数学三阶幻方怎么填

A. 三阶幻方的规律

Merzirac法生成奇阶幻方

Merzirac法的口诀：

1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。用Merziral法生成的任何阶的奇幻方。

下面（如图）是用Merziral法生成1-9的3阶幻方（即九宫格）：

8 1 6

3 5 7

4 9 2

3阶幻方不止这一种填法，只要间1放于四个变格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字另一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字。

3阶幻方的填法如下8种：

【3阶幻方有且只有一个基本解，其余的7种形式是基本解的同解异构，是基本解旋转和镜像（翻面）而得】

第一种：

8 1 6

3 5 7

4 9 2

第二种：

6 1 8

7 5 3

2 9 4

第三种：

4 9 2

3 5 7

8 1 6

第四种：

2 9 4

7 5 3

6 1 8

第五种：

6 7 2

1 5 9

8 3 4

第六种：

8 3 4

1 5 9

6 7 2

第七种：

2 7 6

9 5 1

4 3 8

第八种：

4 3 8

9 5 1

2 7 6

3阶幻方的性质：

下面是用1-9构成的3阶幻方：

8 1 6

3 5 7

4 9 2

幻和值=15。

性质一：幻和值=3×5（3×中心格数）；

证明方法：主对角线+副对角线+中间行=3×幻和值（N），

变式得：第一列+第三列+3×中心格数=3N，即，2N+3×中心格数=3N，

解得：N=3×中心格数。

性质二：2×8=9+7，2×4=1+7，2×6=3+9，2×2=1+3；即：2×角格的数=非相邻的2个边格数之和。

证明方法：如左上角的数为例，第一行的和+副对角线的和=第二列的和 +第三列的和，

等式两边消去相同项，得：2×左上角的数=非相邻的2个边格数之和。

其余角格数的证明方法类似。

性质三：以中心对称的2个数相加的和相等，这2个数的和值=2×中心格数。

证明方法：两条对角线之和=一、三行（列）之和，

消去相同项，证得：2×中心格数=对称的两边格之和。

一、三行（列）之和=中间列（行）+一条对角线，

消去相同项，证得：2×中心格数=对称的两角格之和。

推论（由性质三）：以中心对称的2个数同为偶数或同为奇数；

推论（由性质二、三）：幻方4个边格数同为偶数或同为奇数。

性质四：幻方的每个数乘以A（A≠0），再加X，幻方亦成立。

例如把1-9构成的3阶幻方的每个数乘以3，再加3：

27 6 21

12 18 24

15 30 9

幻和值=54

性质五：将组成幻方的三组数（如：1-9组成的幻方为【1、2、3】【4、5、6】【7、8、9】这三组）乘以A（A≠0），再分别加X、Y、Z（X、Y、Z为等差的数），幻方亦成立。

也就是3个一组的数，组与组等差，每组数与数等差，这样的数能构成3阶幻方。

例如以下3组9个数：

【2、4、6】、【13、15、17】、【24、26、28】构成幻方，

26 2 17

6 15 24

13 28 4

幻和值=45。

B. 三阶幻方有几种填法

一种，把他做镜像，根据方位的不同，可以变成其它形式，一共有8种。

C. 三阶幻方怎么解

幻方是一种广为流传的数学游戏，据说早在大禹治水时就发现过。幻方的特点是：由自然数构成n×n正方形阵列，称为n阶幻方，每一行、每一列、两对角线上的数之和相等。

罗伯法的具体方法如下：

把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n2-1个数： 1)每一个数放在前一个数的右上一格； 2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行。

仍然要放在右一列； 3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4)。

如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同4)。

(3)数学三阶幻方怎么填扩展阅读

想：1 9=10，2 8=10，3 7=10，4 6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。

先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。

因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。解上面是最简单的幻方，也叫三阶幻方。相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”。

用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。南宋数学家杨辉概括其构造方法为：“九子斜排。上下对易，左右相更。四维挺出。”

D. 三阶幻方的填法

它要求在阶数乘以阶数组成的一个正方形内填入连续的数，使各行、各列、对角线加起来的数都相等。如三阶幻方即在3乘以3这样的一个正方形里填入1至9使各行各列都相等
宫格只要不是2和6的都可以填出！！！
奇阶幻方

当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。可以用Merzirac法与loubere法实现，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。

偶阶幻方

当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方。可用了Hire法、Strachey以及YinMagic将其实现，Strachey为单偶模型，我对双偶（4m阶）进行了重新修改，制作了另一个可行的数学模型，称之为Spring。YinMagic是我于2002年设计的模型，他可以生成任意的偶阶幻方。

