如何培養學生數學思維

1. 怎樣培養學生的數學思維能力

教育家贊可夫指出："在各科教學中要始終注意發展學生的邏輯思維，培養學生思維的靈活性和創造性。"在數學教學過程中，教師要特別重視和發展學生的好奇心，讓每一個學生養成想問題、問問題、挖問題和延伸問題的習慣，讓所有的學生都知道自己有權力和能力提出新見解、發現新問題。這一點對學生的發展很重要，它有利於學生克服迷信和盲從，樹立起科學的思想和方法，有利於學生形成良好的學習品質。

一、善於運用啟發法和發現法，啟發學生思維的積極性

如教學義務教育十一冊教材中"圓的認識"一課時，教師首先要學生拿出一張圓形紙片，讓他們將圓紙片對折打開，再對折再打開，如此多次，讓學生觀察，說出在圓紙片上看到了什麼。學生精力陡然集中，都想看看圓紙片上有什麼。一生發現：圓紙片上有摺痕。另一生又發現：圓紙片上有無數條摺痕。老師表揚兩生觀察仔細。其它學生倍愛鼓舞，紛紛發言：圓面上所有摺痕相交於一點，摺痕兩旁的圖形完全重合。這時老師讓學生打開課本，看一看交點叫什麼，摺痕叫什麼。學生很快找到了答案並熟記。要學習在同一圓中直徑和半徑的關系了，老師讓學生拿出尺子量一量自己手中的圓紙片和同學手中的圓紙片的直徑和半徑，啟發學生：又發現了什麼?學生很快得出結論。要畫圓了，老師還是不講畫法，讓學生先去畫，滿足他們操作圓規的好奇心，讓學生自己去發現畫圓的方法和步驟。整節課，學生的思維都處於興奮狀態之中，人人有動手操作、用眼觀察、動口說理、動腦思維的機會，學生自己觀察發現問題，積極探索、得出結論，教學效果好。

二、精心設計教學內容，培養學生的求異思維

對於小學生來說，既要注意培養他們不盲從、喜歡質疑、打破框框、大膽發表自己意見的品質，又要培養他們敢於求"異"，發展他們的求異思維，進而養成獨立思考、獨立解決問題的習慣。如：一位教師在教學"乘法意義的運用"一課時，她出示了這樣一道加法題：9+9+9+5+9=?讓學生用簡便方法計算。於是一個學生提出了9×4+5的方法，而另一個學生則提出了"新方案"，建議用9×5-4的方法解。這個學生的思維很有創見，這個方案是他自己發現的。在他的思維活動中，他"看見了"一個實際並不存在的9，他假設在5的位置上是一個9，那麼就可以把題目先假設為9×5。接著他的思維又參與了論證：9-4才是原題中實際存在的5。對於這種創造性思維的閃現，教師要加倍珍惜和愛護。

三、利用一題多解，培養學生的"立體思維"模式

如：義務教育十二冊教材中的這樣一道應用題："一艘輪船所帶的柴油最多可以用6小時。駛出時順風，每小時行30千米。駛回時逆風，每小時行駛的路程是順風時的。這艘輪船最多駛出多遠就應往回駛了?"老師要求學生用幾種方法解答，並說出解題思路。

解這個算式，得這艘輪船最多駛出80千米就應往回駛了。"這個同學利用的是類比思維方式，他是從要解決的問題出發，聯想與它類似的一個熟悉的問題即工程問題。用熟悉的問題的解法來思考解答所要解決的問題，這種創造思維的火花感染了全班的每一位同學。

在數學教學中，教師要特別注意培養學生根據題中具體條件自覺、靈活地運用數學方法，通過變換角度思考問題，就可以發現新方法，制定新策略。長期堅持這樣的訓練，學生一定能產生濃厚的學習數學、運用數學的興趣。讓我們給學生一片廣闊的天地，給他們一個自主的空間，讓他們樂學、會學、善學，讓他們的數學思維能力在課堂學習中得到充分的發展。

2. 如何培養學生的數學思維

培養學生數學思維就是數學教師在數學教學活動過程中，引導學生根據數學素材進行具體化的數學構思，進行數學運算，形成數學感知，也就是我們常說的「數感」，是一種動態的數學思維活動。

