至精至簡的數學思想方法怎麼樣

Ⅰ 數學的思想方法有二十種有哪些

一、用字母表示數的思想

這是基本的數學思想之一 .在代數第一冊第二章「代數初步知識」中，主要體現了這種思想。

例如： 設甲數為a，乙數為b，用代數式表示：（1）甲乙兩數的和的2倍：2（a+b）(2)甲數的2倍與乙數的5倍差：2a-5b

二、數形結合的思想
「數形結合」是數學中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數學問題的有效思想。「數缺形時少直觀，形無數時難入微」是我國著名數學家華羅庚教授的名言，是對數形結合的作用進行了高度的概括.數學教材中下列內容體現了這種思想。
1、數軸上的點與實數的一一對應的關系。
2、平面上的點與有序實數對的一一對應的關系。
3、函數式與圖像之間的關系。
4、線段（角）的和、差、倍、分等問題，充分利用數來反映形。
5、解三角形，求角度和邊長，引入了三角函數，這是用代數方法解決何問題。

6、「圓」這一章中，圓的定義，點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系等都是化為數量關系來處理的。
7、統計初步中統計的第二種方法是繪制統計圖表，用這些圖表的反映數據的分情況，發展趨勢等。實際上就是通過「形」來反映數據扮布情況，發展趨勢等。實際上就是通過「形」來反映數的特徵，這是數形結合思想在實際中的直接應用。

三、轉化思想 (化歸思想)
在整個初中數學中，轉化（化歸）思想一直貫穿其中。轉化思想是把一個未知（待解決）的問題化為已解決的或易於解決的問題來解決，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，它是解決問題的一種最基本的思想,它是數學基本思想方法之一。下列內容體現了這種思想：
1、分式方程的求解是分式方程轉化為前面學過的一元二次方程求解，這里把待解決的新問題化為已解決的問題來求解，體現了轉化思想。
2、解直角三角形；把非直角三形問題化為直角三角形問題；把實際問題轉化為數學問題。
3、證明四邊形的內角和為360度.是把四邊形轉化成兩個三角形的.同時探索多邊形的內角和也是利用轉化的思想的.

四、分類思想
有理數的分類、整式的分類、實數的分類、角的分類，三角形的分類、四邊形的分類、點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系等都是通過分類討論的。

Ⅱ 常用的數學思想方法有哪些

數學思想較之於數學基礎知識及常用數學方法又處於更高層次，它來源於數學基礎知識及常用的數學方法, 在運用數學基礎知識及方法處理數學問題時，具有指導性的地位。<一>常用的數學方法：配方法，換元法，消元法，待定系數法；<二>常用的數學思想：數形結合思想，方程與函數思想，建模思想，分類討論思想和化歸與轉化思想等。<三>數學思想方法主要來源於：觀察與實驗，概括與抽象，類比，歸納和演繹等

Ⅲ 數學思想方法感悟

「數學思想」比一般的「數學概念」具有更高的概括抽象水平，後者比前者更具體、更豐富，而前者比後者更本質、更深刻。「數學思想」是與其相應的「數學方法」的精神實質與理論基礎，「數學方法」則是實施有關的「數學思想」的技術與操作程式中。中學數學用到的各種數學方法，都體現著一定的數學思想。數學思想屬於科學思想，但科學思想未必就是數學思想。有的數學思想（例如「一分為二」的思想和「轉化」思想）和邏輯思想（例如完全歸納的思想）由於其在數學中的運用而被「數學化」了，也可以稱之為數學思想。

基本數學思想包括：符號與變元表示的思想，集合思想，對應思想，公理化與結構思想，數形結合思想，化歸思想，函數與方程的思想，整體思想，極限思想，抽樣統計思想等。當我們按照空間形式和數量關系將研究對象進行分類時，把分類思想也看作基本數學思想。基本數學思想有兩大基石——符號與變元表示的思想和集合思想，又有兩大支柱——對應思想和公理化結構思想。基本數學思想及其衍生的其他數學思想，形成了一個結構性很強的體系。
數學中滲透著基本數學思想，它們是基礎知識的靈魂，如果能使它們落實到我們學習和應用數學中去，那麼我們得到的將會很多,需要我們不斷的探索實踐,使數學思想潛移默化的滲透到教學中去。

