數學類比怎麼學

❶ 淺談類比法在初中數學教學中的應用

摘要：數學類比和對比法是數學教學中常用的一種重要方法，文章通過實例闡述數學類比和對比法在初中數學教學中的應用。

數學問題浩如煙海，面對一個個數學問題如何著手求解?有些學生做了大量的題目，但考試遇到新題型或只是稍稍變換一下，就不知所措，原因是在平時的學習中，缺乏掌握數學思考方法。掌握一種新的思考方法要比學會解幾道具體習題更為重要，這些解題方法和技巧是進一步學習數學不可缺少的工具，數學方法的學習，在數學學習中起到事半功倍的效果，本文就數學類比和對比法在初中教學中的具體應用進行闡述。

類比是根據兩個對象有一部分性質類似，推出與這兩個對象的其他性質相類似的一種推理方法。因此，類比是從特殊到特殊的推理。通過類比，可以發現新舊知識的相同點，利用已有的舊知識，來認識新知識。

對比是通過比較，找出一事物區別其他事物的特點，通過對比可以找出差異，有助於進一步加深對新知識的理解。

類比和對比這兩種方法是相輔相成的，都是通過新舊知識的相互聯系，利用已有的舊知識，揭示新知識的本質。

例如：在學習分式這章時，關鍵是要用與分數類比的方法導出分式概念，分式基本性質與分式的四則運演算法則，這樣新知識易為學生接受與掌握，具體操作如下：

首先，復習小學學過的分數概念：兩數相除，可以表示成分數的形式.如3÷4= ,(-7)÷2=- ,5÷(-9)= ， 一個分數由分子、分母和分數線構成，分子、分母都是數，但分母不能是零，為什麼分母不能為零呢?因為零不能做除數，分數有正分數、負分數，如果分子等於零，只要分母不是零(不論是正數還是負數)，這個分數的值就是零。把分數的概念引伸到代數式來，如 這兩個式子有什麼特點?(1)分式由分子、分母與分數線構成；(2)分母中含有字母，這就是分式，這樣就很自然地引入了分式的概念，接著，指出分數與分式的區別所在：分數與分式形式相同，但分式中的分子、分母均為整式，且分母是含有字母的整式。

其次，在講分式的基本性質時，先復習分數的基本性質，推想分式的基本性質，我們來看如何做不同分母的分數的加法： ； ，這里先將異分母化為同分母， ，這是根據什麼呢?根據分數的基本性質：分數的分子與分母都乘以(

或除以)同一個不等於零的數，分數的值不變，分式是一般化了的分數，因此，分式應該有 ，這里，A、B、M是整式，根據分式的概念應該要求B 0，由分數的基本性質應該想到M 0 。因此，分式的基本性質是分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等於零的整式，分式的值不變。

第三，分式的四則運算順序也可以類比分數進行，先做括弧內的運算，然後再進行乘除運算，最後進行加減運算，這個順序和步驟正是分式四則混合運算的順序和步驟。概括地說是：「先乘除，後加減、括弧內先進行」。

在幾何教學中，在講解相似三角形判定定理可類比全等三角形得到，全等形與相似形的關系：全等三角形是相似三角形，當相似比值K＝l時的特例，全等與相似條件的比較：

(1)兩角相等——兩三角形相似

兩角相等，夾邊相等——兩三角形全等；

(2)兩邊成比例、夾角相等——兩三角形相似

兩邊相等，夾角相等——兩三角形全等；

(3)三邊對應成比例——兩三角形相似

三邊對應相等——兩三角形全等。

此外，在多項式除法與多位數除法，因式分解與質因數分解：開立方與開平方，中心對稱與軸對稱；分比定理與合並定理；扇形面積公式與三角形面積公式等等，都可以通過類比和對比進行教學，這種數學方法的教學，學生在學習過程中能較輕松地接受新知識，在實踐中也證明，這種類比和對比的數學方法，學生掌握的知識扎實，理解也較好。當然，類比和對比只能用來幫助我們建立猜想，作為研究問題的線索。

❷ 簡述類比的含義,數學中常用的類比有哪些

「類比」就是找出兩個看似完全不同的事物之間內在的相似性，藉助一個事物來理解另外一個事物的過程。具體來說，你剛學習了一個新概念A，為了理解概念A，你發現另外一個已所熟知或理解的概念B與概念A之間有內在的相似性，因而，你就在它們之間的相似性上建立起聯系，並藉助概念B理解了概念A。