應試教育背景下，教師教學中往往為了講課而講課，忽略了學生思維的過程，直接將抽象的概念和公式拿出來講，讓學生感覺數學成了空中樓閣，「看不見」也「摸不到」，並認為數學是根本沒用的知識。久而久之數學課堂變得枯燥無味，學生失去學習興趣，教師變成了教室里的「主播」。

3. 如何培養學生的數學思維能力

小學的應用題是培養學生思維能力的主要途徑，講好應用題、讓學生喜歡應用題，就會收到很好的效果。在講解中，嚴密的邏輯推理，舉一反三的思維擴散，都會使學生思維發生變化。給學生選擇好練習題、特別是和他們的生活學習息息相關的數學問題，都會引起他們思維的注意，引起他們學習數學的興趣，對他們的思維能力培養有非常好的作用。

4. 怎樣培養學生數學思維

要根據教學目標、學生的需要以及當地客觀條件，積極地和有創造性地探索有效的教學方法；不斷對自己的教學行為進行反思，努力使自己成為具有創新精神的研究型教師。只有在吃透課標、深鑽教材、研究學生的前提下，才能做到精心備課，在教學中胸有成竹和有的放矢。

5. 如何培養學生數學思維能力

多做題目，讓學生的思維更活躍，進而讓學生用文字敘述想到這道題解法的思路，這樣便於啟發下次做題的思維。最後思考是否還有其他解法。如果做到這些，並且堅持不懈的話，就能夠形成數學思維。更好的選擇是，找到合適的題目，模型題、幾何題、應用題都很好的。

