如何更好地理解分数的意义

A. 分数的意义是什么

分数的意义：把单位1平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫做分数。

分数是指分子小于分母的分数，最简分数是指分子和分母互质的分数。

举个例子：9/12就是一个真分数，但它不是最简分数，因为分子和分母都有公约数3，也就是说能同时除以3，约分得3/4，分子3和分母4除了1以外再没有其他公约数，那么3/4就是一个最简分数。
分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。

分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于1或者等于1。

整数和真分数合成的数通常叫做带分数，形式为：整数+真分数

真分数是指分子小于分母，并且分子和分母是既约整数（分子和分母无除1外的公约数，或者说两者互质）

。分母表示把一个物体平均分成几份，分子表示取了其中的几份。

分子在上，分母在下，也可以把它当做除法来看，用分子除以分母（因0在除法不能做除数，所以分母不能为0），相反除法也可以改为用分数表示。

注意事项

①分母一定不能为0，因为分母相当于除数。否则等式无法成立，分子可以等于0，因为分子相当于被除数。相当于0除以任何一个数，不论分母是多少，答案都是0。

②分数中的分子或分母经过约分后不能出现无理数（如2的平方根），否则就不是分数。

③一个最简分数的分母中只有2和5两个质因数就能化成有限小数；如果最简分数的分母中只含有2和5以外的质因数那么就能化成纯循环小数；如果最简分数的分母中既含有2或5两个质因数也含有2和5以外的质因数那么就能化成混循环小数。

（注：如果不是一个最简分数就要先化成最简分数再判断；分母是2或5的最简分数一定能化成有限小数，分母是其他质数的最简分数一定能化成纯循环小数）

B. 分数的意义是什么

分数的意义和性质

（一）教学目标

1. 知道分数是怎样产生的，理解分数的意义，明确分数与除法的关系。
2. 认识真分数和假分数，知道带分数是一部分假分数的另一种书写形式，能把假分数化成带分数或整数。
3. 理解和掌握分数的基本性质，会比较分数的大小。
4. 理解公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数，能找出两个数的最大公因数与最小公倍数，能比较熟练地进行约分和通分。
5. 会进行分数与小数的互化。

（二）教材说明和教学建议

教材说明
1. 本单元内容的结构及其地位作用。

本单元是学生系统学习分数的开始。内容包括：分数的意义、分数与除法的关系，真分数与假分数，分数的基本性质，最大公因数与约分，最小公倍数与通分以及分数与小数的互化。

学生在三年级上学期的学习中，已借助操作、直观，初步认识了分数（基本是真分数），知道了分数各部分的名称，会读、写简单的分数，会比较分子是1的分数，以及同分母分数的大小。还学习了简单的同分母分数加、减法。在本学期，又学习了因数、倍数等概念，掌握了2、3、5的倍数的特征。这些，都是本单元学习的重要基础。

通过本单元的学习，将引导学生在已有的基础上，由感性认识上升到理性认识，概括出分数的意义，比较完整地从分数的产生，从分数与除法的关系等方面加深对分数意义的理解，进而学习并理解与分数有关的基本概念，掌握必要的约分、通分以及分数与小数互化的技能。
这些知识在后面系统学习分数四则运算及其应用时都要用到。因此，学好本单元的内容是顺利掌握分数四则运算并学会应用分数知识解决一系列实际问题的必要基础。

本单元的内容分为六节，各节的内容的编排体系及其内在联系如下图所示。

从上面的图示，不难看出六节教材的内容所具有的内在逻辑联系。

首先，第1节分数的意义和第3节分数的基本性质，是整个单元教学内容的主干，也是本单元教学的重点。第2节真分数与假分数是分数意义即分数概念的引申；第 4节约分、第5节通分则是分数基本性质的运用。最后一节沟通了分数与小数在表现形式上的相互联系，得出了分数与小数的互化方法。整个单元的内容，大体上显现出由概念到性质，再到方法、技能的递进发展关系。

其次，在第1节里，分数的意义是学习的重点。在前面学习的基础上，这里引入了两个新的概念，即单位“1”与分数单位。至于分数的产生、分数与除法的关系，则是从分数的现实来源和数学内部来源两方面来帮助学生深化对分数的认识。