Ⅳ 數學思想方法總結

數學思想是對數學知識的本質認識,是對數學規律的理性認識,是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點,它在認識活動中被反復運用,帶有普遍的指導意義,是建立數學和用數學解決問題的指導思想。常見的數學思想包括化歸思想、分類思想、分類思想、模型思想、極限思想、統計思想、最優化思想等。數學方法是從數學角度提出問題、解決問題的過程中所採用的各種方式、手段、途徑等。數學思想和數學方法是緊密聯系的,一般來說,強調指導思想時稱數學思想,強調操作過程時稱數學方法。一般情況下數學思想與數學方法不加以區分,統稱為數學思想方法。在中學數學中常用的有數學歸納法、反向歸納法、不完全歸納法、類比法、分析法、綜合法、遞推法、待定系數法、數形結合法、補集法等數學方法。
1、配方法
所謂配方，就是把一個解析式利用恆等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恆等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恆等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。
3、換元法
換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。
4、判別式法與韋達定理
一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬於R，a≠0）根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。
韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。
5、待定系數法
在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而後根據題設條件列出關於待定系數的等式，最後解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。
6、構造法
在解題時，我們常常會採用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利於問題的解決。
7、反證法
反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然後，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。
反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行於/不平行於；垂直於/不垂直於；等於/不等於；大(小)於/不大(小)於；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。
歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。
8、面積法
平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用於計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。
用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯系起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。
9、幾何變換法
在數學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至於無法下手的習題，可以藉助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利於對圖形本質的認識。
幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉；（3）對稱。
10.客觀性題的解題方法
選擇題是給出條件和結論，要求根據一定的關系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學生的基礎知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。
填空題是標准化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標明確，知識復蓋面廣，評卷准確迅速，有利於考查學生的分析判斷能力和計算能力等優點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生猜估答案的情況。
要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準確的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實例介紹常用方法。
（1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結論，選擇正確答案，這就是傳統的解題方法，這種解法叫直接推演法。
（2）驗證法：由題設找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，找出正確答案，此法稱為驗證法（也稱代入法）。當遇到定量命題時，常用此法。
（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數或圖形）代入題設條件或結論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。
（4）排除、篩選法：對於正確答案有且只有一個的選擇題，根據數學知識或推理、演算，把不正確的結論排除，餘下的結論再經篩選，從而作出正確的結論的解法叫排除、篩選法。
（5）圖解法：藉助於符合題設條件的圖形或圖象的性質、特點來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。
（6）分析法：直接通過對選擇題的條件和結論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結果，稱為分析法

Ⅳ 數學思想方法有哪些

1、對應思想方法

對應是人們對兩個集合因素之間的聯系的一種思想方法，小學數學一般是一一對應的直觀圖表，並以此孕伏函數思想。如直線上的點（數軸）與表示具體的數是一一對應。

2、假設思想方法

假設是先對題目中的已知條件或問題作出某種假設，然後按照題中的已知條件進行推算，根據數量出現的矛盾，加以適當調整，最後找到正確答案的一種思想方法。假設思想是一種有意義的想像思維，掌握之後可以使要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。

3、比較思想方法

比較思想是數學中常見的思想方法之一，也是促進學生思維發展的手段。在教學分數應用題中，教師要善於引導學生比較題中已知和未知數量變化前後的情況，可以幫助學生較快地找到解題途徑。

4、符號化思想方法

用符號化的語言（包括字母、數字、圖形和各種特定的符號）來描述數學內容，這就是符號思想。如數學中各種數量關系，量的變化及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數，以符號的濃縮形式表達大量的信息。如定律、公式、等。

5、類比思想方法

類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想。如加法交換律和乘法交換律、長方形的面積公式、平行四邊形面積公式和三角形面積公式。類比思想不僅使數學知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟般自然和簡潔。

