如何掌控小学数学教学难点

① 如何突破小学数学重难点

数学作为一门具有很强逻辑性和连续性的学科,是每个小学生都应该掌握的基础知识.小学数学重点是基础知识的掌握基和学习,学习数学的标准就是能够对该学籍范围内的题目进行正确的解答.考察公式概念是小学数学重点要掌握的知识,下面这几个学习方法带你学好数学.

(同学们开讲)

学习小学数学重点就是注重学习的方法,但是也需要学生有坚持不懈的精神.勤学多问不耻下问是学习的良好态度,他们会把你带到一个更高的层次,掌握好学习方法,你会对每一天的新知识充满兴趣.

② 小学数学怎样确定教学重难点

解决问题，即应用题的教学，贯穿整个小学阶段，历来是小学数学教学的重点和难点。那么在新课改下如何进行解决问题的教学呢？下面谈一下自己学习后的粗浅见解。
一、要理解解决问题的基本过程。
数学问题解决，指的是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，一步一步地接近目标，最终达到目标。也就是说，数学领域中的解决问题，不只是关心问题的结果，更重要的是关心求得结果的过程。要解决问题，就要搞清问题的求解目标和已知条件、未知条件，这是问题解决的第一步。它对思维的敏捷性和深刻性提出了很高要求，也为思维敏捷性和深刻性创造了极好的训练机会。问题解决的第二步是设计求解计划，这要求大量的分析综合，尝试与猜测、类比与联想，这对训练思维的灵活性和独创性大有益处。问题解决的最后一步，就是对所得结果作检验和回顾。这时训练思维的批判性和深刻性是具有十分重要的作用。
二、具体建议。
1、注意对“好”的问题的正确理解。
问题应当具有一定的探索性，解决这个问题没有现成的方法和程序，而需要发挥学生的各种思考和创造；问题应当成具有一定的现实性和趣味性，既非人为编造的，又能激发每个学生的好奇心；解决问题的途径和策略往往是多种的，需要学生综合应用所学知识，并发挥多种的数学思考；问题应当具有一定的启示意义，有利于学生掌握重要的数学思想方法和解决问题的策略，而不是所谓的“偏题”、“怪题”；同时，问题应具有适当的开放性，这种开放并不一定表现在答案的多样性上，更为重要的是问题能使所有的学生都尝试解决，不同的学生在解决问题的过程中都能获得发展。
2．帮助学生读懂题。
对于解决问题，学生的困难，一是读懂题，二是分析数量关系。而只有读懂题，才能为后面分析数量关系奠定基础。怎样是读懂题呢？我们可以要求学生：一遍读，搞清楚是什么事；二遍读，进行筛选，捕捉有用的数学信息，谁和谁有关系，有什么关系。三遍读，告诉我们解决什么问题。这样只有我们读懂了题，才能更好地进行解决问题。教师在指导学生读题时可用手势、情景再现等方式帮助学生读懂题。
3、在理解运算意义的基础上，分析数量关系。
解决问题首先需要学生具有数学的眼光，能识别存在于日常生活、自然现象与其他学科等中蕴涵的数量关系，并把它们提炼出来，运用所学的知识对其进行分析，然后综合应用所学的知识和技能加以解决。其次我们要重视对运算意义的教学。加、减、乘、除运算的意义是核心概念，只有学生真正理解了加、减、乘、除的意义，才知道在什么时候该用什么运算来解决问题。再次要注重对数量关系的分析。在解决具体问题时，教师要鼓励学生通过实际操作、思考讨论，寻找问题中所隐含的数量关系，强调对问题实际意义和数学意义的真正理解。
4、注重用方程解决问题。
方程是一种很好的数学思维，它能帮助人们用顺向思维解决问题，思维过程比较简单。用方程有意义，对于逆向思维有帮助。有些学生不愿意用方程，觉得它格式繁琐。教学中教师不要死抠格式，要有简化意识，明白教学的目的在于培养学生应用方程的思想解决问题。
5．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性。
解决问题活动的价值不只是获得具体问题的答案，更重要的是学生在解决问题过程中获得的发展。其中重要的一点在于使学生学习一些解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，并在此基础上形成自己解决问题的某些策略。教学中要重视对学生解决问题策略的指导，将“隐性”的解决问题的策略“显性化”。如在具体求解问题前，教师可以鼓励学生思考需要运用哪些解决问题的策略；在解决问题的过程中，教师可以根据具体情况，适时使学生注意是否要调整解决问题的策略；在解决问题之后，教师要鼓励学生反思自己所使用的策略，并组织全班交流。总之，教师要将解决问题的策略作为重要的目标，有意识地加以指导和教学。另外，对学生所采用的策略，在老师的眼中也许有优劣之分，但在孩子的思考过程中并没有好坏之别，都反映出学生对问题的理解和所作出的努力。只要学生的解题过程及答案具有合理性，就值得肯定，因为这为树立学生的自信心和培养他们的创新精神提供了很有价值的机会。

