什麼叫數學的形式化

❶ 形式化方法的基本信息

在計算機科學和軟體工程領域，形式化方法是基於數學的特種技術，適合於軟體和硬體系統的描述、開發和驗證。將形式化方法用於軟體和硬體設計，是期望能夠像其它工程學科一樣，使用適當的數學分析以提高設計的可靠性和魯棒性。但是，由於採用形式化方法的成本高意味著它們通常只用於開發注重安全性的高度整合的系統。
形式化方法在古代就運用了,而在現代邏輯中又有了進一步的發展和完善。這種方法特別在數學、計算機科學、人工智慧等領域得到廣泛運用。它能精確地揭示各種邏輯規律,制定相應的邏輯規則,使各種理論體系更加嚴密。同時也能正確地訓練思維、提高思維的抽象能力。

❷ 規范場論的數學形式化

規范理論通常用微分幾何的語言討論。數學上，一個規范就是某個流形的（局部）坐標系的一個選擇。一個規范變換也就是一個坐標變換。
注意，雖然規范理論被聯絡的研究占據了大部分（主要是因為它主要在高能物理中研究），聯絡的思想一般不是規范理論的基本或者中心概念。事實上，一般規范理論的一個結果表明規范變換的仿射表示（也就是仿射模）可以分類到一種滿足特定屬性的Jet叢的截面。有些表示在每一點共變（物理學家稱其為第一類規范變換），有些表示象聯絡形式一樣變換（物理學家稱其為第二類規范變換）（注意折實一種仿射表示），還有其它更一般的表示，例如BF理論中的B場。當然，我們可以考慮更一般的表示（實現），但那很復雜。但是，非線性σ模型非線性地變換，所以它們也有用處。
若我們有一個主叢P其基空間是空間或時空而結構群是一個李群，則P的截面組成一個群稱為規范變換群。
我們可以在該主叢上定義一個聯絡（規范聯絡），這可以在每個相伴矢量叢上產生一個共變導數∇。若我們選擇一個局部標架（截面的局部基），我們就可以用聯絡形式A表示這個共變導數，A是一個李代數-值的1-形式，在物理學中稱為規范勢，它顯然不是內在的量，而是一個依賴於標架的選擇的量。從這個聯絡形式，我們可以構造麯率形式F，這是一個李代數-值的2-形式，這是一個內在量，定義為
其中d代表外微分而代表楔積。
無窮小規范變換形成一個李代數，可以表述為一個光滑李代數值的標量，ε。在這樣一個無窮小規范變換下，
其中是李括弧。
一個有趣的結果是，若，則 其中D是共變導數
而且，，這意味著F共變地變換。
需要注意的一點是不是所有的一般規范變換都可以用無窮小規范變換生成；例如，當基流形是一個無邊界的緊致流形使得從該流形到李群的映射的同倫類非平凡的時候。參看瞬子（instanton）中的例子。
楊-米爾斯作用可以如下給出
其中 * 代表霍奇對偶而積分和在微分幾何中的定義一樣。
一個規范-不變數也就是在規范變換下的不變數的例子是威爾遜環（Wilson loop），它定義在閉合路徑γ上，定義如下：
其中χ是復表示ρ的特徵標；而表示路徑排序運算元。

❸ 數學抽象的基本形式有哪些

數學抽象的四種形式：
1、實物層面的抽象
這個層面的抽象，實際上是立足於已有的生活經驗和社會現實，進行第一步抽象，即以實物為對象進行抽象，到剛剛超越實物而尚未完全脫離實物即結束。例如：在七年級上冊《有理數的乘方》這一節中，用文字和圖片一起呈現出細胞分裂的過程，細胞每過30min便由1個分裂成2個，經過5h，這種細胞由1個能分裂成多少個？從這樣一個有趣的過程中抽象出數學問題，能夠很快的激發學生的學習興趣。在七年級上冊《豐富的圖形世界》這一節中，教科書提供了幾幅圖片，引導學生感受圖形世界的多姿多彩，並且通過給出各種實物模型，讓學生認識圓柱、圓錐、正方體、長方體和球這五種幾何體。在八年級下冊《圖形的旋轉》中，呈現出一幅旋轉的摩天輪，瞬間把學生帶入旋轉的情境中去感受旋轉，繼而思考什麼樣的圖形運動可以稱之為圖形的旋轉。這些都是典型的藉助「實物」的直接抽象。在這些過程中，通過設計好的情境，加上教師的有意引導，學生在仔細觀察圖片中物體的基礎上，思考有理數的乘方、幾何體、圖形的內在本質屬性，形成自己對這些知識的初步認識。
2、半符號層面的抽象
這個階段實際上是簡約階段的一種，是建立在實物抽象的基礎之上的進一步發展。此時，有關的屬性已經從實物中提取出來、抽象出來，但是並沒有完全脫離實物，或者更確切的說，是部分屬性脫離了實物，而其中的關鍵屬性已經初見端倪。例如：在七年級下冊《單項式乘多項式》這一節中，教科書要求在一幅長x米寬mx米的畫左右兩邊各留1/8x米的空白，求畫的面積是多少？接著展示了兩種演算法，通過對同一面積的不同表達，可以得到: x(mx-1/4x)=mx2-1/4x2 此時單項式乘多項式的有關屬性已經呈現出來。在《圖形的全等》這一節中，在學生已經了解了什麼是全等圖形之後，教科書呈現出多個形態各異的圖形，要求學生從中找出全等圖形，這也是實物直觀層面的第二次抽象。在這個過程中，全等圖形是能夠完全重合的圖形這一關鍵屬性已經凸顯出來，學生要做的便是依據全等圖形的概念來找出能夠完全重合的圖形。

