巴比倫文明採用的是多少進制的數學計算方法

Ⅰ 巴比倫人採用的十二進制和十六進制優點是什麼

巴比倫人使用十二進制來記時。這或許是由於一年中月球繞地球轉十二圈，也有人認為這和人類一隻手有十二節指骨有關（不包括姆指，一根手指有三節指骨），這樣方便記數。而從古巴比倫文明傳承到西方文化中的黃道十二宮則是將一年分為了12個星座。 
十六進制主要是為了縮短數據的長度，便於記憶和輸入。一個十六進制數字可以代表4為二進制數字。十六進制用0-9,A-F，代表0-15。

Ⅱ 金字塔時代的埃及人所用的算術「二進制」還是「十進制」

一塊古巴比倫泥版上刻滿了畢氏三數，可惜殘缺不全，留下千古之謎。中國的陳子膽子倒確實不小，居然測量起太陽的直徑，用的僅是根竹竿！埃及的神廟，夏至時陽光能直射神像，善男信女驚異不已。

且說這西方學界，一直認為埃及的古代數學是希臘文明繁榮之前，水平最拔尖的，待到巴比倫的泥版問世，方知更技高一籌；更不需說他們對古華夏的數學成就一無所知了。這里先談一番巴比倫。

這巴比倫人居住在美索不達米亞。「美索不達亞」是古希臘語，意思是兩河之間的地方。這兩條河就是底格里斯河和幼發拉底河。

兩河流域最早的文明大約至少有六千多年了。這塊地方大致以今天的巴格達城為界，分為南北兩部。北部以古亞述城為中心，稱為西里西亞；南部以巴比倫城為中心，稱為巴比倫尼亞。各個民族居住在一些獨立的城邑中。

這南部主要有蘇美爾人、阿卡德人。美索不達米亞文明最初就是蘇美爾人創造出來的。

蘇美爾人幾乎和埃及人同時發明了文字。這就是大名鼎鼎的楔形文字了。

上個世紀開始，考古學家們在美索不達米亞進行大規模的發掘。

這里的房屋幾乎一直都是有土坯蓋起來的，有點像北方的干打壘。下一次大雨自然要沖毀一些，就在舊屋子上面又造新屋。這樣蓋了塌，塌了蓋，最後就形成了一個個土丘。把這些個土丘直直地挖下去，就會看到這個城市從古到今一層一層地分得很清楚，真好像一塊歷史的千層餅。

考古學家們在這塊千層餅里細剔細篩，發現了五十萬塊寫有文字的粘土書板，僅僅在古代尼普爾這個地方就出土了五萬塊！

許多的國家，許多的博物館、文物館，那是聞風而動，千方百計各種途徑，收藏這些珍貴的文物。有時，同一塊泥版會分成幾塊，藏在不同的博物館里。

這些泥版有大有小。大的呢，也就和教科書差不多，小的只有巴掌那麼大吧。有時書板的一面有字，有時又是兩面都有字。想必做這樣一本書也不容易，要節約用紙。

現在流傳問世的，大約有三四百塊和數學有關的泥版和一些碎片。

泥版上沒有什麼年代的記號，學者只能根據它們在千層餅中的位置來推斷啦。他們發現，大部分泥版是在3000年以前的若干世紀內製作的，前後延續有2000年左右。還有一小部分是公元前600年到公元300年間製作的。

這兩部分之間留下了很大的一段空檔，正是巴比倫歷史上的一個動亂時期。

看來，巴比倫的數學創立得十分迅速。而在這短暫的迅速發展之後，接下來的卻是長時期的停滯不前。

要想破譯這泥版的內容，可就比斷定它們的年代更難啦。一直到1935年，經過諾伊格爾和吐婁——當蘭的著名發現，人們才了解了不少數學書板上的內容。

許多早期的書板，都是有關田地轉讓的計算。還有不少是一些契約文書，像帳單、收條啦、期票啦、賣貨的單據、商號和帳目等等。

巴比倫人的計算倒是挺有意思，是藉助各種各樣的表來實現的。在數學泥版中，大約有200塊是表，有乘法表，倒數表，平方表和立方表，甚至還有指數表。

接下來，咱們拿一塊巴比倫泥版來試看破譯一下，和大夥一起暫時當一次考古研究者。當然，現在我們早已就知道一些謎底了，猜起來可就要比那些先驅者容易多了。

我們現在看到的就是一塊古代巴比倫泥版了（見下頁圖）。正確點說，是它的一個復製品。左面是正面，右面是反面，兩面都刻有字。

首先我們數一數行數，一共有24行。每一面呢，都有兩列，我們把它分別叫做第Ⅰ列（左邊的）和第Ⅱ列。

現在我們從第1列開始正式考察。

它的第一行是一個垂直的楔形，我們把它叫「直楔」。第二行就是兩個直楔了。第三行呢，是三個。其實這些記號咱們都碰過面，就是沒碰過面大家也能猜出來：不就是1、2、3嘛！

