為什麼要用線性系統數學模型

1. 線性系統和非線性系統的區別是什麼

線性系統：狀態變數和輸出變數對於所有可能的輸入變數和初始狀態都滿足疊加原理的系統.一個由線性元部件所組成的系統必是線性系統.但是,相反的命題在某些情況下可能不成立.線性系統的狀態變數(或輸出變數)與輸入變數間的因果關系可用一組線性微分方程或差分方程來描述,這種方程稱為系統的數學模型.
非線性系統：一個系統,如果其輸出不與其輸入成正比,則它是非線性的.從數學上看,非線性系統的特徵是疊加原理不再成立.疊加原理是指描述系統的方程的兩個解之和仍為其解.疊加原理可以通過兩種方式失效.其一,方程本身是非線性的.其二,方程本身雖然是線性的,但邊界是未知的或運動的.

2. 自動控制問題。什麼是線性系統

線性系統是一數學模型，指用線性運運算元組成的系統。相較於非線性系統，線性系統的特性比較簡單。線性系統需滿足線性的特性，若線性系統還滿足非時變性（即系統的輸入信號若延遲τ秒，那麼得到的輸出除了這τ秒延時以外是完全相同的），則稱為線性時不變系統。

對於線性系統，通常還可進一步分為線性時不變系統和線性時變系統。

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1、線性系統指同時滿足疊加性與均勻性（又稱為其次性）的系統。所謂疊加性為當幾個輸入信號共同作用於系統時，總的輸出等於每個輸入單獨作用時產生的輸出之和；均勻性是指當輸入信號增大若干倍時，輸出也相應增大同樣的倍數。

時變系統(time-varying system)其中一或一個以上的參數值隨時間而變化，從而整個特性也隨時間而變化的系統。時變系統的特點是，其輸出響應的波形不僅同輸入波形有關，而且也同輸入信號加入的時刻有關。

線性時變系統即同時滿足線性系統和時變系統特徵的系統，它滿足系統疊加性與均勻性的特點，同時，當系統中某個參數值隨時間而變化時，整個特性也隨時間而變化。

2、線性時不變系統也稱為線性定常系統或線性常系數系數，其特點是，描述系統動態過程的線性微分方程或差分方程中，每個系數都不隨時間變化的常數。從實際的觀點而言，線性時不變系統也是實際系統的一種理想化模型，實質上是對實際系統經過近似化和工程化處理後所導出的一類理想化系統。

3. 什麼是線性系統

①線性系統的穩定性和輸出特性只決定於系統本身的結構和參數。而非線性系統的穩定性和輸出動態過程，不僅與系統的結構和參數有關，而且還與系統的初始條件和輸入信號大小有關。例如，在幅值大的初始條件下系統的運動是收斂的（穩定的），而在幅值小的初始條件下系統的運動卻是發散的（不穩定的），或者情況相反。
②非線性系統的平衡運動狀態，除平衡點外還可能有周期解。周期解有穩定和不穩定兩類，前者觀察不到，後者是實際可觀察到的。因此在某些非線性系統中，即使沒有外部輸入作用也會產生有一定振幅和頻率的振盪,稱為自激振盪,相應的相軌線為極限環。改變系統的參數可以改變自激振盪的振幅和頻率。這個特性可應用於實際工程問題，以達到某種技術目的。例如，根據所測溫度來影響自激振盪的條件，使之振盪或消振，可以構成雙位式溫度調節器。③線性系統的輸入為正弦函數時，其輸出的穩態過程也是同頻率的正弦函數，兩者僅在相位和幅值上不同。但非線性系統的輸入為正弦函數時，其輸出則是包含有高次諧波的非正弦周期函數，即輸出會產生倍頻、分頻、頻率侵佔等現象。
④復雜的非線性系統在一定條件下還會產生突變、分岔、混沌等現象。

4. 線性規劃模型的優點和缺點有哪些

優點：有統一演算法，任何線性規劃問題都能求解，解決多變數最優決策的方法。

缺點：對於數據的准確性要求高，只能對線性的問題進行規劃約束，而且計算量大，有由線性規劃演變的非線性規劃法等等後續的方法彌補，但是計算量增加許多。

線性規劃是決策系統的靜態最優化數學規劃方法之一.它作為經營管理決策中的數學手段,在現代決策中的應用是非常廣泛的,它可以用來解決科學研究、工程設計、生產安排、軍事指揮、經濟規劃。

