什么是最大公约数

⑴ 什么是最大公约数

最大公约数（greatest
common
divisor，简写为gcd；或highest
common
factor，简写为hcf)，指某几个整数共有因子中最大的一个。能够整除一个整数的整数称为其的约数（如5是10约数）；
能够被一个整数整除的整数称为其的倍数（如10是5的倍数）；
如果一个数既是数A的约数，又是数B的约数，称为A,B的公约数，A,B的公约数
中最大的一个（可以包括AB自身）称为AB的最大公约数
定义
如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。
例：
在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公约数。
早在公元前300年左右，欧几里得就在他的着作《几何原本》中给出了高效的解法——辗转相除法。辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单，假设用f（x,
y）表示x，y的最大公约数，取k
=
x/y，b
=
x%y，则x
=
ky
+
b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y；而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f（x,
y）=
f（y,
x%y）（y
>
0），如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。
例如，12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数。
辗转相除法是古希腊求两个正整数的最大公约数的，也叫欧几里德算法，其方法是用较大的数除以较小的数，上面较小的除数和得出的余数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到出现能够整除的两个数，其中较小的数（即除数）就是最大公约数。以求288和123的最大公约数为例，操作如下：288÷123=2余42
123÷42=2余39
42÷39=1余3
39÷3=13
所以3就是288和123的最大公约数。
性质
重要性质：gcd(a,b)=gcd(b,a)
（交换律）
gcd(-a,b)=gcd(a,b)
gcd(a,a)=|a|
gcd(a,0)=|a|
gcd(a,1)=1
gcd(a,b)=gcd(b,
a
mod
b)
gcd(a,b)=gcd(b,
a-b)
如果有附加的一个自然数m,
则:
gcd(ma,mb)=m
*
gcd(a,b)
(分配律)
gcd(a+mb
,b)=gcd(a,b)
如果m是a和b的最大公约数，
则：
gcd(a/m
,b/m)=gcd(a,b)/m
在乘法函数中有：
gcd(ab,m)=gcd(a,m)
*
gcd(b,m)
两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法：
*
两数各分解质因数，然后取出同样有的质因数乘起来
*辗转相除法（扩展版）
和最小公倍数（lcm）的关系：
gcd(a,
b)
*
lcm(a,
b)
=
ab
a与b有最大公约数，
两个整数的最大公因子可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。
两个整数的最大公因子和最小公倍数中存在分配律：
*
gcd(a,
lcm(b,
c))
=
lcm(gcd(a,
b),
gcd(a,
c))
*
lcm(a,
gcd(b,
c))
=
gcd(lcm(a,
b),
lcm(a,
c))
在坐标里，将点(0,
0)和(a,
b)连起来，通过整数坐标的点的数目（除了(0,
0)一点之外）就是gcd(a,
b)。

⑵ 最大公约数是什么意思

最普遍的介绍：

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。

【拓展资料】

一、基本概念及举例说明：

1、如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系，不能单独存在。

举例：只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。

2、“倍”与“倍数”是不同的两个概念，“倍”是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。“倍数”只是在数的整除的范围内，相对于“约数”而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数。

3、几个整数中公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

举例：12、16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12，16）=4。12、15、18的最大公约数是3，记为（12，15，18）=3。

4、几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数，叫做这几个数的最小公倍数。

举例：4的倍数有4、8、12、16，……，6的倍数有6、12、18、24，……，4和6的公倍数有12、24，……，其中最小的是12，一般记为[4，6]=12。12、15、18的最小公倍数是180。记为[12，15，18]=180。若干个互质数的最小公倍数为它们的乘积的绝对值。

二、最大公约数的常见求法

1、质因数分解法

思路：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

举例：假设我们求24和60的最大公约数。

第一步：分解24和60。

24=2X2X2X3

60=2X3X2X5

第二步：24和60的最大公约数=24和60共有的公因子相乘，即2X2X3=12。

2、短除法

思路：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

短除法的本质就是质因数分解法，只是将质因数分解用短除符号来进行。

举例：

12的因数有：1、2、3、4、6、12。

18的因数有：1、2、3、6、9、18。

12与18的公因数有：1、2、3、6。

12与18的最大公因数是6。

3、更相减损法

思路：

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

举例：

用更相减损术求98与63的最大公约数。

由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公约数等于7。

4、辗转相除法

用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

举例：

求（319，377）：

∵ 319÷377=0（余319）

∴（319，377）=（377，319）；

∵ 377÷319=1（余58）

∴（377，319）=（319，58）；

∵ 319÷58=5（余29）

∴ （319，58）=（58，29）；

∵ 58÷29=2（余0）

∴ （58，29）= 29；

∴ （319，377）=29。

⑶ 什么叫最大公约数

也称为最大公因数和最大公因子，指两个或，多个整数共有约数最大的一个。
几个整数中公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数

⑷ 什么叫做最大公约数

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。

⑸ 最大公约数是什么意思

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。

⑹ 什么是最大公约数,什么是最小公约数

公约数亦称公因数。如果一个数同时是几个数的约数，称这个数为它们的“公约数”；公约数中最大的称为“最大公约数”。例如，2，-2，7，-7，14，
-14都是28，42，70的公约数；14是它们的最大公约数。
没有最小公约数
最小公倍数（不是最小公约数）：如果一个数同时是几个数的倍数，称这个数为它们的“公倍数”；正的公倍数中最小的称为“最小公倍数”。例如，12，-12，24，-24等都是2，4，6，的公倍数；12是它们的最小公倍数。