6. 淺談如何培養自己的數學思維

作為一名教師，在教學過程中，要注重創設情境，培養學生創新思維能力；要注重「變式」教學培養學生發散思維能力；要注重數形結合培養學生直覺思維能力；要注重回顧反思提高學生思維能力。
思維能力是各種能力的核心，開發並提高學生的智力主要應著眼於培養和鍛煉學生的思維能力。思維是由人們的認識需要引起的，沒有認識需要就不會引起思維。在日常教學中，要改變那種傳統的教學模式，改變那種重知識量的堆塞為重思維能力的培養。為此，在教學中，教師應在熟練掌握課標與教材的基礎上，設計各種方案，採取各種措施，千方百計促使學生以積極的態度去主動學習，主動思考，主動探索。下面根據自己多年的教學工作實踐，談談幾點具體做法。
一、通過創設教學情境培養學生創新思維能力
大家都知道故事是學生最喜愛的文學形式，通過講故事引入教學能激發學生強烈的求知慾望。比如：我在講授等比數列求和公式時，首先講一個數學故事：國際象棋起源於古代印度，關於國際象棋有這樣一個傳說：國王要獎賞國際象棋的發明者，問他有什麼要求，發明者說：「請在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子，第二個格子上放2粒麥子，第三個格子上放4粒麥子，第四個格子上放8粒麥子，依次類推，即每一個格子中放的麥粒都必須是前一個格子麥粒數目的2倍，直到第64個格子，請給我足夠的糧食來實現上述要求。」你認為國王有能力滿足發明者上述要求嗎？學生深深被故事吸引，熱情高漲，有人說能，有人說不能。這時教師引導學生：誰能把麥子總數表示出來。學生們很快得出S=1+2+22+23+…+…①，這是一個等比數列的求和問題，如何求這個和呢？學生們很迫切想知道問題的答案，積極思考，很快就找出辦法，將①的兩邊都乘以2得到2S=2+22+23+…+…②。將②-①得S=-1，利用計算器，學生們很快得到了想要的答案，嘗到了成功的喜悅。我趁熱打鐵，和學生一起探索一般等比數列的求和方法――錯位相減法。
二、通「變式」教學培養學生發散思維能力
「變式」教學，可以培養學生的發散思維，能使學生沿不同角度、不同側面去思考，沿多方面去尋求答案的展開性的思維方式。在教學中，我採用「變式」教學，運用「一題多變、一圖多變、一問多解、一法多用」等手法，讓學生從不同角度運用不同方法去求解，開拓引伸，從而培養學生的發生思維能力。例如課本中的一道幾何題：「已知AD是ΔABC的中線，E是AD的中點，F是BE的延長線與AC的交點，求證AF=FC」。在分析與論證本題以後，不失時機地引導學生對原題的條件與結論作了以下變換：（1）將E是中線AD的中點，改為E是中線AD上的一點，且AE=■DE，那麼AF與FC間的關系如何？（AF=■FC）（2）將BC邊的中點D改為D是ΔABC的BC邊上的點，且BD=■DC，E是AD的中點，那麼AF與FC間的關系如何？（AF=■FC）（3）再改為：D是ΔABC的BC邊上的點，且BD=■DC，E是AD上的點，且AE=■DE，那麼AF與FC間的關系如何？（AF=■FC）這樣步步變化深入，既發展了學生的探究思維能力，又綜合性地復習與鞏固了已學的有關知識，取得了很好的教學效果。
三、通過數形結合培養學生直覺思維能力
關於數與形和思維的關系，華羅庚曾有過很精闢的論述：「數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事休。」這句話指出了直覺在數形結合中的重要作用，也讓我們初步認識數形結合的思想方法在數學思維中的地位。在高中數學教學中，不失時機地滲透數形結合思想可以培養學生多種直覺思維能力。
例：求f（x）=■-■的最值。
分析：根據根號下表達式的特徵，可聯想到距離公式。設P點的坐標為（x，0）；A點的坐標為（0，4），B點的坐標為（3，2）。於是問題變為在x軸上求一點P0，使其與A和B距離的差最大。由於三角形兩邊之差小於第三邊，因此當P0點為線段AB延長線與x軸的交點時，f（x）有最大值AB。通過計算可知AB=■=■。這個問題獲得解決是數形之間的有效溝通，把函數問題中帶根號的表達式與解析幾何中兩點的距離公式建立聯想。因此教學中要重視學生從數學知識中提煉本質的規律，建立數形有效溝通，使數學思維形成網狀結構，進而達到培養思維能力的目的。
四、通過回顧反思提高學生思維能力
波利亞在《怎樣解題》一書中把解題過程概括為「審題―探索―表達―回顧」四個環節，明確指出解題回顧是解題過程的最後一個環節，然而在實際教學過程中，大家只注重指導學生如何去讀題、審題如何去探索、尋找解題思路，卻常常忽略了解題回顧這個環節，發揮不了解題回顧活動應有的教育功能，這對培養學生創新精神和發展數學創造性思維無疑是一種損失。解題反思是重要的思維活動，它是思維活動的核心和動力，它能從多角度、多層次對解決問題進行全面分析思考，從而深化對問題的理解，有助於優化思維品質，提升數學思維能力。結合平時教學實踐，舉如下例子加以探索：「題目：過點B（1，1）能否作直線L，使它與雙曲線x2-■=1交於Q1，Q2兩點，且點B是線段Q1Q2的中點？如果存在，求出方程；如果不存在，說明理由。」
錯解：設L的方程為y-1=k（x-1），代入雙曲線方程，得（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0，設Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），則x1+x2=2，∴■=2，解得k=2。故所求直線方程L存在，直線方程為y=2x-1。
反思：此題解題過程中犯了兩個錯誤：其一，題設而不求，應注意到直線L應與雙曲線有兩個交點這一蘊含條件，易被忽視。其二，題中直接設直線L斜率為k也顯不妥，應事先說明直線L斜率一定存在。因此一定要考慮Δ>0的條件。
解：當直線L斜率不存在時，直線方程為x=1，顯然不合題意，故設L的方程為
y-1=k（x-1），同上求得k=2，l：y=2x+1，代入雙曲線方程得-2x2+4x-3=0，即2x2-4x+3=0。注意到這里Δ<0，故所求直線L不存在。
反思梳理，弄清哪些地方易犯錯誤，回憶自己解決問題的結果和過程，找出錯誤的根源，分析出原因，提出改進措施，明確正確解題的思路和方法，這是培養判斷性思維的重要途徑。
總之，培養學生的思維能力的方法是各種各樣的，要使學生思維能力活躍，在教學過程中應該精心設計，創設各種情境，根據學生已有的知識、經驗以及學生的思維特點，充分調動學生的學習積極性，積極培養學生的思維能力。