Ⅵ 一般的數學思想方法有哪些

1 函數思想

把某一數學問題用函數表示出來，並且利用函數探究這個問題的一般規律。

2 數形結合思想

把代數和幾何相結合，例如對幾何問題用代數方法解答，對代數問題用幾何方法解答。

3 整體思想

整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。

4 轉化思想

在於將未知的，陌生的，復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的，熟悉的，簡單的問題。

5 類比思想

把兩個（或兩類）不同的數學對象進行比較，如果發現它們在某些方面有相同或類似之處，那麼推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。

(6)至精至簡的數學思想方法怎麼樣擴展閱讀：

函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然後通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。

笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪裡有等式，哪裡就有方程；哪裡有公式，哪裡就有方程；求值問題是通過解方程來實現的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時需要重點考慮的。

函數描述了自然界中數量之間的關系，函數思想通過提出問題的數學特徵，建立函數關系型的數學模型，從而進行研究。

它體現了「聯系和變化」的辯證唯物主義觀點。一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題，經常利用的性質是：f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。

在解題中，善於挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題。

函數知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。

我們應用函數思想的幾種常見題型是：遇到變數，構造函數關系解題；有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數觀點加以分析；含有多個變數的數學問題中，選定合適的主變數，從而揭示其中的函數關系。

實際應用問題，翻譯成數學語言，建立數學模型和函數關系式，應用函數性質或不等式等知識解答；等差、等比數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數，數列問題也可以用函數方法解決。

引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：

① 問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a=0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。

② 問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q=1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。

③ 解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a=0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。

另外，某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。

進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是「不漏不重」。

解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標准，正確進行合理分類，即標准統一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最後進行歸納小結，綜合得出結論。

