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如何用數學推導解釋彈性

發布時間:2022-05-21 09:58:11

Ⅰ 高等數學,邊際與彈性基礎問題

簡單點說邊際是線性模型當中,自變數(X)與應變數(Y)也呈線性關系的模型裡面的自變數前系數(參數),解釋起來是X每增加(減少)一個單位,Y平均增加(減少)系數值個單位.

彈性則是線性模型當中,對數模型裡面自變數ln(X)前系數(參數),解釋起來是X每增加(減少)1%,Y平均增加(減少)系數值%.

具體邊際與彈性的公式就不給你寫了,上述回答是邊際與彈性在計量經濟學中的簡單解釋

Ⅱ 彈性公式是什麼

彈性系數的計算公式:ε= (△Q/Q)/(△P/P)= -(P×dQ)/(Q×dP)。

價格彈性指價格變動引起的市場需求量的變化程度。它是企業決定產品提價或降價的主要依據。價格彈性表明了供求對價格變動的依存關系,反映了價格變動所引起的供求的相應的變動率,是衡量價格變動和市場需求量關系的一個指標。

特點:

價格彈性的范圍(0,+∞)不等,價格彈性可分為需求價格彈性、供給的價格彈性、交叉價格彈性、預期價格彈性等類型。需求價格彈性系數的大小對銷售者的收入有影響,具體表現為:

1、如果需求價格彈性系數小於1,價格上升會使銷售收入增加。

2、如果需求價格彈性系數大於1時,那麼價格上升會使銷售收入減少,價格下降會使銷售收入增加。

3、如果需求價格彈性系數等於1,那麼價格變動不會引起銷售收入變動。

以上即大家所說的薄利多銷策略。其實除去價格彈性,品牌的忠誠度、品牌的健康形象、類別的動態等也影響產品的銷售和利潤,商家要參考多方面因素來制定銷售方案。

Ⅲ 西方經濟學點彈性怎麼求關鍵是數學差,求詳解步驟。

首先跟你說一下數學上的彈性,這個比較簡單,因為簡化成了x和y的關系。
我們把y=f(x)的彈性函數記為Ey/Ex=(△y/y)/(△x/x)
當△x無限趨近於0時要求極限來求彈性
它能表示任意一點x的彈性,此處就是點彈性的意思
如果不用求極限直接△其實就是求差值這個是求弧彈性的,但是不用管那麼多,你只需要記住公式化簡到最後的結果,直接用就可以。化簡後,Ey/Ex=x·f'(x)/y。用中文說一下,就是y分之x再乘以y的導數。
彈性就是這么回事。
然後應用到經濟學上。例如需求的價格彈性,其自變數是P,即數學公式上的x,因變數是Q,即數學公式上的y。注意經濟學上有時會加上負號來凸顯升降之類的,所以求需求的價格點彈性,
即ed=-Q『(P)·P/Q

Ⅳ 微觀經濟學 價格彈性理論數學推導過程

q等於A×p的e次方(那個數學符號我打不出來,暫時用e代替)
彈性為1的商品e為-1,所以q與p的乘積A即收入不變.

