物理化学本征值怎么求

㈠ 本征值和本征函数怎么求

算符(或矩阵)的本征值和本征函数是指满足:Aψ=λΨ。λ是本征值(常数),Ψ是本征函数。

本征向量的定义及性质：

矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者辩腊“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要配灶首性。

线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量 。

线性变换的主特征向量是最大特辩腊征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。例如，三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。

该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。

㈡ 量子力学，求解本征态，要计算过程。谢谢。

主要步骤：就友告是先求本征值，再求本征函数。这和线性代数求本征银告迟值和本锋李征矢量是一致的。

㈢ 宇称算符的本征值怎么求

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宇称算符的本征值怎么求
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厄密算符的本征值与本征函数厄密算符的本征值与本征函数 定理定理I I：体系任何状态：体系任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数。下，其厄密算符的平均值必为实数。 证：证： FdF * *) (Fd * * Fd *F 逆定理：在任何状态下，平均值均为逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。实数的算符必为厄密算符。 根据假定在任意态下有：根据假定在任意态下有：证：证： *) ( * * FdFd FF即即 取取=1 1+c+c2 2 ，其中 ，其中 1 1 、2 2 也是任意态的波函数， 也是任意态的波函数，c c 是任意常数。是任意常数。 )( *)( * 2121 cFcdFd式左式左 *) (Fd式右式右 211222 2 11 *) (*) (* *|* * FdcFdcFdcFd 2112 22 2 11 * * *| * FdcFdc FdcFd *) ( 2121 ccFd 2112 22 2 11 *) (*) (* *) (|*) ( FdcFdc FdcFd （一）厄密算符的平均值（一）厄密算符的平均值 因为对任因为对任 意波函数意波函数*FF 211222 2 11 *) (*) (* *|* * FdcFdcFdcFd 211222 2 11 * * *| * FdcFdcFdcFd 左式左式=右式右式 21122112 *) (*) (* * * FdcFdcFdcFdc *) (*) ( * 12122121 FdFdcFdFdc 令令c = 1，得：，得： 12122121 *) (*) ( * FdFdFdFd 令令c = i，得：，得： *) (*) ( * 12122121 FdFdFdFd 二式相加得：二式相加得： 2121 *) ( * FdFd 二式相减得：二式相减得： 1212 *) ( * FdFd 所得二式正是厄密算符的定义式，所得二式正是厄密算符的定义式， 故逆定理成立。故逆定理成立。实验上的可观测实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。是厄密算符。 所以左右两边头两项相等相消，于是有：所以左右两边头两项相等相消，于是有： （1 1）涨落）涨落 dFFFFF 222 ) (*) ()( F F 因为是厄密算符因为是厄密算符必为实数必为实数因而因而 FF 也是厄密算符也是厄密算符 厄密算符平方的平均值一定大于等于零厄密算符平方的平均值一定大于等于零 22 *FdF 0|) ( | |)( 222 dFFdFF FFd *) ( 2 | | Fd 0 于是有：于是有： （2 2）力学量的本征方程）力学量的本征方程 若体系处于一种特殊状态，若体系处于一种特殊状态， 在此状态下测量在此状态下测量F F所得结果所得结果 是唯一确定的，即：是唯一确定的，即： 0)( 2 F 则称这种则称这种 状态为力状态为力 学量学量 F F 的的 本征态。