固體物理晶面方程怎麼得出

❶ 晶帶方程的應用

根據晶帶方程，可以方便地解決晶體計算中的諸多問題，下面是幾個最基本的實例。

實例一已知兩個晶面，求包含此二晶面之晶帶的符號。

設兩個已知晶面(h₁k₁l₁)和(h₂k₂l₂)是屬於［uvw］晶帶的兩個互不平行的晶面，則有

結晶學導論

(4.16)式可證明如下。根據(4.14)式，此時應有

結晶學導論

以l₂乘(4.17)式，l₁乘(4.18)式，然後使兩式相減，則得

結晶學導論

類似地還可得出

結晶學導論

將(4.19)式及(4.20)式合並寫成連比的形式，即為(4.16)式所表示的結果。

(4.16)式也可改用行列式的形式表達寫為:

結晶學導論

由此可知，假如把兩個已知晶面的指數各自依次寫兩遍，並對應地排成上下兩行，然後將左右兩邊的兩列指數去掉不要，使剩下的指數自左起交叉相乘，並依次取每兩個乘積之差，即可得出(4.16)式等號右邊的結果:

結晶學導論

如果將上下兩行互換位置，則所得出結果的絕對值不變而正負號全部相反。但已經知道，［uvw］與 所代表的就是同一根晶棱，故兩者並無差異。

例如欲求包含(110)和 二晶面的該晶帶之符號，根據(4.22)式可得出:

結晶學導論

實例二求同時屬於某兩個已知晶帶的該晶面之晶面符號。

設某一(hkl)晶面同時屬於已知的［u₁v₁w₁］和［u₂v₂w₂］兩個晶帶，則有

結晶學導論

對(4.23)式的證明與對(4.16)式的證明完全類似。同時，也可將(4.23)式作出與(4.22)式完全相似的處理，亦即有

結晶學導論

如果將上下兩行互換位置時，所得出的結果絕對值不變而正負號全部相反。所以，同時屬於某兩個晶帶的晶面，實際上不是一個而是一對，但兩者必定相互平行。

例如，欲求同時屬於［102］和 兩個晶帶的晶面之符號，根據(4.24)式可得:

結晶學導論

故該晶面之符號為 。如將式中的兩行系數互換上下位置，則得出的結果將變為 ，它與 是一對相互平行的晶面，兩者均同時屬於［102］和 兩個晶帶。

實例三判斷某一已知晶面是否屬於某個已知的晶帶。

例如，已知 晶帶，現要求確定晶面(021)及(130)是否屬於此晶帶。由(4.14)式可知，屬於 晶帶的任一晶面(hkl)，都必須滿足

h-k+2l=0

由此不難作出判斷，(021)晶面屬於 晶帶;但(130)晶面則不是。

實例四由四個互不平行的已知晶面(其中任意三個晶面均不屬於同一晶帶)或四個已知晶帶(其中任意三個晶帶軸均不在同一平面內)，求出晶體上一切可能的晶面與晶帶(即晶棱)。

這一應用實際上只是實例一和實例二兩項應用的多次反復交替所導致的結果。

本節中以上敘述的所有關系式，對於按布拉維四軸定向的三方和六方晶系晶體也都適用。但在具體運算過程中，應將晶面符號中對應於d軸的那個指數i暫時略去，而在最後結果中則可根據(4.9)式的關系再補上對應於d軸的該晶面指數;晶帶符號則必須採用始終撇開d軸、只由三個系數組成的三軸布拉維定向的晶棱符號。

❷ 另一個固體物理題,有興趣的請進畫出簡單立方中的[213]晶向和（213）晶面

把簡單立方想像成一個單位正方體,八個頂點有8個原子.（213）晶面等價於（1/3,1/6,1/2）,就相當於在x上取1/3,在y上取1/6,在z上去1/2,把這三個點連起來就得到晶面.晶向何晶面垂直.