順下來的幾行也很容易，就是從4到9，只要數一數直楔的個數就成了。不過大家看到它們有時是三個一組的，這么一來就更容易讀了。比如8，寫成三層，兩層各有三個直楔，一層有兩個，一眼望過去，就知道是多少。這開頭的九行倒很順利，咱們破譯初步成功。

再往下看，到9後面，我們發現了一個新記號：「■」，我們把它叫做「角楔」。

我們當然首先想到這應該是10，不過還要謹慎一些，看看能不能往下順。如果在下面的幾行中把它看作10也正確，那麼猜想就對了。

接下去的幾行確實令人很高興，沒費周折，我們可以認出11，12，13，……，18。再往下應該是19，從規律和書寫的情況來看，肯定是19，只不過有一些塗改的痕跡，可能是這位巴比倫人寫得有點不耐煩了，筆劃太多。

再往下也沒什麼難懂得的，是20，30，40和50。

這么一來，我們就破譯出第Ⅰ列，這一列順序寫出了1到20，然後是30，40，50。直楔代表l，而一個角楔代表10。

現在咱們要擴大戰果，把我們的發現用到第Ⅱ列上。

開頭的幾行當然暢行無阻，是9，18，27，36，45，54。咱們把它們和第Ⅰ列中同一行的數一聯系，竅門就看出來了，這不就是九的乘法表嘛！

再往下，第七行、第八行當然應該是63和72。但是第七行寫的是：

那右邊一塊堆的三個直楔自然是3，那麼60又在哪呢？好像把最左邊的那個大一點的直楔認作是60才妥當。

這樣看來，同樣都是直楔，放的位置不同，表示的數也不一樣；這正是前面說過的位值記數法。不過咱們在這向左移一移，不是變成10，而是60了！這是不是「逢六十進一」呢？

這泥版上的63，我們用現在的符號寫一下，就是1，3＝1×60＋3＝63。

記住，我們這里用逗號把兩個數符分開，表示兩個數位。就像十進制中的個位和十位一樣。只不過「個」位的單位當然是1，這里的「十」位的單位可就是60了。

下面可就勢如破竹了，咱們可以把它們改寫成：

l，12＝1×60＋12＝72；

1，21＝1×60＋21＝81；

1，30＝90；1，39＝99；

l，48＝90；1，57＝117。

所有這一切都說明咱們一開始就猜對了；這塊泥塊果然是九的乘法表。

咱們當然把它改寫為2，6＝2×60＋6＝126，這126，不就是14乘以9的答案嘛！

以下的幾行當然不難改寫成：

2，15＝2×60＋15＝135，

2，24＝144，

2，33＝153，

2，42＝162，

2，5l＝171。

值得注意的是，我們需要把逗號右邊的那些數，比如15啦，24啦，33啦等等，看作是一位數！是巴比倫人用的六十用制中的個位數。盡管這里用十進製表示出來是兩位，但在六十進制中，是一位，是用一個完整的獨立的符號表示的。

所以，六十進制中記數的符號一共要有從0到59這六十個符號。而十進制位值記數法，則是用從0到9這十個符號。

不難理解，b進制記數法就應該用從0到b—1這b個記數符號。比如現在電腦中常用的二進制，只用0，l這兩個符號。十六進制也是電腦中常用的記數法。只用0到9這十個符號就不夠了，所以又添了A、B、C、D、E、F這六個符號表示10到15這六個數。因為這六個數還不夠資格向前進位，只能在低一位上用一個符號表示出來。

比如15，十六進制中就寫成F。而2B這個十六進制數，就等於2×16＋ll＝43。

不過看起來好像巴比倫人只有從1到59這五十九個符號，少了個0。我們仔細看一下2，51後面的那個數就可以知道，它是三個直楔，後面空了格。想必那空的一格表示0，這樣這個數就是3，0＝3×60＋0＝180。下面的幾行也很容易破譯。咱們就請朋友們自便吧。

像上面一樣，1，25，30這個巴比倫數就是個三位數，其中的25和30都看作是一位。它應該是1×602＋25×60＋30＝3600＋1500＋30＝5130。

不過因為巴比倫早期用空格表示零，這空到底是空一格還是空兩格，還是不空格，就比較模糊。所以，l，25，30也可以看作是1，25，30，0或者是1，25，30，0，0。

1，25，30，0＝1×603＋25×602＋30×60＋0

＝60×5130＝307800

而1，25，30，0，0＝1×604＋25×603＋30×602＋0×60＋0

＝602×5130＝18468000。

你瞧，把這個數向左移動一位，就擴大了60倍。這也與十進位差不多。十進位中，一個數向左移動一位，就擴大了10倍。

60和10分別是六十進制和十進制中的「基」。所以，把一個二進制數向左移動一位，就擴大2倍；把一個十六進制數向左移動一位，就擴大了16倍。

因為用空格表示零比較模糊，所以把一個數1，25，30看作是l，25，30，0還是1，25，30，0，0就要根據上下文來確定。

在後期的泥版中，巴比倫人也偶爾用一個記號表示零，這樣就比較方便了。

這六十進位與十進位的明顯差別首先自然是基底不一樣，一個是60，一個是10。

當然，每種基底都有自己的優點和缺點。以60為基底的只有很少幾位就能寫出很大的數，這在上面大家已經看得很清楚；而以二為基底的二進制數，我們以前的已經說過，同一個數用二進制比用十進制，位數要多得多。