❸ 類比的數學類比

數學解題與數學發現一樣，通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進行探測的基礎上，獲得對有關問題的結論或解決方法的猜想，然後再設法證明或否定猜想，進而達到解決問題的目的．類比、歸納是獲得猜想的兩個重要的方法．
運用類比法解決問題，其基本過程可用框圖表示如下：

可見，運用類比法的關鍵是尋找一個合適的類比對象．按尋找類比對象的角度不同，類比法常分為以下三個類型． 將三維空間的對象降到二維（或一維）空間中的對象，此種類比方法即為降維類比．
【例2】以棱長為1的正四面體的各棱為直徑作球，S是所作六個球的交集．證明S中沒有一對點的距離大於1。
【分析】考慮平面上的類比命題：「邊長為1的正三角形，以各邊為直徑作圓，S『是所作三個圓的交集」，通過探索S』的類似性質，以尋求本題的論證思路．如圖，易知S『包含於以正三角形重心為圓心，以為半徑的圓內．因此S』內任意兩點的距離不大於1以此方法即可獲得解本題的思路。
證明：如圖，正四面體 ABCD中，M、N分別為BC、AD的中點，G
為△BCD的中心，MN∩AG=O．顯然O是正四面體ABCD的中心．易知OG=·AG=，並且可以推得以O為球心、OG為半徑的球內任意兩點間的距離不大於，其球O必包含S．現證明如下。
根據對稱性，不妨考察空間區域四面體OMCG．設P為四面體OMCG內任一點，且P不在球O內，現證P亦不在S內。
若球O交OC於T點。△TON中，ON=，OT=，cos∠TON=cos（π-∠TOM)=-。由餘弦定理：
TN2=ON2+OT2+2ON·OT·=，∴TN=。
又在 Rt△AGD中，N是AD的中點，∴GN=。由GN= NT=， OG=OT， ON=ON，得 △GON≌△TON。∴∠TON=∠GON，且均為鈍角．
於是顯然在△GOC內，不屬於球O的任何點P，均有∠PON>；∠TON，即有PN>TN=，P點在 N為球心，AD為直徑的球外，P點不屬於區域S．
由此可見，球O包含六個球的交集S，即S中不存在兩點，使其距離大於． 某些待解決的問題沒有現成的類比物，但可通過觀察，憑借結構上的相似性等尋找類比問題，然後可通過適當的代換，將原問題轉化為類比問題來解決．
【例3】任給7個實數xk（k=1，2，…，7)．證明其中有兩個數xi，xj，滿足不等式0≤≤·
【分析】若任給7個實數中有某兩個相等，結論顯然成立．若7個實數互不相等，則難以下手．但仔細觀察可發現：與兩角差的正切公式在結構上極為相似，故可選後者為類比物，並通過適當的代換將其轉化為類比問題．作代換：xk=tanαk（k =l，2，…，7），證明必存在αi，αj，滿足不等式0≤tan（αi-αj）≤·
證明：令xk=tanαk（k =l，2，…，7），αk∈（-，），則原命題轉化為：證明存在兩個實數αi，αj∈（-，），滿足0≤tan（αi-αj）≤·
由抽屜原則知，αk中必有 4個在[0，）中或在（-，0）中，不妨設有4個在[0，）中．注意到tan0=0，tan=，而在[0，）內，tanx是增函數，故只需證明存在αi，αj，使0<；αi-αj <即可。為此將[0，）分成三個小區間：[0，]、（，]、（，）。又由抽屜原則知，4個αk中至少有2個比如αi，αj同屬於某一區間，不妨設αi>；αj，則0≤αi-αj ≤，故0≤tan（αi-αj）≤·這樣，與相應的xi=tanαi、xj=tanαj，便有0≤≤· 簡化類比，就是將原命題類比到比原命題簡單的類比命題，通過類比命題解決思路和方法的啟發，尋求原命題的解決思路與方法．比如可先將多元問題類比為少元問題，高次問題類比到低次問題，普遍問題類比為特殊問題等．
【例4】已知xi≥0（i=1，2，…，n），且xl+x2+…+xn=1。
求證：1≤++…+≤．
【分析】我們可先把它類比為一簡單的類比題：「已知xl≥0，x2≥0，且xl+x2 =1，求證1≤+≤」．本類比題的證明思路為：∵2≤xl+x2=l，∴0≤2≤1，則1≤xl+x2+2≤2，即1≤（+)2≤2，∴1≤+≤．這一證明過程中用到了基本不等式和配方法．這正是要尋找的證明原命題的思路和方法．
證明：由基本不等式有0≤2≤xi+xj，則
0≤2≤（n-1)(xl+x2+…+xn)=n-1
∴1≤xl+x2+…+xn +2≤n，即1≤（++…+)2≤n
∴1≤++…+≤．
所謂歸納，是指通過對特例的分析來引出普遍結論的一種推理形式．它由推理的前提和結論兩部分構成：前提是若干已知的個別事實，是個別或特殊的判斷、陳述，結論是從前提中通過推理而獲得的猜想，是普遍性的陳述、判斷．其思維模式是：設Mi（i=1，2，…，n）是要研究對象M的特例或子集，若Mi（i=1，2，…，n）具有性質P，則由此猜想M也可能具有性質P．
如果=M，這時的歸納法稱為完全歸納法．由於它窮盡了被研究對象的一切特例，因而結論是正確可靠的．完全歸納法可以作為論證的方法，它又稱為枚舉歸納法．
如果是M的真子集，這時的歸納法稱為不完全歸納法．由於不完全歸納法沒有窮盡全部被研究的對象，得出的結論只能算猜想，結論的正確與否有待進一步證明或舉反例．
本節主要介紹如何運用不完全歸納法獲得猜想，對於完全歸納法，將在以後結合有關內容（如分類法）進行講解．
【例5】證明：任何面積等於1的凸四邊形的周長及兩條對角線的長度之和不小於4十．
【分析】四邊形的周長和對角線的長度和混在一起令人棘手，我們可以從特例考察起：先考慮面積為1的正方形，其周長恰為4，對角錢之和為2即．其次考察面積為1的菱形，若兩對角線長記為l1、l2，那麼菱形面積S=l1·l2，知
l1+ l2≥2=2=，菱形周長：l=4≥2=4。
由此，可以猜想：對一般的凸四邊形也可將其周長和對角線長度和分開考慮．
【證明】設ABCD為任意一個面積為1的凸四邊形，其有關線段及角標如圖．則
SABCD= (eg+gf+fh+he)sinα
≤ (e+f)(g+h）≤，
∴e+f+g+h≥2，即對角線長度之和不小於．
∴a+b+c+d≥4，即周長不小於4．
綜上所述，結論得證，