③ 小学数学教学中如何突破重难点

定安一小 谢定英
一堂课上的好不好，关键看教师是否正确地讲解了教材的基本内容，是否突破了教材的重点及解决了教材的难点，使学生真正地理解和掌握了教材的基本知识。教师在教学中能否抓住重点、突破难点，是做好教学工作的基本条件，也是教师能力的表现。
我们先来关注数学的学科特点。小学数学学科的特点之一就是系统性很强，每项新知识往往和旧知识紧密相连，新知识就是旧知识的延伸和发展，旧知识就是新知识的基础和生长点。有时新知识可以由旧知识迁移而来，可同时它又成为后续知识的基础。因此，数学知识点就像一根根链条节节相连、环环相扣。由此可见，如果老师能够善于捕捉数学知识之间的衔接点，自觉地以迁移作为一种帮助学生学习的方法，以旧引新、旧中蕴新，组织积极的迁移，就不难实现教学重、难点的突破了。
案例一：分数的基本性质分数的基本性质是这样叙述的：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 教学时，如果把它作为一个孤立知识点来教学，通过观察1/2=2/4=6/12从左到右、从右到左的逐一变化，一遍又一遍的叙述由谁到谁的变化过程，老师的目的就是想让学生在不断的重复中体会这一规律的存在，学会用同一语式去表达，但是到最后学生也未必能够结合自己的理解，用一句比较简练、准确地数学语言来描述出分数的基本性质。
如果，我们在教学前先来分析一下分数的基本性质的知识基础，就会找到与它的叙述非常相似的商不变的性质和沟通两者联系的分数与除法的关系；此时我们为了突破引导学生归纳概括出分数的基本性质 教学难点，就可以在课前的复习环节安排对于商不变的性质的叙述和 分数与除法的关系的练习。
可以运用迁移方法教学的知识点还很多，如除数是两位数的除法，它在学习了除数是一位数的除法笔算的基础上迁移学习，只是增加试商和调商且难度增大、方法更加灵活。再如，乘数是多位数的乘法是在学习一位数乘法的基础上迁移，运算方法相同。
由此可以看出，在数学教学过程中，要重视揭示和建立新旧知识的内在联系，从已有的知识和经验出发，运用迁移的方法来突破重难点。这种方法得以实施的关键在于学生对旧知识的掌握应该是熟练的，他所掌握的前期知识是牢固的。因此，强调我们每一年段的老师都要把自己视为把关教师，让学生走稳每一步。 2．抓住知识间的联系，采用转化的策略突破重点和难点
转化解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为化归与转化的思想方法一个新知识往往是旧知识的发展和结果，也就可以转化为旧知识来认识和理解。在教学中，教师如能做到化新为旧，抓住知识间的纵横联系，帮助学生形成知识网络，逐步教给学生一些转化的思考方法，使他们能用转化的观点去学习新知识、分析新问题才能使他们对知识的理解不断深刻，最终达到融汇贯通 3．强化感知参与，运用直观的方法突破教学重难点
直观是指在教学过程中充分运用实物、模型、多媒体计算机等教学用具，通过实际操作、观察、思考的活动，帮助学生理解和掌握数学知识，促进学生的思维发展。直观教学是小学数学教学活动中的一种最常用的也是最为有独立自主的教学方法。
运用好直观方法的关键是化抽象为具体，激发学生的学习兴趣，促进学生对知识的理解，发展思维能力.我们要做到在教学中切实提高课堂效率，就要深入研究教材和学生，努力实现教无定法，贵在得法。
小学数学教学，要使学生不仅长知识，还要长智慧，培养学生肯于思考问题，善于思考问题。做为一个数学教师，要明确这一目的，把我们的主要精力，放在发展学生智力上，着眼于培养和调动学生的积极性和主动性，引导学生学会自己走路，首先自己要识途。我感到，要把数学之路探清认明，唯一的办法就是深钻教材，抓住各章节的重点和难点，备课时既能根据知识的特点，又能根据学生认识事物的规律，精心设计，精心安排，才能取得事半功倍的效果。