7. 如何培養小學生的數學思維能力

• 真實的，有趣的數學故事

具體到3－6歲孩子的數學啟蒙操作層面，首先是我們選取了20個主題，主要有兩類，一類是貼近兒童日常生活的，比如食物運動汽車等；另一類是兒童感興趣的好奇的神秘的，比如恐龍宇宙科學等。然後每個主題下創作了不同的數學故事，通過故事來了解真實的世界，用數學的眼光看世界。這些故事不僅僅包含數學知識，還包含了通識教育知識，比如在《可以吃的地球》這個故事中，通過製作蛋糕來了解地球的結構組成，將球體結構和地球的知識融合在了一起。在《世界上有多少只虎鯨》中，將神秘的虎鯨與對數量的認知結合在一起。所有的數學故事都來自於真實的世界，在不同的情境中使用數學。

• 進階的，開放式問題

而且在每個故事後面設計了六個開放式問題，分成三個難度等級，分別對應不同的年齡段，保證3-6歲的孩子都能參與進來。其中三個問題屬於數學層面，包含了數量、計算、幾何、推理方面的核心概念；三個問題屬於語言層面，從獲取信息，解釋概念，給出觀點三個層次鍛煉批判性思維，語言類的問題也是與數學相關的，兩者相輔相成，比如有個問題是：「內部「這個詞是什麼意思，任何物體都有內部嗎，為什麼。

• 系統的，游戲化課程

但光有骨架還不行，還要有相應的基礎知識和能力。所以我們接下來還會設計相應的課程，每個數學知識點是一課，對應於故事問題背後的核心概念。力求簡單有效，內容包括游戲素材，游戲玩法，精選習題，生活擴展。哪個問題沒有思路了，不會了，可以快速找到對應的這節課程，然後通過游戲的方式學習，爭取下次再遇到同類問題時能夠舉一反三。

