㈠ 初中數學完全平方公式和立方和差公式
完全平方：(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
平方差：a^2-b^2=(a+b)(a-b)
平方和：1方+2方+3方+……+N方=n(n+1)(2n+1)/6
立方差：A^3-B^3=（a-b）*（a^2+ab+b^2）
立方和：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
這個
㈡ 什麼叫完全平方式 9=3的平方，9算不算是一個完全平方式同理，a的平方是一個平方式嗎
使A=B^2，則稱A是完全平方式；
公式：
a²+2ab+b²=(a+b)²
a²-2ab+b²=(a-b)²
X的4次方+4X的平方+4=（X²+2）²
再加個數字4就行。
若對於整數A，存在整數B，使A=B^2成立，則稱A是完全平方數。
例如0，1，4，9，16，25，36，……等，都是完全平方數。
9算完全平方數了。
㈢ 完全平方公式與完全平方差公式的作用!
完全平方公式是初中數學中的重要公式，在整個中學數學中有著廣泛的應用，重要的數學方法「配方法」的基礎也是依據完全平方公式的。而且它在整式乘法，因式分解，分式運算及其它代數式的變形中起著十分重要的作用.
有時可以起到使運算簡潔的作用，並且是數學這門科學中，非常重要的基礎公式。
完全平方差公式……這個名稱沒有聽說過=_=
只能說是完全平方公式中包括完全平方和公式、完全平方差公式。所以作用基本同上。
完全平方差公式與平方差公式的區別在於：
前者——（a-b)~=a~-2ab+b~
後者——a~-b~=(a+b)(a-b)
指數打不出來。。。只好用「~」代替。
希望能對你有幫助。
㈣ 各位大俠，我對什麼是完全平方式不了解，他們說(a+b)²=a²+2ab+b²是完全平方式，為什麼
兩數和的平方，等於它們的平方和加上它們的積的2倍。這就是完全平方公式的定義，沒有為什麼，數學家這么規定的
㈤ 數學中 什莫是 完全平方式
對於一個具有若干個簡單變元的整式A，如果存在另一個實系數整式B，使A=B^2，則稱A是完全平方式。a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2
例子
（1）7x^2+4(√21)xy+12y^2是一個完全平方式，因為7x^2+4√(21)xy+12y^2=[(√7)x+(2√3)y]^2； （2）x^4-4x^3+2x^2+4x+1是一個完全平方式，因為x^4-4x^3+2x^2+4x+1=(x^2-2x-1)^2； （3）因為(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BC(A^2)+2CA(B^2)+2AB(C^2)=(AB+BC+CA)^2，所以(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2是一個完全平方式。
幾點注意
（1）以上多項式，指的都是實系數多項式。所以不能稱A= -P^2+2PQ-Q^2為完全平方式，因為不存在以P、Q為變元的實系數多項式B，使A=B^2。 （2）以上所說多項式，都是簡單變元的多項式。我們不能隨便稱一個代數式或三角函數式為完全平方式。例如 ①盡管有x^2-2+1/x^2=(x-1/x)^2，但是因為這里x^2-2+1/x^2和x-1/x都不是多項式，所以代數式x^2-2+1/x^2不能被稱為完全平方式的。 ②盡管有e^x+2+e^(-x)=[e^(x/2)+e^(-x/2)]^2，但是e^x+2+e^(-x)不能被稱為完全平方式； ③盡管有1+sin2x=(cosx+sinx)^2，但是1+sin2x也不能被稱為完全平方式。
㈥ 什麼是完全平方數
完全平方數
九章出版社提供
(一)完全平方數的性質
一個數如果是另一個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
觀察這些完全平方數，可以獲得對它們的個位數、十位數、數字和等的規律性的認識。下面我們來研究完全平方數的一些常用性質：
性質1：完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。
性質2：奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。
證明 奇數必為下列五種形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分別平方後，得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
綜上各種情形可知：奇數的平方，個位數字為奇數1,5,9；十位數字為偶數。
性質3：如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6；反之，如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是奇數。
證明 已知=10k+6，證明k為奇數。因為的個位數為6，所以m的個位數為4或6，於是可設m=10n+4或10n+6。則
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k為奇數。
推論1：如果一個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那麼這個數一定不是完全平方數。
推論2：如果一個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是偶數。
性質4：偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1。
這是因為 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性質5：奇數的平方是8n+1型；偶數的平方為8n或8n+4型。
在性質4的證明中，由k(k+1)一定為偶數可得到(2k+1)是8n+1型的數；由為奇數或偶數可得(2k)為8n型或8n+4型的數。
性質6：平方數的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。
因為自然數被3除按余數的不同可以分為三類：3m,3m+1, 3m+2。平方後，分別得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性質7：不能被5整除的數的平方為5k±1型，能被5整除的數的平方為5k型。
性質8：平方數的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
除了上面關於個位數，十位數和余數的性質之外，還可研究完全平方數各位數字之和。例如，256它的各位數字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數字和。如果再把13的各位數字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位數字的和。下面我們提到的一個數的各位數字之和是指把它的各位數字相加，如果得到的數字之和不是一位數，就把所得的數字再相加，直到成為一位數為止。我們可以得到下面的命題：
一個數的數字和等於這個數被9除的余數。
下面以四位數為例來說明這個命題。
設四位數為，則
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
顯然，a+b+c+d是四位數被9除的余數。
對於n位數，也可以仿此法予以證明。
關於完全平方數的數字和有下面的性質：
