数学中凸闭包指什么

A. 高数上什么叫凹，凸给个图！！！

1、对于连续函数f(x)，若f(x)为凹函数，那么区间中的任何两点x1、x2，当x1<x2时，有不等式

f(q1x1+q2x2)≥q1f(x1)+q2f(x2)，其中q1、q2为正数，q1+q2=1恒成立。凹函数图像如下。

(1)数学中凸闭包指什么扩展阅读：

1、凸函数性质

一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。

一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。

一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f '(x) (y − x）。特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x）的最小值。

2、凹函数性质

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的，也就是二阶导数若存在，则在此区间，二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率。

如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数。

参考资料来源：网络-凹函数

参考资料来源：网络-凸函数

B. 数学中定义闭包有什么意义，有哪些应用

当一个内部函数被调用，就会形成闭包，闭包就是能够读取其他函数内部变量的函数，定义在一个函数内部的函，创建一个闭包环境，让返回的这个子程序抓住i，以便在后续执行时可以保持对这个i的引用。

应用：在PHP、Scala、Scheme、Common Lisp、Smalltalk、Groovy、JavaScript、Ruby、 Python、Go、Lua、objective c、swift 以及Java（Java8及以上）等语言中都能找到对闭包不同程度的支持。

闭包包含自由（未绑定到特定对象）变量，这些变量不是在这个代码块内或者任何全局上下文中定义的，而是在定义代码块的环境中定义（局部变量）。

“闭包” 一词来源于以下两者的结合：要执行的代码块（由于自由变量被包含在代码块中，这些自由变量以及它们引用的对象没有被释放）和为自由变量提供绑定的计算环境（作用域）。

(2)数学中凸闭包指什么扩展阅读

闭包使得Javascript的垃圾回收机制不会收回a所占用的资源，因为a的内部函数b的执行需要依赖a中的变量。

由于闭包的存在使得函数a返回后，a中的i始终存在，这样每次执行c()，i都是自加1后alert出i的值。

如果a返回的不是函数b，情况就完全不同了。因为a执行完后，b没有被返回给a的外界，只是被a所引用，而此时a也只会被b引 用，因此函数a和b互相引用但又不被外界打扰（被外界引用），函数a和b就会被回收。

objective c 中的的闭包，是通过block实现的。Apple在C，Objective-C和C++中扩充了Block这种文法的，并且在GCC4.2中进行了支持。可以把它理解为函数指针，匿名函数，闭包，lambda表达式，这里暂且用块对象来表述，因为它们之间还是有些许不同的。

如果以内联方式使用块对象，则无需声明。块对象声明语法与函数指针声明语法相似，但是块对象应使用脱字符(^)而非星号指针 (*)。代码声明一个aBlock变量，它标识一个需传入三个参数并具有float返回值的块。

C. 数学里什么叫闭包

http://wiki.sopai.cn/wiki?title=%E9%97%AD%E5%8C%85&variant=zh-tw

闭包点
对欧几里德空间的子集 S，x 是 S 的闭包点，若所有以 x 为中心的开球都包含 S 的点（这个点也可以是 x）。

这个定义可以推广到度量空间 X 的任意子集 S。具体地说，对具有度量 d 的度量空间 X，x 是 S 的闭包点，若对所有 r > 0，存在 y 属于 S，使得距离 d(x, y) < r（同样的，可以是 x = y）。另一种说法可以是，x 是 S 的闭包点，若距离 d(x, S) := inf{d(x, s) : s 属于 S} = 0（这里 inf 表示下确界）。

这个定义也可以推广到拓扑空间，只需要用邻域替代“开球”。设 S 是拓扑空间 X 的子集，则 x 是 S 的闭包点，若所有 x 邻域都包含 S 的点。注意，这个定义并不要求邻域是开的。