Ⅳ 彈性力學的常用的數學方法

彈性力學中常用的數學方法可分分成兩類:
①精確解法 包括分離變數法和彈性力學的復變函數方法。彈性力學中的許多精確解是用分離變數法求得的。其步驟大致如下:根據物體的形狀,選擇一種合適的曲線坐標系,並寫出相應於該坐標系的彈性力學微分方程和邊界條件,如果微分方程中的變數能夠分離,通常便可求得問題的解。能用分離變數法求得精確解的問題有:無限和半無限體的問題,球體和球殼的問題,橢球腔的問題,圓柱和圓盤的問題等。
對於能化為平面調和函數或平面雙調和函數的問題,復變函數方法是一個有效的求解工具《柱體的扭轉和彎曲問題、平面應變和平面應力問題以及薄板彎曲問題中的許多重要精確解都是用復變函數法求得的。
②近似解法 為求解一些復雜的問題,在彈性力學中還發展了許多近似解法,能量法就是其中用得最多的一類方法,它把彈性力學問題化為數學中的變分問題(泛函的極值和駐值問題),然後再用瑞利-里茲法求近似解。能量法的內容很豐富,適應性很強。工程界當前廣泛使用的有限元法是能量法的一種新發展。差分法也是一種常用的近似解法,其要點是用差商近似地代替微商,從而把原有的微分方程近似地化為代數方程。此外,邊界積分方程、邊界元法和加權殘數法對解決某些問題也是有效的手段。
數學彈性力學的典型問題 有以下幾類:
①一般性理論 它探討解的共性和一般性的求解方法。一般性理論中,最核心的部分是能量原理(定理),包括虛功原理(虛位移原理、虛應力原理)、功的互等定理、最小勢能原理、最小余能原理、赫林格-瑞斯納二類變數廣義變分原理和胡海昌-鷲津久一郎三類變數廣義變分原理等。解的存在性、唯一性、解析性、平均值定理以及近似解的收斂性等,也都和能量原理有密切聯系。這些一般性理論,是建立各種近似解法和建立工程結構實用理論的依據。
一般性理論的另一重要方面是未知函數的歸並理論,其主要內容是將彈性力學問題歸為求解少數幾個函數,這些函數常稱為應力函數和位移函數。
②柱體扭轉和彎曲 一個側面不受外力的細長柱體,在兩端面上的外力作用下會產生扭轉和彎曲。根據聖維南原理,柱體中間部分的應力狀態只與作用在端面上載荷的合力和合力矩有關,而與載荷的具體分布無關。因此,柱體中間部分的應力有以下的表達式:
這里的x、y軸為橫截面的兩個主軸;z軸平行於柱體的母線;為應力分量,A為橫截面的面積;Ix和Iy為橫截面對x軸和y軸的慣性矩(見截面的幾何性質);N、Mx和My分別為作用在截面上的軸向合力、對x軸和y軸的彎矩。彎矩Mx、My是坐標z的線性函數,可用材料力學的方法求得。式(11)給出的與材料力學的解相同,但給出的剪應力比材料力學的結果精確。決定的問題最後可歸為求解一個平面調和函數的邊值問題。
③平面問題 平面問題是彈性力學中發展得比較成熟,應用得比較廣的一類問題。平面問題可分為平面應力問題和平面應變問題。兩者的應用對象不同,但都可歸為相同的數學問題——平面雙調和函數的邊值問題.
平面應力問題適用於薄板。若在薄板的兩個表面上無外力,而在側面上有沿厚度均勻分布的載荷(圖1),則薄板中的位移和應力有如下特點:
且以及x、y方向的位移u、v都與坐標z無關。對於各向同性材料,上述五個不等於零的量可以用一個應力函數φ(x,y)(艾里應力函數)表示為:
而應力函數φ是一個平面雙調和函數,即
平面應變問題適用於長柱體的中間部分。若柱體的兩端面固定不動,而作用在側面上的載荷和坐標z無關,且合力及合力矩等於零(圖2),則柱體中間部分的應力和位移有如下特點:
縱向位移ω=0,且、u、v與坐標z無關。對於各向同性的材料,上述五個不等於零的量也可用一個雙調和函數φ表示為公式(13),不過須將其中的E和v分別代以
④變截面軸扭轉變截面軸受扭時,在截面的過渡區(圖3)常有應力集中現象。分析這類問題以取圓柱坐標系(r,θ,z)為方便。在圓柱坐標系中的位移分量和應力分量分別記為u、v、w和
這類問題的力學特點是: u=w=0和
v、和與坐標z無關。上述不等於零的兩個剪應力和可用一個應力函數(r,z)表示為:
而滿足下列偏微分方程:
這類問題最後歸為方程(15)的邊值問題。
⑤回轉體的軸對稱變形各向同性的回轉體在軸對稱載荷作用下,必然產生軸對稱的變形。在圓柱坐標系(r,θ,z)中,軸對稱變形的特點是:v=0,=,且u、w、、、和與坐標θ無關。上述不等於零的六個量,可以用一個位移函數(x,y)表示為:
其中△是軸對稱的拉昔拉斯算符,即
而是軸對稱的雙調和函數,即
⑥工程結構元件的實用理論 從廣義上說,各種工程結構元件的實用理論(如桿、板、殼的實用理論)都是彈性力學的特殊分支,而且是最有實用價值的分支。這些實用理論分別依據結構元件形狀及其受力的特點,對位移分布作一些合理的簡化假設,對廣義胡克定律也作相應的簡化。這樣,就能使數學方程既得到充分簡化又保留了主要的力學特性。從彈性力學看,這些結構元件的實用理論都是近似理論,其近似性大多表現為按照這些理論計算得到的應力和應變不能嚴格滿足胡克定律。

