1. 固體物理簡單問題,有關金剛石
金剛石是復式格子,和閃鋅礦結構一樣,金剛石是兩個面心立方的簡單格子沿對角線平移四分之一穿插而成,最小基元就是一個碳原子和周圍連接的四個原子組成的。
2. 固體物理難點
周期結構的物理量是相同的(如靜電勢能)。其函數可以寫作
是以 , , 為周期的三維周期函數。為了將其展開成傅里葉級數,可以引入倒格子。
引入基本矢量
其矢量方向垂直於晶面。
根據倒格子基矢,可以構建倒格子「格點」。格點構成倒格子空間
與波矢K有相同的量綱,屬同一「空間」。
滿足
因此原胞內一點 ( )晶格的周期函數為 ;用傅里葉級數展開為: 為整數
其逆變換為:
可得: ,將其帶入
進而得到:
而之前有定義 ,代入得到
其逆變換為:
用 代入,可得:
因此, 是 在到空間的「映像和表述」,他們之間滿足傅里葉變換的關系。
倒格子體積:
由於
令
可得
最終得到:
根據空間的維度n,乘以
晶面 與最短倒格矢 正交
晶面族 中最靠近原點的晶面ABC在基矢 , , 上的截距為 , , ,只需證明 與ABC中兩邊垂直即可;其中, , ;如果 並且 。
因為 ,因此滿足條件。
因為倒格子矢量 為晶面的法線方向。
晶面族面間距
定義:在倒易格子中取某一倒易陣點為原點,作所有倒格矢的垂直平分面,倒易格子被這些面劃分為一系列的區域,這些區域就是布里淵區。其中最靠近原點的一組面所圍的閉合區稱為第一布里淵區;在第一布里淵區之外,由另一組平面所包圍的波矢區叫第二布里淵區;依次類推可得第三、四、…等布里淵區。各布里淵區體積相等,都等於倒易格子的元胞體積。周期結構中的一切波在布里淵區界面上產生布拉格反射,對於電子德布羅意波,這一反射可能使電子能量在布里淵區界面上(即倒格矢的中垂面)產生不連續變化。根據這一特點,1930年L.-N.布里淵首先提出用倒格矢的中垂面來劃分波矢空間的區域,從此被稱為布里淵區。
第一布里淵區就是倒格子的維格納-塞茨原胞,如果對每一倒格子作此元胞,它們會毫無縫隙的填滿整個波矢空間。由於完整晶體中運動的電子、聲子、磁振子、……等元激發的能量和狀態都是倒格子的周期函數,因此只需要用第一布里淵區中的波矢來描述能帶電子、點陣振動和自旋波……的狀態,並確定它們的能量(頻率)和波矢關系。
第一布里淵區又稱約化布里淵區或簡約布里淵區,在文獻中不加定語的布里淵區指的往往就是它。簡約布里淵區中的一個波矢可能對應有幾個不同的能量狀態。該區域內的波矢即稱為簡約波矢。簡約布里淵區的形狀因晶體結構而異;實際上可由晶格的倒格子的Wigner-Seitz原胞給出。
布拉格反射公式
勞厄方程:Bragg方程給出了格點上的點電荷散射波相乾的條件,是點陣周期性導致
的結果,但是只能給出衍射加強的條件,不能給出衍射強度的分布。當一束光子入射到晶體上,由於受核外電子的散射,將從一個光子態躍遷到另一個光子態。假設散射勢正比於晶體中電子密度, 。根據微擾論,出態和末態之間的躍遷矩陣元為
已知光子的平面波態
得到
X射線的散射振幅正比於躍遷幾率,因此 方向散射波振幅可寫為:
從經典衍射理論來看, 給出了入射波和出射波的位相差,而 是相因子。因此,波振幅 還可以看做 方向上散射波的總振幅比例於電子密度及其相因子的乘積在整個晶體體積內的積分。
若整個空間內只有一個電子(點電荷) ,則
因此,比例系數 相當於一個電子的散射振幅。
拓展——因為晶體中電子密度分布具有晶格周期性 ,可以將電子密度函數作傅里葉展開:
代入 得到:
又因:
可得散射波振幅:
其意義為—— 為散射波矢。當其等於倒格矢 時,指數的幅角為零 。當散射波矢不等於倒格矢時, 小到可以忽略。
結論——僅當波矢滿足 時,可以觀察到衍射束。
意義——實質上是光子在周期結構中傳播時,動量守恆的體現,光子將動量轉移給了晶體,由於晶體質量太大,以至觀察不到晶體的平動。
而 , , 。可得到 即 即
因此,一個由倒格矢 確定的勞厄衍射峰對應於一族正點陣平面的一個布拉格反射,該晶面垂直於 ,布拉格反射的級數是n,即 與該方向上最短倒格矢 的長度之比。一組晶面的面間距是一定的,所以高級衍射實際上是同一族晶面不同角度的衍射,其衍射角大於一級衍射角。在晶體衍射中,通常把 對應的指數 稱為衍射面指數,而在晶面密勒指數中,公因子n已消去。
