極限的數學思想是什麼

『壹』 極限運演算法則中兩個重要的極限

第一個重要極限和第二個重要極限公式是：

極限是微積分中的基礎概念，它指的是變數在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值（極限值）。極限的概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴格闡述。在現代的數學分析教科書中，幾乎所有基本概念（連續、微分、積分）都是建立在極限概念的基礎之上。

拓展資料：

極限的思想是近代數學的一種重要思想，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論(包括級數)為主要工具來研究函數的一門學科。

所謂極限的思想，是指「用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想」。

用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：

對於被考察的未知量，先設法正確地構思一個與它的變化有關的另外一個變數，確認此變數通過無限變化過程的』影響『趨勢性結果就是非常精密的約等於所求的未知量；用極限原理就可以計算得到被考察的未知量的結果。

極限思想是微積分的基本思想，是數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數（為0得到極大值）以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：「數學分析是一門什麼學科?」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科，並且計算結果誤差小到難於想像，因此可以忽略不計。

極限思想在現代數學乃至物理學等學科中，有著廣泛的應用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變數與常量、無限與有限的對立統一關系，是唯物辯證法的對立統一規律在數學領域中的應用。藉助極限思想，人們可以從有限認識無限，從「不變」認識「變」，從「直線構成形」認識「曲線構成形」，從量變去認識質變，從近似認識精確。

「無限」與』有限『概念本質不同，但是二者又有聯系，「無限」是大腦抽象思維的概念，存在於大腦里。「有限」是客觀實際存在的千變萬化的事物的「量」的映射，符合客觀實際規律的「無限」屬於整體，按公理，整體大於局部思維。

「變」與「不變」反映了事物運動變化，與相對靜止，兩種不同狀態，但它們在一定條件下又可相互轉化，這種轉化是「數學科學的有力杠桿之一」。例如，物理學，求變速直線運動的瞬時速度，用初等方法無法解決，困難在於變速直線運動的瞬時速度是變數不是常量。為此，人們先在小的時間間隔范圍內用「勻速」計算方法代替「變速」狀態的計算，求其平均速度，把較小的時間內的瞬時速度定義為求「速度的極限」，是藉助了極限的思想方法，從「不變」形式來尋找「某一時刻變」的「極限」的精密結果。

『貳』 有誰能告訴我什麼是極限思想，唉，真心難理解

極限的思想是近代數學的一種重要思想，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論(包括級數)為主要工具來研究函數的一門學科。
所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對於被考察的未知量，先設法構思一個與它有關的變數，確認這變數通過無限過程的結果就是所求的未知量；最後用極限計算來得到這結果。
極限思想是微積分的基本思想，數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：「數學分析是一門什麼學科?」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科」。
設函數f(x)在點x。的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數δ ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時，對應的函數值f(x)都滿足不等式：
|f(x)-A|<ε
那麼常數A就叫做函數f(x)當 x→x。時的極限。
極限的思想方法貫穿於數學分析課程的始終。可以說數學分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數學分析著作中，都是先介紹函數理論和極限的思想方法,然後利用極限的思想方法給出連續函數、導數、定積分、級數的斂散性、多元函數的偏導數,廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。如：
（1）函數在 點連續的定義，是當自變數的增量時，函數值的增量趨於零的極限。
（2）函數在 點導數的定義，是函數值的增量 與自變數的增量 之比 ，當 時的極限。
（3）函數在 上的定積分的定義，是當分割的細度趨於零時，積分和式 的極限。
（4）數項級數的斂散性是用部分和數列的極限來定義的。
（5）廣義積分是定積分 其中 為任意大於 的實數）當 時的極限，等等。