Ⅵ 如何推導出彈性勢能的表達式

設想在重力作用下,一個物體緩慢從地面升至高度h處。
在有限高度內,重力可視為恆量mg。不隨高度的變化而變化。
因此 重力對物體所做的功為 -mgh。(重力與位移方向相反,所以功為負)
重力屬於保守力,保守力所做的功 + 保守力勢能 = 常量。
因此,重力勢能的表達式為 mgh。(以地面為勢能零點)

------------------------------
而對一個彈性系統,彈性恢復力 F = - kx。
(k為彈性恢復系數,x表示離開平衡位置的距離)。
與重力不同,彈性恢復力不是常量,隨著位移x的變化而變化。
因此 這個題目需要微積分知識的基礎。

距離平衡位置為x時,恢復力為 F = -kx,負號表示恢復力的方向是指向平衡位置。其中k為彈性恢復系數。

從平衡位置 到達x位置,恢復力所做的功為 恢復力與位移乘積 從0到x 的定積分。即
W = ∫F*dx = ∫-kx * dx = -kx^2/2 (從0到x)= - kx^2/2 - 0 = - kx^/2

恢復力屬於彈性系統的內力,和重力一樣,也屬於保守力。
保守力所做的功 = 保守勢能變化的負值
以平衡位置為勢能零參考點。因此
彈性勢能 E = -W = kx^2/2
===================================================
做 F---x 關系曲線。從這條直線的 起點和終點 分別向x軸做垂線。
那麼由 這兩條垂線、x軸、F--x曲線 圍成了一個閉合圖形。
這個圖形的面積 就是 力F所做的功 W。

上面講的這段 在中學 接觸過沒?如果沒有的話,那就直接承認。對於知識儲備不足而尚不能證明的理論,先暫且直接承認,這也是常用的學習方法。

對於本題目,
以 彈性力 F = -kx 作為y軸,
以 伸縮量 x 作為 x軸
F--x「曲線」是通過坐標原點的一條直線。
經從該直線的起點和終點向x軸做投影後,得到第四象限的一個三角形。
三角形的面積為
S = 底*高/2 = (x-0)*kx/2 = kx^2/2
由於力的方向與位移方向相反(同時也因為是在x軸下方),所以 F所做的功是面積的負值,即
W = -S = -kx^2/2
而彈性勢能為
E = -W = kx^2/2

Ⅶ 高等數學 邊際與彈性,怎麼推導出來的

你好!這就是用乘積的導數公式,注意P對P的導數是1。經濟數學團隊幫你解答,請及時採納。謝謝!

Ⅷ 彈簧的彈性勢能表達式怎樣推導

設想在重力作用下,一個物體緩慢從地面升至高度h處。
在有限高度內,重力可視為恆量mg。不隨高度的變化而變化。
因此 重力對物體所做的功為 -mgh。(重力與位移方向相反,所以功為負)
重力屬於保守力,保守力所做的功 + 保守力勢能 = 常量。
因此,重力勢能的表達式為 mgh。(以地面為勢能零點)

------------------------------
而對一個彈性系統,彈性恢復力 F = - kx。
(k為彈性恢復系數,x表示離開平衡位置的距離)。
與重力不同,彈性恢復力不是常量,隨著位移x的變化而變化。
因此 這個題目需要微積分知識的基礎。

距離平衡位置為x時,恢復力為 F = -kx,負號表示恢復力的方向是指向平衡位置。其中k為彈性恢復系數。

從平衡位置 到達x位置,恢復力所做的功為 恢復力與位移乘積 從0到x 的定積分。即
W = ∫F*dx = ∫-kx * dx = -kx^2/2 (從0到x)= - kx^2/2 - 0 = - kx^/2

恢復力屬於彈性系統的內力,和重力一樣,也屬於保守力。
保守力所做的功 = 保守勢能變化的負值
以平衡位置為勢能零參考點。因此
彈性勢能 E = -W = kx^2/2
===================================================
做 F---x 關系曲線。從這條直線的 起點和終點 分別向x軸做垂線。
那麼由 這兩條垂線、x軸、F--x曲線 圍成了一個閉合圖形。
這個圖形的面積 就是 力F所做的功 W。

上面講的這段 在中學 接觸過沒?如果沒有的話,那就直接承認。對於知識儲備不足而尚不能證明的理論,先暫且直接承認,這也是常用的學習方法。

對於本題目,
以 彈性力 F = -kx 作為y軸,
以 伸縮量 x 作為 x軸
F--x「曲線」是通過坐標原點的一條直線。
經從該直線的起點和終點向x軸做投影後,得到第四象限的一個三角形。
三角形的面積為
S = 底*高/2 = (x-0)*kx/2 = kx^2/2
由於力的方向與位移方向相反(同時也因為是在x軸下方),所以 F所做的功是面積的負值,即
W = -S = -kx^2/2
而彈性勢能為
E = -W = kx^2/2

----------------------------------------------------
為什麼說圖像的面積就是彈簧彈性勢能呢?