在填幻方前我们做如下约定：如填定数字超出幻方格范围，则把幻方看成是可以无限伸展的图形，如下图：

Merzirac法生成奇阶幻方

在第一行居中的方格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向下移一格继续填写。如下图用Merziral法生成的5阶幻方：

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

loubere法生成奇阶幻方

在居中的方格向上一格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向上移两格继续填写。如下图用Louberel法生成的7阶幻方：

30 39 48 1 10 19 28

38 47 7 9 18 27 29

46 6 8 17 26 35 37

5 14 16 25 34 36 45

13 15 24 33 42 44 4

21 23 32 41 43 3 12

22 31 40 49 2 11 20

horse法生成奇阶幻方

先在任意一格内放入1。向左走1步，并下走2步放入2(称为马步)，向左走1步，并下走2步放入3，依次类推放到n。在n的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下边放入2n+1。如下图用Horse法生成的5阶幻方：

77 58 39 20 1 72 53 34 15

6 68 49 30 11 73 63 44 25

16 78 59 40 21 2 64 54 35

26 7 69 50 31 12 74 55 45

36 17 79 60 41 22 3 65 46

37 27 8 70 51 32 13 75 56

47 28 18 80 61 42 23 4 66

57 38 19 9 71 52 33 14 76

67 48 29 10 81 62 43 24 5

一般的，令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，[-1,0]为向左走一步。则马步可以表示为2X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。对于2X+Y相应的跳步可以为2Y,-Y,X,-Y,X,3X,3X+3Y。上面的的是X型跳步。Horse法生成的幻方为魔鬼幻方。

Hire法生成偶阶幻方

将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。在A内两对角线上填写1、2、3、……、n，各行再填写1、2、3、……、n，使各行各列数字之和为n*(n+1)/2。填写方法为:第1行从n到1填写，从第2行到第n/2行按从1到进行填写(第2行第1列填n，第2行第n列填1)，从第n/2+1到第n行按n到1进行填写，对角线的方格内数字不变。如下所示为6阶填写方法：

1 5 4 3 2 6

6 2 3 4 5 1

1 2 3 4 5 6

6 5 3 4 2 1

6 2 4 3 5 1

1 5 4 3 2 6

如下所示为8阶填写方法（转置以后）：

1 8 1 1 8 8 8 1

7 2 2 2 7 7 2 7

6 3 3 3 6 3 6 6

5 4 4 4 4 5 5 5

4 5 5 5 5 4 4 4

3 6 6 6 3 6 3 3

2 7 7 7 2 2 7 2

8 1 8 8 1 1 1 8

将A上所有数字分别按如下算法计算，得到B，其中b(i,j)=n×（a(i,j)－1）。则AT＋B为目标幻方

（AT为A的转置矩阵）。如下图用Hire法生成的8阶幻方：

1 63 6 5 60 59 58 8

56 10 11 12 53 54 15 49

41 18 19 20 45 22 47 48

33 26 27 28 29 38 39 40

32 39 38 36 37 27 26 25

24 47 43 45 20 46 18 17

16 50 54 53 12 11 55 9

57 7 62 61 4 3 2 64

Strachey法生成单偶幻方

将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。

A C

D B

A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；在A中间一行取m个小格，其他行左侧边缘取m-1列，将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换。如下图用Strachey法生成的6阶幻方：

35 1 6 26 19 24

3 32 7 21 23 25

31 9 2 22 27 20

8 28 33 17 10 15

30 5 34 12 14 16

4 36 29 13 18 11

Spring法生成以偶幻方

将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。

先令a(i,j)=(i-1)*n+j，即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n；即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、2n；…………之后进行对角交换。对角交换有两种方法：

方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换。（保证不同时为奇或偶即可。）

方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。

如下图用Spring法生成的4阶幻方：

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

YinMagic构造偶阶幻方

先构造n-2幻方，之后将其中的数字全部加上2n-2，放于n阶幻方中间，再用本方法将边缘数字填写完毕。本方法适用于n>4的所有幻方，我于2002年12月31日构造的数学模型。YinMagic法可生成6阶以上的偶幻方。如下图用YinMagic法生成的6阶幻方：