在第2节里，先通过三道例题，引入真分数、假分数、带分数三个概念，再通过例4，解决把假分数化成带分数或整数的问题。

在第3节里，先通过例1，得出分数基本性质，然后通过例2，在运用的过程中加以巩固。

在第4、5节里，先引入公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数的概念，再讨论求最大公因数、最小公倍数的方法，然后在此基础上，引入约分、通分的概念和方法。

显然，在第2、3、4、5节内部，同样显现出由概念到方法的逻辑关系。

2. 本单元教材的编写特点。

与原教材相比，本单元教材的主要改进有以下几点。

（1）多侧面地展现了分数的来源。

在小学数学里，认识分数是小学生数概念的一次重要扩展。考虑到分数概念比较重要，又比较抽象，有必要通过揭示产生分数的现实背景，来帮助学生形成分数概念，理解它的含义。

从现实的角度来看，数是用来表示量的。5只兔、5个人，这些量的共同特征，可以用自然数5来表示。也就是说自然数是一个量（兔、人）与另一个作为单位的量（1只兔、1个人）的比。

现实世界中存在的量，除了上面例举的，由一些单位量合成的，可以用自然数表示多少的量之外，还存在着许多可以分割的，无法用自然数表示的量。例如，用一根作为单位长的木棒（米尺）去量一条线段AB的长，量了3次还有一段PB剩余。

这时，运用自然数就只能粗略地说，这条线段长3米多一点。要更精确一些，就必须把度量单位等分成更小的单位，来度量余下的那条线段。比如把1米一分为四，则每等份叫做“四分之一”米，记做1/4米。这就引入了形如1/n（n为大于1的自然数）的分数。假如使用度量单位14米去量图中剩下的一条线段PB，量了3次恰巧量尽，那么PB的长就是“3个1/4”，记作3/4米，这样就又引入了形如m/n（n为大于1的自然数，m为自然数）的分数。历史上，分数正是为了比较精确地测量这类可以分割的量而引入的。

从数学的角度来看，分数的引入是为了解决在整数集合里除法不是总能实施的矛盾。比如，2÷3在整数范围内不能计算，引入分数就能记作2÷3＝2/3。当然，这种抽象的表示方法也有它的实际意义。例如把2块饼平均分给3个人，每人分得2/3块饼。

在本单元的第1节里，教材首先从历史的角度，从现实生活中等分量的需要出发，生动形象地展示了分数的现实来源。

在引出分数概念之后，教材又通过分蛋糕、分月饼的实例，抽象出分数与除法的关系，使学生初步感悟，有了分数，就能解决整数除法除不尽的矛盾。这实际上是从数学内部发展的角度，揭示了分数的来源。

这就为拓宽学生的认识，加深对分数的理解，提供了较为丰富的教学素材。

（2）约数、倍数的有关知识与分数的相关知识结合起来教学。
我们知道，在小学数学中，约数、倍数的有关知识的学习，主要是为学习分数服务的。但在以往的教材中，两者各自独立成章，学完后，学生还不知道学了公因数、公倍数与最大公因数、最小公倍数有什么用，只能对一组组整数单纯地练习求它们的最大公因数或最小公倍数。而且，这些知识集中在一个单元里，概念多，而且抽象，不利于分散难点，逐步消化，也不利于认识的螺旋上升。

现在，把公因数、最大公因数的内容安排在讨论约分之前教学；把公倍数、最小公倍数的内容安排在引进通分之前学习。从而将两部分知识紧密结合起来，学了就用，既能减少单纯的枯燥练习，节省教学时间，又有利于整除性知识的教学改革。为了配合这一改革，约分与通分不再合成一节，而是公因数、最大公因数与约分编为一节，公倍数、最小公倍数与通分编为一节。

（3）关注数学的抽象过程，从现实问题情境引出数学问题，得出数学知识。

在本单元中，无论是公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数的引入，还是约分、通分的给出，教材都创设了适当的现实问题情境，进而在解决实际问题中，抽象出数学的概念，得出数学的方法。这些数学知识，还有利于培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。

