圓面積的推導過程體現了什麼的數學思想

『壹』 在探索圓的面積計算公式時採用了什麼的數學方法把直徑是d的一的的圓分成若干

利用了割補等面積轉化的思想。首先小學學習的圓面積的公式，證明過程是將圓若干偶數等份，得到很多個小扇形，當分的份數越多的時候，每一個小扇形越接近一個三角形，圓的半徑就越接近於三角形的高，然後進行兩兩拼會形成一個長方形，然後長方形的長是圓的半周長π×r，高為圓的半徑r，所以長方形的面積也就是圓的面積＝π×r²。網上搜圓面積的證明過程有相關的動畫，更好理解。

『貳』 人們在推導圓面積的計算公式,用了什麼的數學思想

探究圓的面積用了轉化的數學思想，把圓切成若干小份之後，近似於長方形，於是可以運用長方形來計算面積

『叄』 我們在量圓的周長時用了什麼的數學思想 我們在找圓的面積的計算公式時用了什麼數學思想

周長：逐漸逼近
用圓的內接正3邊形、4邊形、5邊形一直到正n邊形狀，當n不斷增大是，正多邊形的周長就越逼近圓的周長
面積：類比轉化
圓面積公式的推導過程定義為轉化的過程,即把圓通過切拼轉化為近似的長方形,這種轉化思想的范型來自於平行四邊形面積公式的推導。

『肆』 列舉下述圓的面積公式推導中蘊含了什麼數學思想

幾何形的等積轉化有兩種：一是硬轉化思想；二是軟轉化思想。
由一種固化的平面或立體圖形等積割補成另外一種固化的平面或立體圖形為硬轉化思想。

如：正6x2ⁿ邊形面積公式：πR²就是根據硬轉化思想推出的近似、接近或相當於圓面積。
由一種液化的平面或立體圖形等積軟化成另外一種液化的平面或立體圖形為軟轉化思想。
如：圓面積公式：S=7(d/3)²就是根據軟轉化思想推出的。

『伍』 我們在找圓面積公式時，用了什麼的數學思想

應該是數學思想中的 轉化思想！把圓的面積轉化為長方形的面積！

因為，把一個圓沿半徑剪成若乾等份，再讓一系列圓心角互相咬合，便拼成了一個近似的長方形；而且，平分的份數越多，拼成的與長方形越近似；可以想像，若能無限分割，則就拼成了一個長方形，長相當於圓周長的一半，寬就是圓的半徑，所以 S長=a*b=πr*r=πr²
所以S圓=πr²

『陸』 圓改變形狀後，成為長方形推出圓面積，這個推導過程體現了（ ）的數學思想

這利用的是拓撲學，體現了轉化的數學思想。

『柒』 推導圓的面積公式時，應用了什麼數學思想

微積分，其實就是無限接近的方法，把弧線分為無數個直線區間，然後有之前的方法證明，其實弧線就是無限小的折線合成的

『捌』 探究圓的面積計算方法時，蘊含了什麼數學思想

微分和積分的思想。就是無限分割的思想。希望採納謝謝

『玖』 圓的面積的推導過程

圓面積s=7(d/3)²

人們都清楚的認識到：正6邊形1次倍邊成的是正12邊形、2次倍邊成的是正24邊形、3次倍邊成的是正48邊形、……n次倍邊成的就給它叫正6×2ⁿ邊形(簡稱正n邊形)。「正n邊形的周長與過中心點的對角線之比(是3.1415926……比1)叫做正n邊率」。(n是一個不可丟失或忽略的0、1、2、3…無限無窮大的無極限的自然數)。

由於n是表示無限無窮大的無極限的自然數，所以正n邊率(3.1415926……所謂π值)也是一個無限無窮大無極限的數。

當圓的直徑與正n邊形過中心點的對角線重疊時，雖然直徑和對角線的長短相等。但是二者的周長並沒有重疊，只是近似、接近、趨近或相當於就是不等於。原因是任一條線上的點都是無限的，內接正n邊形周長上的點也就永久都不會與圓上的點完全重疊，

若內接正n邊形與圓分開，那麼求正n邊率還依然是正n邊率、求圓周率也依然是圓周率。

正n邊率不等於圓周率；圓周率也不等於正n邊率。

因為圓周率是指：「圓周長與直徑的比」，它們的比是6+2√3比3；而正n邊率是指：「正n邊形的周長與過中心點的對角線的比」，它們的比是3.1415926……比1。

為此，正n邊形的周長公式2πR只是代替圓周長公式，並非等於圓周長；正n邊形的面積公式πR²只是代替圓面積公式，並非等於圓面積。

從客觀上講：圓是圓，正n邊形是正n邊形。當正n邊形套上外接圓時，用圓內接正n邊形的周長公式2πR來計算周長、周長必然小於圓周長；當圓套上外切正n邊形時，用圓外切正n邊形的面積公式πR²來計算面積、面積必然大於圓面積(注意：其實πR²是圓的外切正n邊形面積與長方形面積的相互等積轉化，並非圓面積與長方形面積的相互等積轉化)。