本征态。 常数常数 或或 F FF 0) ( nnn FF 可把常数记为可把常数记为Fn，把状态，把状态 记为记为n，于是得：，于是得： 其中其中F Fn n, , n n 分别称为算符分别称为算符 F F的本征值和相应的本征态，上式即是算符的本征值和相应的本征态，上式即是算符F F的本征方程。求解时，的本征方程。求解时， 作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。 证明：证明： （二）厄密算符的本征方程（二）厄密算符的本征方程 nn FdF * 定理定理IIII：厄密算符的本征值必为实。厄密算符的本征值必为实。 当体系处于当体系处于 F F 的本征态的本征态n n 时，则每次测量结果都是时，则每次测量结果都是 F Fn n 。 。 由由 本征方程可以看出，在本征方程可以乎键滑看出，在n n（设已归一）态下（设已归一）态下 证证 nnn dF * n F 是是实实数数。所所以以必必为为实实， n FF （3 3）量子力学基本假定）量子力学基本假亮基定IIIIII 根据定理根据定理 I (I) (I) 量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。 ),(prFF ipprrr ) , ( ),(prFFprFF 若力学量是量子力学中特有的若力学量是量子力学中特有的 ( (如宇称、自旋等），将由如宇称、自旋等），将由 量子力学量子力学 本身定义给出。本身定义给出。 若力学量在经典力学中有对应的量若力学量在经典力学中有对应的量则在直角坐标系下通过则在直角坐标系下通过 如下对应如下对应 方式，改造为量子力学中的力学量算符：方式，改造为量子力学中的力学量算符： (II) (II) 测量力学量测量力学量F F时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符 F F的本征值的本征值 F Fn n （即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符 F F的本征方程给出：的本征方程给出： ,2,1 nFF nnn （1 1）正交性）正交性 定理定理III： 厄密算符属于不同本征值厄密算符属于不同本征值 的本征函数彼此正交的本征函数彼此正交 证： mmmnnn FFFF 设设 存在存在并设积分并设积分 d nn * *)* ( mmm FF 取复共轭，并注意到取复共轭，并注意到 F Fm m 为实。 为实。 两边右乘两边右乘 n 后积分后积分 dFdF nmmnm *) ( dFdFdF nmnnmnm * *) ( 二式相二式相 减减 得：得： 0*)( dFF nmnm 若若mFn， 则必有：则必有： 0* d nm 证毕证毕 （2 2）分立谱、连续谱正交归一表示式）分立谱、连续谱正交归一表示式 1. 分立谱正分立谱正 交归一条交归一条 件分别为：件分别为： mnnm nm nn d d d * 0* 1* 2. 连续谱正连续谱正 交归一条交归一条 件表示为：件表示为： )(* d 3. 正交归一系正交归一系 满足上式的函数系满足上式的函数系 n 或或 称为正交归一（函数）系。称为正交归一（函数）系。 （三）厄密算符的本征函数的正交性（三）厄密算符的本征函数的正交性 （4）简并情况）简并情况 上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。 如果如果 F F 的本征值的本征值F Fn n是是f f度简并的，则对应度简并的，则对应F Fn n有有f f个本征函数：个本征函数：n1 n1 , ,n2 n2 , ., , ., nf nf 满足本征方程：满足本征方程：fiFF ninni , 2 , 1 一般说来，这些函数一般说来，这些函数 并不一定正交。并不一定正交。 可以证明由这可以证明由这 f f 个函数可以线性组合成个函数可以线性组合成 f f 个独立的新函数，个独立的新函数， 它们仍属于本征值它们仍属于本征值 F Fn n 且满足正交归一化条件。 且满足正交归一化条件。 