（4）部分内容作了适当的精简处理或编排调整。

本单元中，比较重要的内容精简处理与编排调整，在前面揭示单元内容结构与联系的图示中，已有所显示。这里，再择要作些说明。

其一，分数大小比较，不在第1节中单列一段，而是充分利用前面学习分数初步认识时打下的基础，把有关内容与通分结合在一起学习。这样既进一步简化了第1节的内容，也有利于发挥学习的正向迁移作用。

其二，删去了原来第2节中把整数或带分数化成假分数的内容。这是因为根据课程标准，今后的分数运算中将不含带分数，所以无须再掌握把整数或带分数化成假分数的技能。考虑到把假分数化成带分数，容易看出这个假分数的大小在哪两个整数之间，从而有利于数感的形成；把能化成整数的假分数化成整数，是化简某些计算结果的需要。所以，把假分数化成带分数或整数的内容，仍然保留，但也作了简化，合在一个例题中予以解决。

教学建议

1. 充分利用教材资源，用好直观手段。

如前介绍，本单元教材在加强数学与现实世界的联系上作了不少努力，同时，教材还运用了多种形式的直观图示，数形集合，展现了数学概念的几何意义。从而为教师与学生提供了较为丰富的学习资源。教学时，应充分利用这些资源，以发挥形象思维和生活体验对于抽象思维的支持作用。

本单元的特点之一就是概念较多，且比较抽象。而小学高年级学生的思维特点是他们的抽象逻辑思维在很大程度上还需要直观形象思维的支撑。因此，在引入新的数学概念时，适当加大思维的形象性，化抽象为具体、为直观，对于顺利开展教学来说，是十分必要的。所谓化抽象为具体，就是通过具体的现实情境，调动学生相关生活经验来帮助理解。所谓化抽象为直观，就是运用适当的图形、图示来说明数学概念的含义，这是小学数学最常用的也是最主要的直观教学手段。

2. 及时抽象，在适当的抽象水平上，建构数学概念的意义。

为了搞好本单元的教学，在加强直观教学的同时，还要重视及时抽象，不能听任学生的认识停留在直观水平上。否则，同样会妨碍学生对所学知识的理解和应用。例如：比较1/3与1/2的大小，有学生回答，不一定谁大谁小，要看他们分的那个圆，哪个大，由此得出1/3可能比1/2大，也可能比1/2小，还可能和1 /2相等。造成这种错误认识的主要原因，就在于过分依赖直观，而没有及时抽象。因此，在充分展开直观教学，让学生获得足够的感性认识基础上，要不失时机地引导学生由实例、图示加以概括，建构概念的意义。

3. 揭示知识与方法的内在联系，在理解的基础上掌握方法。

在本单元中，约分与通分、假分数化为带分数或整数、分数与小数的互化的方法，都是必须掌握的。这些方法看似头绪较多，但若归结为基础知识，就是揭示相关知识与方法的联系，就比较容易在理解的基础上掌握方法。以约分与通分为例，它们都是分数基本性质的应用。尽管约分时分子、分母同除以一个适当的数，通分时分子、分母同乘一个适当的数，但它们都是依据分数的基本性质，使分数的大小保持不变。因此，教学时不宜就方法论方法，而应凸显得出方法的过程，使学生明白操作方法背后的算理。这样就能依靠理解掌握方法，而不是依赖记忆学会操作。

4. 这部分内容可以用20课时进行教学。

C. 分数的意义 如何理解分数的定义

1、分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。分子在上，分母在下。

2、一个物体，一个图形，一个计量单位，都可看作单位“1”。把单位“1”平均分成几份，表示这样一份或几份的数叫做分数。在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的叫做分母，表示有这样多少份的叫做分子；其中的一份叫做分数单位。

3、分数（来自拉丁语，“破碎”）代表整体的一部分，或更一般地，任何数量相等的部分。 当在日常英语中说话时，分数描述了一定大小的部分，例如半数，八分之五，四分之三。 分子和分母也用于不常见的分数，包括复合分数，复数分数和混合数字。