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1、每個模型都有若干個決策變數（x1，x2，x3……，xn），其中n為決策變數個數。決策變數的一組值表示一種方案，同時決策變數一般是非負的。

2、目標函數是決策變數的線性函數，根據具體問題可以是最大化（max）或最小化（min），二者統稱為最優化（opt）。

3、約束條件也是決策變數的線性函數。當得到的數學模型的目標函數為線性函數，約束條件為線性等式或不等式時稱此數學模型為線性規劃模型。

5. 線性系統理論在實踐中怎麼應用

很多實際系統（工程系統、生物系統、經濟系統、社會系統等）都可用線性系統模型近似地描述，而線性系統理論和方法又比較成熟，因此它的應用范圍十分廣泛。在航空、航天、化工、機械、電機等技術領域中，線性系統理論都有應用實例。在科學領域中，線性系統理論的研究不但為控制理論的其他分支提供了理論基礎，而且對數學研究也提出了一些有實際意義的新問題。

線性系統理論
20世紀50年代以後，隨著航天等技術的發展和控制理論應用范圍的擴大，經典線性控制理論的局限性日趨明顯,它既不能滿足實際需要,也不能解決理論本身提出的一些新問題。這種狀況推動線性系統的研究，在1960年以後從經典階段發展到現代階段。美國學者R.E.卡爾曼首先把狀態空間法應用於對多變數線性系統的研究，提出了能控性和能觀測性這兩個基本概念，並提出相應的判別准則。1963年他又和E.G.吉爾伯特一起得出揭示線性系統結構分解的重要結果，為現代線性系統理論的形成和發展作了開創性的工作。1965年以後，現代線性系統理論又有新發展。出現了線性系統幾何理論、線性系統代數理論和多變數頻域方法等研究多變數系統的新理論和新方法。隨著計算機技術的發展，以線性系統為對象的計算方法和計算機輔助設計問題也受到普遍重視。
主要特點 與經典線性控制理論相比，現代線性系統理論的主要特點是：
①研究對象一般是多變數線性系統，而經典理論主要以單輸入單輸出系統為研究對象。因此，現代線性系統理論具有大得多的適用范圍。
②除輸入變數和輸出變數外，還著重考慮描述系統內部狀態的狀態變數，而經典理論只考慮系統的外部性能（輸入與輸出的關系）。因此，現代線性系統理論所考慮的問題更為全面和更為深刻。
③在分析和綜合方法方面以時域方法為主，兼而採用頻域方法。而經典理論主要採用頻域方法。因此，現代線性系統理論能充分利用這兩種方法。而時域方法對動態描述要更為直觀。
④使用更多的數學工具，除經典理論中使用的拉普拉斯變換外，現代線性系統理論大量使用線性代數、矩陣理論和微分方程理論，對某些問題還使用泛函分析、群論、環論、范疇論和復變函數論等較高深的數學工具。因此，現代線性系統理論能探討更一般更復雜的問題。
數學模型 在線性系統理論中，輸入變數、狀態變數和輸出變數三者之間的數學關系被看作是線性的。系統數學模型具有標准形式。對於連續情況，線性系統由下列方程組描述：

第一個方程稱為狀態方程，用以描述狀態向量x＝(x1，x2,…,xn)T 與輸入向量u＝(u1,…,ur)T間的動態關系；第二個方程稱為輸出方程或量測方程,描述輸出向量y＝(y1，y2…,ym)T與狀態向量和輸入向量之間的線性組合關系。這里T表示矩陣轉置。A，B，C和D都是常系數矩陣。x的維數（即系統的狀態變數的個數）n稱為系統的維數。
對於離散情況，線性系統的模型具有差分方程形式：
x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)
y(k)＝Cx(k)＋Du(k)(k＝0,1,2,…)
為簡便起見,常可把線性系統簡記為(A，B，C，D)。其中Du或Du(k)表示從輸入端直接傳送到輸出端的前饋作用,它與系統狀態的動態行為無關。在理論研究中常可假設D＝0，這時系統可記為(A，B，C)。
學科內容 線性系統理論的主要內容包括：①與系統結構有關的各種問題，例如系統的結構分解問題和解耦問題等。系統結構的規范分解（見能觀測性）是其中的著名結果。②關於控制系統中反饋作用的各種問題，包括輸出反饋和狀態反饋對控制系統性能的影響和反饋控制系統的綜合設計等問題。極點配置是這方面的主要研究課題。③狀態觀測器問題，研究用來重構系統狀態的狀態觀測器的原理和設計問題。④實現問題，研究如何構造具有給定的外部特性的線性系統的問題，主要研究課題是最小實現問題。⑤幾何理論，即用幾何觀點研究線性系統的全局性問題(見線性系統幾何理論)。⑥代數理論，用抽象代數方法研究線性系統，把線性系統理論抽象化和符號化。其中最有名的是模論方法（見線性系統代數理論）。⑦多變數頻域方法，是在狀態空間法基礎上發展起來的頻域方法，可以用來處理多變數線性系統的許多分析和綜合問題，也稱現代頻域方法。⑧時變線性系統理論，研究時變線性系統的分析、綜合和各種特性。數值方法和近似方法的研究佔有重要地位（見時變系統）。

