A. 物理中自由度怎麼理解
物理中自由度怎麼理解
自由度是系統約束流形的切空間的維度；在通常的有窮維流形上，切空間和流形維度相同。
哈密頓和拉格朗日力學中，研究對象是受到約束的物體的運動。我這里把情況簡化到剛體或質點受到完備的（holonomic）約束。
所謂完備約束，就是說系統中所有質點的位置滿足如下形式的方程組F(x1,x2,...xm)=0, 其中x們是質點在R^3中的位置。F是一個映射到R^n的光滑函數,且dF在任何開集上不為0。於是，系統中的對象在約束下的所有可能位置就是一個3m-n維的流形。比如單擺的可能位置是一個球殼（2維流形）；過山車的可能位置是它的軌道（1維流形）；宇宙中的一個石塊（不是質點）的可能位置是它的重心位置和它的歐拉角指向（6維流形），位置是個R^3，指向是個SO3（歐拉角是SO3的一種表示方法）。流形就是光滑曲面/線/體的嚴格說法。
所謂描述一個n維系統中質點的位置，就是用R^n去光滑的參數化這個系統。比如經緯度參數化地球表面一個運動的質點。
流形的切空間就是對象處於某位置時，所有可能的速度。盡管流形，即對象的所有可能位置，不一定是平的；對象在某點的速度卻一定是個R^n中的向量，也就是說切空間一定是平的。宇宙中的石塊在某一點，可能有線速度和角速度，都是3維向量，我們就說它的切空間（速度的空間）是6維向量空間。單擺的軌跡是曲線，可是某一點處，它的速度一定是圓的某條切線，是個平坦的空間。
所謂自由度就是切空間，或者說速度空間的維度，通常也是流形的維度。
這里只是很潦草的解釋，具體可以參照
B. 什麼是自由釋放
就是只受重力，初速度為0