10 1 34 33 5 28

29 23 22 11 18 8

30 12 17 24 21 7

2 26 19 14 15 35

31 13 16 25 20 6

9 36 3 4 32 27

魔鬼幻方

如将幻方看成是无限伸展的图形，则任何一个相邻的n*n方格内的数字都可以组成一个幻方。则称该幻方为魔鬼幻方。

用我研究的Horse法构造的幻方是魔鬼幻方。如下的幻方更是魔鬼幻方，因为对于任意四个在两行两列上的数字，他们的和都是34。此幻方可用YinMagic方法生成。

15 10 3 6

4 5 16 9

14 11 2 7

1 8 13 12

E. 2,3,4,5,6,7,8,9,10构造成一个三阶幻方怎么构造

三阶幻方九宫数，一行中间最小数，二行中央中位数，三行最右二小数(第二小的数简称二小数)，幻和中位三倍数(幻和是中位数的三倍)，由此推出空格数。

例如，用2、3、4、5、6、7、8、9、10这九个数制作一个三阶幻方。 2最小，2填在三阶幻方第一行中间位置。 6是从小到大的中位数，6填在三阶幻方第二行中间位置，即三阶幻方的中心位置。

3是第二小的数，3填在三阶幻方第三行最右的位置。幻和是中位数6的3倍，即为18。由幻和是18推出其他空格位置的数。如第一行第一列的数为18－6－3=9；其他几个数都可一一推出。

(5)数学三阶幻方怎么填扩展阅读：

想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。

若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。

F. 三阶幻方的规律口诀是什么

口诀：

一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。

居上行正中央——数字 1 放在首行最中间的格子中；

依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字；

上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中。

(6)数学三阶幻方怎么填扩展阅读

规律

以下规律对所有三阶幻方均成立：

幻和=3×中心数：

证明：

通过中心数有4条线。将这4条线全部加起来，可以得到：

幻和×4=全体数的和+中心数×3。

而我们知道三阶幻方中，全体数的和=3×幻和（三行或三列）。

因此有：

幻和×4=幻和×3+中心数×3。

化简得到：

幻和=3×中心数。

G. 3阶幻方的填法

南宋时期的杨辉给出了三阶幻方的一个制法:"九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。"

把九个数按一定顺序排列成3×3的方阵，只要每一行、每一列以及对角线上的三个数都成等差数列，用这九个数就能组成三阶幻方。如2、4、6、7、9、11、12、14、16这九个数。

一、九子斜排:

这个幻方的定数是

(2+4+6+……+16)÷3=27

还有别的制法。

请参阅本人在网络文库发表的文章《幻方》。

H. 三阶幻方的口诀

口诀：

一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。

居上行正中央——数字 1 放在首行最中间的格子中；

依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字；

上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中；

右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中；

重复便在下格填——如果数字｛N｝ 右上的格子已被其它数字占领，就将｛N＋1｝ 填写在｛N｝下面的格子中；

出角重复一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。

幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。

在我国，幻方最早见于河图洛书。相传，上古伏羲氏时，洛阳东北孟津县境内的黄河中浮出龙马，背负"河图"，献给伏羲。伏羲依此而演成八卦，后为《周易》来源。

又相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮"洛书"，献给大禹。大禹依此治水成功，遂划天下为九州。又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》。《易·系辞上》说："河出图，洛出书，圣人则之"，就是指这两件事。

(8)数学三阶幻方怎么填扩展阅读

规律

以下规律对所有三阶幻方均成立：

1、幻和=3×中心数

证明：

通过中心数有4条线。将这4条线全部加起来，可以得到：

幻和×4=全体数的和+中心数×3

而我们知道三阶幻方中，全体数的和=3×幻和（三行或三列）

因此有：

幻和×4=幻和×3+中心数×3

化简得到：

幻和=3×中心数

2、过中心的线上的三个数，依次成等差数列。或者说，关于中心位置对称的两数，平均数是中心数。

证明：

过中心线的三个数之和为幻和。性质1已经说明，幻和=3×中心数。

因此中心数是这三个数的平均数。

从这之中去掉中心数不改变平均数。

因此中心数是关于中心位置对称的两数。

也就是一个数比中心数多多少，另一个数就比中心数少多少。即他们成等差数列。

I. 3阶幻方的解法

方法一：口诀法
Merzirac法生成奇阶幻方口诀：（适用于所有奇阶幻方，3×3，5×5等。）
【1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。】
3阶幻方是奇阶幻方，依口诀填写，如下图：

其它数组方法雷同。

J. 三阶幻方怎么填

1居上横正中央（最小的数在第一排中间）
依次斜填莫相忘（2填在右上方）
上出框时往下填（然后2从右上方落到右下角）
右出框时往左填（3填到二排框外，移到最左边的框里）
排重便往下格填(4跟1排重就到三下面)
右上排重一个样（7出了框到六下面）
答案：8 1 6
3 5 7
4 9 2