由勞厄定理可知, X射線衍射強度決定於電子密度函數的傅立葉變換分量
如已知 ,則可得到
假設每一個正點陣的格點上有一個電子
[圖片上傳中...(-270a1f-1623138298771-0)]
則散射波振幅
當滿足勞厄條件 時,散射波振幅為所有電子散射波振幅之和,其散射光強度為
N為總格點(原胞)數,令 ,有
利用
——稱為原子散射(形狀)因子
此時散射波振幅
所以原子散射因子實際上是原子內所有電子的散射幅與一個電子的散射幅之比。
給出一個特殊情況,如果電子密度函數是球面對稱的,則上式可以簡化,將自變數由 改為 ,為此引入徑向分布函數:
表示電子在半徑為r 到r + dr 的球殼內的幾率,
如果取 為極軸,則:
由此可見,原子散射因子和散射波矢 有關,在 的特殊情況下,
——等於原子中電子的數目。進而,由於原子內電子數目和分布不同, 不同原子的原子散射因子不同, 同時與散射波矢有關。
得到新函數 ——稱為原胞幾何結構因子(對原胞中所有原子求和)
——被稱為原子散射(形狀)因子
將 代入散射波振幅,得到
式中
因此原胞幾何結構因子
根據散射波振幅
討論即使在滿足勞厄方程 時,如果原胞幾何結構因子 ,也可能導致散射幅為零,稱衍射消光。
即
3. 半導體常見的晶體結構
決定半導體材料的基本物理特性,即原子或離子的長程有序的周期性排列。按空間點陣學說,晶體的內在結構可概括為一些相同點在空間有規則地作周期性的無限分布。點子的總體稱為點陣,通過點陣的結點可作許多平行的直線組和平行的晶面組。這樣,點陣就成網格,稱為晶格。由於晶格的周期性,可取一個以格點為頂點、邊長等於該方向上的周期的六面體作為重復單元,來概括晶格的特徵。固體物理學取最小的重復單元,格點只在頂角上。這樣的重復單元只反映晶體結構的周期性,稱為原胞。結晶學取較大的重復單元,格點不僅在頂角上,還可在體心和面心上,這樣的重復單元既反映晶格的周期性,也反映了晶體的對稱性。
常見的半導體的晶體結構有金剛石型、閃鋅礦型、纖鋅礦型和氯化鈉型4種,如圖和表所示。在三元化合物半導體中有部分呈黃銅礦型結構,金剛石型、閃鋅礦型和氯化鈉型結構可看成是由兩套面心立方格子套構而成。不同的是,金剛石型和閃鋅礦型是兩套格子沿體
對角線的1/4方向套構,而氯化鈉型則是沿1/2[100]方向套構;金剛石晶格中所有原子同種,而閃鋅礦和氯化鈉晶格中有兩種原子;閃鋅礦型各晶面的原子排布總數目與金剛石型相同,但在同一晶面或同一晶向上,兩種原子的排布卻不相同。纖鋅礦型屬六方晶系,其中硫原子呈六方密堆集,而鋅原子則占據四面體間隙的一半,與閃鋅礦相似,它們的每一個原子場處於異種原子構成的正四面體中心。但閃鋅礦結構中,次近鄰異種原子層的原子位置彼此錯開60°,而在纖鋅礦型中,則是上下相對的。採取這種方式使次近鄰異種原子的距離更近,會增強正負離子的相互吸引作用,因此,纖鋅礦型多出現於兩種原子間負電性差大、化學鍵中離子鍵成分高的二元化合物中。
4. 固體物理中描述的結構,比如面心立方、體心立方,是針對格點來說的還是針對具體原子來說的
面心立方、體心立方等是布拉發格子的型式,不是具體的晶體結構。因此其中的「點」都是格點,可以是原子、原子團或者分子。例如Si、Ge和GaAs都具有面心立方布拉伐格子,但是它們的具體晶體結構有所不同。
5. 固體物理 為什麼面心立方每個單胞包含4個格點,體心立方每個單胞包含2個格點
面心立方,在立方的角上的格點都是與周圍的立方(共8個)共用格點,8*1/8=1,在面心的是與旁邊一個立方共用格點,六個面心.6*1/2=3,加在一起就是4.
體心立方,在立方的角上的格點都是與周圍的立方(共8個)共用格點,8*1/8=1,體心為獨占格點.這樣就是1,合起來1+1=2.
6. 在倒格子空間中,一個倒格點代表什麼
第一個「·」就是1左邊的,第二個「3」,第三個「TAB」,自認為比較方便,本來我也用Q的,不過這段時間玩卡爾玩的比較多,所以就改了
諸扈畔軻胰浙締縉廿小囚買昔更買輿涅謂七陵櫓
7. 固體物理學中 結點就是格點的意思嗎
不是,結點是晶胞的代表點,但是格點是原胞的代表點,由於一般晶胞都包含一個或者幾個原胞,所以格點肯定是比結點多,因而倒格點肯定比倒結點少