『叄』 極限的極限思想

極限的思想是近代數學的一種重要思想，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論(包括級數)為主要工具來研究函數的一門學科。
所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：
對於被考察的未知量，先設法構思一個與它有關的變數，確認這變數通過無限過程的結果就是所求的未知量；最後用極限計算來得到這結果。
極限思想是微積分的基本思想，數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：「數學分析是一門什麼學科?」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科」。 （1）由來
與一切科學的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的產物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術就是建立在直觀基礎上的一種原始的極限思想的應用；古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由於希臘人「對無限的恐懼」，他們避免明顯地「取極限」，而是藉助於間接證法——歸謬法來完成了有關的證明。
到了16世紀，荷蘭數學家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進了古希臘人的窮竭法，他藉助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中「指出了把極限方法發展成為一個實用概念的方向」。
（2）發展
極限思想的進一步發展是與微積分的建立緊密相聯系的。16世紀的歐洲處於資本主義萌芽時期，生產力得到極大的發展，生產和技術中大量的問題，只用初等數學的方法已無法解決，要求數學突破只研究常量的傳統范圍，而提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促進極限發展、建立微積分的社會背景。
起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立微積分，後來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變數ΔS與時間的改變數Δt之比 表示運動物體的平均速度，讓Δt無限趨近於零，得到物體的瞬時速度，並由此引出導數概念和微分學理論。他意識到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎，他說：「兩個量和量之比，如果在有限時間內不斷趨於相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小於任意給定的差，則最終就成為相等」。但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴格表述。牛頓所運用的極限概念，只是接近於下列直觀性的語言描述：「如果當n無限增大時， 無限地接近於常數A，那麼就說 以A為極限。」
這種描述性語言，人們容易接受，現代一些初等的微積分讀物中還經常採用這種定義。但是，這種定義沒有定量地給出兩個「無限過程」之間的聯系，不能作為科學論證的邏輯基礎。
正因為當時缺乏嚴格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時速度概念中，究竟Δt是否等於零？如果說是零，怎麼能用它去作除法呢？如果它不是零，又怎麼能把包含著它的那些項去掉呢?這就是數學史上所說的無窮小悖論。英國哲學家、大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈，他說微積分的推導是「分明的詭辯」。
貝克萊之所以激烈地攻擊微積分，一方面是為宗教服務，另一方面也由於當時的微積分缺乏牢固的理論基礎，連牛頓自己也無法擺脫極限概念中的混亂。這個事實表明，弄清極限概念，建立嚴格的微積分理論基礎，不但是數學本身所需要的，而且有著認識論上的重大意義。
（3）完善
極限思想的完善與微積分的嚴格化密切聯系。在很長一段時間里，微積分理論基礎的問題，許多人都曾嘗試解決，但都未能如願以償。這是因為數學的研究對象已從常量擴展到變數，而人們對變數數學特有的規律還不十分清楚；對變數數學和常量數學的區別和聯系還缺乏了解；對有限和無限的對立統一關系還不明確。這樣，人們使用習慣了的處理常量數學的傳統思想方法，就不能適應變數數學的新需要，僅用舊的概念說明不了這種「零」與「非零」相互轉化的辯證關系。
到了18世紀，羅賓斯、達朗貝爾與羅依里埃等人先後明確地表示必須將極限作為微積分的基礎概念，並且都對極限作出過各自的定義。其中達朗貝爾的定義是：「一個量是另一個量的極限，假如第二個量比任意給定的值更為接近第一個量」，它接近於極限的正確定義；然而，這些人的定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴。事情也只能如此，因為19世紀以前的算術和幾何概念大部分都是建立在幾何量的概念上面的。
首先用極限概念給出導數正確定義的是捷克數學家波爾查諾，他把函數f(x)的導數定義為差商 的極限f'(x)，他強調指出f'(x)不是兩個零的商。波爾查諾的思想是有價值的，但關於極限的本質他仍未說清楚。