不過這基底較大，缺點也很明顯。比如說二進制，只有兩個數碼就成；六十進制呢，得用六十個不同的符號，可真夠難記的。

這且不說，尤其難的是它的乘法口訣。十進制中叫「九九表」，因為它有九九八十一句口訣。為什麼要九九八十一句呢？因為十進制中一位數只有從1到9九種情況（不連零）。

問題到了六十進制那地方，可就麻煩大了。六十進制中一位數有59種情況！所以它的乘法口訣共有59×59句！近3600句！太難記了。

人們想到可憐的巴比倫學童們背這么一張59×59的大表可能會不寒而慄。看書的同學大概也很慶幸自己沒有出生在偉大的巴比倫時代，盡管那兒有舉世聞名的空中花園。

有過好在那時已經有了各種類型的大量數表，不必要再去死記硬背了。利用數表來進行計算正是巴比倫的特點，巴比倫的創造。

在巴比倫的泥版中有許多「倒數表」。這所謂倒數表，也就是一些分子為1的分數。不過在他們那兒是用六十進製表示的。

這樣一來，巴比倫就能做整數除以整數的除法了。比方說一個整數要除以8，那就把它乘以1/8，查一查倒數表，看看1/8能化成什麼樣的六十進分數。

這十進分數在我們的十進制記數法中，實際上就是十進的有限小數。所以，六十進分數在六十進位制中也就是有限小數。這樣，化除法為乘法一個小數，當然簡單了。

巴比倫的數表真真是數不盡，道不完。他們還有表示平方、平方根、立方和立方根的數表。

遇到無理數，當然不能用有限的六十進製表示啦，不過 在那會兒倒算得挺准：1．414213……當然，他們哪能知道 是無限不循環小數呢？那時各個地方的人似乎都認為世界上只有有限位的小數。

當然，這 在巴比倫人那裡還是用六十進制分數表示的：

卻說這巴比倫的數學泥版，除了大量的表以外，其他就是一些提問式的內容了。這些問題的一個個解決，往往反映了他們的代數方面的水平。

早期巴比倫的代數相當發達。這方面的一個著名問題，就是求出一個數，讓它和它的倒數的和等於已知數。

用現代的記號來說，就是要求出這樣一個x，使得

這么個代數方程大家都能把它化成一個一元二次議程：x2－bx＋1＝0

由於巴比倫人不知道負數，所以負根是略去不提的。

這樣看起來，巴比倫人實際上知道二次方程根的公式。當然，我們這里看到的二次方程是特殊了點，常數項只是1。

不過，有好些問題是打算說明二次方的一般解法的。對於更為復雜的代數問題，甚至用到了等量代換，把復雜的化成簡單的！

巴比倫人很喜歡用文字代表未知量，把代數方程用語言敘述並且還用語言求解出來。他們常常用長、寬、面積這些了來代表未知量，好像我們求解方程時，把未知量設為X、Y等。

比如說，在一塊泥版中有這么個問題：

「長乘以寬得到面積10；現在我把長自乘，得到的也是面積。再把長與寬的差平方，然後乘以9，得到的還是面積10。問長和寬是多少？」

這個問題翻譯成現在的寫法就是

XY＝10

9（X—Y）2＝X2

這樣的方程組咱們初中生解決起來不費事，不過，你要想想這可是三千多年前的事（公元前1600年），可真夠偉大的！

這古代的巴比倫人不但在記數、算術和代數方面技高一籌，幾何方面的知識也不賴。從公元前2000年到1600年的一些泥版中，可以知道他們已熟悉了長方形面積、直角三角形面積的計算。還有一些簡單立方體的體積也已經能算出來。