❹ 中學數學中常見得幾種類比法

1、降維類比
將三維空間的對象降到二維（或一維）空間中的對象，此種類比方法即為降維類比。
2、結構類比
某些待解決的問題沒有現成的類比物，但可通過觀察，憑借結構上的相似性等尋找類比問題，然後可通過適當的代換，將原問題轉化為類比問題來解決。
3、簡化類比
簡化類比，就是將原命題類比到比原命題簡單的類比命題，通過類比命題的解決思路和方法的啟發，尋求原命題的解決思路與方法。比如可先將多元問題類比為少元問題，高次問題類比到低次問題，普遍問題類比為特殊問題等。

❺ 如何用類比思想進行中學數學教學

3、類比思想
類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想。類比思想不僅使數學知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟的自然和簡潔。如講授乘法分配律時，教師出示：(45＋25)＋13○45＋(25＋13),讓學生猜猜它們的結果可能會怎樣？再出示：(36＋18)＋22○36＋(18＋22),大膽猜猜一下，這兩題的結果會怎樣？你為什麼這么肯定？理由是什麼？仔細觀察這些等式，你有什麼發現？這樣的發現會不會是巧合？如果換成其他的加數是否也存在著這樣的規律？然後請每個同學再模仿寫一個，進行驗證。最後讓學生用a、b、c三個字母把自己的發現表示出來。由於學生學習了加法交換律後，學生就能很容易用字母來表示加法結合律了。教師歸納總結出(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。類比思想還可以應用到長方形的面積公式、平行四邊形面積公式和三角形的面積公式。
4、轉化思想方法
轉化就是在研究和解決有關數學問題時，採用某種手段將一個問題轉化成為另外一個問題來解決。一般是將復雜的問題轉化為簡單的問題，將難解問題轉化為容易求解的問題，將未解決的問題轉化為已解決的問題。
例如：上「整十、整百相乘」一課時，先讓學生觀察，然後問一問，能不能把整十相乘轉化為我們以前所學過的幾乘與幾，這樣學生不僅很快能掌握新學得知識，還可以自己解決整百相乘。我想這是不是再滲透轉化思想方法呢？
5、符號化思想方法
符號化思想是新課程的一個重要理念。數學的符號化能夠不分國家和種族；符號化思想以濃縮的形式表達大量信息；加快了數學思維的速度。小學數學中有數字元號、運算符號、關系符號、單位符號、約定符號等。單位符號有厘米（cm）、米（m）、分米（dm）、毫米（mm）、千米（km）、千克（kg）、克（g）、噸（t）、平方米（㎡ ） 、平方分米 （d㎡ ）、平方厘米（c㎡ ） 、立方厘米（c m3
）、立方分米（dm3
）、 立方米（m3
）、毫升（mL）、升（L）。運算符號：＋ － × ÷。關系符號：= ＜ ＞ ≈ ≠。約定符號：% ℃ ∠ 。數學中各種數量關系，量的變化及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數，以符號的濃縮形式表達大量的信息。使數學學習簡單、明了。