6. 靜態工作點分析為什麼可以視為線性系統

因為靜態工作點滿足線性特性。
靜態工作點用於小信號分析，用於推算傳輸函數。常見半導體器件的小信號模型的各參數都是和其工作狀態相關，比如不同的端電壓，電流會有不同的小信號模型。所以在推算傳函之前，需要確定各器件的端電壓電流，對應的就是整個電路的靜態工作點，這里的靜態是相對於小信號來說的。還有一種是推算沖擊響應，也要先計算0時刻的電路狀態，也可以把0時刻叫做靜態工作點。
線性系統是一數學模型，是指用線性運運算元組成的系統。相較於非線性系統，線性系統的特性比較簡單。例如以下的系統即為一線性系統：由於線性系統較容易處理，許多時候會將系統理想化或簡化為線性系統。線性系統常應用在自動控制理論、信號處理及電信上。像無線通訊訊號在介質中的傳播就可以用線性系統來模擬。

7. 什麼是系統的數學模型，試舉例說明線性定常確定性動態系統的數學模型

又稱數學建模。數學模型是近些年發展起來的新學科，是數學理論與實際問題相結合的一門科學。它將現實問題歸結為相應的數學問題，並在此基礎上利用數學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究，從而從定性或定量的角度來刻畫實際問題，並為解決現實問題提供精確的數據或可靠的指導。根據研究目的，對所研究的過程和現象(稱為現實原型或原型)的主要特徵、主要關系、採用形式化的數學語言，概括地、近似地表達出來的一種結構，所謂「數學化」，指的就是構造數學模型．通過研究事物的數學模型來認識事物的方法，稱為數學模型方法．簡稱為MM方法。數學模型是數學抽象的概括的產物，其原型可以是具體對象及其性質、關系，也可以是數學對象及其性質、關系。數學模型有廣義和狹義兩種解釋．廣義地說，數學概念、如數、集合、向量、方程都可稱為數學模型，狹義地說，只有反映特定問題和特定的具體事物系統的數學關系結構方數學模型大致可分為二類：(1)描述客體必然現象的確定性模型，其數學工具一般是代效方程、微分方程、積分方程和差分方程等，（2）描述客體或然現象的隨機性模型，其數學模型方法是科學研究相創新的重要方法之一。在體育實踐中常常提到優秀運動員的數學模型。如經調查統計．現代的世界級短跑運動健將模型為身高1.80米左右、體重70公斤左右，100米成績10秒左右或更好等。用字母、數字和其他數學符號構成的等式或不等式，或用圖表、圖像、框圖、數理邏輯等來描述系統的特徵及其內部聯系或與外界聯系的模型。它是真實系統的一種抽象。數學模型是研究和掌握系統運動規律的有力工具，它是分析、設計、預報或預測、控制實際系統的基礎。數學模型的種類很多，而且有多種不同的分類方法。靜態和動態模型靜態模型是指要描述的系統各量之間的關系是不隨時間的變化而變化的，一般都用代數方程來表達。動態模型是指描述系統各量之間隨時間變化而變化的規律的數學表達式，一般用微分方程或差分方程來表示。經典控制理論中常用的系統的傳遞函數也是動態模型，因為它是從描述系統的微分方程變換而來的（見拉普拉斯變換）。分布參數和集中參數模型分布參數模型是用各類偏微分方程描述系統的動態特性，而集中參數模型是用線性或非線性常微分方程來描述系統的動態特性。在許多情況下，分布參數模型藉助於空間離散化的方法，可簡化為復雜程度較低的集中參數模型。連續時間和離散時間模型模型中的時間變數是在一定區間內變化的模型稱為連續時間模型，上述各類用微分方程描述的模型都是連續時間模型。在處理集中參數模型時，也可以將時間變數離散化，所獲得的模型稱為離散時間模型。離散時間模型是用差分方程描述的。隨機性和確定性模型隨機性模型中變數之間關系是以統計值或概率分布的形式給出的，而在確定性模型中變數間的關系是確定的。參數與非參數模型用代數方程、微分方程、微分方程組以及傳遞函數等描述的模型都是參數模型。建立參數模型就在於確定已知模型結構中的各個參數。通過理論分析總是得出參數模型。非參數模型是直接或間接地從實際系統的實驗分析中得到的響應，例如通過實驗記錄到的系統脈沖響應或階躍響應就是非參數模型。運用各種系統辨識的方法，可由非參數模型得到參數模型。如果實驗前可以決定系統的結構，則通過實驗辨識可以直接得到參數模型。線性和非線性模型線性模型中各量之間的關系是線性的，可以應用疊加原理，即幾個不同的輸入量同時作用於系統的響應，等於幾個輸入量單獨作用的響應之和。線性模型簡單，應用廣泛。非線性模型中各量之間的關系不是線性的，不滿足疊加原理。在允許的情況下，非線性模型往往可以線性化為線性模型，方法是把非線性模型在工作點鄰域內展成泰勒級數，保留一階項，略去高階項，就可得到近似的線性模型。