但是但是 证证明明 由这由这 f 个个n i 线性组合成线性组合成 f 个新函数个新函数 n j fjA niji f i nj , 2 , 1 1 可以满足正交归一化条件：可以满足正交归一化条件： fjjdAAd j jinniijji f i f i jnnj ,2, 1,* 11 证明分证明分 如下两如下两 步进行步进行 1. 1. nj nj 是本征值 是本征值 F Fn n 的本征函数。 的本征函数。 2. 满足正交归一条件的满足正交归一条件的 f 个新函数个新函数n j可以组成。可以组成。 niji f i nj AFF 1 niji f i FA 1 niji f i n AF 1 njn F 1. 1. nj nj是本征值 是本征值F Fn n的本征函数。的本征函数。 2. 满足正交归一条件的满足正交归一条件的f个新函数个新函数nj可以组成。可以组成。 fjj dAAd j jinniijji f i f i jnnj , 2, 1, * 11 方程的归一化条件有方程的归一化条件有 f f 个，正交条个，正交条 件有件有f(f-1)/2f(f-1)/2 个，所以共有独立方个，所以共有独立方 程数为二者之和等于程数为二者之和等于 f(f+1)/2f(f+1)/2 。 fjA niji f i nj , 2 , 1 1 为此只需证明线性为此只需证明线性 叠加系数叠加系数 A Aji ji 的个 的个 数数 f f 2 2 大于或等于 大于或等于 正交归一条件方程正交归一条件方程 个数即可。个数即可。 算符算符 F F 本征值本征值 F Fn n简并的本质是：简并的本质是： 当当 F Fn n 确定后还不能唯一的确定状确定后还不能唯一的确定状 态，要想唯一的确定状态还得寻找态，要想唯一的确定状态还得寻找 另外一个或几个力学量算符，另外一个或几个力学量算符，F F 算算 符与这些算符两两对易，其本征值符与这些算符两两对易，其本征值 与与 F Fn n 一起共同确定状态。 一起共同确定状态。 综合上述讨论可得如下结论：综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是正交归一化的，即组成正交归一系。都是正交归一化的，即组成正交归一系。 因为因为 f f2 2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0， 所以，方程个数少于待定系数所以，方程个数少于待定系数 A Aji ji 的个数，因而，我们 的个数，因而，我们 有多种可能来确定这有多种可能来确定这 f f 2 2 个系数使上式成立。 个系数使上式成立。f f 个新函个新函 数数njnj 的确是算符的确是算符 F F 对应于本征值对应于本征值 Fn Fn 的正交归一化的正交归一化 的本征函数。的本征函数。 （2 2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系 （1 1）动量本征函数组成正交归一系）动量本征函数组成正交归一系 （3 3）角动量本征函数组成正交归一系）角动量本征函数组成正交归一系 1. 1. L Lz z 本征函数本征函数 2. L2. L2 2本征函数本征函数 （4 4）氢原子波函数组成正交归一系）氢原子波函数组成正交归一系 （四）实例（四）实例 （一）力学量的可能值（一）力学量的可能值 （二）力学量的平均值（二）力学量的平均值 （1 1） 力学量算符本征函数组成完备系力学量算符本征函数组成完备系 （2 2） 力学量的可能值和相应几率力学量的可能值和相应几率 （3 3） 力学量有确定值的条件力学量有确定值的条件 6 6 算符与力学量的关系算符与力学量的关系 （三）例题（三）例题 量子力学基本假定量子力学基本假定IIIIII告诉人们，在任意态告诉人们，在任意态(r(r) )中测量中测量 任一力学量任一力学量 F F，所得的结果只能是由算符，所得的结果只能是由算符 F F 的本征方程的本征方程nnn F 解得的本征值解得的本征值n n之一。之一。 但是还有但是还有 两点问题两点问题 没有搞清楚：没有搞清楚： 1. 1. 测得每个本征值测得每个本征值n n的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到，的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到， 对应几率是多少，对应几率是多少，哪些测不到，几率为零。哪些测不到，几率为零。 2. 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。