④ 怎样把握数学教学重难点

小学数学这门学科有着极强的抽象性与系统性，各类知识有机构成完善的知识体系，如果其中一个重点或者难点知识，学生没有把握，就会影响其整体知识的构建，因此，在小学数学中，不仅要重视基础知识的传授，还要把握好重点与难点。
一、从全局角度把控重点与难点
要把握重点、突破难点，必须要搞清楚什么是重点、什么是难点，只有掌握这一问题，教学活动才能够具备针对性。教学重点，就是教学内容中具有突出地位的教学内容，在后续的知识点中，应用十分广泛，如各种法则、概念、策略、性质等；难点就是根据学生的认知水平与知识知识来看，多数学生理解起来都存在困难的知识。
重点是客观存在的，而教学重点则根据学生的实际情况，主观存在，作为教师，必须要明确具体的难点和重点知识。
首先，把握教材，处理好各类知识点的联系。教材是重点和难点的起源，也是学生学习和教师教学的重点依据，作为教师，要深入研读教材，挖掘出教材中的核心知识点，从全局上把握重点，做到胸有成竹，这样才能够提高小学数学的教学有效性。
其次，根据学生具体情况来确定重点。

每一个学生都是独立存在的个体，他们的生活背景不同，学习能力、认知能力都有所差异，因此，我们必须要了解每个班级学生的基础知识水平，严格按照因材施教的原则开展教学。在具体的教学活动中，要注意观察学生的表现，建立成长备案，查看学生的知识接收能力与学习变化，满足每一个层次学生的学习需求，及时根据学生的学习状态调整重点和难点。
二、注重数学知识之间的迁移
每一个数学知识点之间，都不是独立存在的，而是具有客观的联系，如果将其割裂开来，数学课堂无疑是低效的，也会影响学生的知识掌握情况。
小学阶段的认知活动是一个从简到繁的过程，需要基于特定的知识基础上，要帮助学生突破重点和难点知识，必须要注重数学知识的迁移。
新知识的教学要以旧知识作为基础，找到两者的衔接之处，促进知识之间的迁移，有了以往学习过的知识作为铺垫，学生学习起来就容易得多。
如，在关于《平行四边形面积》的教学中，其中的重点和难点就是面积的推导，在学习时，可以先复习长方形、三角形面积求解方式，引导学生思考，看平行四边形与自己以前学习过的哪个图形相似，将其转化为自己学习过的一个图形。经过对比与分析后，学生就可以知道，平行四边形与自己以前学习过的长方形有着很多相似之处，这样推导起来就变得更加容易了，教学难点与重点也得到了很好的突破。
三、借助多媒体突破难点与重点知识
多媒体技术的应用为小学数学教学带来了全新的生机，合理应用多媒体教学，