Ⅶ 數學思想方法的思維方法

數學認識的一般性與特殊性
數學作為對客觀事物的一種認識，與其他科學認識一樣，其認識的發生和發展過程遵循實踐——認識——再實踐的認識路線。但是，數學對象（量）的特殊性和抽象性，又產生與其他科學不同的、特有的認識方法和理論形式。由此產生數學認識論的特有問題。
數學認識的一般性
認識論是研究認識的本質以及認識發生、發展一般規律的學說，它涉及認識的來源、感性認識與理性認識的關系、認識的真理性等問題。數學作為對客觀事物的一種認識，其認識論也同樣需要探討這些問題；其認識過程，與其他科學認識一樣，也必然遵循實踐——認識——再實踐這一辯證唯物論的認識路線。
事實上，數學史上的許多新學科都是在解決現實問題的實踐中產生的。最古老的算術和幾何學產生於日常生活、生產中的計數和測量，這已是不爭的歷史事實。數學家應用已有的數學知識在解決生產和科學技術提出的新的數學問題的過程中，通過試探或試驗，發現或創造出解決新問題的具體方法，歸納或概括出新的公式、概念和原理；當新的數學問題積累到一定程度後，便形成數學研究的新問題（對象）類或新領域，產生解決這類新問題的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成一套經驗知識。這樣，有了新的問題類及其解決問題的新概念、新方法等經驗知識後，就標志著一門新的數學分支學科的產生，例如，17世紀的微積分。由此可見，數學知識是通過實踐而獲得的，表現為一種經驗知識的積累。
這時的數學經驗知識是零散的感性認識，概念尚不精確，有時甚至導致推理上的矛盾。因此，它需要經過去偽存真、去粗取精的加工製作，以便上升為有條理的、系統的理論知識。
數學知識由經驗知識形態上升為理論形態後，數學家又把它應用於實踐，解決實踐中的問題，在應用中檢驗理論自身的真理性，並且加以完善和發展。同時，社會實踐的發展，又會提出新的數學問題，迫使數學家創造新的方法和思想，產生新的數學經驗知識，即新的數學分支學科。由此可見，數學作為一種認識，與其他科學認識一樣，遵循著感性具體——理性抽象——理性具體的辯證認識過程。這就是數學認識的一般性。
數學認識的特殊性
科學的區分在於研究對象的特殊性。數學研究對象的特殊性就在於，它是研究事物的量的規定性，而不研究事物的質的規定性；而「量」是抽象地存在於事物之中的，是看不見的，只能用思維來把握，而思維有其自身的邏輯規律。所以數學對象的特殊性決定了數學認識方法的特殊性。這種特殊性表現在數學知識由經驗形態上升為理論形態的特有的認識方法——公理法或演繹法，以及由此產生的特有的理論形態——公理系統和形式系統。因此，它不能像自然科學那樣僅僅使用觀察、歸納和實驗的方法，還必須應用演繹法。同時，作為對數學經驗知識概括的公理系統，是否正確地反映經驗知識呢？數學家解決這個問題與自然科學家不盡相同。特別是，他們不是被動地等待實踐的裁決，而是主動地應用形式化方法研究公理系統應該滿足的性質：無矛盾性、完全性和公理的獨立性。為此，數學家進一步把公理系統抽象為形式系統。因此，演繹法是數學認識特殊性的表現。
概括數學本質的嘗試
數學認識的一般性表明，數學的感性認識表現為數學知識的經驗性質；數學認識的特殊性表明，數學的理性認識表現為數學知識的演繹性質。因此，認識論中關於感性認識與理性認識的關系在數學認識論中表現為數學的經驗性與演繹性的關系。所以，認識數學的本質在於認識數學的經驗性與演繹性的辯證關系。那麼數學哲學史上哲學家是如何論述數學的經驗性與演繹性的關系，從而得出他們對數學本質的看法的呢？
數學哲學史上最早探討數學本質的是古希臘哲學家柏拉圖。他在《理想國》中提出認識的四個階段，認為數學是處於從感性認識過渡到理性認識的一個階梯，是一種理智認識。這是柏拉圖對數學知識在認識論中的定位，第一次觸及數學的本質問題。
17世紀英國經驗論哲學家J.洛克在批判R.笛卡爾的天賦觀念中建立起他的唯物主義經驗論，表述了數學經驗論觀點。他強調數學知識來源於經驗，但又認為屬於論證知識的數學不如直覺知識清楚和可靠。
德國哲學家兼數學家萊布尼茨在建立他的唯理論哲學中，闡述了唯理論的數學哲學觀。他認為：「全部算術和全部幾何學都是天賦的」；數學只要依靠矛盾原則就可以證明全部算術和幾何學；數學是屬於推理真理。他否認了數學知識具有經驗性。
德國哲學家康德為了克服唯理論與經驗論的片面性，運用他的先驗論哲學，從判斷的分類入手，論述了數學是「先天綜合判斷」。由於這一觀點帶有先驗性和調和性，所以它並沒有解決數學知識的經驗性與演繹性的辯證關系。
康德以後，數學發展進入一個新時期，它的一個重要特點是公理化傾向。這一趨勢使大多數數學家形成一種認識：數學是一門演繹的科學。這種觀點的典型代表是數學基礎學派中的邏輯主義和形式主義。前者把數學歸結為邏輯，後者把數學看作是符號游戲。1931年哥德爾不完全性定理表明了公理系統的局限性和數學演繹論的片面性。這就使得一些數學家開始懷疑「數學是一門演繹科學」的觀點，提出，數學是一門有經驗根據的科學，但它並不排斥演繹法。這引起一場來自數學家的有關數學本質的討論。
