是什麼
學數學要在理解的基礎上去做題，學會數學關鍵在於個人的悟性，除了上課認真聽講、課後做匹配練習外，還需要練就獨立解題能力與總結反思能力，學會以不變應萬變。
學數學最重要的就是解題能力。要想會做數學題目，就要有大量的練習積累，知道各類型題目的解題步驟與方法，題目做多了就有手感了，再拿出類似的題目才會有解題思路。
其次是學會預習。解題思路不是直接就有的，也並非通過做幾道簡單的題目就能輕易獲得，而是在預習過程中不斷積累出來的。因此，預習在數學學習過程中起到了非常重要的作用。預習一方面能夠讓大家提前對數學知識有所了解，另一方面能夠培養數學獨立學習能力。
學數學必須多做題。理解了數學基本定義和知識點以後，就需要通過做對應習題去鞏固知識，多做多練才能更好地掌握所學知識，學數學也是看花容易綉花難的，只有真正動手去做題、經歷了實操過程能學會。
做完題要學會總結。對於做過的題型及做錯的題目要善於進行分類總結，再遇到類似的題目要會分析，知道哪裡容易出現問題，然後盡量去避免。同時在做題和總結過程中，要學會舉一反三，抓住考點去復習。
學數學要會看書和查缺補漏。數學基礎考點都來源於課本，大家之所以覺得書沒什麼可看，是因為對教材掌握程度不夠。書上的每個定義都要理解後倒背如流，深究每個詞語的含義，做懂每個例題，會推導數學公式及變形公式。
做數學題目方法不唯一，只要是邏輯合理、能一步步推導出結論的方法都可以，不必拘泥於老師講授的方法。做數學小題也可以採用畫圖、試值法、代入法等去做，只要沉下心去研究，功夫不負有心人，數學總能夠學好。
『玖』 什麼是好數學
1. 數學品質的諸多方面 我們都認為數學家應該努力創造好數學。 但 「好數學」 該如何定義？ 甚至是否該斗膽試圖加以定義呢？ 讓我們先考慮前一個問題。 我們幾乎立刻能夠意識到有許多不同種類的數學都可以被稱為是 「好」 的。 比方說， 「好數學」 可以指 (不分先後順序)： 好的數學題解 (比如在一個重要數學問題上的重大突破)； 好的數學技巧 (比如對現有方法的精湛運用， 或發展新的工具)； 好的數學理論 (比如系統性地統一或推廣一系列現有結果的概念框架或符號選擇)； 好的數學洞察 (比如一個重要的概念簡化， 或對一個統一的原理、 啟示、 類比或主題的實現)； 好的數學發現 (比如對一個出人意料、 引人入勝的新的數學現象、 關聯或反例的揭示)； 好的數學應用 (比如應用於物理、 工程、 計算機科學、 統計等領域的重要問題， 或將一個數學領域的結果應用於另一個數學領域)； 好的數學展示 (比如對新近數學課題的詳盡而廣博的概覽， 或一個清晰而動機合理的論證)； 好的數學教學 (比如能讓他人更有效地學習及研究數學的講義或寫作風格， 或對數學教育的貢獻)； 好的數學遠見 (比如富有成效的長遠計劃或猜想)； 好的數學品味 (比如自身有趣且對重要課題、 主題或問題有影響的研究目標)； 好的數學公關 (比如向非數學家或另一個領域的數學家有效地展示數學成就)； 好的元數學 (比如數學基礎、 哲學、 歷史、 學識或實踐方面的進展)； [譯者註： 此處 「元數學」 譯自 「meta-mathematics」， 不過這里所舉的有些內容， 如歷史、 實踐等， 通常並不屬於元數學的范疇。] 嚴密的數學 (所有細節都正確、 細致而完整地給出)； 美麗的數學 (比如 Ramanujan 的令人驚奇的恆等式； 陳述簡單漂亮， 證明卻很困難的結果)； 優美的數學 (比如 Paul Erdős 的 「來自天書的證明」 觀念； 通過最少的努力得到困難的結果)； [譯者註： 「來自天書的證明」 譯自 「proofs from the Book」。 Paul Erdős 喜歡將最優美的數學證明說成是來自 「The Book」 (我將之譯為 「天書」)， 他有這樣一句名言： 你不一定要相信上帝， 但應該相信 「The Book」。 Erdős 去世後的第三年， 即 1998 年， Martin Aigner 和 Günter M. Ziegler 以《來自天書的證明》為書名出版了一本書， 收錄了幾十個優美的數學證明， 以紀念 Erdős。] 創造性的數學 (比如本質上新穎的原創技巧、 觀點或各類結果)； 有用的數學 (比如會在某個領域的未來工作中被反復用到的引理或方法)； 強有力的數學 (比如與一個已知反例相匹配的敏銳的結果， 或從一個看起來很弱的假設推出一個強得出乎意料的結論)； 深刻的數學 (比如一個明顯非平凡的結果， 比如理解一個無法用更初等的方法接近的微妙現象)； 直觀的數學 (比如一個自然的、 容易形象化的論證)； 明確的數學 (比如對某一類型的所有客體的分類； 對一個數學課題的結論)； 其它[注一]。 如上所述， 數學品質這一概念是一個高維的 (high-dimensional) 概念， 並且不存在顯而易見的標准排序[注二]。 