极限点
闭包点的定义非常接近极限点的定义。这两个定义之间的差别非常微小但很重要——在极限点的定义中，点 x 的邻域必须包含和 x 不同的集合的点。

因此，所有极限点都是闭包点，但不是所有的闭包点都是极限点。不是极限点的闭包点就是孤点。也就是说，点 x 是孤点，若它是 S 的元素，且存在 x 的邻域，该邻域中除了 x 没有其他的点属于 S。

对给定的集合 S 和点 x，x 是 S 的闭包点，当且仅当 x 属于 S，或 x 是 S 的极限点。

集合的闭包
集合 S 的闭包是所有 S 的闭包点组成的集合。S 的闭包写作 cl(S)，Cl(S) 或 S−。集合的闭包具有如下性质：

cl(S) 是 S 的闭父集。
cl(S) 是所有包含 S 的闭集的交集。
cl(S) 是包含 S 的最小的闭集。
集合 S 是闭集，当且仅当 S = cl(S)。
若 S 是 T 的子集，则 cl(S) 是 cl(T) 的子集。
若 A 是闭集，则 A 包含 S 当且仅当 A 包含 cl(S)。
有时候，上述第二或第三条性质会被作为拓扑闭包的定义。

在第一可数空间（如度量空间）中，cl(S) 是所有点的收敛数列的所有极限。

注意，若将“闭包”，“交集”，“包含”，“最小”，“闭”等词汇相应替换成“内部”，“并集”，“饱含于”，“最大”，“开”，上述性质仍然成立。更多信息请参看下面的“闭包运算”。

闭包的本质
集合 <math>S<math> 是闭集当且仅当 <math>Cl(S)=S<math>。特别的，空集的闭包是空集，<math>X<math> 的闭包是 <math>X<math>。集合的交集的闭包总是集合的闭包的交集的子集（不一定是真子集）。有限多个集合的并集的闭包和这些集合的闭包的并集相等；零个集合的并集为空集，所以这个命题包含了前面的空集的闭包的特殊情况。无限多个集合的并集的闭包不一定等于这些集合的闭包的并集，但前者一定是后者的父集

若 <math>A<math> 为包含 <math>S<math> 的 <math>X<math> 的子空间，则 <math>S<math> 在 <math>A<math> 中计算得到的闭包等于 <math>A<math> 和 <math>S<math> 在 <math>X<math> 中计算得到的闭包（<math>Cl_A(S) = A\cap Cl_X(S)<math>）的交集。特别的，<math>S<math> 在 <math>A<math> 中是稠密的，当且仅当 <math>A<math> 是 <math>Cl_X(S)<math> 的子集。

D. 什么叫凸胞，数学里面的！

凸包络（convex envelope）是优化论中有某些性质的函数，其定义如下：定义：设f:S->R 是下半连续函数，其中S是n维空间中的非空凸集，则f(x)在S上的凸包络 是指满足如下性质的函数F(x)：（1） F(x)在S上是凸的；（2）对于所有的x属于S，有F(x)小于等于f(x)；（3）若h(x)是任意一个定义在S上的凸函数，并且对于所有的x属于S，h(x)小于等于f(x)，则所有的x属于S，有h(x)小于等于F(x)。可理解为最凸的凸函数

E. 凸集S的闭包是凸集

用定义验证.
设a, b ∈ S的闭包, 对0 < t < 1, 证明c = (1-t)a+tb ∈ S的闭包.
对c的任意邻域U, 存在a的邻域V与b的邻域W使得(1-t)V+tW ⊆ U (*).
由a ∈ S的闭包, 存在x ∈ S∩V. 同理, 存在y ∈ S∩W.
可验证z = (1-t)x+ty ∈ (1-t)V+tW ⊆ U.
且由S是凸集, x, y ∈ S, 可知z = (1-t)x+ty ∈ S, 故z ∈ S∩U.
在c的任意邻域内都有S中的点, 即得c ∈ S的闭包.

(*)处的理由是: 对拓扑线性空间X, 映射: φ: X×X → X, φ(a,b) = (1-t)a+tb是连续的.
因此c的邻域在φ下的原像是(a,b)的邻域.