拉卡托斯為了避免數學演繹論與經驗論的片面性，從分析數學理論的結構入手，提出數學是一門擬經驗科學。他說：「作為總體上看，按歐幾里得方式重組數學也許是不可能的，至少最有意義的數學理論像自然科學理論一樣，是擬經驗的。」盡管拉卡托斯給封閉的歐幾里得系統打開了第一個缺口，但是，擬經驗論實際上是半經驗論，並沒有真正解決數學性質問題，因而數學家對它以及數學哲學史上有關數學本質的概括並不滿意。1973年，數理邏輯學家A.羅賓遜說：「就應用辯證法來仔細分析數學或某一種數學理論（如微積分）而言，在我所讀的從黑格爾開始的這方面的著作中，還沒有發現經得起認真批判的東西。」因此，當計算機在數學中的應用引起數學研究方式的變革時，特別是當計算機證明了四色定理和藉助計算機進行大量試驗而創立分形幾何時，再次引起了數學家們對「什麼是證明？」「什麼是數學？」這類有關數學本質的爭論。
數學本質的辯證性
正因為一些著名數學家不滿意對數學本質的概括，他們開始從數學研究的體驗來闡明數學的經驗性與演繹性的相互關系。D.希爾伯特說：數學的源泉就在於思維與經驗的反復出現的相互作用，馮·諾伊曼說：數學的本質存在著經驗與抽象的二重性；R.庫朗說：數學「進入抽象性的一般性的飛行， 必須從具體和特定的事物出發，並且又返回到具體和特定的事物中去」；而A.羅賓遜則寄希望於：「出現一種以辯證的研究方法為基礎的、態度認真的數學的哲學」。
本節將根據數學知識的三種形態（經驗知識、公理系統和形式系統）及其與實踐的關系，具體說明數學的經驗性與演繹性的辯證關系。
經驗知識是有關數學模型及其解決方法的知識。數學家利用數學和自然科學的知識，從現實問題中提煉或抽象出數學問題（數學模型），然後求模型的數學解（求模型解），並返回實踐中去解決現實問題。這一過程似乎是數學知識的簡單應用，但事實並非如此。因為數學模型是主觀對客觀的反映，而人的認識並非一次完成，特別是遇到復雜的問題時，需要修正已有的數學模型及其求解的方法和理論，並經多次反復試驗，才能解決現實問題。況且社會實踐的發展，使得舊的方法和知識在解決新問題時顯得繁瑣，甚至無能為力，從而迫使數學家發明或創造新的方法、思想和原理，並在實踐中得到反復檢驗，產生新的數學分支學科。這時的數學知識是在解決實踐提出的數學問題中產生的，屬於經驗知識，具有經驗的性質。
數學的經驗性向演繹性轉化 第一部分講過，數學經驗知識具有零散性和不嚴密性，有待於上升或轉化為系統的理論知識；而數學對象的特殊性使得這種轉化採取特殊的途徑和方法——公理法，產生特有的理論形態——公理系統。所以，數學的經驗性向演繹性的轉化，具體表現為經驗知識向作為理論形態的公理系統的轉化。
公理系統 是應用公理方法從某門數學經驗知識中提煉出少數基本概念和公理作為推理的前提，然後根據邏輯規則演繹出屬於該門知識的命題構成的一個演繹系統。它是數學知識的具體理論形態，是對數學經驗知識的理論概括。就其內容來說，是經驗的；但就其表現形式來說，是演繹的，具有演繹性質。因為數學成果（一般表現為定理）不能靠歸納或實驗來證實，而必須通過演繹推理來證明，否則，數學家是不予承認的。
公理系統就其對經驗知識的概括來說，是理性認識對感性認識的抽象反映。為了證實這種抽象反映的正確性，數學家採取兩種解決辦法。一是讓理論回到實踐，通過實際應用來檢驗、修改理論。歐幾里得幾何的不嚴密性就是通過此種方法改進的。二是從理論上研究公理系統應該滿足的性質：無矛盾性、完全性和公理的獨立性。這就引導數學家對公理系統的進一步抽象，產生形式系統。
形式系統 是形式化了的公理系統，是由形式語言、公理和推理規則組成的。它是應用形式化方法從不同的具體公理系統中抽象出共同的推理形式，構成一個形式系統；然後用有窮推理方法研究形式系統的性質。所以，形式系統是撇開公理系統的具體內容而作的進一步抽象，是數學知識的抽象理論形態。它採用的是形式推理的方法，表現其知識形態的演繹性。
數學的演繹性向經驗性的轉化 這除了前面說過的認識論原因外，對公理系統和形式系統的研究也證實了這種轉化的必要性。哥德爾不完全性定理嚴格證明了公理系統的局限性：（1 ）形式公理系統的相容性不可能在本系統內得到證明，必須求助於更強的形式公理系統才能證明。而相容性是對公理系統最基本的要求，那麼在找到更強的形式公理系統之前，數學家只能像公理集合論那樣，讓公理系統回到實踐中去，通過解決現實問題而獲得實踐的支持。（2 ）如果包含初等算術的形式公理系統是無矛盾的，那麼它一定是不完全的。這就是說，即使形式系統的無矛盾性解決了，它又與不完全性相排斥。「不完全性」是指，在該系統中存在一個真命題及其否定都不可證明（稱為不可判定命題）。所以，「不完全性」說明，作為對數學經驗知識的抽象的公理系統，不可能把屬於該門數學的所有經驗知識（命題）都包括無遺。對於「不可判定命題」的真假，只有訴諸實踐檢驗。因此，這兩種情況說明，要解決公理系統的無矛盾性和不可判定命題，必須讓數學的理論知識返回到實踐接受檢驗。
由此可見，數學的認識過程是：在解決現實問題的實踐基礎上獲得數學的經驗知識；然後上升為演繹性的理論知識（公理系統和形式系統）；再返回到實踐中，通過解決現實問題而證實自身的真理性，完善或發展新的數學知識。這是辯證唯物論的認識論在數學認識論上的具體表現，反映了數學本質上是數學知識的經驗性與演繹性在實踐基礎上的辯證統一。