8. 線性系統的數學模型

描述控制系統輸入、輸出變數以及內部各變數之間關系的數學表達式，稱為系統的數學模型。常用的數學模型有微分方程、差分方程、傳遞函數、脈沖傳遞函數和狀態空間表達式等。系統數學模型的建立，一般採用解析法或實驗法。解析法是依據系統各變數之間所遵循的基本定律，列寫出變數間的數學表達式，從而建立系統的數學模型。

9. ★線性系統是什麼非線性系統又是什麼區別何在

線性系統：狀態變數和輸出變數對於所有可能的輸入變數和初始狀態都滿足疊加原理的系統.一個由線性元部件所組成的系統必是線性系統.但是,相反的命題在某些情況下可能不成立.線性系統的狀態變數(或輸出變數)與輸入變數間的因果關系可用一組線性微分方程或差分方程來描述,這種方程稱為系統的數學模型.
非線性系統：一個系統,如果其輸出不與其輸入成正比,則它是非線性的.從數學上看,非線性系統的特徵是疊加原理不再成立.疊加原理是指描述系統的方程的兩個解之和仍為其解.疊加原理可以通過兩種方式失效.其一,方程本身是非線性的.其二,方程本身雖然是線性的,但邊界是未知的或運動的.
線性,指量與量之間按比例、成直線的關系,在空間和時間上代表規則和光滑的運動；而非線性則指不按比例、不成直線的關系,代表不規則的運動和突變.如問：兩個眼睛的視敏度是一個眼睛的幾倍?很容易想到的是兩倍,可實際是 6－10倍!這就是非線性：1＋1不等於2.
線性關系是互不相乾的獨立關系,而非線性則是相互作用,而正是這種相互作用,使得整體不再是簡單地等於部分之和,而可能出現不同於"線性疊加"的增益或虧損.
線性關系中的量是成比例的：十枚橘子的價錢是一枚的十倍.非線性意味著批發價格是不成比例的：一大箱橘子的價錢比一枚的價錢乘以橘子的個數要少.這里重要的觀念是「反饋」——折扣的大小反過來又影響顧客購買的數量.
激光的生成就是非線性的!當外加電壓較小時,激光器猶如普通電燈,光向四面八方散射；而當外加電壓達到某一定值時,會突然出現一種全新現象：受激原子好像聽到「向右看齊」的命令,發射出相位和方向都一致的單色光,就是激光.
迄今為止,對非線性的概念、非線性的性質,並沒有清晰的、完整的認識,對其哲學意義也沒有充分地開掘.
線性：從相互關聯的兩個角度來界定,其一：疊加原理成立；其二：物理變數間的函數關系是直線,變數間的變化率是恆量.
在明確了線性的含義後,相應地非線性概念就易於界定：
其—,「定義非線性算符N(φ)為對一些a、b或φ、ψ不滿足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符」,即疊加原理不成立,這意味著φ與ψ間存在著耦合,對（aφ+bψ）的*作,等於分別對φ和ψ*作外,再加上對φ與ψ的交叉項(耦合項)的*作,或者φ、ψ是不連續(有突變或斷裂)、不可微(有折點)的.
其二,作為等價的另—種表述,我們可以從另一個角度來理解非線性：在用於描述—個系統的一套確定的物理變數中,一個系統的—個變數最初的變化所造成的此變數或其它變數的相應變化是不成比例的,換言之,變數間的變化率不是恆量,函數的斜率在其定義域中有不存在或不相等的地方,概括地說,就是物理變數間的一級增量關系在變數的定義域內是不對稱的.可以說,這種對稱破缺是非線性關系的最基本的體現,也是非線性系統復雜性的根源.