可以改变传统课堂中粉笔＋教材＋黑板的教学模式，将知识点用形象趣味的视频、图片、声音、文字来展示出来，让学生的各类感官都可以参与进来，将抽象的数学知识形象化，将静止的图象生动形象的为学生展示出来。如，在关于《长方体旋转》这一课的教学中，可以利用多媒体播放关于长方体展开的样子，让学生认识到，一个长方体是由六个面组成的，且这六个面之间是两两相对的，这样，学生就会对这一图形形成全面的认识，更好的解决了难点和重点知识，锻炼了学生的空间思维能力，让他们不再惧怕几何知识。
四、利用生长点来解决重点与难点
实施证明，任何一个新知识的产生，都有着一定的知识生长点，新知识和就知识之间，有着一些相似之处，在教学时，要突出两者之间的“共同点”与“连接点”，在讲解时，注意与学生已有的生活相联系，让学生调动起自己头脑中的认知概念，
以此来更好的理解数学难点和重点。
例如，在《平均分》的教学中，可以提前准备一些物品，将其平均分为数份，让学生参与到“平均分”的具体实践中，最后，让学生采用不同的练习方法，强化对相关知识点的理解。
此外，在日常教学中，要重视对比，利用类比和分析来辨析容易混淆的知识点，避免新知识的学习对原有知识产生干扰。

例如，在《化简分》的教学中，可以与《求比值》进行对比，前者是为了得到整数比，而后者可以写成小数和分数，这样对比下来，学生就很容易理解了。作为教师，要发挥主导作用,处理好讲授与自主学习的关系。

通过有效的措施,引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得基本的数学活动经验。
在小学数学学科中，有大量的重点和难点知识，关于重点与难点知识的教学，并非是一成不变的，在日常教学中，我们要留心观察，在备课方面多动脑筋，钻研教材，结合学生的具体情况把握重点、突破难点，科学安排教学活动，精心设计提问，找到解决重点和难点知识的关键点。