3、符號層面的抽象
這個層面的抽象屬於數學抽象的符號階段，具有典型的階段性、層次性。准確的說，符號層面的抽象已經去掉了具體的內容，利用概念、圖形、符號、關系表述包括已經簡約化了的事物在內的一類事物。例如：在七年級上冊《合並同類項》這一節中，觀察四組代數式，找出它們的共同特點，然後總結出同類項的概念，並進而得到合並同類項法則。在這個過程中，學生在觀察代數式和探索合並同類項及其合並同類項法則的同時，嘗試著用文字去表述自己的發現，這就是在進行符號層面的抽象。在八年級上冊《勾股定理》的教學上，首先通過探索活動讓學生們初步感受直角三角形三邊長之間的特殊關系，接著引導學生用語言准確表述這樣一種特殊關系，最後賦予直角三角形三邊以符號表示，並用符號語言來描述出勾股定理。這樣一種禮儀概念、圖形、符號表述一類事物的方式就是典型的符號層面的抽象。在這個過程中，學生首先要通過觀察「郵票」這一實物對研究勾股定理的這個基本圖形形成一個直觀認識，在經歷分析、猜想、嘗試等過程探求兩個小直角三角形面積與大直角三角形面積之間的數量關系的方法，最後通過分析、推理得到直角三角形三條邊長之間的特殊關系。這樣一個過程能夠讓學生在經歷勾股定理的探索過程後，更深刻的認識、理解這個定理。在九年級上冊《相似多邊形》這一節總，在學生已對相似圖形有了最初的直觀感受後，通過觀察、分析五組形態各異的圖形的內在共同特徵，總結歸納出相似圖形的定義，學生從初步認識相似圖形，到深入了解相似圖形，這整個過程都參與其中，十分有利於學生對相似圖形的全面理解。
4、形式化層面的抽象
這個層面的抽象屬於數學抽象的普適階段，即通過假設和推理建立法則、模式或者模型，並能夠在一般意義上解釋具體事物。這個階段的抽象在中小學也是時常存在的。例如：在七年級下冊《二元一次方程組》這一節中，基於上一節《二元一次方程》已經完成了從「一元」到「二元」、新的數學模型的建立，該節內容的學習主要集中在類似於「雞兔同籠」問題的解決上。建立模型後，將模型運用到一般問題的解決上，這一過程是典型的形式化抽象。再比如說，在九年級下冊圓周角定理的呈現上，通過猜想、推理得到圓周角與圓心角之間的半倍關系，繼而引導學生運用這一關系去解決一些具體的問題。在這一過程中，學生首先要形成對圓周角概念的認識，再在測量同一圓的圓心角和圓周角度數的基礎上，大膽猜想圓心角與圓周角的數量關系，接著在教師的引導下逐步形成證明這一關系的思想和方法，最後能夠將這一定理熟練地運用到解決實際問題當中。在九年級上冊《相似三角形的性質》這一節中，通過深入分析探索得到證明相似三角形、相似多邊形的周長比的方法，繼而引導學生運用所得方法去嘗試解決相似三角形、相似多邊形的面積比、高比等，在這個過程中，學生不僅學到解決問題的方法，還知道了將習得的方法用在其他問題的解決上，符合新課標提出的重視「過程與方法」的目標。
總體來看，現行初中教材中情境中採用最多的是實物層面的抽象，正文中採用最多的是符號層面的抽象，練習中採用最多的是實物半符號層面的抽象，數學活動中最多採用的是形式化層面的抽象。