我相信這是由於數學本身就是復雜和高維的， 並且會以一種自我調整及難以預料的方式而演化； 上述每種品質都代表了我們作為一個群體增進對數學的理解及運用的不同方式。 至於上述品質的相對重要性或權重， 看來並無普遍的共識。 這部分地是由於技術上的考慮： 一個特定時期的某個數學領域的發展也許更易於接納一種特殊的方法； 部分地也是由於文化上的考慮： 任何一個特定的數學領域或學派都傾向於吸引具有相似思維、 喜愛相似方法的數學家。 它同時也反映了數學能力的多樣性： 不同的數學家往往擅長不同的風格， 因而適應不同類型的數學挑戰。 我相信 「好數學」 的這種多樣性和差異性對於整個數學來說是非常健康的， 因為它允許我們在追求更多的數學進展及更好的理解數學這一共同目標上採取許多不同的方法， 並開發許多不同的數學天賦。 雖然上述每種品質都被普遍接受為是數學所需要的品質， 但犧牲其它所有品質為代價來單獨追求其中一兩種卻有可能變成對一個領域的危害。 考慮下列假想的 (有點誇張的) 情形： 一個領域變得越來越華麗怪異， 在其中各種單獨的結果為推廣而推廣， 為精緻而精緻， 而整個領域卻在毫無明確目標和前進感地隨意漂流。 一個領域變得被令人驚駭的猜想所充斥， 卻毫無希望在其中任何一個猜想上取得嚴格進展。 一個領域變得主要通過特殊方法來解決一群互不關聯的問題， 卻沒有統一的主題、 聯系或目的。 一個領域變得過於枯燥和理論化， 不斷用技術上越來越形式化的框架來重鑄和統一以前的結果， 後果卻是不產生任何令人激動的新突破。 一個領域崇尚經典結果， 不斷給出這些結果的更短、 更簡單及更優美的證明， 但卻不產生任何經典著作以外的真正原創的新結果。 在上述每種情形下， 有關領域會在短期內出現大量的工作和進展， 但從長遠看卻有邊緣化和無法吸引更年輕的數學家的危險。 幸運的是， 當一個領域不斷接受挑戰， 並因其與其它數學領域 (或相關學科) 的關聯而獲得新生， 或受到並尊重多種 「好數學」 的文化熏陶時， 它不太可能會以這種方式而衰落。 這些自我糾錯機制有助於使數學保持平衡、 統一、 多產和活躍。 現在讓我們轉而考慮前面提出的另一個問題， 即我們到底該不該試圖對 「好數學」 下定義。 下定義有讓我們變得傲慢自大的危險， 特別是， 我們有可能因為一個真正數學進展的奇異個例不滿足主流定義[注三]而忽視它。 另一方面， 相反的觀點 - 即在任何數學研究領域中所有方法都同樣適用並該得到同樣資源[注四]， 或所有數學貢獻都同樣重要 - 也是有風險的。 那樣的觀點就其理想主義而言也許是令人欽佩的， 但它侵蝕了數學的方向感和目的感， 並且還可能導致數學資源的不合理分配[注五]。 真實的情形處於兩者之間， 對於每個數學領域， 現存的結果、 傳統、 直覺和經驗 (或它們的缺失) 預示著哪種方法可能會富有成效， 從而應當得到大多數的資源； 那種方法更具試探性， 從而或許只要少數有獨立頭腦的數學家去進行探究以避免遺漏。 比方說， 在已經發展成熟的領域， 比較合理的做法也許是追求系統方案， 以嚴格的方式發展普遍理論， 穩妥地延用卓有成效的方法及業已確立的直覺； 而在較新的、 不太穩定的領域， 更應該強調的也許是提出和解決猜想， 嘗試不同的方法， 以及在一定程度上依賴不嚴格的啟示和類比。 因此， 從策略上講比較合理的做法是， 在每個領域內就數學進展中什麼品質最應該受到鼓勵做一個起碼是部分的 (但與時俱進的) 調查， 以便在該領域的每個發展階段都能最有效地發展和推進該領域。 比方說， 某個領域也許急需解決一些緊迫的問題； 另一個領域也許在翹首以待一個可以理順大量已有成果的理論框架， 或一個宏大的方案或一系列猜想來激發新的結果； 其它領域則也許會從對關鍵定理的新的、 更簡單及更概念化的證明中獲益匪淺； 而更多的領域也許需要更大的公開性， 以及關於其課題的透徹介紹， 以吸引更多的興趣和參與。 因此， 對什麼是好數學的確定會並且也應當高度依賴一個領域自身的狀況。 這種確定還應當不斷地更新與爭論， 無論是在領域內還是從通過旁觀者。 如前所述， 有關一個領域應當如何發展的調查， 若不及時檢驗和更正， 很有可能會導致該領域內的不平衡。 上面的討論似乎表明評價數學品質雖然重要， 卻是一件復雜得毫無希望的事情， 特別是由於許多好的數學成就在上述某些品質上或許得分很高， 在其它品質上卻不然； 同時， 這些品質中有許多是主觀而難以精確度量的 (除非是事後諸葛)。 然而， 一個令人矚目的現象是[注六]： 上述一種意義上的好數學往往傾向於引致許多其它意義上的好數學， 由此產生了一個試探性的猜測， 即有關高品質數學的普遍觀念也許畢竟還是存在的， 上述所有特定衡量標准都代表了發現新數學的不同途徑， 或一個數學故事發展過程中的不同階段或方面。