性質9：完全平方數的數字之和只能是0,1,4,7,9。
證明 因為一個整數被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式，而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上幾條性質以外，還有下列重要性質：
性質10：為完全平方數的充要條件是b為完全平方數。
證明 充分性：設b為平方數，則
==(ac)
必要性：若為完全平方數，=，則
性質11：如果質數p能整除a，但不能整除a，則a不是完全平方數。
證明 由題設可知，a有質因數p，但無因數，可知a分解成標準式時，p的次方為1，而完全平方數分解成標準式時，各質因數的次方均為偶數，可見a不是完全平方數。
性質12：在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數，即若
<k<(n+1)
則k一定不是完全平方數。
性質13：一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。
(二)重要結論
1.個位數是2,3,7,8的整數一定不是完全平方數；
2.個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數；
3.個位數是6，十位數是偶數的整數一定不是完全平方數；
4.形如3n+2型的整數一定不是完全平方數；
5.形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數；
6.形如5n±2型的整數一定不是完全平方數；
7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數；
8.數字和是2,3,5,6,8的整數一定不是完全平方數。
(三)範例
[例1]：一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。
解：設此自然數為x，依題意可得
(m,n為自然數)
(2)-(1)可得
∴n>m
(
但89為質數，它的正因數只能是1與89，於是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。
[例2]：求證：四個連續的整數的積加上1，等於一個奇數的平方(1954年基輔數學競賽題)。
分析 設四個連續的整數為，其中n為整數。欲證
是一奇數的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數的平方即可。
證明 設這四個整數之積加上1為m，則
而n(n+1)是兩個連續整數的積，所以是偶數；又因為2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了m是一個奇數的平方。
[例3]：求證：11,111,1111,這串數中沒有完全平方數(1972年基輔數學競賽題)。
分析 形如的數若是完全平方數，必是末位為1或9的數的平方，即
或
在兩端同時減去1之後即可推出矛盾。
證明 若，則
因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。
若，則
因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。
綜上所述，不可能是完全平方數。
另證 由為奇數知，若它為完全平方數，則只能是奇數的平方。但已證過，奇數的平方其十位數字必是偶數，而十位上的數字為1，所以不是完全平方數。
[例4]：試證數列49,4489,444889, 的每一項都是完全平方數。
證明
=
=++1
=4+8+1
=4()(9+1)+8+1
=36 ()+12+1
=(6+1)
即為完全平方數。
[例5]：用300個2和若干個0組成的整數有沒有可能是完全平方數？
解：設由300個2和若干個0組成的數為A，則其數字和為600
3｜600 ∴3｜A
此數有3的因數，故9｜A。但9｜600，∴矛盾。故不可能有完全平方數。
[例6]：試求一個四位數，它是一個完全平方數，並且它的前兩位數字相同，後兩位數字也相同(1999小學數學世界邀請賽試題)。
解：設此數為
此數為完全平方，則必須是11的倍數。因此11｜a + b，而a,b為0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8組可能。
直接驗算，可知此數為7744=88。
[例7]：求滿足下列條件的所有自然數：
(1)它是四位數。
(2)被22除余數為5。
(3)它是完全平方數。
解：設，其中n,N為自然數，可知N為奇數。
11｜N - 4或11｜N + 4
或
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
所以此自然數為1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
[例8]：甲、乙兩人合養了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，全部賣完後，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最後，剩下不足十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應該補給乙多少元(第2屆「祖沖之杯」初中數學邀請賽試題)？
解：n頭羊的總價為元，由題意知元中含有奇數個10元，即完全平方數的十位數字是奇數。如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6。所以，的末位數字為6，即乙最後拿的是6元，從而為平均分配，甲應補給乙2元。
[例9]：矩形四邊的長度都是小於10的整數(單位：公分)，這四個長度數可構成一個四位數，這個四位數的千位數字與百位數字相同，並且這四位數是一個完全平方數，求這個矩形的面積(1986年縉雲杯初二數學競賽題)。
解：設矩形的邊長為x,y，則四位數
∵N是完全平方數，11為質數 ∴x+y能被11整除。
又 ,得x+y=11。
∴∴9x+1是一個完全平方數，而，驗算知x=7滿足條件。又由x+y=11得。
[例10]：求一個四位數，使它等於它的四個數字和的四次方，並證明此數是唯一的。
解：設符合題意的四位數為，則，∴為五位數，為三位數，∴。經計算得，其中符合題意的只有2401一個。
[例11]：求自然數n，使的值是由數字0,2,3,4,4,7,8,8,9組成。
解：顯然，。為了便於估計，我們把的變化范圍放大到，於是，即。∵，∴。
另一方面，因已知九個數碼之和是3的倍數，故及n都是3的倍數。這樣，n只有24,27,30三種可能。但30結尾有六個0，故30不合要求。經計算得
故所求的自然數n = 27。
(四)討論題
1.(1986年第27屆IMO試題)
設正整數d不等於2,5,13，求證在集合{2,5,13,d}中可以找到兩個不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方數。
2.求k的最大值
㈦ 初中數學 完全平方公式口訣 意思
完全平方公式的條件是展開後它共有三項：1：第一項,和第三項各是一個數或式的平方[嚴格的說還必須同號];第二項即中間一項是首尾兩頂的積的二倍，且當它為正號時是和的平方為負號時是差的平方。
解答完畢
㈧ 完全平方數和完全平方式的准確定義
1994年11月國家技術監督局發布的《中華人民共和國國家標准,物理科學和技術中使用的數學符號》中,將自然數集記為
N={0,1,2,3,…}
而將原自然數集稱為非零自然數集
N+(或N*)={1,2,3,…}.