8. 淺談如何培養學生的數學思維能力

一、牢固掌握數學基礎數學基礎知識是數學思維最基本的要素，中學數學教學大綱中要求掌握的基本概念、定義、性質、公式、定理等知識是進行推理、判斷、演算、解題的依據。只有牢固掌握數學基礎知識、學生才有可能做到思維條理分明、思路開闊，才能深刻理解數學知識和數學規律，為提高自身發現問題，解決問題的能力打下扎實的基礎。二、培養學生數學思維能力錢學森教授指出：「教育工作的最終機智在於人的思維過程」。可見，數學教學實質上就是學生在教師指導下，通過數學思維活動，認識問題，最終解決問題的過程。因此，在數學教學中應注意培養學生的數學思維能力。數學思維能力有三種表現形式，主要包括：邏輯推理能力，直覺思維能力，發散思維能力。（一）邏輯推理能力的培養數學中的邏輯推理能力是指正確地運用思維規律與形式對數學對象的屬性或數學問題進行綜合分析，推理證明的能力。它是學生必須具備的基本數學能力之一。教師在教學過程中應做到：首先，重視基本概念和基本原理的教學。數學知識並不是定義、法則。定理的堆砌，每章每節的內容既自成系統又對所學內容的分析和綜合，比較和對照抽象和概括，判斷和推理等過程中來，進一步提高他們的分析、判斷、推理等能力。其次，尋求正確思維方向的訓練。數學推理過程是一系列連串的過程組成的，因為前一個推理的結論可能是下一個推理的前提，並且推理的依據必須從眾多的分理、定理、條件、已知結論中提取出來的。因此，教師在教學過程中應首先引導學生熟練掌握推理基本技能，然後注意培養他們運用「整體——部分——再整體」的思維去思考問題，增強他們化復雜問題為簡單問題，化未知問題為已知問題的能力。（二）直覺思維能力的培養前蘇聯科學家凱德洛夫曾說過：「沒有任何一個創造性行為能離開直覺活動」。在教學中，教師應首先培養學生注意整體觀察。其次，教師應注重培養學生數形結合思維。數學是由大量數學、圖形、方法、模式等信息組成的，學生在解決問題時反復運用這些信息，會在頭腦中形成一個個知識模塊，一旦要解決問題時，便會聯想起這些知識模塊，直覺敏銳的進行識別、分析，形成對問題的綜合判斷，從而得出解題方法與思路。（三）發散思維能的培養現代教育的理學認為：創新思維有賴於發散思維。發散思維是不依常規、尋求變異，從多方面尋求問題答案的思維方式。在教學中，首先，教育學生當一種方法，一個方面不能解決問題時，應主動讓思維向另一方法、方面跨越，從不同方向去思考，對已知信息進行多方向、多角度的聯想；其次，應該適當給予學生獨立思考問題，自己提高問題的條件與機會；最後，適當進行「一題多變」、「一題多解」、「一法多用」的教學活動。進行「一題多變」，可以通過題目的引申，變化，揭示問題間的邏輯關系。進行「一題多解」，可以多角度地考慮這個問題，找出各方法間的關系與優劣。進行「一法多解」，能使學生理解各知識點之間的聯系，觸類旁通，使他們的思維上升一個新的高度，提高分析問題、解決問題的能力。三、培養學生養成反思性學習習慣現代教育理論認為：教育的實質就是引導學生學習，教師要使學生學習過程，讓學生不僅明確要學習什麼，而且明白應該怎樣去學習。因此，教師不僅要重視對教法的研究，而且還要加強對學生學法的指導，使學生認識到反思的重要意義，學會反思性教學學習。首先，在解題過程中貫穿反思。美國著名數學有波利亞認為：解題活動並非一個機械地執行事先確定好的程序的過程，而且一個需要對之進行不斷調整的過程，解題過程中的反思尤為重要。而在實際解題過程中，學生普遍想急於大量做題，都不善於對自己的思考過程進行反思，導致獲得的知識系統性弱、結構性差。因此，在教學過程中，教師要引導學生反思自己是如何發現問題和解決問題的，反思解題過程的成效得失及其原因，應該汲取的經驗教訓，從思給策略的高度對學習或解題過程進行總結，對問題進行推廣、深化，尋找出解決問題的最佳方案。其次，解題後促進學生反思。解題後的反思是指學生在階段性數學學習完成之後對自己的教學學習行為，解題思路、解題方法等的反思。通過解題後的反思，可以使學生鞏固自己所學知識，方法和發展自己的解題能力，解題後，教師應引導學生做到：1、，反思自己的解題思路；2，反思自己的解題方法；最後，反思原題目的條件，結論，看看條件是否可以變化？相應的解題方法有無變化？逆命題是否成立？等等，以培養他們嚴謹的思維，深刻理解數學知識和數學規律。近幾年數學的方向已經走上了考查綜合素質與能力的道路，這就要求教師應把提高學生數學解題能力作為數學工作的主要目標，要讓學生懂得數學學習既是知識與技能的學習，也是發現和創造的訓練，更是一種反思和更新的活動。教師應在課堂內外積極創造良好的教學環境，幫助學生牢固掌握數學基礎知識，培養學生數學思維能力，使學生養成反思性教學學習習慣，使學生自然從「學習什麼」到「怎樣學習」的過渡，不斷提高他們發現問題，解決問題的能力。