到了19世紀，法國數學家柯西在前人工作的基礎上，比較完整地闡述了極限概念及其理論，他在《分析教程》中指出：「當一個變數逐次所取的值無限趨於一個定值，最終使變數的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當一個變數的數值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變數成為無窮小。」
柯西把無窮小視為以0為極限的變數，這就澄清了無窮小「似零非零」的模糊認識，這就是說，在變化過程中，它的值可以是非零，但它變化的趨向是「零」，可以無限地接近於零。
柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，作出極限的明確定義，然後去完成牛頓的願望。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如「無限趨近」、「要多小就多小」等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡，沒有達到徹底嚴密化的程度。
為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態的定義，給微積分提供了嚴格的理論基礎。所謂 ，就是指：「如果對任何 ，總存在自然數N，使得當 時，不等式 恆成立」。
這個定義，藉助不等式，通過ε和N之間的關系，定量地、具體地刻劃了兩個「無限過程」之間的聯系。因此，這樣的定義是嚴格的，可以作為科學論證的基礎，至今仍在數學分析書籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是數及其大小關系，此外只是給定、存在、任取等詞語，已經擺脫了「趨近」一詞，不再求助於運動的直觀。
眾所周知，常量數學靜態地研究數學對象，自從解析幾何和微積分問世以後，運動進入了數學，人們有可能對物理過程進行動態研究。之後，維爾斯特拉斯建立的ε－N語言，則用靜態的定義刻劃變數的變化趨勢。這種「靜態——動態——靜態」的螺旋式的演變，反映了數學發展的辯證規律。 極限思想在現代數學乃至物理學等學科中有著廣泛的應用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變數與常量、無限與有限的對立統一關系，是唯物辯證法的對立統一規律在數學領域中的應用。藉助極限思想，人們可以從有限認識無限，從「不變」認識「變」，從直線形認識曲線形，從量變認識質變，從近似認識精確。
無限與有限有本質的不同，但二者又有聯系，無限是有限的發展。無限個數的和不是一般的代數和，把它定義為「部分和」的極限，就是藉助於極限的思想方法，從有限來認識無限的。
「變」與「不變」反映了事物運動變化與相對靜止兩種不同狀態，但它們在一定條件下又可相互轉化，這種轉化是「數學科學的有力杠桿之一」。例如，要求變速直線運動的瞬時速度，用初等方法是無法解決的，困難在於速度是變數。為此，人們先在小范圍內用勻速代替變速，並求其平均速度，把瞬時速度定義為平均速度的極限，就是藉助於極限的思想方法，從「不變」來認識「變」的。
曲線形與直線形有著本質的差異，但在一定條件下也可相互轉化，正如恩格斯所說：「直線和曲線在微分中終於等同起來了」。善於利用這種對立統一關系是處理數學問題的重要手段之一。直線形的面積容易求得，求曲線形的面積問題用初等的方法是不能解決的。劉徽用圓內接多邊形逼近圓，一般地，人們用小矩形的面積來逼近曲邊梯形的面積，都是藉助於極限的思想方法，從直線形來認識曲線形的。
量變和質變既有區別又有聯系，兩者之間有著辯證的關系。量變能引起質變，質和量的互變規律是辯證法的基本規律之一，在數學研究工作中起著重要作用。對任何一個圓內接正多邊形來說，當它邊數加倍後，得到的還是內接正多邊形，是量變而不是質變；但是，不斷地讓邊數加倍，經過無限過程之後，多邊形就「變」成圓，多邊形面積便轉化為圓面積。這就是藉助於極限的思想方法，從量變來認識質變的。
近似與精確是對立統一關系，兩者在一定條件下也可相互轉化，這種轉化是數學應用於實際計算的重要訣竅。前面所講到的「部分和」、「平均速度」、「圓內接正多邊形面積」，分別是相應的「無窮級數和」、「瞬時速度」、「圓面積」的近似值，取極限後就可得到相應的精確值。這都是藉助於極限的思想方法，從近似來認識精確的。 極限的思想方法貫穿於數學分析課程的始終。可以說數學分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數學分析著作中，都是先介紹函數理論和極限的思想方法，然後利用極限的思想方法給出連續函數、導數、定積分、級數的斂散性、多元函數的偏導數，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。如：
（1）函數在點連續的定義，是當自變數的增量趨於零時，函數值的增量趨於零的極限。
（2）函數在點導數的定義，是函數值的增量 與自變數的增量 之比 ，當 時的極限。
（3）函數在點上的定積分的定義，是當分割的細度趨於零時，積分和式 的極限。
（4）數項級數的斂散性是用部分和數列 的極限來定義的。
（5）廣義積分 是定積分 其中 為任意大於 的實數）當 時的極限，等等。 極限思想方法是數學分析乃至全部高等數學必不可少的一種重要方法，也是數學分析與初等數學的本質區別之處。數學分析之所以能解決許多初等數學無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由於它採用了極限的思想方法。
有時我們要確定某一個量，首先確定的不是這個量的本身而是它的近似值，而且所確定的近似值也不僅僅是一個而是一連串越來越准確的近似值；然後通過考察這一連串近似值的趨向，把那個量的准確值確定下來。這就是運用了極限的思想方法。