⑤ 如何在小学数学教学中突破重难点

一堂课上的好不好，关键看教师是否正确地讲解了教材的基本内容，是否突破了教材的重点及解决了教材的难点，使学生真正地理解和掌握了教材的基本知识。教师在教学中能否抓住重点、突破难点，是做好教学工作的基本条件，也是教师能力的表现。
一、什么是教学重点和教学难点
所谓教学重点，“在教材内容的逻辑结构的特定层次中占相对重要的前提判断”，也就是“在整个知识体系或课题体系中处于重要地位和突出作用的内容”。如果某知识点是某单元内容的核心、是后继学习的基础或有广泛应用等，即可确定它是教学重点。也就是学生必须掌握的基本知识和基本技能，如意义、法则、性质、计算方法还包括数量关系、解决问题的策略等。例如，一年级100以内数的大小比较这节课的教学重点是比较两个数大小的方法；二年级平移和旋转的教学重点是初步感知平移和旋转现象；三年级中的平均数教学重点是理解平均数的含义；24时计时法的教学重点是知道24时计时法的含义，会用24时计时法表示时刻；四年级连减的简便计算教学重点是掌握连减的简便算法；五年级长方体的体积教学重点是运用长方体的体积公式解决实际问题；六年级用比例知识解决问题教学重点是会用比例知识解决问题。
教学难点，一般指对于大多数学生来说是理解和掌握起来感觉比较困难的关键性的知识点或容易出现混淆、错误的问题。例如，一年级实践活动的摆一摆，想一想的难点是通过观察找出用圆片摆出不同数的规律；二年级平移和旋转的教学难点是会在方格纸上画一个简单图形沿水平和竖直方向平移后的图形；三年级中的年月日的教学难点是记住每个月及平年闰年的天数，初步学会判断某一年是平年还是闰年。四年级李志兰和 刘永霞老师讲的两节课的难点是灵活选择计算方法解决实际问题；五年级长方体的体积教学难点是理解长方体的体积公式推导过程；六年级图形的放大与缩小教学难点是按一定的比例将图形放大和缩小。难点有时和重点是一致的。六年级上册的一个数乘以分数的意义的理解，既是教学中的一个难点，同时也是教学中的一个重点。
教学重点和教学难点也具有各自的特点。
教学重点来自于知识本身，是由于数学知识内在的逻辑结构而客观存在的，因而对每一个学生均是一致的。而教学难点却不同，它依赖于学生自身的理解和接受能力。实践证明不同层次的学生对于同一知识点的难点突破速度与水平是参差不齐的。
由于教学重点与难点二者形成的依据不同，所以有的教学内容既是教学重点又是教学难点，有的内容是教学重点但不一定是教学难点，有的内容是教学难点但不一定是教学重点。但是教学重点和难点都是由同一教学内容的教学目标所决定的。
二、研究教学重难点的意义何在
可以用这样一句话概括——落实教学重点是使学生掌握知识的前提，突破难点是教学成功的关键。而教师在教学过程中突破重难点的方法往往是使学生活跃思维、激发兴趣的催化剂。
三、如何在数学教学中突破重点和难点
这需要每一位数学教师在教学实践中不断地学习、总结、摸索。下面我就谈一谈对此问题的点滴体会和做法。
1．抓住知识间的衔接，运用迁移的方法突破重点和难点
我们先来关注数学的学科特点。小学数学学科的特点之一就是系统性很强，每项新知识往往和旧知识紧密相连，新知识就是旧知识的延伸和发展，旧知识就是新知识的基础和生长点。有时新知识可以由旧知识迁移而来，可同时它又成为后续知识的基础。因此，数学知识点就像一根根链条节节相连、环环相扣。
由此可见，如果老师能够善于捕捉数学知识之间的衔接点，自觉地以“迁移”作为一种帮助学生学习的方法，以旧引新、旧中蕴新，组织积极的迁移，就不难实现教学重、难点的突破了。
案例一：分数的基本性质
分数的基本性质是这样叙述的：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
教学时，如果把它作为一个孤立知识点来教学，通过观察1/2=2/4=6/12从左到右、从右到左的逐一变化，一遍又一遍的叙述由谁到谁的变化过程，老师的目的就是想让学生在不断的重复中体会这一规律的存在，学会用同一语式去表达，但是到最后学生也未必能够结合自己的理解，用一句比较简练、准确地数学语言来描述出分数的基本性质。
如果，我们在教学前先来分析一下分数的基本性质的知识基础，就会找到与它的叙述非常相似的“商不变的性质”和沟通两者联系的“分数与除法的关系”；此时我们为了突破“引导学生归纳概括出分数的基本性质” 教学难点，就可以在课前的复习环节安排对于“商不变的性质”的叙述和 “分数与除法的关系”的练习。
可以运用迁移方法教学的知识点还很多，如除数是两位数的除法，它在学习了除数是一位数的除法笔算的基础上迁移学习，只是增加试商和调商且难度增大、方法更加灵活。再如，乘数是多位数的乘法是在学习一位数乘法的基础上迁移，运算方法相同。
由此可以看出，在数学教学过程中，要重视揭示和建立新旧知识的内在联系，从已有的知识和经验出发，运用迁移的方法来突破重难点。这种方法得以实施的关键在于学生对旧知识的掌握应该是熟练的，他所掌握的前期知识是牢固的。因此，强调我们每一年段的老师都要把自己视为“把关教师”，让学生“走稳每一步”。
2．抓住知识间的联系，采用转化的策略突破重点和难点
转化——是指解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”一个新知识往往是旧知识的发展和结果，也就可以转化为旧知识来认识和理解。在教学中，教师如能做到“化新为旧”，抓住知识间的“纵横联系”，帮助学生形成知识网络，逐步教给学生一些转化的思考方法，使他们能用转化的观点去学习新知识、分析新问题才能使他们对知识的理解不断深刻，最终达到融汇贯通。
例如：三角形面积、梯形面积、圆面积公式的推倒。
3．强化感知参与，运用直观的方法突破教学重难点
直观——是指在教学过程中充分运用实物、模型、多媒体计算机等教学用具，通过实际操作、观察、思考的活动，帮助学生理解和掌握数学知识，促进学生的思维发展。直观教学是小学数学教学活动中的一种最常用的也是最为有独立自主的教学方法。
（1）动手操作，解决重点难点问题
如：圆的面积的推导
（2）通过画图，解决重点难点问题
可以用图帮助解决问题，如(
（3）直观演示，解决重点难点问题
比如：用课件演示物体的平移和旋转、用课件演示钟表一天的转动，学生理解了教学重点24时计时法的含义、在学习长正方体的体积计算时，如果利用课件演示来帮助学生体会体积实际上就是一个形体中含有体积单位的个数，那就在交流汇报这个环节不至于浪费时间了。
（4）编制歌诀，帮助学生直观的记忆
如教学的年月日进行歌诀记忆。还有教学五年级因数和倍数单元，概念又多又易混淆。教师可以引导学生自编歌谣来帮助记忆。如让学生背100以内质数表，单去死记硬背一个一个的数相当困难，就可以引导学生把这些数分组变成歌谣来记：二、三、五、七和十一，十三后面是十七，十九、二三、二十九，三一、三七、四十一，四三、四七、五十三，五九、六十一、六十七，七一、七三、七十九，八三、八九、九十七。
再如求最大公因数和最小公倍数也可以用下面歌谣来记：
两数互质要记牢最大公因就是1，最小公倍是乘积；
两数倍数关系时，最大公因取较小，最小公倍取较大；
两数关系不明显，就用短除来试商，最大公因乘半边，最小公倍乘一圈。
运用好直观方法的关键是化抽象为具体，激发学生的学习兴趣，促进学生对知识的理解，发展思维能力。
教学中突破教学重难点的方法还有很多，以上介绍的方法是针对一些知识点的教学单独使用的情况，这些方法当然也可以联合使用。总之，我们要做到在教学中切实提高课堂效率，就要深入研究教材和学生，努力实现“教无定法，贵在得法”。