❹ 公理化定義和形式化定義有何不同

公理化方法發展的第一階段是由亞里斯多德的完全三段論到歐幾里得《幾何原本》的問世．大約在公元前3世紀，希臘哲學家和邏輯學家亞里斯多德總結了幾何學與邏輯學的豐富資料，系統地研究了三段論，以數學及其它演繹的學科為例，把完全三段論作為公理，由此推導出其它所有三段論法，從而使整個三段論體系成為一個公理系統．因此，亞里斯多德在歷史上提出了第一個成文的公理系統．
亞里斯多德的思想方法深深地影響了當時的希臘數學家歐幾里得．歐幾里得把形式邏輯的公理演繹方法應用於幾何學，從而完成了數學史上的重要著作《幾何原本》．他從古代的量地術和關於幾何形體的原始直觀中，用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和公理．他總結概括出14個基本命題，其中有5個公設和9條公理，然後由此出發，運用演繹方法將當時所知的全部幾何學知識推演出來，整理成為演繹體系．《幾何原本》一書把亞里斯多德初步總結出來的公理化方法應用於數學，整理、總結和發展了希臘古典時期的大量數學知識，在數學發展史上樹立了一座不朽的豐碑．
公理學研究的對象、性質和關系稱為「論域」，這些對象、性質和關系，由初始概念表示．例如歐氏《幾何原本》中只需取「點」、「直線」、「平面」；「在……之上」、「在……之間」、「疊合」作為初始概念．前三個概念所表示的三類對象和後三個概念所表示的三種關系就是這種幾何的論域．按照「一個公理系統只有一個論域」的觀點建立起來的公理學，稱為實質公理學．這種公理學是對經驗知識的系統整理，公理一般具有自明性．因此，歐氏《幾何原本》就是實質公理學的典範．
公理化方法的發展

公理化方法的發展大致經歷了這樣三個階段：實質（或實體）公理化階段、形式公理化階段和純形式公理化階段，用它們建構起來的理論體系典範分別是《幾何原本》、《幾何基礎》和ZFC公理系統。
《幾何原本》雖然開創了數學公理化方法的先河，然而它的公理系統還有許多不夠完善的地方，其主要表現在以下幾個方面：(1)有些定義使用了一些還未確定涵義的概念；(2)有些定義是多餘的；(3)有些定理的證明過程往往依賴於圖形的直觀；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理來證明或代替．這些問題成為後來許多數學家研究的課題，並通過這些問題的研究，使公理化方法不斷完善

❺ 形式化是什麼意思

「形式化」是指分析、研究思維形式結構的方法。它把各種具有不同內容的思維形式(主要是命題和推理)加以比較，找出其中各個部分相互聯結的方式，如命題中包含概念彼此間的聯結，推理中則是各個命題之間的聯結，抽取出它們共同的形式結構；再引入表達形式結構的符號語言，用符號與符號之間的聯系表達命題或推理的形式結構。
形式化方法在古代就運用了，而在現代邏輯中又有了進一步的發展和完善。這種方法特別在數學、計算機科學、人工智慧等領域得到廣泛運用。它能精確地揭示各種邏輯規律，制定相應的邏輯規則，使各種理論體系更加嚴密。同時也能正確地訓練思維、提高思維的抽象能力。
形式化方法是基於數學的特種技術，適合於證。將形式化方法用於軟體和硬體設計，是期望能夠像其它工程學科一樣，使用適當的數學分析以提高設計的可靠性和魯棒性。但是，由於採用形式化方法的成本高意味著它們通常只用於開發注重安全性的高度整合的系統。

❻ 什麼是形式化什麼是形式模型

形式化方法一般是用一種嚴格的，精準的方法（一般是數學語言）描述軟體，對軟體建模。
你可以理解為類似UML建模。只是形式化的方法更難學，你可以理解為離散數學里的各種規約、公式。形式化模型就是你用形式化方法構建出來的模型，可類比UML模型，也可以類比數學建模，甚至可以類比編程代碼（編程同樣是用編程語言對軟體需求的精確描述）

❼ 3.數學的形式化定義與數學概念有什麼不同以「分數」為例加以說明"

