为什么集合论是数学的基础

A. 集合论真的是数学基础吗

我想，如果从正面说明集合论是不是数学的基础，这个问题很不容易

既然是一个数学问题，那么参照数学的思考方法：“正难则反”，我们尽量大的范围找到数学的各个分支，寻找不以集合论为基础的例子，

• 假如基本都以集合论展开发展，那么我们就可以基本得出“集合论是数学的基础”；
• 假如有一两个特例，那么，需要考虑我们语言表达的模糊性，分清主次，可能仍然认为“集合论是数学的基础”；
• 假如得到大部分例子，大部分数学分支都和集合论没关系，那么自然说明“集合论不是数学的基础”；

然后，我们拿一些数学的常见分支和集合论之间的关系来说明，那么可以比较清晰呈现集合论在数学上的基础地位。

所以遵照上述思路，我们把这个话题转化为讨论“为什么说集合论是数学的基础？”
（注意，此处符合转化的数学思想）

那么，我们秉持上述的思路，我们把数学的有限的几十个重要分支和集合论进行关联比对。
这部分，更多的需要资料性的搬运（此处省略10000字）。
最后，我们会得到结论：

集合论为是现代数学的基础

当然，这么重大的结论，我是不敢下的，这是来自《高等数学》的结论。但是，我觉得我能接受。

另外，引用伟大的数学家希尔伯特的名言：

只要一门科学分支能提出超多的问题，它就充满着性命力，而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡。

集合论直接参与了一次数学危机，“提出超多的问题”，“充满生命力”。

另一方面，集合论的缔造者“康托尔”也曾在争议中进了精神病院，可见，“集合论”的出现是一件多么“爆炸性”的成就。

大家觉得呢？

B. 微积分是近代数学的基础，而集合论是现代数学的基础，那能不能说论数学界的地位，康托尔能和牛顿比肩

格奥尔格·康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人
艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会长，英国着名的物理学家，网络全书式的“全才”，着有《自然哲学的数学原理》、《光学》。
他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命。
在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律 [1] 。在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。
在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献
明显不是一个时代的人无法相比，但个人认为牛顿的贡献比较大，因为对物理还有贡献

C. "一切数学成果可建立在集合论基础上"什么意思

1900年前后,在数学的集合论中出现了三个着名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了数学的第三次危机。
让我们先了解下什么是悖论。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少着名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
悖论有三种主要形式：
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来 好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：
P={A∣A∈A}
Q={A∣A￠A}（￠：不属于的符号，因为实在找不到）
问，Q∈P 还是 Q∈Q？
这就是着名的“罗素悖论”。罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。

十九世纪下半叶，康托尔创立了着名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。 “一切数学成果可建立在集合论基础上” 这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国着名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的着名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的着名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己着作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论（后来归入所谓语义悖论）：

D. 集合论是数学上最具革命性的理论 为什么

思维的法则和数学的定律并不属于任意的虚构, 而是固有的而且可以认识的。集合论诞生是充满艰辛的, 他是康托惨淡经营终生的产物。在那对集合论充满排斥和敌意的环境里, 康托为捍卫他自己所创造的超限数和集合论进行了长期的战斗, 数学无穷的革命几乎是由他一人完成的。他对自己的理论充满自信, 坚信时间会证明一切。但康托的斗争并不是很彻底的, 在某些方面也表现出对唯心主义和宗教的调和, 而这些又都是与康托独特的个性与哲学思想中深刻的宗教根源有直接的联系的。康托在超常沉重的精神压力下, 饱受了精神病的折磨。他一生笃宗教, 至死都把自己当作上帝的使者, 上帝是他力量的源泉, 也是他理论必然性的最终保证。正是这种不可动摇的信念给了他面对数学史上前所未有的激烈风暴的勇气, 去坚定地捍卫他的超穷集合论, 使其在充满怀疑和排斥的气氛中得以生存, 并最终使超穷集合论成为二十世纪科学思想史上最富生命力的伟大创举。所以说，集合论是数学上最具革命性的理论，也是康托人生智慧的结晶！

E. 为什么集合是现代数学的基本概念

用集合可以定义自然数（Piano），自然数是后续研究的基础
推荐你看看菲赫金哥里茨（俄）的微积分学教程（集合运用）
有些东西，学到后面才能真正的理解，这个道理以后你就明白了

如果你真的要认真，去（如：数学资源网）下一个集合论吧
这就像你不读相对论书没法给你解释相对论是什么一样，它是理论，不是一个概念

F. 集合是现代数学的重要分支之一,也是现代数学的理论基础,它主要是由德国数学家康托

集合是现代数学的重要分支之一,也是现代数学的理论基础,它主要是由德国数学家康托
尔创立的.发展至今,已成为了一门比较完善的学科,它贯穿于中学数学的整个体系.从集合论的观点看,集合论高度的概括了中学数学的内容,因此能更好的从总体上把握中学数学的研究对象.用集合论的语言来表述有关概念,使其更为简洁,明了.同时,集合论的思想对解题也具有指导作用.
Collection is an important branch of modern mathematics,and is also the theoretical basis of modern mathematics,it is mainly by the German mathematician Cantor
Seoul created.Development so far,has become a more perfect discipline,which runs through the entire system of mathematics in secondary schools.From the point of view of set theory,set theory of summary of the high content of secondary school mathematics,so they can better grasp the overall study of mathematics in secondary schools.Set the language used to express the concept,make it more concise and clear.At the same time,the idea of set theory on the problem-solving also has a guiding role.

G. 集合论究竟解决了什么问题

集合论

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数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。

在朴素集合论中，集合被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。

在公理化集合论中，集合和集合成员并不直接被定义，而是先规范可以描述其性质的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成员是有如在欧式几何中的点和线，而不被直接定义。

中文名：集合论
主条目：集合 (数学)和集合代数
特点：在欧式几何中而不被直接定义
意义：是整个现代数学的基础

历史作用

作用
按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础。

H. 集合论有什么应用 或 意义举个例子. 我们为什么要学它

举个例子：集合论是黎曼积分的基础.必须先学集合论再探索黎曼积分.
集合论是现代数学中重要的基础理论.它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门,为这些学科提供了奠基的方法,改变了这些学科的面貌.几乎可以说,如果没有集合论的观点,很难对现代数学获得一个深刻的理解.所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义,而且对现代数学的发展也有深远的影响.

I. 集合论为啥是数学的基础

因为所有的数学理论都是集合论的扩充，简单地说，就是所有的数学公理都是在集合论公理的基础上添加额外的公理得来的。

J. 为什么集合论是现代分析数学的基础

现代数学是在大学数学基础上的，像集合论、拓扑学、泛函分析。这些课当然大学也学，但是是个皮毛。你同学这样说只能说明他不懂。趣味数学，不是一个学科啦