9. 如何培養學生數學思維

一、增強自信是解題的關鍵
在數學解題中,自信心是相當重要的。要相信自己,只要不超出自己的知識范疇,不管哪道題,總能用自己所學過的知識把它解出來。要敢於做題,善於做題。這就叫做在「在戰略上藐視敵人,在戰術上重視敵人」。具體解題時,一定要認真審題,緊緊抓住題目的所有條件不放,不要忽略任何一個條件。一道題和一類題之間有一定的共性,可以想想這一類題的一般思路和一般解法,更重要的是抓住這一道題的特殊性,抓住這一道題與這一類題不同的地方。數學題幾乎沒有相同的,總有一個或幾個條件不相同,因此思路和解題過程也不盡相同。
二、培養「方程」的思維能力
數學是研究事物的空間形式和數量關系的,最重要的數量關系是等量關系,其次是不等量關系。最常見的等量關系就是「方程」。比如等速運動中,路程、速度和時間三者之間就有一種等量關系,可以建立一個相關的等式:速度×時間=路程。在這樣的等式中,一般會有已知量,也有未知量,像這樣含有未知量的等式就是「方程」,而通過方程里的已知量求出未知量的過程就是解方程。我們在小學已經接觸過簡易方程,而在七年級則比較系統地學習解一元一次方程,並總結出解一元一次方程的五個步驟。如果學會並掌握了這五個步驟,任何一元一次方程都能順利地解出來。到了八年級、九年級還將學習解一元二次方程、二元二次方程組、分式方程,到了高中還將學習指數方程、對數方程、線性方程、參數方程、極坐標方程等。解這些方程的思想方法幾乎一致,都是通過一定的方法將它們轉化一元一次方程或是一元二次方程的形式,然後用大家熟悉的解一元一次方程的五個步驟或者解一元二次方程的求根公式加以解決。物理中的能量守恆,化學中的化學平衡式,現實中的大量實際運用,都需要建立方程,通過解方程求出結果。因此我們一定要將解一元一次方程和解一元二次方程教好,讓學生學好這部分內容,進而學好其他形式的方程。所謂「方程」思維就是對於數學問題,特別是現實當中碰到的未知量和已知量的錯綜復雜的關系,善於用「方程」的觀點構建有關的方程,進而用解方程的方法解決。
三、培養「對應」的思維能力
「對應」的思想由來已久,比如我們將一支鉛筆、一本書、一棟房子對應一個抽象的數「1」,將兩隻眼睛、一對耳環、雙胞胎對應一個抽象的數「2」。隨著學習的深入,我們將對應擴展到對應一種關系、對應一種形式等。比如我們在計算或化簡中,在分解因式時,要用到平方差公式,公式左邊的a對應x+2,b對應y,再利用公式的右邊直接得出分解的結果(x+2+y)(x+2-y)。這就是運用「對應」的思想和方法解題。在中學數學中我們將看到數軸上的點與實數之間的一一對應,直角坐標平面上的點與一對有序實數之間的一一對應,函數與其圖像之間的對應。「對應」思想在今後的學習中將會發揮越來越大的作用。
四、培養數學「轉化」思維能力
解數學題最根本的途徑是「化難為易,化繁為簡,化未知為已知」,也就是把復雜繁難的數學問題通過一定的數學思維、方法和手段,逐漸將它轉變為一個大家熟知的簡單的數學形式,然後通過大家所熟悉的數學運算把它解決。比如,我校要擴大校園面積,需要向鎮上征地。鎮上給了一塊形狀不規則的地,如何丈量的它的面積呢?首先使用小平板儀(有條件的話,可使用水準儀或經緯儀)依據一定的比例,將實際地形繪製成紙上圖形,然後將紙上圖形分割成若干塊梯形、長方形、三角形,利用學過的面積計算方法,計算出這些圖形的面積之和,也就得到了這塊不規則地形的總面積。在這里,我們把無法計算的不規則圖形轉化成了可以計算的規則圖形面積的和或差,從而解決了土地丈量問題。另外,我們前面提到的各種多元方程、高次方程,利用「消元」、「降次」等方法,最終都可以把它們轉化為一元一次方程或一元二次方程,然後用已知的步驟或公式解決。
五、培養「數形結合」的能力
「數」與「形」無處不在。任何事物,剝去它的質的方面,只剩下形狀和大小兩個屬性,就可以交給數學去研究了。初中數學兩個分支——代數和幾何,代數是研究「數」的,幾何是研究「形」的。但是研究代數要藉助「形」,研究幾何要藉助「數」,「數形結合」是一種趨勢,越學下去,「數」與「形」越密不可分。到了高中就出現了專門用代數方法研究幾何問題的一門課,叫做「解析幾何」。在建立平面直角坐標系後,研究函數的問題就離不開圖像了。往往藉助圖像能使問題明朗化,比較容易找到問題的關鍵所在,從而解決問題。在數學學習中,要重視「數形結合」的思維訓練,任何一道題,只要與「形」沾上了一點邊,就應該根據題意畫出草圖分析一番。這樣做,不但直觀,而且全面,整體性強,容易找出切入點,對解題大有益處。嘗到甜頭的人就會慢慢養成「數形結合」的好習慣。