『肆』 求極限的作用

極限的思想是近代數學的一種重要思想，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論(包括級數)為主要工具來研究函數的一門學科。

所謂極限的思想，是指「用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想」。

用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：

對於被考察的未知量，先設法正確地構思一個與它的變化有關的另外一個變數，確認此變數通過無限變化過程的』影響『趨勢性結果就是非常精密的約等於所求的未知量;用極限原理就可以計算得到被考察的未知量的結果。

極限思想是微積分的基本思想，是數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數(為0得到極大值)以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：「數學分析是一門什麼學科?」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科，並且計算結果誤差小到難於想像，因此可以忽略不計。

『伍』 極限到底極限是什麼意思

極限的思想是近代數學的一種重要思想，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論(包括級數)為主要工具來研究函數的一門學科。 所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對於被考察的未知量，先設法構思一個與它有關的變數，確認這變數通過無限過程的結果就是所求的未知量；最後用極限計算來得到這結果。 極限思想是微積分的基本思想，數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：「數學分析是一門什麼學科?」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科」。 1.極限思想的產生與發展 （1）極限思想的由來. 與一切科學的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的產物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術就是建立在直觀基礎上的一種原始的極限思想的應用；古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由於希臘人「對無限的恐懼」，他們避免明顯地「取極限」，而是藉助於間接證法——歸謬法來完成了有關的證明。 到了16世紀，荷蘭數學家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進了古希臘人的窮竭法，他藉助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中「指出了把極限方法發展成為一個實用概念的方向」。 （2）極限思想的發展 極限思想的進一步發展是與微積分的建立緊密相聯系的。16世紀的歐洲處於資本主義萌芽時期，生產力得到極大的發展，生產和技術中大量的問題，只用初等數學的方法已無法解決，要求數學突破只研究常量的傳統范圍，而提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促進極限發展、建立微積分的社會背景。 起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立微積分，後來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變數ΔS與時間的改變數Δt之比ΔS／Δt表示運動物體的平均速度，讓Δt無限趨近於零，得到物體的瞬時速度，並由此引出導數概念和微分學理論。他意識到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎，他說：「兩個量和量之比，如果在有限時間內不斷趨於相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小於任意給定的差，則最終就成為相等」。但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴格表述。牛頓所運用的極限概念，只是接近於下列直觀性的語言描述：「如果當n無限增大時，an無限地接近於常數A，那麼就說an以A為極限」。 這種描述性語言，人們容易接受，現代一些初等的微積分讀物中還經常採用這種定義。但是，這種定義沒有定量地給出兩個「無限過程」之間的聯系，不能作為科學論證的邏輯基礎。 正因為當時缺乏嚴格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時速度概念中，究竟Δt是否等於零?如果說是零，怎麼能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎麼能把包含著它的那些項去掉呢?這就是數學史上所說的無窮小悖論。英國哲學家、大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈，他說微積分的推導是「分明的詭辯」。 貝克萊之所以激烈地攻擊微積分，一方面是為宗教服務，另一方面也由於當時的微積分缺乏牢固的理論基礎，連牛頓自己也無法擺脫極限概念中的混亂。這個事實表明，弄清極限概念，建立嚴格的微積分理論基礎，不但是數學本身所需要的，而且有著認識論上的重大意義。 （3）極限思想的完善 極限思想的完善與微積分的嚴格化密切聯系。在很長一段時間里，微積分理論基礎的問題，許多人都曾嘗試解決，但都未能如願以償。這是因為數學的研究對象已從常量擴展到變數，而人們對變數數學特有的規律還不十分清楚；對變數數學和常量數學的區別和聯系還缺乏了解；對有限和無限的對立統一關系還不明確。這樣，人們使用習慣了的處理常量數學的傳統思想方法，就不能適應變數數學的新需要，僅用舊的概念說明不了這種「零」與「非零」相互轉化的辯證關系。 到了18世紀，羅賓斯、達朗貝爾與羅依里埃等人先後明確地表示必須將極限作為微積分的基礎概念，並且都對極限作出過各自的定義。