對於圓，全世界的文明都對它有濃厚的興趣。這里關鍵的一點，就是對圓周率的認識。

不過，巴比倫在幾何方面的造詣可遠不止這么些。

1945年，有兩位學者對放在哥倫比大學的一塊數學泥版解讀一番，發現了更令人吃驚的事情。這塊泥版的編號叫變普林版322號。

這塊泥版上一共列舉了15行數，經過認真地研究這才發現：原來每一行都是畢氏三數！

什麼叫畢氏三數呢？也就是能構成直角三角形邊的三個整數。比如像3、4、5，就是商高說過的「勾三股四弦五」。還有5、12、13等等。

但是這普林頓322號版上給出的15組畢氏三數可是了不得！很大，現在咱們寫出幾組：

（120，119，169）（3456，3367，4825）

（4800，4601，6649）（6480，4961，8161）

其中有一組更大：（13500，12709，18541）

這么大的數決不可能是用一次次試算求得的。人們猜測這些古人是不是掌握了計算畢氏三數的一組公式：

d＝2xy，b＝x2－y2，c＝x2＋y2

這里，x與y互素，有偶性也不同，並且x＞y。這樣，a、b、C就構成畢氏三數了。

這組公式可是在普林頓泥版的一千多年後，才作為一項偉大的成就出現的呢！

人們還猜測，這些古巴比倫人是不是當時就得知了「畢達哥拉斯定理」（也就是勾股定理）。要真是這么回事，那可就是把畢代定理提前1500年發現了！

不幸的是，這普林頓322號是個殘品，這塊書板的右邊中間有一個很深的缺口，左邊掉下的一塊也下落不明。這左邊破的地方還有現代膠水粘過的痕跡。大概是這塊書板不知怎麼破了，人們嘗試著用膠水把它們粘在一起，但最後還是脫了膠。更糟糕的是這掉下的一半都不知弄那去了。也許是想要這塊泥版的人太多，你爭我搶弄壞的吧？也許是原來不當它回事，東扔西丟搞掉了吧？說不定也有可能還蘊含著一個驚險曲折的傳奇故事。反正在大洋彼岸的我們，也只能這么瞎猜猜了。

巴比倫人的天文學知識很豐富，三千年前就有了系統的觀測資料。他們的天文學家甚至能把新月和虧蝕出現的時間准確地算到幾分鍾之內。

巴比倫古代有的是陰歷。這陰歷的一月是按月亮的運行周期定的，所以有的月份是29天，有的月是30天，全是根據新月出現的情況來定。這樣，哪一個月定29天，哪一個月定30天，計算起來就復雜啦！

再者，陰歷的月和一年的時間長短也不能很好配合。12個月就是都照30天算，也還只有360天，何況這其中還有不少是29天的，這就和一年的天數差得多了。所以要根據情況，必要時在一年中插進一個月，變成13個月。這就是陰歷的閏月。如果19年裡插進7個月，也就是19年7閏，那麼月和年就能配合起來了。

這和我們中國用的農歷是完全一樣的。正所謂「英雄所見略同」吧。

使我們感興趣的還有他們建造過的許多巨大的天文台。這種建築通常是由7個梯台組成的，一個造在另一個的上面，就好像一架巨大的梯子伸向天空。每一個梯台上都塗有一種顏色，代表七個星球——太陽，月亮，金、木、水、火、土星。也許，這就是傳說中巴比倫造的通天塔吧。

用這種建築形式建造的宮殿，它的宏偉、樸素、勻稱和美觀是令人驚訝的。誰敢說，建造這些宏大的建築不需要幾何知識呢？

說了巴比倫，下面要把尼羅河畔的事由道一個明白。

這古埃及人得天獨厚，在尼羅河畔沐浴著陽光幸福地成長。當美索不達米亞的統治權在各個民族間你爭我奪，迭經更替的時候，埃及的文明卻在尼羅河的搖籃里獨自發展著。

埃及的文明源自何處今天已難以考證，不過可以肯定的是，在公元前5000年之前，就存在著。

在今天埃及這塊土地上，一開始有許多的州。每個州都有自己的名稱、都城，軍隊、政權、方言和圖騰，儼然是一個個獨立的小王國。

經過長期的戰爭和兼並，到公元前4000年代的中期，形成了兩個較大的王國。兩國以孟斐斯為界，以南的尼羅河谷地為上埃及，以北的尼羅河下游三角洲平原為下埃及。

公元前2100年左右，上埃及國王美尼斯征服了下埃及，實現了全埃及的統一。美尼斯把都城遷到上下埃及接壤的孟斐斯，並把它稱為「白城」。

以後埃及歷史的主要時期就以統治的朝代來命名，而以美尼斯為第一王朝的創建人。

埃及文化在第三王朝（公元前2500年左右）到達頂峰，當時的統治者建造了至今聞名的金字塔。一直到公元前332年，亞歷山大征服它以前，埃及文明都按著自己的道路延續著。從此以後，埃及的歷史和數學就融入到希臘文明中去了。

古代埃及文明的歷史延續了3000多年，是世界文明發祥地中的一個。

古代的埃及好像「書」沒有「同文」，他們有幾套自己的文字，最早的是象形文字，這些都和咱們中國一開始的情況差不多。公元前2500年左右，開始用一種所謂「僧侶文」來作日常的書寫。

他們又是怎麼書寫的呢？大家或許都知道就是用墨水寫在紙草片上。

紙草是尼羅河下游的一種植物，又叫紙莎草，形狀像蘆葦。古代埃及人把這種草從縱面剖開，壓平後用來寫字。同時，一般是把許多條紙草片粘在一起，連成長幅，卷在一個桿子上，形成卷軸（倒很人些象我們的卷軸書畫呢！），所以這些紙草文書又叫紙草卷。

古埃及的氣候乾燥，所以紙草卷不會霉爛，這樣就能保存下來，留給後世；但正因為也太幹了點，所以紙草片又容易乾裂成碎末，這樣保存下來的又不多。正所謂「成也蕭何，敗也蕭何」，老天爺弄得也挺為難的。