對非線性概念的這兩種表述實際上是等價的,其—疊加原理不成立必將導致其二物理變數關系不對稱；反之,如果物理變數關系不對稱,那麼疊加原理將不成立.之所以採用了兩種表述,是因為在不同的場合,對於不同的對象,兩種表述有各自的方便之處,如前者對於考察系統中整體與部分的關系、微分方程的性質是方便的,後者對於考察特定的變數間的關系(包括變數的時間行為)將是方便的.
非線性的特點是：橫斷各個專業,滲透各個領域,幾乎可以說是：「無處不在時時有.」
線性系統對初值不敏感,而非線性系統對初值較敏感.線性系統的狀態可以通過線性方程解出,比較容易；而非線性系統就較難.由於線性系統較容易處理,許多時候會將系統理想化或簡化為線性系統.嚴格地說,實際的物理系統都不可能是線性系統.但是,通過近似處理和合理簡化,大量的物理系統都可在足夠准確的意義下和一定的范圍內視為線性系統進行分析.
例如一個電子放大器,在小信號下就可以看作是一個線性放大器,只是在大范圍時才需要考慮其飽和特性即非線性特性.
線性系統的理論比較完整,也便於應用,所以有時對非線性系統也近似地用線性系統來處理.
例如在處理輸出軸上的摩擦力矩時,常將靜摩擦當作與速度成比例的粘性摩擦來處理,以便於得出一些可用來指導設計的結論.
線性意味著系統的簡單性,但自然現象就其本質來說,都是復雜的,非線性的.所幸的是,自然界中的許多現象都可以在一定程度上近似為線性.傳統的物理學和自然科學就是為各種現象建立線性模型,並取得了巨大的成功.但隨著人類對自然界中各種復雜現象的深入研究,越來越多的非線性現象開始進入人類的視野.
目前非線性物理學中研究得最為廣泛的領域主要有：混沌理論、分形、模式形成、孤立子、細胞自動機,耗散結構、自組織、復雜系統.
特別是混沌理論的創立,被研究者譽為繼相對論和量子力學之後的20世紀第三次科學革命.相對論證實了物質運動速度的極限,量子力學指出測量能力的極限,而混沌理論則揭示了計算能力的極限；即任何物體的運動速度不能超過光速,任何測量不能同時確定一對共軛變數,任何計算機不能計算混沌軌道的長期演化.

10. 線性系統是什麼

答：一、線性系統含義
線性系統是一數學模型，是指用線性運運算元組成的系統。相較於非線性系統，線性系統的特性比較簡單。線性系統需滿足線性的特性，若線性系統還滿足非時變性（即系統的輸入信號若延遲τ秒，那麼得到的輸出除了這τ秒延時以外是完全相同的），則稱為線性時不變系統。
二、分類
對於線性系統，通常還可進一步分為線性時不變系統和線性時變系統。
1、線性時不變系統
線性時不變系統也稱為線性定常系統或線性常系數系數，其特點是，描述系統動態過程的線性微分方程或差分方程中，每個系數都不隨時間變化的常數。
2、線性時變系統
線性時變系統也稱為線性變系數系統。其特點是，表徵系統動態過程的線性微分方程或差分方程中，至少包含一個參數為隨時間變化的函數。