其中達朗貝爾的定義是：「一個量是另一個量的極限，假如第二個量比任意給定的值更為接近第一個量」，它接近於極限的正確定義；然而，這些人的定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴。事情也只能如此，因為19世紀以前的算術和幾何概念大部分都是建立在幾何量的概念上面的。 首先用極限概念給出導數正確定義的是捷克數學家波爾查諾，他把函數f（x）的導數定義為差商Δy／Δx的極限f′（x），他強調指出f′（x）不是兩個零的商。波爾查諾的思想是有價值的，但關於極限的本質他仍未說清楚。 到了19世紀，法國數學家柯西在前人工作的基礎上，比較完整地闡述了極限概念及其理論，他在《分析教程》中指出：「當一個變數逐次所取的值無限趨於一個定值，最終使變數的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當一個變數的數值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變數成為無窮小」。 柯西把無窮小視為以0為極限的變數，這就澄清了無窮小「似零非零」的模糊認識，這就是說，在變化過程中，它的值可以是非零，但它變化的趨向是「零」，可以無限地接近於零。 柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，作出極限的明確定義，然後去完成牛頓的願望。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如「無限趨近」、「要多小就多小」等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡，沒有達到徹底嚴密化的程度。 為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態的定義，給微積分提供了嚴格的理論基礎。所謂 an＝A，就是指：「如果對任何ε＞0，總存在自然數N，使得當n＞N時，不等式｜an－A｜＜ε恆成立」。 這個定義，藉助不等式，通過ε和N之間的關系，定量地、具體地刻劃了兩個「無限過程」之間的聯系。因此，這樣的定義是嚴格的，可以作為科學論證的基礎，至今仍在數學分析書籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是數及其大小關系，此外只是給定、存在、任取等詞語，已經擺脫了「趨近」一詞，不再求助於運動的直觀。 眾所周知，常量數學靜態地研究數學對象，自從解析幾何和微積分問世以後，運動進入了數學，人們有可能對物理過程進行動態研究。之後，維爾斯特拉斯建立的ε－N語言，則用靜態的定義刻劃變數的變化趨勢。這種「靜態——動態——靜態」的螺旋式的演變，反映了數學發展的辯證規律。 2.極限思想的思維功能 極限思想在現代數學乃至物理學等學科中有著廣泛的應用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變數與常量、無限與有限的對立統一關系，是唯物辯證法的對立統一規律在數學領域中的應用。藉助極限思想，人們可以從有限認識無限，從「不變」認識「變」，從直線形認識曲線形，從量變認識質變，從近似認識精確。 無限與有限有本質的不同，但二者又有聯系，無限是有限的發展。無限個數的和不是一般的代數和，把它定義為「部分和」的極限，就是藉助於極限的思想方法，從有限來認識無限的。 「變」與「不變」反映了事物運動變化與相對靜止兩種不同狀態，但它們在一定條件下又可相互轉化，這種轉化是「數學科學的有力杠桿之一」。例如，要求變速直線運動的瞬時速度，用初等方法是無法解決的，困難在於速度是變數。為此，人們先在小范圍內用勻速代替變速，並求其平均速度，把瞬時速度定義為平均速度的極限，就是藉助於極限的思想方法，從「不變」來認識「變」的。 曲線形與直線形有著本質的差異，但在一定條件下也可相互轉化，正如恩格斯所說：「直線和曲線在微分中終於等同起來了」。善於利用這種對立統一關系是處理數學問題的重要手段之一。直線形的面積容易求得，求曲線形的面積問題用初等的方法是不能解決的。劉徽用圓內接多邊形逼近圓，一般地，人們用小矩形的面積來逼近曲邊梯形的面積，都是藉助於極限的思想方法，從直線形來認識曲線形的。 量變和質變既有區別又有聯系，兩者之間有著辯證的關系。量變能引起質變，質和量的互變規律是辯證法的基本規律之一，在數學研究工作中起著重要作用。對任何一個圓內接正多邊形來說，當它邊數加倍後，得到的還是內接正多邊形，是量變而不是質變；但是，不斷地讓邊數加倍，經過無限過程之後，多邊形就「變」成圓，多邊形面積便轉化為圓面積。這就是藉助於極限的思想方法，從量變來認識質變的。 近似與精確是對立統一關系，兩者在一定條件下也可相互轉化，這種轉化是數學應用於實際計算的重要訣竅。前面所講到的「部分和」、「平均速度」、「圓內接正多邊形面積」，分別是相應的「無窮級數和」、「瞬時速度」、「圓面積」的近似值，取極限後就可得到相應的精確值。這都是藉助於極限的思想方法，從近似來認識精確的。 3．建立概念的極限思想 極限的思想方法貫穿於數學分析課程的始終。可以說數學分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數學分析著作中，都是先介紹函數理論和極限的思想方法,然後利用極限的思想方法給出連續函數、導數、定積分、級數的斂散性、多元函數的偏導數,廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。如： （1）函數 在 點連續的定義，是當自變數的增量 時，函數值的增量 趨於零的極限。 （2）函數 在 點導數的定義，是函數值的增量 與自變數的增量 之比 ，當 時的極限。 （3）函數 在 上的定積分的定義，是當分割的細度趨於零時，積分和式 的極限。 （4）數項級數 的斂散性是用部分和數列 的極限來定義的。 （5）廣義積分 是定積分 其中 為任意大於 的實數）當 時的極限，等等。 4．解決問題的極限思想 極限思想方法是數學分析乃至全部高等數學必不可少的一種重要方法，也是數學分析與初等數學的本質區別之處。數學分析之所以能解決許多初等數學無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由於它採用了極限的思想方法。 有時我們要確定某一個量，首先確定的不是這個量的本身而是它的近似值，而且所確定的近似值也不僅僅是一個而是一連串越來越准確的近似值；然後通過考察這一連串近似值的趨向，把那個量的准確值確定下來。這就是運用了極限的思想方法。