為此π取正n邊率的同一個值時，會給公式2πR和πR²存在著：π要想滿足公式2πR,就會背離公式πR²；π要想滿足公式πR²,就會背離公式2πR的自相矛盾的問題。

根據愛因斯坦的「相對論」原理推出：「物質與物質聚集結合成一個(固、液、汽)整體叫物體；一個被空間包圍著的物體的大小所含單位立方的多少叫做體積。非物質與非物質聚集結合成一個完整的真空叫空間；一個被物體包圍著的空間的大小所含單位立方的多少叫做容積。」

由於物體與空間的區別是物質與非物質的區別，所以宇宙是由物質和非物質構建的、是物體和空間共同占據了大自然。

因此, 世上所有物體和所有空間都是與生俱有相對共存的。二者靜止狀態下，根本就不存在「物體占據空間或空間占據物體」的問題。只有物體與空間以等量的一個物體體積與一個空間容積對換位置、產生物體與空間互動，才會出現「物體占據空間的同時、空間又占據了物體」。因為物體體積和空間容積是相對的，所以體積與容積也是相對的。二者缺一不可，否則物體就無法運動或搬運。

由於體積與容積相對的最小極限是零(也就是幾何點是指：零體積或零容積、零面積或零空積、零長度或零距離的零點)；而物體的體積與空間的容積都大小無限不為零，(也就是：體積或容積、面積或空積、長度或距離都大於零)不存在最大或最小，大小無極限。

所以無限等份幾何中的體、面、線的每個無窮小依然是一個無限無窮小，無極限。無限無窮小就是無限無窮小，無限無窮小不等於最小的極限零點。

以上是「相對論」當中《正負幾何論》與「極限」的冰山一角。

因此，過去人們等份圓面、來等積轉化拼成長方形面的起點就是一個誤解。也就是圓面積s不等於長方形面積πR²，確切的講：「圓面積s=7(d/3)² 」(d表示直徑)。π取3.1415926……也不是圓的周長與直徑的比，准確的說：「它是正n邊形的周長與過中心點的對角線的比」。

那麼，為什麼說：「圓面積等於直徑三分之一平方的七倍」呢?

這得要從軟化等積變形說起。

例如：一塊長7米、寬1米、高1米的長方體橡皮泥，它的上面或下面的長方形面積分別都是7平方米。當7立方米的長方體橡皮泥等積變成高1米的一個圓柱體時，它的上底或下底圓面積會依然是7平方米。也就是一個7平方米的長方形面積軟化等積變成了一個7平方米的圓面積。如果把1個單位長用a表示，那麼一個7平方米的圓面積就是7a² 。為此任一個圓面積S都可以看做為7a²。

向左轉|向右轉

下面由棋盤上的每個方格為一個a²來分析：七個a² 軟化等積變成一個(圖-1)圓面積是7a²；圓面積7a²再軟化等積變成一個(圖-2)H形面積也是7a²；在(圖-2)H形上，另外增加兩個a²就拼成了一個(圖-3)大正方形面積9a²；把這三個圖形稱為(上三圖)。它們各自面積的大小都是一同隨著a的大小變化著的。

一個棋子為一個圓點,七個棋子就是七個圓點,圓點的直徑Q叫點徑。中間一個圓點,外圍六個圓點，圍繞一周排列相切構成一個(圖-4)圓形輪廓,輪廓的外切圓面積是s、直徑是3Q；再由七個圓點排列相切構成一個(圖-5）H形輪廓,輪廓的外切H形面積是7Q²；最後用九個圓點排列相切構成一個(圖-6)正方形輪廓,輪廓的外切正方形面積是9Q²。把這三個圖形稱為(下三圖),它們各自外切形面積的大小都是一同隨著點徑Q的大小變化著的。

以上六個圖形不難看出：

(圖-1)圓面積7a²和(圖-2)H形面積7a²分別都是(圖-3)大正方形面積9a²的九分之七，(圖-4)外切圓是(圖-6)外切正方形的內切圓。

從六個圖形的上下對著看：由於，第一組、（圖-1）圓與(圖-4）外切圓相似；第二組、(圖-2)H形與(圖-5)外切H形相似；第三組、(圖-3)大正方形與（圖-6）外切正方形相似。所以它們每一組相似形的面積和面積是否相等,都與a和Q有關；或a和Q是否相等,都與每一組相似形的面積和面積有關。

當a=Q時，很明顯：第二組和第三組的相似形都是：a和Q相等，相似形的面積與面積就相等(7a²=7Q²、9a²=9Q²)；或相似形的面積與面積相等(7a²=7Q²、9a²=9Q²)，a和Q就相等。