❸ 簡單立方晶體(108)晶面

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❹ （100）晶面法線方程怎麼求解

（100）晶面的的法線很簡答啊，R=a+0+0,即{100}

❺ 固體物理難點

周期結構的物理量是相同的（如靜電勢能）。其函數可以寫作

是以 , , 為周期的三維周期函數。為了將其展開成傅里葉級數，可以引入倒格子。
引入基本矢量

其矢量方向垂直於晶面。

根據倒格子基矢，可以構建倒格子「格點」。格點構成倒格子空間

與波矢K有相同的量綱，屬同一「空間」。
滿足

因此原胞內一點 （ ）晶格的周期函數為 ；用傅里葉級數展開為： 為整數
其逆變換為：

可得： ，將其帶入

進而得到：

而之前有定義 ，代入得到

其逆變換為：

用 代入，可得：

因此， 是 在到空間的「映像和表述」，他們之間滿足傅里葉變換的關系。

倒格子體積：

由於
令
可得
最終得到：
根據空間的維度n，乘以

晶面 與最短倒格矢 正交

晶面族 中最靠近原點的晶面ABC在基矢 , , 上的截距為 ， ， ，只需證明 與ABC中兩邊垂直即可；其中， ， ；如果 並且 。
因為 ，因此滿足條件。

因為倒格子矢量 為晶面的法線方向。
晶面族面間距

定義：在倒易格子中取某一倒易陣點為原點，作所有倒格矢的垂直平分面，倒易格子被這些面劃分為一系列的區域，這些區域就是布里淵區。其中最靠近原點的一組面所圍的閉合區稱為第一布里淵區；在第一布里淵區之外，由另一組平面所包圍的波矢區叫第二布里淵區；依次類推可得第三、四、…等布里淵區。各布里淵區體積相等，都等於倒易格子的元胞體積。周期結構中的一切波在布里淵區界面上產生布拉格反射,對於電子德布羅意波,這一反射可能使電子能量在布里淵區界面上（即倒格矢的中垂面）產生不連續變化。根據這一特點,1930年L.-N.布里淵首先提出用倒格矢的中垂面來劃分波矢空間的區域，從此被稱為布里淵區。

第一布里淵區就是倒格子的維格納-塞茨原胞，如果對每一倒格子作此元胞，它們會毫無縫隙的填滿整個波矢空間。由於完整晶體中運動的電子、聲子、磁振子、……等元激發的能量和狀態都是倒格子的周期函數，因此只需要用第一布里淵區中的波矢來描述能帶電子、點陣振動和自旋波……的狀態，並確定它們的能量（頻率）和波矢關系。

第一布里淵區又稱約化布里淵區或簡約布里淵區，在文獻中不加定語的布里淵區指的往往就是它。簡約布里淵區中的一個波矢可能對應有幾個不同的能量狀態。該區域內的波矢即稱為簡約波矢。簡約布里淵區的形狀因晶體結構而異；實際上可由晶格的倒格子的Wigner-Seitz原胞給出。

布拉格反射公式
勞厄方程：Bragg方程給出了格點上的點電荷散射波相乾的條件，是點陣周期性導致
的結果，但是只能給出衍射加強的條件，不能給出衍射強度的分布。當一束光子入射到晶體上，由於受核外電子的散射，將從一個光子態躍遷到另一個光子態。假設散射勢正比於晶體中電子密度， 。根據微擾論，出態和末態之間的躍遷矩陣元為

已知光子的平面波態
得到
X射線的散射振幅正比於躍遷幾率，因此 方向散射波振幅可寫為：
從經典衍射理論來看， 給出了入射波和出射波的位相差,而 是相因子。因此，波振幅 還可以看做 方向上散射波的總振幅比例於電子密度及其相因子的乘積在整個晶體體積內的積分。

若整個空間內只有一個電子（點電荷） ，則

因此，比例系數 相當於一個電子的散射振幅。

拓展——因為晶體中電子密度分布具有晶格周期性 ,可以將電子密度函數作傅里葉展開：

代入 得到：
又因：
可得散射波振幅：
其意義為—— 為散射波矢。當其等於倒格矢 時，指數的幅角為零 。當散射波矢不等於倒格矢時， 小到可以忽略。

結論——僅當波矢滿足 時，可以觀察到衍射束。
意義——實質上是光子在周期結構中傳播時，動量守恆的體現，光子將動量轉移給了晶體，由於晶體質量太大，以至觀察不到晶體的平動。

而 ， ， 。可得到 即 即

因此，一個由倒格矢 確定的勞厄衍射峰對應於一族正點陣平面的一個布拉格反射，該晶面垂直於 ，布拉格反射的級數是n,即 與該方向上最短倒格矢 的長度之比。一組晶面的面間距是一定的，所以高級衍射實際上是同一族晶面不同角度的衍射，其衍射角大於一級衍射角。在晶體衍射中，通常把 對應的指數 稱為衍射面指數，而在晶面密勒指數中，公因子n已消去。