Ⅷ 數學常用的數學思想方法有哪些

數學常用的數學思想方法主要有：用字母表示數的思想,數形結合的思想,轉化思想 (化歸思想)，分類思想，類比思想，函數的思想，方程的思想，無逼近思想等等。

1.用字母表示數的思想：這是基本的數學思想之一 .在代數第一冊第二章「代數初步知識」中，主要體現了這種思想。

2.數形結合：是數學中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數學問題的有效思想。「數缺形時少直觀，形無數時難入微」是我國著名數學家華羅庚教授的名言，是對數形結合的作用進行了高度的概括。

3.轉化思想：在整個初中數學中，轉化(化歸)思想一直貫穿其中。轉化思想是把一個未知(待解決)的問題化為已解決的或易於解決的問題來解決，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，它是解決問題的一種最基本的思想,它是數學基本思想方法之一。

4.分類思想：有理數的分類、整式的分類、實數的分類、角的分類，三角形的分類、四邊形的分類、點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系等都是通過分類討論的。

5.類比：類比推理在人們認識和改造客觀世界的活動中具有重要意義.它能觸類旁通，啟發思考，不僅是解決日常生活中大量問題的基礎，而且是進行科學研究和發明創造的有力工具.

6.函數的思想 ：辯證唯物主義認為，世界上一切事物都是處在運動、變化和發展的過程中，這就要求我們教學中重視函數的思想方法的教學。

7.方程：是初中代數的主要內容.初中階段主要學習了幾類方程和方程組的解法，在初中階段就要形成方程的思想.所謂方程的思想，就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的的解題思路和策略，

(8)至精至簡的數學思想方法怎麼樣擴展閱讀：

函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然後通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。

從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特徵，善於用「集成」的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用。

Ⅸ 數學基本思想方法有哪些

1、數形結合：是數學中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數學問題的有效思想。「數缺形時少直觀，形無數時難入微」是我國著名數學家華羅庚教授的名言，是對數形結合的作用進行了高度的概括。

2、轉化思想：在整個初中數學中，轉化(化歸)思想一直貫穿其中。轉化思想是把一個未知(待解決)的問題化為已解決的或易於解決的問題來解決，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，它是解決問題的一種最基本的思想,它是數學基本思想方法之一。

3、分類思想：有理數的分類、整式的分類、實數的分類、角的分類，三角形的分類、四邊形的分類、點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系等都是通過分類討論的。

4、整體思想

從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特徵，善於用「集成」的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。

5、類比思想

把兩個（或兩類）不同的數學對象進行比較，如果發現它們在某些方面有相同或類似之處，那麼就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。