D. 对分数意义的理解应关注哪些问题

一是改变分割的方式、一张纸?、建立分数概念的重要前提，甚至误认为单位 “ 1 ” 就是自然数 “ 1 ” ，把平均分一张长方形纸平均分成 2 份。分数具有多重意义，二是表示两个量相除的结果（商），取 1 份，如把一个苹果，也可以表示由多个事物组成的整体、一个图形，有些教师重“ 1 ”不重“单位” 、一筐苹果，产生于 “等分割及再合成其份数的活动” ，如一个国家、体积大小，分步推进，要充分运用直观和形象的手段，感悟意义，在分数概念中，深刻地了解分数的意义，不要仅局限于学生熟悉的，三是表示子集与集合的关系，建立部分与整体之间的关系，正确地建立分数概念;?，用单位“ 1 ”表示、逐步抽象概括的分数概念教学中不可疏忽的几个问题 分数是小学数学中的核心概念。 三，也是小学阶段比较抽象，还要适当从宏观世界举些例子，取 1 份、大小）、有层次的操作活动、单位意识、复杂的数学概念，五是表示数轴上的一个数值或点。其实，为牢固地建立分数概念夯实基础，不改变平均分的实质，要引导学生从不同的角度、深刻领会分数的意义：一是表示部分与整体的关系。教学分数时，都可以看着一个整体。因此。如，它体现了数学高度抽象概括的特征，逐步形成，如平均分割一个蛋糕。正确地认识单位“ 1 ” 。但是，表示这样的一份或几份的数称为 ‘分数’ 。 ” “ 单位 ‘ 1 ’ ” 应为“单位” 、全世界，体会分数概念共有“除的意涵”的不变性。在实施分数概念教学中；平均分成 4 份，也可以竖着对折，全面、质量轻重?，我们一定要让学生经历实际操作或心理操作等分割及再合成其份数的活动、一筐苹果（可改变容器，有的甚至存在一些错误观点。其实;通过这些有目的，我们特别要注意引导学生从微观世界到宏观世界去认识单位 “ 1 ” ，不论其数量多少。强化学生的整体意识、有重点，并不意味着要让学生一下子认识；第二阶段分割不同的离散量；第三阶段综合对比分割不同的量，了解其各种不同的表征方式，对于建立分数概念至关重要，灵活地解决有关分数的实际问题，取 4 份?，不断完善分数的意义。 二，操作活动注意“三变三不变” 。 单位“ 1 ”实际是指“整体量”或“单位量” ，让学生在具体的情境中动手操作，四是表示两个量的比较结果（比值），不改变部分与整体的关系，夯实基础，突出重点，正确建立分数的概念、常见的的事例，以后遇到分数能够根据其在具体情境中的意义、分数不仅仅是部分与整体的关系 小学分数教学中往往只关注和强调分数表示部分与整体的关系。第一阶段分割不同的连续量;?， 1979 年版的《辞海》就将 “分数” 定义为。为了让学生更好地形成分数概念，单位“ 1 ” 的 1 不加引号，取 2 份、完善对分数的认识。分数的这一意义也是分步扩展;都平均分成 4 份，在分数意义教学中。三是改变平均分的份数和取的份数，可以横着对折，值得重视和研究，一些物体等等。 单位“ 1 ”不仅表示一个，我们称它为单位“ 1 ” ，经历平均分一个量、一条线段?，分数具有多重意义，但只要分的每份的大小都相等;（可改变其形状。二是改变分割的对象、单位“ 1 ”不能重“ 1 ”轻“单位” 单位“ 1 ”是给分数定义，这是分数概念发展的基石、一个计量单位。 一。引导学生在不同意义情境下、数量）、整个地球，不改变整体的实质，逐步扩充分数的内涵；平均分成 8 份，全方位地认识分数： “把单位分成若干等分。一个物体;?，应当按照教材的安排。特别是分数的初步认识阶段、不可淡化经历等分单位（整体）的过程 分数的原始意义。在此基础上。表示部分与整体的关系是分数的基本意义;?，如把一张圆形的纸平均分成 2 份。笔者听课调查发现;都可以把它看作一个整体，有些教师对分数的内涵及思想方法的理解往往模糊不清，还可以沿对角线斜着折。分数是一个过程性概念，如一盘，务必要教扎实，理解其不同的内涵

E. 要理解分数的意义有哪三步

解答如下：
1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
3、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。

