數學裡面的差分是什麼意思

Ⅰ 什麼是差分，它在計量經濟學中有什麼作用

差分屬於計算數學專業的一種計算方法，它包含的方法很多很多，最基本的東西你可以到數值方法之類的書里去找。

它的作用主要是求常（或偏）微分方程的近似解，其精確度由不同的方法決定。

Ⅱ 差分的差分定義

差分：difference
差分，又名差分函數或差分運算，是數學中的一個概念。它將原函數f(x) 映射到f(x+a)-f(x+b) 。差分運算，相應於微分運算，是微積分中重要的一個概念。差分的定義分為前向差分和逆向差分兩種。
在社會經濟活動與自然科學研究中,我們經常遇到與時間t有關的變數,而人們往往又只能觀察或記錄到這些變數在離散的t時的值。對於這類變數,如何去研究它們的相互關系,就離不開差分與差分方程的工具。微積分中的微分與微分方程的工具,事實上來源於差分與差分方程.因此差分與差分方程更是原始的客觀的生動的材料。
讀者熟悉等差數列：a1 a2 a3……an……，其中an+1= an + d（ n = 1,2,…n ）d為常數，稱為公差， 即 d = an+1 -an , 這就是一個差分, 通常用D(an) = an+1- an來表示，於是有D(an)= d , 這是一個最簡單形式的差分方程。
定義. 設變數y依賴於自變數t ,當t變到t + 1時,因變數y = y(t)的改變數D y(t)= y(t+1) - y(t)稱為函數y(t)在點t處步長為1的(一階)差分,常記作D yt= yt+1- yt ,簡稱為函數y(t)的(一階)差分,並稱D為差分運算元。
差分具有類似於微分的運算性質。 函數的前向差分通常簡稱為函數的差分。對於函數f(x)，如果在等距節點：


則稱Δf(x)，函數在每個小區間上的增量y(k+1)-yk為f(x)的一階前向差分。在微積分學中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在離散的函數中的等效運算。差分方程的解法也與微分方程的解法相似。當是多項式時，前向差分為Delta運算元，一種線性運算元。前向差分會將多項式階數降低1。 對於函數f(xk)，一階逆向差分為Δf(xk)=f(xk)−f(xk−1)。
備註：差分方程：difference equations

Ⅲ 什麼是差分方程

（我很認真的哦……）
差分方程組是多個含有未知函數及其導數的方程聯合形成的方程組。
差分方程
具體說明：
意義
差分方程是微分方程的離散化。一個微分方程不一定可以解出精確的解，把它變成差分方程，就可以求出近似的解來。
比如 dy+y*dx=0,y(0)=1 是一個微分方程， x取值[0,1]
(註：解為y(x)=e^(-x));
要實現微分方程的離散化，可以把x的區間分割為許多小區間 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1]
這樣上述微分方程可以離散化為：

y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （n 個離散方程組）
利用y(0)=1的條件，以及上面的差分方程，就可以計算出 y(k/n) 的近似值了。
§1 基本理論