『陸』 數學中的極限思想是一種哲學么

回答是【肯定】的。具體地來說，極限是一種辯證邏輯的數學表達方式，是量變與質變的體現。用數學的方式【解釋】了：什麼情況下量變才會變成質變，什麼情況下不會質變。如果學哲學的，能夠掌握極限，會更好地理解辯證邏輯。

『柒』 數學思想的極限思想

極限思想是微積分的基本思想，數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：「數學分析是一門什麼學科?」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科」。

『捌』 數學極限定義蘊涵哪些哲學思想，並簡要說明

科學是科學，數學是數學，哲學是哲學，我們不能說數學的什麼反映了什麼哲學思想。

或許，某種哲學思想怎樣解釋了某種數學現象，才是更客觀的表述。

先說定義，按照嚴格的ε-δ語言，極限的定義是這樣的：

設函數f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義.若存在常數A，對於任意給定的正數ε(不論它多麼小)，總存在正數δ，使得當x滿足不等式0<|x-x0|<δ時，對應的函數值f(x)都滿足不等式

|f(x)-A|<ε.

那麼常數A就叫做函數f(x)當x→x0時的極限.

這個定義限定了什麼叫做無限趨近——既可以小到不論多小，但又不能取到本身。

解釋了δ是由ε決定的，需要結果趨多近，自變數就趨向相應多近。並且極限存在則函數想趨多近就能多近，但又不是本身。

這個定義很嚴密，掃除了一切因為基本概念似是而非所引起的歧義，徹底讓哲學和玄學滾出微積分。

哲學對於高等數學，只剩下一些對於個別現象的，有選擇性的牽強解釋。

我們以「蘇聯教科書式的馬克思主義哲學」為例，看看這套體系是怎麼「解釋」數學極限的：

1. 極限是質量互變規律的體現，直線與曲線之交從相割到相切的變化，是從量變的積累到質變發生的過程。

2. 質量互變時，量變既可以是量的積累，也可以是結構、次序的改變——無窮級數求和時，若改變了順序，或者添加了括弧，則最終的斂散性、極限的值都有可能改變。

3. 當然，絕對收斂的無窮級數，怎麼換順序加括弧結果都不變，這又說明了內因是事物發展的根據，外因是事物發展的外部條件，外因必須通過內容而起作用。外因對事物的發展有重大影響，有時能引起事物性質的變化。但不管外因的作用有多大，都必須通過內因才能起作用。