❻ 數學類比法的介紹

特指類比法在數學教學中的應用。在數學教學中應用類比法，可幫助學生理解各種概念、性質、定理、公式等，既有助於學生加深認識與記憶，也有助於激發學生的學習興趣。

❼ 類比是幾年級學的

七年級。
類比是一種數學思想，一般從初中數學開始滲透。如果說小學數學是在一步步模仿的話，那麼初中數學就不再僅限於模仿，在學習初中數學時，類比思想將會體現出它更大的優越性。

❽ 數學中什麼叫類推法

數學中的類推法：

類比法也叫"比較類推法",它作為一種推理的方法,指的是根據兩種事物在某些特徵上的"相似",作出它們在其他特徵上也可能"相似"的判斷。

類比法在中學數學范圍內應用極其廣泛,是發現概念,方法,公式和定理的重要手段並能以此開創新領域,新分支。在中學數學學習中會起到事半功倍的效果。

類比法是中學數學重要的教學方法擻學中的許多定理,公式和法則是通過類比得到的,在解題中尋找問題的線索,往往也藉助於類比方法,從而達到啟發思路的目的。下面就中學數學中的類比法問題談點粗淺的看法。

類推預測方法亦稱類比預測法或類比廣延預測法。是利用相似性原理和類比方法有一已知先導事物推測另一遲發事物發展趨勢的一種預測方法。

該法的客觀基礎就是千差萬別、千變萬化的客觀事物之間存在著共性。只要發現兩種不同事物(一為先導者，一為遲發者)之間存在著若干相似之處，就可利用前者的變化特徵和發展過程來類推後者的發展趨勢。

如利用發達國家的工業化過程來類推發展中國家的工業化發展趨勢，利用舊材料技術的發展過程來類推新材料技術的發展趨勢，利用父母的生長過程來類推其子女的生長過程等。

❾ 怎麼學好數學

一、要做什麼?
首先，我們需要明確一個問題：怎樣才能夠得分?
對於數學考試而言，數學考試成績由兩層組成：「懂知識+會做題」。
所謂懂知識，即能夠將課本和筆記中的公式記憶熟練，別人提問時候自己能夠3-5秒內回答出來。有這一層積累，我們在做題時候就不會因為公式忘了或記錯了，導致做題思路卡住，不能算出題目。一般而言，期末考試60分以下的，往往是公式記憶存在比較多的問題。

而60~90分孩子，往往在「會做題」領域有一定障礙，對於這些孩子而言，他們公式一問也能回答出來，但就是做題時候不會用，導致無法得分。那麼對於他們而言，提升數學做題能力，多經歷、積累和總結不同題型與做題技巧，則是努力的方向。

三、重點已經找到，有沒有行之有效的，更具體的建議呢?
建議你從最近開始，做下面幾件事情：
(1)筆記與課本中有關三角，數列，統計概率與空間幾何平行垂直證明的定理，概念以及附加說明記憶熟練。這是我們保證做題時候自己思路的源泉。
(2)購買往年的模擬題，期末題目套卷。每天做一套試卷中的三角，數列，空間，統計概率大題。做完之後馬上對答案，將自己內容和答案匯總對照，錯誤的進行改正。這個目的是增進我們的做題技巧與經驗。
(3)不會的及時問。對於我們而言，可能我們條件看不懂，或者答案某些位置看不懂，此時如果自己能力無法應對情況下，一定要及時問同學或老師，讓自己弄懂更多的內容。
(4)持之以恆。一般而言，在最開始做這件事情時候，往往是很不習慣，甚至比較痛苦的過程。但是這是我們增進自己做題能力與技巧的重要途徑，因為只有多經歷、多總結，才能夠突破過往的自己，達到新的境界。很多時候，我們所做的選擇，並不是 「正確」和「錯誤」，而是 「正確」和「容易」。