F. 如何理解闭包这一概念

通俗的说，闭包就是函数嵌套函数，并且函数被作为函数的返回值。
闭包是指可以包含自由（未绑定到特定对象）变量的代码块；这些变量不是在这个代码块内或者任何全局上下文中定义的，而是在定义代码块的环境中定义（局部变量）。“闭包” 一词来源于以下两者的结合：要执行的代码块（由于自由变量被包含在代码块中，这些自由变量以及它们引用的对象没有被释放）和为自由变量提供绑定的计算环境（作用域）。在PHP、Scala、Scheme、Common Lisp、Smalltalk、Groovy、JavaScript、Ruby、 Python、Go、Lua、objective c、swift 以及Java（Java8及以上）等语言中都能找到对闭包不同程度的支持。

G. 数学闭包的定义

闭包是可以包含自由（未绑定到特定对象）变量的代码块；这些变量不是在这个代码块内或者任何全局上下文中定义的，而是在定义代码块的环境中定义（局部变量）。“闭包” 一词来源于以下两者的结合：要执行的代码块（由于自由变量被包含在代码块中，这些自由变量以及它们引用的对象没有被释放）和为自由变量提供绑定的计算环境（作用域）。在 Scala、Scheme、Common Lisp、Smalltalk、Groovy、JavaScript、Ruby、 Python、Lua、objective c 以及Java（Java8及以上）等语言中都能找到对闭包不同程度的支持。
中文名：闭包
外文名：closure
相关学科：离散数学
用途：编程逻辑
特点：未绑定到特定对象
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拓扑概念
集合A的闭包定义为所有包含A的闭集之交。A的闭包是包含A的最小闭集。
本质
集合 S 是闭集当且仅当 Cl(S)=S（这里的cl即closure，闭包）。特别的，空集的闭包是空集，X 的闭包是 X。集合的交集的闭包总是集合的闭包的交集的子集（不一定是真子集）。有限多个集合的并集的闭包和这些集合的闭包的并集相等；零个集合的并集为空集，所以这个命题包含了前面的空集的闭包的特殊情况。无限多个集合的并集的闭包不一定等于这些集合的闭包的并集，但前者一定是后者的父集。
若 A 为包含 S 的 X 的子空间，则 S 在 A 中计算得到的闭包等于 A 和 S 在 X 中计算得到的闭包（Cl_A(S) = A ∩ Cl_X(S））的交集。特别的，S在 A 中是稠密的，当且仅当 A 是 Cl_X(S) 的子集

H. 凸集S的闭包是凸集怎么证

其实,(1)(2)两个问题应该同时证明: ＞表示"包含" 设对于任意的凸集Ai, 满足 Ai＞S , 则 ∩Ai > ∩S (这里∩是对i=1到无穷) 即 ∩Ai > S 又因为Ai >∩Ai (这是由交集的定义决定了∩Ai 是最小) 所以对于任意的凸集Ai ,有 Ai >∩Ai > S 由上式中, 凸集Ai 。

I. 凸集S的闭包是凸集 怎么证

用定义验证.
设a, b ∈ S的闭包, 对0 < t < 1, 证明c = (1-t)a+tb ∈ S的闭包.
对c的任意邻域U, 存在a的邻域V与b的邻域W使得(1-t)V+tW ⊆ U (*).
由a ∈ S的闭包, 存在x ∈ S∩V. 同理, 存在y ∈ S∩W.
可验证z = (1-t)x+ty ∈ (1-t)V+tW ⊆ U.
且由S是凸集, x, y ∈ S, 可知z = (1-t)x+ty ∈ S, 故z ∈ S∩U.
在c的任意邻域内都有S中的点, 即得c ∈ S的闭包.
(*)处的理由是: 对拓扑线性空间X, 映射: φ: X×X → X, φ(a,b) = (1-t)a+tb是连续的.
因此c的邻域在φ下的原像是(a,b)的邻域.