⑥ 数学课堂教学中怎样突破重难点

小学数学教学内容包罗万象,每堂课都有它自己的教学重点和教学难点.教学难点是学生在课堂上最容易疑惑不解的知识点,是学生认知矛盾的焦点,它犹如学生学习途中的绊脚石,阻碍着学生进一步获取新知.化解难点、解除疑惑,是教学过程顺畅有效的重要保证.因此,在一定意义上来说,教学难点本身也属于教学重点.教学重点就是指在教学过程中学生必须掌握的基础知识和基本技能,如概念、性质、法则、计算等等.为了帮助学生解决重点、理解难点,使感性知识理性化,实现知识的长久记忆和灵活运用,教师在突破重难点时要讲究教法的直观、形象和具体,要讲究新旧知识之间的前后联系,要补充相关的感性素材.教师的教学只有结合学生实际,抓住重点,突破难点,教学效果才能得到提高.
下面谈谈笔者在教学实践中突破教学重难点的几点做法：
一、抓住强化感知参与,运用直观的方法突出重点、突破难点
直观教学在小学数学教学中具有重要的地位.鉴于小学生的思维一般地还处在具体形象思维阶段,而在小学数学教学中,他们要接触并必须掌握的数学知识却是抽象的,这就需要在具体与抽象之间架设一座桥梁.直观正是解决从具体到抽象这个矛盾的有效手段.在教学中,教师应多给学生用学具摆一摆、拼一拼、分一分等动手操作的机会,使学生在动手操作中感知新知、获得表象,理解和掌握有关概念的本质特征.如在教学中,可让学生通过动手画、量、折叠、剪拼几何图形,做一些立方体模型,使学生感知几何形体的形成过程、特征和数量关系.如学生在用圆规画圆时,通过固定一点、确定不变距离、旋转一周等操作,对圆心、圆的半径、圆的特征和怎样画圆就会有较深刻的感性认识.
二、抓住数学来源于生活,运用联系生活的方法突出重点、突破难点
现代教育观指出：“数学教学,应从学生已有的知识经验出发,让学生亲身经历参与特定的教学活动,使学生感受数学与日常生活的密切联系,从中获得一些体验,并且通过自主探索、合作交流,将实际问题抽象成数学模型,并对此进行理解和应用.”所以,我们数学应从小学生已有的生活体验出发,从生活中“找”数学素材并多让学生到生活中去“找”数学、“想”数学,使学生真切感受到“生活中处处有数学”.如我们都知道“利息”知识源于生活,在日常生活中应用广泛.我在教学“利息”时,让学生通过5000元存入银行,计算整存整取三年期、整存整取五年期,体会到期后会取得多少利息等.这样从学生的实际出发,在课堂中充分让学生“做主”,引导学生从生活实际中理解了有关利息、利率、本金的含义,体会了数学的真实.只有让数学走进生活,学生才会愿学、乐学,从而激发起学生学数学、用数学的热情.
三、抓住小学生的特点,运用游戏的方法突出重点、突破难点
小学生的特点是好奇好动,对游戏有很大的兴趣.一般情况下,他们的注意只能保持15分钟左右.在教学中,如果组织学生通过灵活多变的游戏活动来学习数学知识,他们就会对数学学习产生浓厚的兴趣,把注意力长时间地稳定在学习对象上来,使教学收到很好的效果,而且课堂气氛妙趣横生,师生情感融为一体.如：学习“倍”的概念时,和学生一起做拍手游戏.教师首先拍2下,然后拍4个2下,让学生回答第二次拍的是第一次的几倍.接着,按要求师生对拍,进而同桌同学互拍.这样的教学过程,学生始终精神集中、情绪高涨.这种简单易行的游戏,深受学生喜爱,从而达到了教学的目的.
四、抓住知识间的异同,运用比较的方法突出重点、突破难点
着名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础,我们正是通过比较来了解世界上的一切的.”小学数学中有许多内容既有联系又有区别,在教学中充分运用比较的方法,有助于突出教学重点、突破教学难点,使学生容易接受新知识,防止知识的混淆,提高辨别能力,从而扎实地掌握数学知识,发展逻辑思维能力.如：课堂教学中,对学生回答问题或板演,有些教师总是想方设法使之不出一点差错,即使是一些容易产生典型错误的稍难问题,教者也有“高招”使学生按教师设计的正确方法去解决,造成上课一听就懂、课后一做就错的不良后果.这样其实是教师对教学难点没吃透、教学中教学难点没突破的反映.教师在教学中,可通过一两个典型的例题,让学生暴露错解,师生共同分析出错误的原因,比较正、误两种解法,从正反两个方面吸取经验教训,使学生真正理解重难点,灵活运用新知.
五、抓住知识间的联系,采用转化的策略突破重点和难点
转化的方法就是利用已有的知识和经验,将复杂的转化为简单的,将未知的转化为已知的,将看来不能解答的转化成能解答的,简单地说就是化未知为已知、化繁为简、化曲为直等.在教学中,教师如能做到“化新为旧”,抓住知识间的“纵横联系”,帮助学生形成知识网络,逐步教给学生一些转化的思考方法,让学生掌握多种转化途径,就能掌握解题策略,提高解题能力.以六