留給後世的紙草文書那可是大不一樣了，恆溫恆濕，高精控制，比總統住的還高級。這裡面有數學內容的主要是兩批。

一批是在1893年由俄羅斯收藏家哥列尼舍夫所收購，1912年轉為莫斯科美術博物館所有，所以叫莫斯科紙草卷。

一批是1858年由英國發現的，現存英國博物館。因為它的作者阿摩斯，是公元前1700年左右的一位埃及僧人，所以又叫阿摩斯紙草文書。

據這位僧人記載，這份紙草文書的內容是從公元前2200年第十二王朝時代的紙草文書上轉錄下來的。他在這份紙草文書的開頭寫下了這么句話：「獲知一切奧秘的指南。」

數學紙草卷都是在古埃及政府和廟宇里工人的紀錄員們記下的作品。

在萊因德紙草文書里有85道數學問題和解答，莫斯科紙草文書里有25道。雖然這些數學問題「解答大全」是在公元前1700年左右編寫的，但所含的數學知識是埃及人早在公元前3500年就已經知道的，而從那時起直到希臘人征服他們以前，他們也還是沒增加什麼新內容。

埃及的數學就這么平靜地流淌了三四千年，好像尼羅河停止不動了。不過，當時的生產水平也就那麼高，當時的需要也就那麼多。紙草卷上的那點數學也就足矣！

看來不但時勢造英雄，時勢也成就科學。

從紙草卷上來看，古埃及還學會用數學來管理國家和宗教事務，確定付給勞役者的報酬，求谷倉的容積和田地的面積，徵收按田畝估出的地稅，計算修房蓋屋和建防禦工程所需要的磚塊，再算算釀酒要多少穀物，等等，數學一開始就是從實際需要發展起來的，這恐怕是全球都適用的公理。

古埃及人創造了一套從一到一百萬的有趣的像形數字記號。咱們前面已見識過：1是垂直的一根木棒，10是一副腳鐐（有人把這解釋為放牛時用的彎曲工具），100是一卷捲起來的測量繩（可能當時每卷測繩都是100個長度單位），1000是朵蓮花。

一萬呢，是個手指頭，十萬就畫成小蝌蚪。最有趣的是一百萬，畫了一個舉起雙手錶示吃驚的人（這么大的數確實也令我們吃驚，古埃及好像是最早寫出這么大數的人）。

這套數字元號是以10為底的，但不是進位制的。書寫的方式呢，也是從右向左。咱們在上一回已經看到了，故且放下不提。

埃及的算術具有加法的特徵，不但加法是加，而且乘法也是用疊加的方法做出來的。

現在我們當一回古埃及人，做一下26與33的積，看看究竟是如何疊加的。

因為26＝16＋8＋2，所以我們只要把33的這些倍數（2倍、8倍、16倍）加起來就行了。而2、8、16等等，都是2的乘冪，所以只要對33逐次加倍就可能得到所求的倍數。