差分方程
1. 差分
2. 任意數列{xn },定義差分運算元Δ如下：
Δxn=xn+1-xn
對新數列再應用差分運算元，有
Δ2xn=Δ（Δkxn).
性質
性質1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn
性質2 Δk(cxn)=cΔkxn
性質3 Δkxn=∑（-1)jCjkXn+k-j
性質4 數列的通項為n的無限次可導函數，對任意k>=1，存在η，有 Δkxn=f(k）（η）
差分方程
定義8。1 方程關於數列的k階差分方程：
xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1，……）
其中a1,a2,------ak 為常數， ak≠0. 若b=0，則該 方程是齊次方程
關於λ 的代數方程
λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0
為對應的特徵方程，根為特徵值。
編輯本段例題
1． 實驗內容與練習
2．1 差分
例1 Xn={n3},求各階差分數列：
xn △xn △2xn △3xn △4xn
1 7 12 6 0
8 19 18 6 0
27 37 24 6 0
64 61 30 6
125 91 36
216 127
343
可見，{n3},三階差分數列為常數數列，四階為0。
練習1 對{1}，{n},{n2},{n4},{n5},分別求各階差分數列。
練習2 {C0n-1}{C1n-1}{C2n-1},{C4n-1},分別求各階差分數列.
{Xn}的通項為n的三次函數，
Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0
證明它為常數數列。
證明 由Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0可直接計算。
定理8。1 若數列的通項是關於n 的k次多項式，則 k 階差分數列為非零數列，k+1階差分數列為0。
練習3 證明定理8。1。
定理8。2 若{Xn}的 k 階插分為非零常數列，則{Xn}是 n的 k次多項式，
練習4 根據差分的性質證明定理8。2
例2。求∑i3
例4
解 設Sn=∑i3 表
Sn △Sn △2Sn △3Sn △4Sn △5Sn
1 8 19 18 6 0
9 27 37 24 6 0
36 64 61 30 6 0
100 125 91 36 6 0
225 216 127 42
441 343 169
784 512
1296
設Sn=a4n4+a3n3+a2n2+a1n+a0,s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225，得
a0=0,a1=0,a2=1/4,a3=1/2,a4=1/4.
所以， Sn=(1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2.
練習 {Xn}的通項Xn為n的k次多項式，證明∑xi為n的 k+1次多項式；求 ∑i4.
由練習 2 {Crn-1}可得。
2.2差分方程
對於一個差分方程，如果能找出這樣的數列通項，將它帶入差分方程後，該方程成為恆等式，這個通項叫做差分方程的解。
例3 對差分方程 xn-5xn-1+6xn-2=0，可直接驗證xn=c13n+c22n是該方程的解。
例3中的解中含有任意常數，且任意常數的個數與差分方程的階數相同。這樣的解叫做差分方程的通解。
若k階差分方程給定了數列前k項的取值，則可以確定通解的任意常數，得到差分
的特解。
例4對差分方程xn-5xn-1+6xn-2=0，若已知x1=1,x2=5，則可以得到該差分方程的特解為xn=3n-2n.
我們首先研究齊次線性差分方程的求解。
xn=rxn-1
對一階差分方程
x1=a
顯然有xn=arn-1。因此，若數列滿足一階差分方程，則該數列為一個等比數列。
例5 求Fibonacci數列{Fn}的通項，其中F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2.
Fibonacci數列的前幾項為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…。該數列有著非常廣泛的應用。
Fibonacci數列所滿足的差分方程為 Fn-Fn-1-Fn-2=0,
其特徵方程為 λ2-λ-1=0
其根為λ1=，λ2= .利用λ1λ2可將差分方程寫為
Fn-（λ1+λ2)Fn-1+λ1λ2Fn-2=0,
即Fn-λ1Fn-1=λ2(Fn-1-λ1Fn-2)
數列{Fn-λ1Fn-1}滿足一個一階差分方程．顯然 ( )
