定積分在幾何和物理中的應用有哪些

A. 高數定積分物理應用涉及哪些公式

如下圖：

定積分的正式名稱是黎曼積分。用黎曼自己的話來說，就是把直角坐標繫上的函數的圖象用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，然後把某個區間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個函數的圖象在區間[a,b]的面積。實際上，定積分的上下限就是區間的兩個端點a,b。

一個函數，可以存在不定積分，而不存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函數，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函數一定不存在，即不定積分一定不存在。

B. 定積分在物理學上的應用

§6-3
定積分在物理學中的應用
（一）引言
定積分的應用十分廣泛，自然科學、工程技術中的許多問題都可以使用定積分來求解。下面我們來討論一些物理方面的實例，旨在加強我們運用微元法解決一些物理學中的一些實際問題。
問題一
變力作功
由物理學可知，在常力f的作用下，物體沿力的方向作直線運動，當物體移動一段距離s時，力f所作的功為
但在實際問題中，物體在運動過程中所受到的力是變化的，這就是我們下面要討論的變力作功問題。
【例1】把一個帶
電量的點電荷放在
軸上坐標原點
處，它產生一個電場.這個電場對周圍的電荷有作用力.由物理學知道，如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點
為
的地方，那麼電場對它的作用力的大小為
（
為常數）
當這個單位正電荷在電場中從
處沿
軸移動到
處時，計算電場力
對它所作的力。
解：（1）取積分變數為
，積分區間為
；
（2）在區間
上任取一小區間
，與它相應的電場力
所作的功近似於把
作為常力所作的功，從而得到功微元
=
；
（3）所求的電場力
所作的功為
通過復習已經掌握的有關力學方面的概念和微元法，並對變力作功問題進行分析，將變力作功的過程進行無限細分為若干個子過程，把每一個子過程近似看作常力作功，從而求出功微元。
通過學習使學生能夠用微元法，分析解決實際問題和靈活運用這一數學模型。
主
要
內
容
教
學
設
計
=
=
=
一般地，若變力
將某一物體沿力的方向從
移到
處，則變力
所作的功為
.
（6-6）
下面再舉一個計算功的例子，它雖不是一個變力作功問題，但它通過定積分的微元法，先求功微元，再求定積分，並給出了一個解決此類問題的數學模型。
注意1：本方法的實質就是將變力的作功過程進行無限細分為若干個子過程，再將分割的每一子過程的變力作功近似看成常力作功問題來求解，並取任意一子過程變力所作的功為所求的功微元。
【例2】修建一座大橋的橋墩時先要下圍囹，並抽盡其中的水以便施工，已知半徑是10米的圓柱形圍囹上沿高出水面2米，河水深18米，問抽盡圍囹內的水作多少功？
解：以圍囹上沿的圓心為原點，向下的方向為
軸的正向，建立坐標系.
（1）
取水深
為積分變數，它的變化區間為
；
（2）
相應於
上任一小區間
的一薄層水的高度為
，
水的密度為
牛頓/米
3
，這薄層水的重力為
（其中
是薄水的底面積）.把這薄層水抽出圍囹外時，需要提升的距離近似為
，因此需作的功近似為
（3）
即所求功微元。在
上求定積分，就得到所求的功為
=
（焦耳）
注意2：為什麼該問題的定積分積分區間取作[2，20]，而不取作[0，20]？