F. 论如何正确理解测验分数的意义以及怎样将测验分数报告给被试者

测验分数是被试在测验上所获得的分数，它由两部分组成，一是与测量目的有关的变因引起的反映被试真正水平的分数，称为有效分数；二是误差，它是与测量目的无关的变因造成的偏差，分系统误差和随机误差两类，即X=V+I+E。

式中X为测验分数，V为有效分数，I为系统误差，E为随机误差。实际上，在测验中前两项是稳定出现于结果之中的，两者之和决定着结果的一致性。

为研究方便起见，通常也把有效分数与系统误差之和称做真分数，即真分数T=V+I。这样，测验分数也可看做是由真分数与随机误差所组成的，即X=T+E。

报告给被测试者有很多方式，通过手机短信或者电话都可以。

(6)如何更好地理解分数的意义扩展阅读

测验分数特点

测验分数是指被试或受测者在测验项目上得到的分数。被测事物特征的量化数字，宝贵的第一手资料，需认真检查、核实，进行统计处理分析，以揭示其内在特征和规律。具有以下特点：

1、离散性，即分数间相互独立。

2、波动性，因个体差异与误差影响，数据有大有小，呈波动状态。

3、规律性。即数据趋向某一固定数值的变动特性。

参考资料来源：网络—测验分数

G. 分数的意义是什么有哪些应用

分数的意义

一、教学目标

知识与技能目标：
知道分数是怎样产生的，在初步认识分数的基础上，理解分数的意义，知道分子、分母和分数单位的含义

过程与方法目标：
结合实际，举例讨论，思考探索

二、教学重难点

教学重点：
明确分数和分数单位的意义，理解单位“ 1”的含义

教学难点：
对单位“1”的理解

三、教学过程

导入环节：
1、 提问

A、 把6个苹果平均分给2个小朋友，每个人分得几个？

B、 把一个苹果平均分给2个小朋友，每个人分得这个苹果的多少？

C、 从一把香蕉中（一共四根）掰下一半出来，是几根香蕉？

2、 实际操作

安排学生做活动，从中选出部分男生和部分女生组成一个团体，让剩余的学生指出女生和男生分别占总数的多少？同时让团体中的学生指出自己占团体总数的多少？和除自己以外的学生占总数的多少如何表示？

揭示课题：
在实际生产和生活中，人们在计算时，往往得不到整数结果，在这种情况下就产生了分数，什么叫分数呢？这节课我们就来学习“分数的产生和分数的意义”。

分数的由来：

说分数的历史，得从三千多年前的埃及说起。

三千多年前，古埃及为了在不能分得整数的情况下表示数，用特殊符号表示分子为1的分数。两千多年前，中国有了分数，但是，秦汉时期的分数的表现形式不一样。印度出现了和我国相似的分数表示法。再往后，阿拉伯人发明了分数线，今天分数的表示法就由此而来。

200多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它．如果我们把它分成三等份，每份是三分之七米．像三分之七就是一种新的数，我们把它叫做分数。

为什么叫它分数呢？分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征。例如，一个西瓜四个人平均分，不把它分成相等的四块行吗？从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需要—除法运算的需要而产生的。

分数中为什么把分数线上的叫分子，分数线下的叫分母？所谓分数，就是把数来进行划分的意思，所以，分数线上面的那个数于是便成了多少等分之一，而下面那个数则表示一个数的整体。

自主探索：
引导学生回忆，把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

A、 一个正方形经过两次对折后一共分成几份，其中一份占整个正方形的多少？

B、 一个圆经过两次对折一共分成几份，其中一份占整个圆形的多少？

C、 一条线段，结果两次对折一共分成几份，其中一份占整个线段的多少？

另外，利用现实中大家经常会看到的物体进行举例说明：

A、 一把香蕉

B、 一盘面包

重点讲解：
我

H. 怎样才能让学生真正透彻地理解分数的意义

理解分数的意义
第一是从实际生活中出发，某人说过，自然数是上帝创造的，别的都是人类自己创造的。分数可能就是在大家瓜分财产的时候提出的。所以可以从实际出发。这样容易引起学生的兴趣。
第二就比较抽象一些，涉及公度的概念，本质上就是什么样的尺子可以量什么样的长度。这还和无理数有关系。
第三就更抽象了。就只有定义了，什么群环域的概念啦，数系的扩充啦。