具體做法如下：

把那些帶有星號（「*」）的33的倍數加起來，就得到答案858。

做除法呢，就是連續減去加倍。

比如對753除以26，可以連續地把除數26加倍，一直到再加倍就超過被除數753為止。其程序如下：

126252410482081641628

右邊的一列分別表示26的1倍、2倍、4倍、8倍、16倍，26的32倍已經超過被除數753，所以就沒有列出。

因為

753＝416＋337

＝416＋208＋129

＝416＋208＋104＋25

這樣我們又可以得到：753—26×（16＋8＋4）＝25減式中一共有16＋8＋4＝28個26，所以商就是28，余數為25。

有人會想了，如果一個除法中，商不是28，能不能由左邊的那列數：1、2、4、8……，也就是2的各次乘冪，相加得到呢？

回答是肯定的。因為任何一個整數，都可以表示成2的各次冪的和。為什麼呢？這是因為任何一個整數都可以用「除二取余」的方法化成二進制數。一進制數不就是2的乘冪的和嗎？

埃及的乘法和除法在計算過程中不僅不需要乘法表，而且便於用算盤。

古埃及的乘法程序不斷發展，到後來就把上面講過的疊加法改變為「雙倍和折半法」。

假如我們還是以33乘以26，那麼就可以連續地減半26，並對33連續加倍：

然後把倍列中的那些與半列中奇數相對應的33倍數加起來，即66＋264＋528，便得到乘積858。

這其中的道理其實只要把26化為二進制數，就能理解。

今天電腦中的乘法就是用這種方法進行的，因為電腦中數的表示都是二進制。相信朋友們自己能夠解決這個問題，我們就不多談了。

埃及人的分數記法也比較獨特，還比較復雜。比如在像形文字中：

大家可以看到這卯形（■）的下面是個整數，所以卯形■加在整數上就表示是一個幾分之一的分數，也就是單位分數。

其他的分數就用單位分為九的和來表示

在萊因德紙草文書中有個數表，把分子為2而分母為5到101的奇數的這樣一些分數，表達成單位分數的和：

利用這張數表，就能把其他一些分數寫成分子為1的單位分數之和，埃及人利用單位分數來進行分數四則運算。

這分數運算這么一來很繁瑣，恐怕這也是尼羅泥畔的算術和代數沒有達到更高水平的原因吧。

在萊因德紙草文書的85個問題中，許多都是用來計算麵包的分法，啤酒的深度，牛和家禽的飼料混和比例，還有穀物貯藏等的。

對於其中出現的未知量，他們用純粹算術的方法，沒有解方程這種想法。有些是用後來在歐洲稱為「試位法」的方法來解決的。

在卡洪發現的一份公元前2000年的紙草文書中，有這么個問題：

我們可以列出兩個現在的方程：

消去一個未知數，就得到一個一元二次方程，自然好解。可是，我們也可以用「試位法」來解這個問題。這「試位法」其實就是「假設法」。

比如，取y＝4，則x＝3。而x2＋y2＝25，不是100；所以我們必須修正x和y，把原來的數值加倍，這樣X＝6，y＝8。

當然，埃及人當時並沒有用未知量、方程，而是用文字去敘述解的過程的。所以這基本上只能是算術。

在萊因德紙草卷中，有一個問題（第79號問題）很有趣，對它的解釋也五花八門。在這個問題中，出現了一組奇妙的數據。我們把這個問題寫在下面：

一個人的全部財產

房子 7

貓 49

老鼠 343

麥穗 2410

穀物 16807 19607

眼睛尖的讀者可能已經發現，這些數是7的前5次冪，最後是它們的和。這樣，人們一開始就認為這不過是一張形象一點的7的乘方表。

然而有位歷史學家康托爾（不是那位數學家）在1907年對此給了一個更精彩也更合理的說法。

他首先聯想到中世紀一位義大利數學家斐波那契在他的《算盤書》中談到的一個問題：「有七個老婦人走在去羅馬的路上，每人有七匹騾子；每匹騾子馱七條口袋；每隻口袋裝七個大麵包；每個麵包帶七把小刀；每把小刀有七層刀鞘。在去羅馬的路上，婦人、騾子、口袋、麵包、小刀和刀鞘，一共有多少？」

這個問題後來在英國還演變成了一首童謠：

我赴聖地愛弗西，

途遇婦女數有七，

一人七袋手中提一袋七貓數整齊，

一貓七子緊相依，

婦女、布袋、貓與子，

多少同時赴聖地？

這么簡單的一聯想，思維的火花頓時迸出光芒，康托爾很自然地把萊因德79號問題解釋成：「一份財產包括七間房子；每間房子有七隻貓；每隻貓吃七隻老鼠；每隻老鼠吃七個麥穗；每個麥穗產七克穀物。在這份財產中，房子、貓、老鼠、麥穗和穀物，總共有多少？」

當今天的孩子在唱英國人的那首有趣的繞口令時，不知是否知道，這也許還是三千七百年前埃及人留傳下來的呢！

埃及人的幾何又是怎樣呢？尼羅河畔自然不能缺少幾何；而談到幾何，自然又想到巍巍屹立的金字塔。

公元前2900年建造的胡夫金字塔最大，它原高為146．5米（現在還剩下137米），用2000000塊石頭組成，每塊平均重2．5噸，非常仔細地砌在一起。正方形的底面每邊長233米（現在227米）。

此外金字塔的四個面正對著東南西北，與正北的偏差也只有3′左右。

這么高大的金字塔，建造精度如此之高，唯有嘆服也！不過有人認為，莫斯科紙草文書的第14個問題，更是一座最偉大的金字塔。

在這個問題中，要你求一個截去了頂的金字塔，也就是現在常說的稜台的體積。當然，它接著就告訴你上

Ⅲ 關於十進制的歷史問題

十進制的演化

早期的計數形式，並沒有位置值系統．何為位置值系統呢？位置值系統是這樣一種數的系統，每個數字所安放的位置，影響和改變該數字的值．例如，在十進制中數375中的數字3，它的值不是3，而因為它位於百位的位置，所以其值是300．

約在公元前1700年，60進制開始出現，這種進制給了米索不達米亞人很大幫助．米索不達米亞發展了它，並將它用於他們的360天的日歷中，今天人們已知的最古老的真正的位置值系統是由古巴比倫人設計的，而這種設計獲自幼發拉底河流域人們所用的60進制．為了替代所需要寫的，從0至59這六十個符號，他們只用了兩個記號，可以用它們施行復雜的數學計算，只是其中沒有設置0的符號，而是在數的左邊留下一個空位表示零．

大約在公元前300年，一種作為零的符號開始出現，而且60進制也得以廣泛的發展．在公元後的早些年，希臘人和印度人開始使用十進制，但那時他們依然沒有位置的記數法．為了計算，他們利用了字母表上的頭十個字母．最後，大約於公元500年，印度人發明了十進制的位置記數法．這種記數法放棄了對超過9的數字採用字母的方法，而統一用頭九個符號，大致於公元825年左右，阿拉伯數學家阿爾·花拉子米寫了一本有關對印度數字仰慕的書．

十進制傳到西班牙差不多是11世紀的事，當時西阿拉伯數字正值形成．此時的歐洲則處於疑慮和緩慢改變的狀態．學者和科學家們對十進制的使用表示沉默，因為用它表示分數並不簡單．然而當商人們採用它之後，便逐漸變得流行起來，而且在工作和記錄中顯示出無比的優越性．後來，大約在16世紀，小數也出現了．而小數點，則是J·納皮爾於公元1617年建議推廣的．