由勞厄定理可知， X射線衍射強度決定於電子密度函數的傅立葉變換分量

如已知 ，則可得到

假設每一個正點陣的格點上有一個電子
[圖片上傳中...(-270a1f-1623138298771-0)]

則散射波振幅

當滿足勞厄條件 時，散射波振幅為所有電子散射波振幅之和，其散射光強度為

N為總格點（原胞）數，令 ，有
利用
——稱為原子散射（形狀）因子

此時散射波振幅

所以原子散射因子實際上是原子內所有電子的散射幅與一個電子的散射幅之比。

給出一個特殊情況，如果電子密度函數是球面對稱的，則上式可以簡化，將自變數由 改為 ，為此引入徑向分布函數：
表示電子在半徑為r 到r + dr 的球殼內的幾率，
如果取 為極軸,則：

由此可見，原子散射因子和散射波矢 有關，在 的特殊情況下，
——等於原子中電子的數目。進而，由於原子內電子數目和分布不同， 不同原子的原子散射因子不同， 同時與散射波矢有關。

得到新函數 ——稱為原胞幾何結構因子(對原胞中所有原子求和)
——被稱為原子散射（形狀）因子

將 代入散射波振幅，得到

式中

因此原胞幾何結構因子

根據散射波振幅

討論即使在滿足勞厄方程 時，如果原胞幾何結構因子 ，也可能導致散射幅為零，稱衍射消光。
即

❻ 晶面間距的計算公式

晶面間距計算公式：

正交晶系：1/d=h/a+k/b+l/c

單斜晶系：1/d2={h2/a2+k2sin 2β/b2+l2/c2－2hlcos β/(ac)}/ sin2β 2立方晶系

d=a/(h+k+l) 222

空間點陣必可選擇3個不相平行的連結相鄰兩個點陣點的單位矢量a，b，c，它們將點陣劃分成並置的平行六面體單位。

空間點陣按照確定的平行六面體單位連線劃分，獲得一套直線網格，稱為空間格子或晶格。點陣和晶格是分別用幾何的點和線反映晶體結構的周期性，它們具有同樣的意義。

(6)固體物理晶面方程怎麼得出擴展閱讀：

不同的{hkl}晶面，其面間距(即相鄰的兩個平行晶面之間的距離)各不相同。總的來說，低指數的晶面其面間距較大，而高指數面的面間距小。

晶面指數是固體物理中以初基晶胞（原胞）為坐標軸確定的指數，而密勒指數是以結晶學中的單胞晶軸為基確定的指數。但不管是哪種指數，必須使其三個指數互質。

在sc結構中，兩組參數是一樣的，但對於fcc和bcc結構則大不相同。按d=2π/∣G〡確定晶面間距的公式只適用於晶面指數。

晶面間距最大的面總是陣點(或原子)最密排的晶面，晶面間距越小則晶面上的陣點排列就越稀疏。正是由於不同晶面和晶向上的原子排列情況不同，使晶體表現為各向異性。

❼ 固體物理高手請進

只有8種獨立的對稱操作，就你上面寫的
(h1 h2 h3) (hkl)只是用的單位長度不一樣(hkl)是以abc為單位元，(h1 h2 h3)是以1為三軸單位元

❽ 晶面指數 (1, -1,0)如何理解呢 c坐標的知道為0，a，b坐標軸的不理解 謝謝您的解答，我看的固體物理的書

這是密勒指數, 是一種用來確定晶面的指數.

確定一個晶面的密勒指數(h k l)的步驟：

1. 確定該晶面在晶胞坐標軸上的截距(依序為x, y, z軸);

2. 取這些值的倒數;

3. 將這些倒數化作最簡整數比, 所得的一組數即為密勒指數.

以你圖中的.

此外，不同括弧中的密勒指數具有不同的含義, 例如:

(100)表示唯一的確定平面(100)，即該晶胞/立方體的正面;

{100}表示所有和(100)晶體學上的等價平面，即該立方體個6個表面.

[竅門]: 密勒指數在意義上標識的是晶體中的晶面，但從數學角度看，這個指數恰好等於該晶面的法向量.