4. 極限是對立統一的體現，對於無窮小量，它既是0又不是0，在單獨考察它的時候，它到底是0還是非0是無法判斷的，只有把它放到具體的極限中，才知道它到底是0（高階無窮小），還是非0（同階無窮小）——事物的存在以其對立面為依託，正如如果世上只有黑色，便無顏色這一概念，更無黑色這一說法。

   如此還有很多……基本都是先開槍再畫靶。

不是說我否定馬克思主義哲學，或是別的什麼哲學，是現代嚴密的數學公理化體系和嚴格而精確的定義，否定了哲學在數學中的作用。

什麼時候都提哲學，就是在消解哲學——一方面認為意識是物質在頭腦中的反映，另一方面又先驗地認為哲學能夠指導科學、數學，這本身就是反馬克思主義的。

歷史是人的歷史，哲學是人的哲學，人民群眾在生產斗爭和階級斗爭中創造歷史，一切觀察並思考的人在頭腦中構造不同的哲學體系。

自然科學是自然的規律，數學是邏輯的規律，人歸根到底只是發現他們、認識他們，從而遵循他們、利用他們，而不能違背事實憑空創造自然規律，也不能脫離邏輯憑空編造出數學定理來。

懇請哲學還是放過自然科學和數學吧。

自有階級的社會存在以來，人的知識就可分為生產斗爭和階級斗爭的知識——前者是與自然斗爭的武器，後者是與人斗爭的武器——把兩種斗爭的武器混淆，是不可能取得勝利的。

哲學是屬於人的，而人的本質，在其現實性上，是一切社會關系的總和。所以不妨讓哲學在其應有的領域——社會科學中大放異彩，讓共產主義的光輝消除一切壓迫剝削，解放出更多的自由人，來不斷發現和深化認識自然科學和數學。

『玖』 極限 lim

極限是微積分中的基礎概念，它指的是變數在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值（極限值）。極限的概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴格闡述。在現代的數學分析教科書中，幾乎所有基本概念（連續、微分、積分）都是建立在極限概念的基礎之上。

極限的思想是近代數學的一種重要思想，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論(包括級數)為主要工具來研究函數的一門學科。

所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：

對於被考察的未知量，先設法構思一個與它有關的變數，確認這變數通過無限過程的結果就是所求的未知量；最後用極限計算來得到這結果。

極限思想是微積分的基本思想，數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：「數學分析是一門什麼學科?」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科」。

『拾』 數學上的極限 是什麼意思

數學中的「極限」指：某一個函數中的某一個變數，此變數在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近而「永遠不能夠重合到A」（「永遠不能夠等於A，但是取等於A『已經足夠取得高精度計算結果）的過程中。

此變數的變化，被人為規定為「永遠靠近而不停止」、其有一個「不斷地極為靠近A點的趨勢」。極限是一種「變化狀態」的描述。此變數永遠趨近的值A叫做「極限值」（當然也可以用其他符號表示）。

以上是屬於「極限」內涵通俗的描述，「極限」的嚴格概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴格闡述。

(10)極限的數學思想是什麼擴展閱讀：

極限思想簡介：

極限的思想是近代數學的一種重要思想，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論(包括級數)為主要工具來研究函數的一門學科。

所謂極限的思想，是指「用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想」。

用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：

對於被考察的未知量，先設法正確地構思一個與它的變化有關的另外一個變數，確認此變數通過無限變化過程的』影響『趨勢性結果就是非常精密的約等於所求的未知量；

用極限原理就可以計算得到被考察的未知量的結果。

極限思想是微積分的基本思想，是數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數（為0得到極大值）以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。

如果要問：「數學分析是一門什麼學科」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科，並且計算結果誤差小到難於想像，因此可以忽略不計。