或許，將來會有一天，隨著我們的需要和計算方法的改變，一個新的系統將替代我們現有的十進制！

Ⅳ 哪個國家最早使用十進制計數法

十進位 位值制記數法 包括十進位和位值制兩條原則，"十進"即滿十進一；"位值"則是同一個數位在不同的位
置上所表示的數值也就不同，如三位數"111"，右邊的"1"在個位上表示1個一，中間的"1"在十位上就表示1個十，
左邊的"1"在百位上則表示1個百。這樣，就使極為困難的整數表示和演算變得如此簡便易行，以至於人們往往忽
略它對數學發展所起的關鍵作用。
古代人數數是離不開手指的，而一般人的手指恰好有十個。因此十進制的使用似乎應該是極其自然的事。但
實際情況並不盡然。在 文明古國 巴比倫 使用的是60進位制（這一進位制到現在仍留有痕跡，如一分=60秒等）另
外還有採用二十進位制的。 古代埃及 倒是很早就用10進位制，但他們卻不知道位值制。所謂位值制就是一個數碼
表示什麼數，要看它所在的位置而定。位值制是千百年來人類智慧的結晶。零是位值制記數法的精要所在。但它
的出現卻並非易事。我國是最早使用十進制記數法，且認識到進位制的國家。我們的口語或文字表達的數字也遵
守這一原則，比如一百二十七。同時我們對0的認識最早。

Ⅳ 世界上所有的文明一開始都是採用十進制嗎

春秋時代發展成熟的籌算使十進製得以完備。一九五四年，長沙左家公山一座戰國墓中出土了長短一致的竹棍四十根，這就是算籌實物。算籌可以用來表示數目。這些算籌組成的符號進一步組合起來，可以表示任何自然數。具體的方法是個位數用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位再用橫式……即「一縱十橫」，「百立千僵」。這種擺放方式就是採用了十進制。在不同的位上分別採用縱橫兩種算籌擺放方式，表明當時人們已認識到相同的數在不同的位時，意義不同。《墨子》說：「一少於二而多於五，說在建位」，表明由於「一」處於個位與十位時的意義不同，它既可以小於二，又可以大於五。
十進制是一種便捷的計數方法，而籌算是一種有效的工具，兩者均是中國對世界的重大貢獻。在同時代的各古代文明中，只有中國提出了十進制。當古希臘偉大學者阿基米德費盡心機地陳述如何用字母系統表示大數時，中國人已「持籌而算」這些大數，甚至「善計者不用籌策了」。沒有看似平常的十進制，便很難順利表述較大的數字。世界上目前仍有一些處於原始發展階段的部族，對於十以上的數字只能統稱為「多」，恐怕與沒有適當的進位方法有關。
現在全球通用的一、二、三、四、五等所謂「印度—阿拉伯」數字出現很晚。公元六世紀，印度才有「二十」、「三十」等表示十的倍數的數字記號；公元七世紀，印度才有了採用完整十進制的證據。此時，中國與印度的往來早已不是什麼難得的事情了。公元十世紀，十進制記數法傳入歐洲，為其後近代自然科學的興起打下了一個重要基礎。法國數學家拉普拉斯曾這樣評價十進制：「這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以至於我們忽視了它的真正偉績。
但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發明中列在首位。而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大了。」
先進的計數方法導致了整個數學領域的發展。中國古代數學中的分數、負數、小數概念，解高次方程和線性方程組的方法，內插法，一次同餘式組解法等，均與籌算和十進制有關。負數概念就誕生於「持籌而算」的過程中，至晚在戰國時，人們已在籌算中以紅籌表示正數，黑籌表示負數。籌演算法還是後來機械運演算法的前身。
在籌演算法與十進制完善之際，即春秋戰國時，中國古代數學進入了第一個輝煌時期。戰國初期《法紀》中關於一個農夫家庭收支的敘述中，已使用了加、減、乘、除運演算法。古代歷法中回歸年，朔望月長度（日數）均不是整數，其中的非整數部分都是用分數來表示的，且歷法中已有了分數的計算。在幾何方面，勾股定理已被發現，點、線、面、體概念也由墨家提了出來。極限概念漸趨明確。最為重要的是，以《周髀算經》、《墨經》為代表的一批流傳千古的數學著作在那時誕生了。
《人民日報海外版》 (2002年04月22日第八版)

Ⅵ 世界古代四大文明最原始的計數方法都是幾進制

中國人在世界上比較早使用十進位制計算，至遲在商代時，中國已採用了十進位值制。並發明了算籌這一當時世界上最為先進的計算方式——一種以相同長度的小棍棒為計算工具的計算方式（圖一），立算籌代表個、百、萬，卧算籌代表十、千、十萬，如此類推，算籌可表達非常巨大的數目，而且准確無誤。 羅馬數字與進位制無關，古巴比倫數字為六十進制，瑪雅人的數字體系是二十進制或十八進制的。 資料：古埃及的數字從一到十隻有兩個數字元號，從一百到一千萬有四個數字元號，而且這些符號都是象形的，如用一隻鳥表示十萬。古希臘由於幾何發達，因而輕視計算，記數方法落後，是用全部希臘字母來表示一到一萬的數字，字母不夠就用加符號「『」等的方法來補充。古羅馬採用的是累積法，如用ccc表示300。印度古代既有用字母表示，又有用累積法，到公元七世紀時方採用十進位值制，很可能受到中國的影響。現通用的印度——阿拉伯數碼和記數法，大約在十世紀時才傳到歐洲。