㈣ 怎么求函数的本征值和本征态

本征态、本征函数的定义：如果一个物理量A（用算符Â表示）在微观状态（用波函数）中有确定的值,则称这个乱御冲微观状态为物理量A的本征态,或者说波函数为物理量A的本拆首征函数.
举哗歼个数学离子,函数发f（x）=e^5x,求导之后,f（x）’=5e^5x,那本征值为5,本征态为e^5x

㈤ 两道量子力学求本征函数和本征值的题

要把原始函数带入算法，计算出另一个函数。如果这个函数是销慎原始函数的常数倍，那这一原始函数就是算法的本征函数，这个常数值就是本征值。要知道原始函数和算法才行，我手机上看不清你哪个是算法哪个是函数。雀斗察不好意思，只能顷茄你自己算了，I'm sorry！

㈥ 势箱本征函数怎么求的

定态薛定谔方程当体系的势能项V中，不含时间变量t，体系的势能不随时间变化亦即体系的哈密顿量不随时间变化，这种状态称为定态。（本课程只讨论定态）当体系的哈密大档顿算符H不显含时间变量，H算符的本征方程：为定态薛定谔方程，其本征值E为体系可以测量的能量值，其本征函数y为体系的与本征值E对应的定态波函数ae显然这里y＝y（q），不再包括时间变量。一、当势能与时间无关时，我们可用分离变量法将方程简化，带入：，并把方程两边用去除，两边都等于常数E，可解出：，则，定态波函数。叫定态薛定谔方程。表示能量，为哈密顿函数。二、定态下的一些特点定态：能量具有确定值；定态波函数所表示的状态。在定态中，几率密度和几率流密度都与时间无关。1．3一维势箱——求解Schroginger方程的实例（1）体系哈密顿算符一个粒子在一维空间（x）运动，其势能V（x）＝0（0＆lt；x＆lt；l）；V（x）＝（x≤0，x≥l）其哈密顿算符在势箱内：在势箱外：由于V（x）＝∞，y（x）＝0（2）势箱内的薛定谔方程（3）求解微分方程的通解上述微分方程（二阶常系数线性齐次微分方程）其通解由辅助方程：令则于是微分方程的通解：根据欧拉公式：于是其通解为：（4）根据边界条件讨论微分方程的特解y必须是连续的做为该体系的边界条件应有y（0）锋岩＝0，y（l）＝0．＝1＆＃92；＊GB3①y（0）＝0，A＝0＝2＆＃92；＊GB3②y（l）＝0，B10，只有sinal＝0，因此al＝np（n＝1，2，3，．．．）y的特解：在此得到量子化的本征值和本征函数．（5）用波函数y的归一化条件，确定待定系数B．即要求：即得到对波函数的归一化要求，也是根据玻恩的统计解释－－－即在整个空间找到粒子的几率必须是100％（6）对本征值和本征函数的讨论①En中n为能量的量子数406n＝1，2，3，．．．，n＝1时为基态，n＝2时为第一激发态，n＝3时为第二激发态．②En的能级间隔规律随（n22－n12）变化③是归一化的，同时yn与ym是正交的．即：④yn的图形和节点（yn（xk）＝0，xk为节点．）受势能场束缚的微观粒子具有的共滚基乱同特性——量子效应：（1）粒子可存在多种运动状态；（2）能量量子化；（3）存在零点能；（4）粒子按几率分布，不存在运动轨道；（5）波函数可为正值、负值和零值，为零值的节点多，能量高例1．若某一粒子的运动可以按一维势箱模型处理，其势箱长度为1，计算该粒子由基态到第二激发态的跃迁波数．解答：＝＝＝2．42symbol180＆＃92；f＆quot；Symbol＆quot；＆＃92；s10106cm－14．三维势箱根据一维势箱的能量及波函数公式，求得三维势箱：对立方势箱：例：三个．．．．．．余下全文＞＞

㈦ 求自旋角动量x分量,y分量 的本征值和本征矢量.

本征则皮值都是正负h/2pi.
本征矢量Sx: (1,1)和(1,-1); Sy:(1,i)和(1,-i)
归一化自己旁誉动手. 不会求本征问题查线性代数书.
顺便你的Sy写孙启差错了

㈧ 对一维运动,求算符p+x的本征值和本征函数

假如有个本征值a，对应本征函数f，那么直接愣算。

i f'(x) + x f(x) = a f(x)，
f'(x) + (x-a)/i f(x) = 0。
然后枝滚大弄个积分因子，u'(x) = (x-a)/i，
就是f'(x) + u'(x) f(x) = 0，所以 e^(u) f = 常数C，C可以直接假定成1，因为本征函数乘个常数是无所谓的。
f= e^(-u) = exp (- (x-a)^2 / 2i)。本征值就是a。假如有边界值猛竖条件的话，这个a应该取离散值（比备念如要求f(0)=f(1)=0什么的）。

㈨ 怎样求坐标本征态（本征值x）在动量表象中的表示动量本征态（本征值p）在坐标表象中的表示

一宴谨个算符如果非厄密，那它的本征值就可能是复数，可观测量只孙姿能是实数。而且，大多数可观测量都存在一个物理的本征态（至少是理想上物理的），比如p，H，很多计算时晌凯基也用x本征态（比如QCD核子问题），非厄密算符的本征态很多不能归一化