同理可得 ( )
由以上兩式可解出 的通項。
練習9 證明若數列{ }滿足二階差分方程 ，其特徵方程 由兩個不相等的根 ，則 為該差分方程的兩個特解。從而其通解為。
由練習9，若二階差分方程的特徵方程有兩個不相等的根，可寫出其通解的一般性式。再由 的值可解出其中的系數，從而寫出差分方程的特解。
練習10 具體求出 Fibonacci數列的通項，並證明。那麼，若二階線性齊次差分方程有兩個相等的根，其解有如何來求呢？
設二階線性齊次差分方程的特徵方程有兩個相等的根 ，則差分方程可寫為。差分方程的兩邊同時除以 ，有。設，則 (n>=3）。由於該式在 n>=3式均成立，我們將它改寫為 (n>=1）。（8.2)
方程（8.2）的左邊是 的二階差分，從而有，於是 是n的 一次函數，設為 則有。上是即為差分方程的通解。
練習11 證明：若數列{ } 所滿足的三階差分方程的特徵方程由三個相等的根 ，則差分方程的通解為。
一般的，設 ···，為差分方程的特徵方程所有不同的解，其重數分別為 ···， ，則差分方程對應於其中的根 （i=1，2，···，l）的特解 ···。
對於一般的k階齊次線性差分方程，我們可以通過其特徵方程得到上述形式的k個特解，進而得到差分方程的通解。
練習12 若數列{ } 滿足差分方程
且 求{ }的通項。
例6 若實系數差分方程的根為虛數，則其解也是用虛數表示的，這給討論問題帶來不便。差分方程
xn-2xn-1+4xn-2=0
的特徵值為 i.若x1=1,x2=3，由下面的程序易求出其特解為：
xn=( )(1+ i)n+（－ )(1－ i)n
Clear[x1,x2,c1,c2,l1,l2,solution];
x1=1;x2=3;
solution=Solve[1^2-2l+4==0,1];
l1=l/.solution[[1,1]];
l2=l/.solution[[2,1]];
c=Solve[{c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2*l2^2==x2},{c1,c2}];
c1=Simplify[Re[c1]]+Simplify]*I;
c2=Simplify[Re[c2]]+Simplify]*I;
Print[「xn=（「，c1，」）（「，l1，」）^n+（「，c2，」）（「，l2，」）^n」]
解的形式相當復雜，是否可以將它們用實數表示呢？
設 =rei，則 =re，我們可將（8．4）中的表達式改寫為
xn=re (2e )n+re (2e )\n
=r
=2r Cos( )
=(2rCos )
=
可以看出，通項可以寫成 的形式．那麼， 與 是不是差分方程的特解呢？
練習13 驗證 與 是差分方程（8.3）的特解.
對於差分方程（8.3），我們找出了它的兩個實型的特解，從而可以將通解表示成實數的形式.這一方法對於一般的方程也是成立的.
練習14 設 的兩個特徵值為 .證明該差分方程的通解可表示為 .
練習 15 用實數表示差分方程 的特解.
上次我們討論了其次線性差分方程的求解方法.那麼，非齊次線性差分方程是否可以化為齊次線性差分方程呢?
練習16 若已知非齊次線性差分方程
··· （8.5）
的一個特解為 求證：若令 則 滿足齊次差分方程
···
由練習16，若已知非齊次線性差分方程（8.5）的一個特解，就可以將它化為齊次線性差分方程.
顯然方程（8.5）的最簡單的形式為 （其中p為常數），代入（8.5）得
···
若 ··· 則有
稱p = 為非齊次線性差分方程（8.5）的平衡值。在（8.5）中， 令 則有
由 ，得
.
從而可將原來的非齊次線性差分方程化為齊次線性差分方程.
如果方程（8.5）的平衡值不存在，可以將方程（8.5）中所有的n換為n+1，得到
（8.6）
方程（8.6）和（8.5）相減得
.
於是可將原來的非齊次線性差分方程化為高一階的齊次線性差分方程.
練習17 分別求差分方程 及 的通解.
2.3 代數方程求根
由 Fibonacci數列的性質，我們可以用 來逼近 ，用這一性質可以來計算 的近似值。一般地，對a>0，可以用構造差分方程的方法來求 的近似值.
對給定的正數a，設λ1= ，λ2= ，則λ1 ，λ2是方程λ2-2λ+(1+a)=0的根.該方程是差分方程 的特徵方程。於是，選定，利用差分方程 可以構造一個數列{ }.
練習 18 證明：若a>1，對任意的 >0,>0，若 ≠ ，則按上述法構造的數列{ }滿足
.這樣，我們得到了計算 的一個方法：
1． 給定 （作為誤差控制），任取初始值 ，令n=1;
2． 若
則終止計算，輸出結果；否則 ，令n ：=n+1，轉第3步；
3． 令，轉第2步.
練習 19 對a=1.5,10,12345，用上述方法求 .