彈性勢能的公式是中學階段一個非常「基本」的物理公式,但在教科書上卻見不到其推導過程。原因就在於其推導過程超出了中學生的知識范圍。
求知慾強的學生 總是希望能知道其推導過程。但是把推導過程給出後,因為知識基礎不夠用,所以看不懂,會產生各種疑問。當這些疑問解決不了的時候,希望不要心急,因為你的知識儲備不足。

簡單回答你的疑問。
因變數F作為自變數x的函數,該曲線下的面積 就是 F所做的功。這是一個數學結論。
你可以設想,假設 F 是一個常量。那麼經過位移 x-x0後,F所做的功就是 F*(x-x0)。現在把這個結論數學化! 依然做 F-x函數圖象。那麼圖象是一條與 x 軸平行的直線。該直線距離x軸的距離就是F。因此 功 F(x-x0) 就在該函數圖象上對應著 一個矩形的面積,而該矩形由從F直線的起點和終點向x軸做投影而形成。
上一段討論中 F 是一個常量。F所做的功的表達式也因此很簡單。而當 函數圖象不在是與x軸平行時,F所做的功就等於 F關於x的積分。而「積分」這個數學概念在中學階段還沒有接觸,所以你會很難理解。而在數學上,「積分」的結果依然是函數曲線向x軸做投影後所圍成的圖形的面積。

Ⅸ 需求彈性函數公式是什麼

需求價格彈性系數的計算:

(1)一般公式:需求收入彈性=需求變動百分比/收入變動百分比。即Ed=-(△Q/Q)/(△R/R)

(2)需求的價格弧彈性的中點公式:Ed=-△Q/△P●((P1+P2)/2)/((Q1+Q2)/2)

如果僅僅是一般地計算需求曲線上某一段的需求的價格弧彈性,而不是具體地強調這種需求的價格弧彈性是作為漲價還是降價的結果,則為了避免不同的計算結果,一般採用中點公式。

一種商品的需求對另一種商品價格變動的反應程度或敏感程度。對於兩種商品X,Y,商品X對商品Y的交叉彈性就等於商品X需求的相對變動與商品Y價格的相對變動之比。

(9)如何用數學推導解釋彈性擴展閱讀:

彈性沿著直線型需求曲線發生變化。 當沿著曲線向上、向左等量移動時,需求量的百分比變化增加,(基準數值變小),而價格的百分比變化下降(價格的基準數值變大)。因此,需求變得越來越有彈性。影響需求價格彈性的因素:

1、相似替代品的可獲得性。有相似替代品的商品需求彈性往往很大。例如黃油和人造黃油就可以很輕易的替代。而代用品越多,當一種商品價格提高時,消費者就越容易轉向其他商品,所以彈性就越大,反之則越小。

2、必需品與奢侈品。產品的性質,一般而言,生活必需的需求彈性較小,奢侈品需求彈性大。

3、市場的定義,任何一個市場的需求都取決於我們所劃定的市場范圍。市場小則容易找到替代品。

4、商品用途的廣泛性,如果一種商品的用途很廣泛,當商品的價格提高之後消費者在各種用途上可以適當地減少需求量,從而彈性越大,反之越小。

5、商品消費支出在消費者預算支出中所佔的比重,當一種商品在消費者預算支出中占很小的部分時,消費者並不大注意其價格的變化,如買一包口香糖,你可能不大會注意價格的變動。

Ⅹ 如何用數學方法證明富有彈性的商品降價會增加廠商收入

其實可以完全不用求導,僅僅用一點無窮小知識的基本代數運算就出來了。。。

(P-△P)(Q+△Q)-PQ=P*△Q-△P*Q-△P*△Q

上式最後一項相對前兩項是一個高階無窮小,故上式的符號只需考慮P*△Q-△P*Q即可

根據(△Q/Q)/(△P/P)與1的關系,則一切相關的結論自明!

以上是價格的變動相對於原價是一個微小的變動下成立的,

其實樓上各位的求導也是為了說明這只是在原來固定價格上的點彈性

實質是一樣的

本文來自: 人大經濟論壇 微觀經濟學 版,詳細出處參考:

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