但第一組相似形是否a和Q相等、面積與面積就相等呢？

這得需要通過數據來推理證實：

已知：(圖-4)外切圓面積s是63平方厘米、a和Q又相等。此時(圖-4)這個63平方厘米的圓面積，它既鎖定了(下三圖)各自對應的面積也鎖定了(上三圖)各自對應的面積。

因為a等於Q，所以(圖-4) 63平方厘米的一個圓既是（圖-6）正方形的內切圓也是(圖-3)大正方形的內切圓。為此（圖-6）和(圖-3)的內切圓面積也分別都是63平方厘米。

由於(圖-3)大正方形能做為63平方厘米的圓的外切正方形，是根據大正方形的邊長3a等於內切圓的直徑3Q(內切圓的直徑3Q又是根據63平方厘米的圓面積產生的)。

所以(圖-3)內切圓面積的任意大小，都會改變(圖-3)大正方形的邊長3a的大小，使邊長3a不等於63平方厘米的圓的直徑3Q，(圖-3)大正方形也就不能做為63平方厘米的圓的外切正方形。

如果(圖-3)內切圓面積大於63平方厘米，那麼(圖-2) 7a²的H形和(圖-3)9a²的大正方形就會同時對應變大(7a²>7Q²、9a²>9Q²)。顯示出9a²的大正方形向外擴展，脫離了已知63平方厘米的內切圓)，產生邊長3a大於直徑3Q，違背了a等於Q。

如果(圖-3)內切圓面積小於63平方厘米，那麼(圖-2) 7a²的H形和(圖-3)9a²的大正方形就會同時對應變小(7a²<7Q²、9a²<9Q²)。顯示出9a²的大正方形向內收縮，也會脫離了已知63平方厘米的內切圓，產生邊長3a小於直徑3Q，也違背了a等於Q。

因此，只有(圖-3)內切圓面積等於(圖-4)外切圓面積63平方厘米，才能7a²=7Q²、9a²=9Q²，使9a²的大正方形作為63平方厘米的圓的外切正方形。同時大正方形的邊長3a也等於內切圓的直徑3Q，保持a與Q相等。所以(圖-3)大正方形的大小是根據已知63平方厘米的內切圓確定的。

由此可見：對任一個圓面積的大小都是如此。當(圖-1)圓與(圖-3) 63平方厘米的內切圓重疊時。

如果(圖-1)圓面積7a²大於63平方厘米，那麼(圖-2) 7a²的H形和(圖-3)9a²的大正方形就會同時對應變大(7a²>7Q²、9a²>9Q²)。顯示出9a²的大正方形向外擴展，脫離了已知63平方厘米的內切圓，產生邊長3a大於直徑3Q，出現a也大於Q。

如果(圖-1)圓面積7a²小於63平方厘米，那麼(圖-2) 7a²的H形和(圖-3)9a²的大正方形就會同時對應變小(7a²<7Q²、9a²<9Q²)。顯示出9a²的大正方形向內收縮,也會脫離了已知63平方厘米的內切圓,產生邊長3a小於直徑3Q，出現a也小於Q。

因此，只有(圖-1)圓面積7a²等於(圖-3)內切圓面積63平方厘米，才能7a²=7Q²、9a²=9Q²，使9a²的大正方形作為63平方厘米的圓的外切正方形。同時正方形的邊長3a也與63平方厘米的圓的直徑3Q相等，保持a等於Q。所以(圖-1)圓面積7a²的大小是根據(圖-3)內切圓面積確定的。

證實了：(圖-1)圓面積7a²等於(圖-4)外切圓面積s。也說明了：「圓面積是它外切正方形面積的9分之7」。

因為圓面積S=7a²，所以a=√s/7. 也就是說：如果(圖-3)正方形的內切圓面積是7平方厘米，那麼a=√7/7=1厘米。如果(圖-3)正方形的內切圓面積是28平方厘米，那麼a=√28/7=2厘米。如果(圖-3)正方形的內切圓面積是63平方厘米，那麼a=√63/7=3厘米。

上述證明了：第一組相似形同樣是：a和Q相等、相似形的面積與面積就相等。

為此，推出它們三組相似形：每一組相似形的面積和面積相等,a和Q就相等；或a和Q相等,每一組相似形的面積和面積就相等。

同時也發現了這樣一部公理：「如果圓面積是7a²，那麼它的外切正方形面積就是9a²」。

根據公理推出定理：「圓面積等於直徑三分之一平方的七倍」。

圓的面積公式：∵s=7a². d=3a.

∴s=7(d/3)². 向國慶「70」周年獻禮！

HPFYKG 一位不識字的數學發現 dongjingui二〇一四年六月二十七日