上述方法的收斂速度不夠快，我們可以加以改進
設整數u滿足，令，則 ， 是方程 的兩個根.
練習 20 根據上面的差分方程的構件數列{ x },使得
.
練習 21 對練習19中的a，用上面的方法來計算 ，並比較兩種方法的收斂速度.
代數方程
（8.7）
是差分方程（8.1）的特徵方程，是否可以用此差分方程來求解方程（8.7）呢？
設方程（8.7）有k個互不相同的根滿足
， （8.8）
則對應的差分方程的通解形式為
.
練習 22 設方程（8.7）的根滿足條件（8.8），任取初始值 用差分方程（8.1）（取b=0）構造數列{ }.若通解中 的系數 ≠0，證明：
.
利用練習22得到的結論，我們可以求多項式方程的絕對值最大的根.
練習 23 求方程 的絕對值最大的根.
事實上，若方程（8.7）的互不相同的根滿足
≥ ≥…≥
（其重數分別為 ），則練習22中的結論仍然成立.
2.4 國民收入4 國民收入的穩定問題
一個國家的國民收入可用於消費，再生產的投資等。一般地說，消費與再生產投資都不應該沒有限制。合理的控制各部分投資，能夠使國民經濟處於一種良性循環之中。如何配各部分投資的比例，才能使國民經濟處於穩定狀態呢？這就是本節要討論的問題。
我們首先給出一些假設條件：
1． 國民收入用於消費、再生產投資和公共設施建設三部分。
2． 記 分別為第k個周期的國民收入水平和消費水平。的值與前一個周期的國民收入成正比例。即 =A,(8.9）其中A為常數（03． 用 表示第k個周期內用於再生產的投資水平，它取決於消費水平的變化，即 . (8.10)
4． G表示政府用於公共設施的開支，設G為常數.由假設1有 . (8.11）上式是一個差分方程，當給定 的值後，可直接計算出國民收入水平 （k=2,3，…）來觀察其是否穩定。
例7 若 ，計算可得表8.3中數據。
表8.3 Y 的值的變化
k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
11.0 24.5 35.8 39.1 32.9 20.3 7.48 0.95 3.93 15.0
k 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
28.5 37.8 38.2 29.5 16.0 4.58 0.82 6.65 19.2 32.1
我們可以畫出 的散點圖來觀察其變化。其計算及畫圖的程序如下：
y0=2;y1=2;a=0.5;b=2;g=10;
y={y0,y1};
For[k=1,k<=20,k++,
Y2=a(1+b)*y1-b*a*y0+g;
Y=Append[y,y2];
Y0=y1,y1=y2]
YListPlot[y,PlotJoined True,
PlotStyle Thickness[0.012]]
圖8.1 國民收入 的變化
由圖8.1利用發現，又例7的數據得出的 的呈現出周期變化的跡象。
練習 24設 ，對於表8.4中的參數A,B，分別計算 （k=2,3，…）並畫圖觀察 的變化。
表8.4 參數A,B的取值
A 1/2 1/2 1/2 8/9 9/10 3/4 4/5
B 1 2 3 1/2 1/2 3 3
可以看出，隨著參數的值不同，國民收入水平 （k=2,3，…）的穩定性呈現出不同的狀態。
那麼，參數滿足什麼條件時，國民收入水平才處於穩定發展之中呢？
差分方程（8.11）是一個常系數非齊次線性差分方程。由A<1容易求出其平衡值為
令 可得
.
其特徵值為
若 則
其中 為 的幅角。
從而可的差分方程的解為
其中 為常數。
若 易見{ }為一周期函數在 ---的取值，從而{ }呈周期變化的狀態。正如在例7中所見到的。
練習25 若 在 及 的情形下，討論{ }的變化趨勢。國民收入會穩定發展嗎？
練習26 若 ，國民收入在什麼條件下會穩定發展？
本實驗涉及的Mathematica軟體語句說明
1. solution=Solve[1^2-2l+4==0,1];
l1=1/.solution[[1,1]];
l2=l/.solution[[2,1]];
將方程l^2-2l+4==0的兩根分別賦值給l1及l2.
2. c=Solve[{c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2*l2^2==x2},{c1,c2}];
{c1,c2}={c1,c2}/.c[[1]];
將方程組{c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2*l2^2==x2}的解賦值給c1及c2.
3. c1=Simplify[Re[c1]]+Simplify]*I
將復數c1化簡.