小學階段所涉及的數學概念是都是非常重要、非常基本的，『越是簡單的往往是越本質的』，因此對小學階段的基本數學概念內涵的理解是如何學習數學、掌握數學思想方法、形成恰當的數學觀、真正使「情感、態度、價值觀」的目標得以落實的載體。在數學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限於形式化的表述，要強調對數學本質的認識，否則會把生動活潑的數學思維活動淹沒在形式化的海洋中。一般來講，數學教學之初，應該充分展示數學知識發生發展的過程，引導學生弄清本質，在熟練的基礎是適度形式化，形成自己的技能，這樣的知識學得牢固一些

❽ 什麼是形式化，非形式化，半形式化

形式化、半形式化和非形式化是三種類型的規范風格。
形式化規范就是用一套基於明確定義的數學概念的符號來書寫，並且通常伴隨著支持性的解釋（非形式化）語句。這些數學概念被用來定義符號的句法和語義，以及支持邏輯推理的證明規則。支持形式化符號的句法和語義規則應該定義如何明確地識別其結構和確定其含義。並且必須有證據表明矛盾不可能產生，支持符號的所有規則都有定義或者引用。
半形式化規范就是用一種受限制的句法語言來書寫，並且通常伴隨著支持性的解釋（非形式化）語句。這里的受限制句法語言可以是一種帶有受限制句子結構和具有特殊意義的關鍵字的自然語言，也可以是圖表式的（如：數據流圖、狀態轉換圖、實體關系圖、數據結構圖、流程或程序結構圖）。不論基於圖表還是自然語言必須用一套規范來定義句法限制。
非形式化規范就是像散文一樣用自然語言來書寫。在這里使用自然語言作為任何普通口頭語言（如：荷蘭語、英語、法語、德語）中意思的溝通。非形式化規范不像常規語言的傳統用法（如：文法和句法）一樣受一些符號或特殊的限制。雖然沒有符號限制，非形式化規范也要求為上下文中的術語定義其意思，除非作為常規用法已認可。

❾ 數學的形式化包括"符號化、邏輯化和公理化」三個層面

題目不夠准確。

《普通高中數學課程標准》指出：「形式化是數學的基本特徵之一。在數學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限於形式化的表述，要強調對數學本質的認識，否則會將生動活潑的數學思維活動淹沒在形式化的海洋里。數學的現代發展也表明，全盤形式化是不可能的。因此，高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程的本質。」

所謂「數學形式」，就是用特定的數學語言,包括數學的符號語言、圖象語言和文字語言,表達自然現象和社會現象的空間結構和數量關系，即具有相對固定樣式的數學概念、法則、結論，它具有如下特徵：

（1）穩定性。數學概念、法則、結論等內容一旦成為「形式」，就有相對穩定的特徵，決不會因環境、條件的變更而發生變化。

（2）概括性。數學形式是無數具體事物經抽象概括的結果，應該是研究數量關系或圖形本質屬性的反應。

（3）簡潔性。最簡單的往往是最深刻的，越簡潔的東西就越具有生命力，越具使用價值。數學形式就以其表述方式的簡潔而稱道。

（4）廣泛性。數學形式的概括性決定了它具有廣泛性，可真正達到華羅庚教授所說的「數學是一個原則，無數內容，一個方法，到處有用。」

（5）可操作性。按照相關數學形式進行的程式化操作可稱為行為模式。人的行為模式有兩種，一種是需要智力投入、思維參與的行為模式；一種是較少需要智力投入、思維參與的行為模式。在數學學習和解決數學問題的所有活動中，創造性思維的含量只佔少部分，運用更多的是程式化的操作。這種操作講究的是熟練、准確、快速、高效。學生大多數解題是按既定法則進行模式化操作。即使是難度較大的需要一定的創造思維，但創造的「根」仍然扎在堅實的基本數學形式的土壤中。基本數學形式是創造的源泉與原型。當然，即便進行的是簡單化、機械化、程序化的操作，也要在其中努力加大智力與思維的含量。

❿ 形式化方法的定義

用於開發計算機系統的形式化方法是描述系統性質的基於數學的技術，這樣的形式化方法提供了一個框架，可以在框架中以系統的而不是特別的方式刻劃、開發和驗 證系統。 如果一個方法有良好的數學基礎，那麼它就是形式化的，典型地以形式化規約語言給出。這個基礎提供一系列精確定義的概念，如：一致性和完整性，以及定義規范 的實現和正確性。 形式化方法的本質是基於數學的方法來描述目標軟體系統屬性的一種技術。不同的形式化方法的數學基礎是不同的，有的以集合論和一階謂詞演算為基礎（如Z和 VDM），有的則以時態邏輯為基礎。形式化方法需要形式化規約說明語言的支持。