自然數集擴充後,文[1]中的自然數的基數理論以及其他一些與自然數有關的理論問題隨之起變化,這給數學教學與數學應用產生一定影響.為此,我們將自然數的基數理論討論如下.
1 對自然數的來源的認識
由於自然數的概念是建立在基數理論[1]之上的,基數是由集合對等而來.最初人類對物品的計數,是將物品與人的手指(腳趾)數形成映射關系,物品既然存在「多少」,也就存在「有」或「沒有」,「沒有」即可認為是空集,其計數應當是零.這就是說,零與非零自然數是人類認識同步的客觀現象,而並非是6世紀才有零的概念.也許這就是將零補充到自然數集的緣由之一.事實上,國外許多文獻和專家早就主張將零作為第一個自然數.
2 自然數的新概念
自然數擴充後,包含了空集的基數,要去掉原有自然數定義中「非空」的限制條件,即定義1 有限集合的基數叫做自然數.根據對等的概念,可以建立N與N+的一一映射關系f:
N↓={0,↓1,↓2,↓3,↓…}N+={1,2,3,4,…}
由此可見,N與N+有相同的基數,即|N|=|N+|.
3 自然數的四則運算
自然數加法、乘法運算義定只要去掉原有定義中的「非空」二字即可,亦即
定義2 設有有限集合A和B,且A∩B=Φ(A,B分離).若記A∪B=C,集合A,B,C的基數分別是a,b和c,那麼c叫做a與b的和,記作
a+b=c.
a和b叫做加數.求兩個數的和的運算叫做加法.
定義3 設有m(m>1)個相互對等,且兩兩分離的有限集合A1,A2,A3,…,Am,它們的基數都是n.又設A=Umi=1Ai,A的基數記作
a,即有a=n+n+…+nm個,這個a就叫做n乘以m的積,記作a=n×m,或a=n.m,或a=nm.n稱為被乘數,m稱為乘數.求兩個數積的運算叫做乘法.
對於數0,1,補充義定:n和0的積是0,n和1的積是n,即n.0=0,n.1=1.
在上述定義里,加法、乘法的交換律、結合律,乘法對於加法的分配律仍然成立.
關於減法運算的定義,除了去掉「非空」二字外,集合B可以是A本身,即
定義4 設有有限集合A和B,B A,若記A-B=C,且A,B,C的基數分別記作a,b,c,那麼c叫做a,b的差,記作
a-b=c.
a叫做被減數,b叫做減數.求兩個數差的運算叫做減法.
除法是乘法的逆運算,在原定義中要限定「除數非零」即可.
定義5 設a,b(b≠0)是兩個自然數,如果存在一個自然數c,使得bc=a,那麼c叫做a除以b所得的商,記作
ab=c,或a÷b=c.
a稱為被除數,b稱為除數.求兩個數商的運算叫做除法.
4 自然數的有關性質
(1)自然數的有序性決定了自然數可以比較大小,即
定義6 如果兩個有限集合A,B的基數分別為a,b,那麼
1° 當A A′,A′～B時,a>b;
2° 當B′ B,A～B′時,a<b;
3° 當A～B時,a=b.
自然數有反身律:a=a;對稱律:若a=b,則b=a;傳遞律:若a≥b,b≥c,則a≥c.
自然數從小到大的排序為
0,1,2,3,….
(2)自然數的單調性反映了不等量關系中的運算性質,擴充後的自然數其單調性有了局部性改變,即
若a≥b,則
1° a+c≥b+c;
2° 當c>0時,ac≥bc,
當c=0時,ac=bc.
對於與自然數有關的數學論證與原理,應隨自然數擴充後作相應調整.如數學歸納法證明的步驟應是
1° 驗證n=0時,命題成立;
2° 假設n=k-1時成立,則n=k時命題成立.
㈨ 請寫出初中數學的完全平方公式
初中數學的完全平方公式：
（a+b)^2=a^2+2ab+b^2；
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2