Ⅳ 數學 數列 差分法 高中數學中 數列中的差分法是怎麼一回事 求高手解釋一下 最好有例題分析

計算數列中相鄰數字的差
在下列的數列中,除非先找出相鄰數字的差,否則很難看出下一項該是多少
數列 3 8 15 24 35
差分 5 7 9 11
因此,下一個差分很可能是13,因此數列中的第六項為48．
當有些原始數列的差分不容易看出規律,這時就可從計算差分的差分來著手研究．

Ⅳ 差分的讀音是什麼

差分
[讀音][chà
fēn]
[解釋]1.古數學名詞，即衰分。分配比例的演算法。
2.差錯。

Ⅵ 什麼叫差分如何用差分

差分：difference差分，又名差分函數或差分運算，是數學中的一個概念。它將原函數 映射到 。差分運算，相應於微分運算，是微積分中重要的一個概念。差分的定義分為前向差分和逆向差分兩種。
前向差分
函數的前向差分通常簡稱為函數的差分。對於函數，如果：，則稱為的一階前向差分。在微積分學中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在離散的函數中的等效運算。差分方程的解法也與微分方程的解法相似。當是多項式時，前向差分為Delta運算元，一種線性運算元。前向差分會將多項式階數降低1。
逆向差分
對於函數，如果：則稱為的一階逆向差分。

Ⅶ 數學中的差分法是什麼意思如何應用

「差分法」是在比較兩個分數大小時，用「直除法」或者「化同法」等其他速算方式難以解決時可以採取的一種速算方式。
適用形式：
兩個分數作比較時，若其中一個分數的分子與分母都比另外一個分數的分子與分母分別僅僅大一點，這時候使用「直除法」、「化同法」經常很難比較出大小關系，而使用「差分法」卻可以很好地解決這樣的問題。
基礎定義：
在滿足「適用形式」的兩個分數中，我們定義分子與分母都比較大的分數叫「大分數」，分子與分母都比較小的分數叫「小分數」，而這兩個分數的分子、分母分別做差得到的新的分數我們定義為「差分數」。例如：324/53.1與313/51.7比較大小，其中324/53.1就是「大分數」，313/51.7就是「小分數」，而324-313/53.1-51.7=11/1.4就是「差分數」。
「差分法」使用基本准則——
「差分數」代替「大分數」與「小分數」作比較：
1、若差分數比小分數大，則大分數比小分數大；
2、若差分數比小分數小，則大分數比小分數小；
3、若差分數與小分數相等，則大分數與小分數相等。
比如上文中就是「11/1.4代替324/53.1與313/51.7作比較」，因為11/1.4＞313/51.7（可以通過「直除法」或者「化同法」簡單得到），所以324/53.1＞313/51.7。
特別注意：
一、「差分法」本身是一種「精演算法」而非「估演算法」，得出來的大小關系是精確的關系而非粗略的關系；
二、「差分法」與「化同法」經常聯系在一起使用，「化同法緊接差分法」與「差分法緊接化同法」是資料分析速算當中經常遇到的兩種情形。
三、「差分法」得到「差分數」與「小分數」做比較的時候，還經常需要用到「直除法」。
四、如果兩個分數相隔非常近，我們甚至需要反復運用兩次「差分法」，這種情況相對比較復雜，但如果運用熟練，同樣可以大幅度簡化計算。

Ⅷ 微分、差分的區別在哪

區別：
微分是差分的線性部分，Δy=y(x+Δx)-y(x)=y'(x)Δx+....=y'(x)dx+.... 自變數的差分就是微分，也就是Δx=dx
微分：
在數學中，微分是對函數的局部變化的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變數的變化量取值作足夠小時，函數的值是怎樣改變的。比如，x的變化量△x趨於0時，則記作微元dx。
差分：
差分又名差分函數或差分運算，是數學中的一個概念。它將原函數f(x) 映射到f(x+a)-f(x+b) 。差分運算，相應於微分運算，是微積分中重要的一個概念。差分的定義分為前向差分和逆向差分兩種。
在社會經濟活動與自然科學研究中,我們經常遇到與時間t有關的變數,而人們往往又只能觀察或記錄到這些變數在離散的t時的值。對於這類變數,如何去研究它們的相互關系,就離不開差分與差分方程的工具。微積分中的微分與微分方程的工具,事實上來源於差分與差分方程.因此差分與差分方程更是原始的客觀的生動的材料。

Ⅸ 什麼是差分法

這個說來話長
簡單的理解你可以理解為

一個問題可以簡化為 y（n）=x（n）-x（n-1）
你看 每個輸出都是輸入的一個差分 也就是相鄰項的差值

具體的你想了解更多 我給你個網頁
http://ke..com/view/142920.htm

Ⅹ 數學中的差分法是什麼意思

摘要 差分法」是在比較兩個分數大小時，用「直除法」或者「化同法」等其他速算方式難以解決時可以採取的一種速算方式。是基於高中數學並應用於公考的資料分析速算高級技巧。