Ⅶ 為什麼世界各國都採用十進制

因為人都有10個手指，十進制最容易被所有人接受。

亞里士多德稱人類普遍使用十進制，只不過是絕大多數人生來就有10根手指這樣一個解剖學事實的結果。實際上，在古代世界獨立開發的有文字的記數體系中，除了巴比倫文明的楔形數字為60進制，瑪雅數字為20進制外，幾乎全部為十進制。只不過，這些十進制記數體系並不是按位的。

(7)巴比倫文明採用的是多少進制的數學計算方法擴展閱讀：

十進制源於十指。

與十進制相比，二進制最簡單，只需要兩個基本數值，但是使用使用起來卻很麻煩。試想原始人打獵，獲得三個獵物就得進一位，獲得五個就又得進一位，是不是更麻煩。進位是更復雜的計算，所以瑪雅人寧可使用二十進制數完手指再數腳指也不願進位。

八進制是有其優越性的，因為它是二的倍數，又是二的倍數的倍數，似乎優於十進制；它之所以沒能流行，還是因為人類的習慣，原始人在用手指數數的時候不可能放棄兩個大拇指不用，本來手指就不算多，豈有再浪費的理由？

十二進制源於一年十二個月無疑，有人說太陰歷中有的年份是十三個月，但是這不是常態，所以多出的那個月算閏月，閏月連自己的專名都沒有，它甚至不配佔用一個數字，比如說閏八月不叫九月，否則臘月就得叫十三月了。

Ⅷ 論述古巴比倫的三大數學成就

1、算術

古代巴比倫人是具有高度計算技巧的計算家，其計算程序是藉助乘法表、倒數表、平方表、立方表等數表來實現的。巴比倫人書寫數字的方法，更值得我們注意。

他們引入了以60為基底的位值制（60進制），希臘人、歐洲人直到16世紀亦將這系統運用於數學計算和天文學計算中，直至現在60進制仍被應用於角度、時間等記錄上。

2、代數

巴比倫人有豐富的代數知識，許多泥書板中載有一次和二次方程的問題，他們解二次方程的過程與今天的配方法、公式法一致。此外，他們還討論了某些三次方程和含多個未知量的線性方程組問題。

在1900B.C.～1600B.C.年間的一塊泥板上（普林頓 322號），記錄了一個數表，經研究發現其中有兩組數分別是邊長為整數的直角三角形斜邊邊長和一個直角邊邊長，由此推出另一個直角邊邊長，亦即得出不定方程X2+Y2=Z2的整數解。

3、幾何

巴比倫的幾何學與實際測量是有密切的聯系。他們已有相似三角形之對應邊成比例的知識，會計算簡單平面圖形的面積和簡單立體體積。

(8)巴比倫文明採用的是多少進制的數學計算方法擴展閱讀

古巴比倫人使用楔形文字。人們已經能區分恆星和五大行星，觀測出黃道，以後又區分出黃道上的12個星座，繪制出黃道12宮的圖形。而且還掌握四則運算、平方、立方和求立方根、平方根的法則，能解有3個未知數的方程 。

他們求出的圓周率為3， 並得出直角三角形的勾+股=弦的定理。在建築和雕刻方面，古巴比倫人也有所發展。《漢謨拉比法典》石柱柱頭浮雕技法已經比較熟練，線條朴實有力。

Ⅸ 為什麼所有的文明中的數學都是十進制的

人類算數採用十進制，可能跟人類有十根手指有關。亞里士多德稱人類普遍使用十進制，只不過是絕大多數人生來就有10根手指這樣一個解剖學事實的結果。實際上，在古代世界獨立開發的有文字的記數體系中，除了巴比倫文明的楔形數字為60進制，瑪雅數字為20進制外，幾乎全部為十進制。只不過，這些十進制記數體系並不是按位的。

Ⅹ 文明之一的古代巴比倫，為什麼選擇60這個數作為進制

因為度數起源於天文學,從地球上觀察,太陽在黃道上日行一度,365.25天一年一圈,為了方便計算,講圓形定位360度,一年四季各有90度,每個月佔30度.因此有了30
60 90 180 360這樣的數據.另外等邊三角形的每個角都是60度,是一個完美圖形.埃及金字塔的每個三角形就是等邊三角形.
對於這個人們有兩種見解：
一種見解：
巴比倫人最初以360天為一年，將圓周分為360度，而圓內接正六邊形的每邊都等於圓的半徑，每邊所對的圓心角恰好等於60度，60進制由此而生．
另一種見解則認為，從出土的泥板上可知，巴比倫人早就知道一年有365天．他們選擇60進制是因為60是許多常用數（比如2、3、4、5、6、10……）的倍數．特別是60=12×5，其中12是一年的月份數，5是一隻手的手指數．