⑦ 如何突破小学数学教学中的重点和难点

小学数学教学内容包罗万象，每堂课都有它自己的教学重点和教学难点。教学难点是学生在课堂上最容易疑惑不解的知识点，是学生认知矛盾的焦点，它犹如学生学习途中的绊脚石，阻碍着学生进一步获取新知。化解难点、解除疑惑，是教学过程顺畅有效的重要保证。因此，在一定意义上来说，教学难点本身也属于教学重点。教学重点就是指在教学过程中学生必须掌握的基础知识和基本技能，如概念、性质、法则、计算等等。为了帮助学生解决重点、理解难点，使感性知识理性化，实现知识的长久记忆和灵活运用，教师在突破重难点时要讲究教法的直观、形象和具体，要讲究新旧知识之间的前后联系，要补充相关的感性素材。教师的教学只有结合学生实际，抓住重点，突破难点，教学效果才能得到提高。

下面谈谈笔者在教学实践中突破教学重难点的几点做法：
一、抓住强化感知参与，运用直观的方法突出重点、突破难点
直观教学在小学数学教学中具有重要的地位。鉴于小学生的思维一般地还处在具体形象思维阶段，而在小学数学教学中，他们要接触并必须掌握的数学知识却是抽象的，这就需要在具体与抽象之间架设一座桥梁。直观正是解决从具体到抽象这个矛盾的有效手段。在教学中，教师应多给学生用学具摆一摆、拼一拼、分一分等动手操作的机会，使学生在动手操作中感知新知、获得表象，理解和掌握有关概念的本质特征。如在教学中，可让学生通过动手画、量、折叠、剪拼几何图形，做一些立方体模型，使学生感知几何形体的形成过程、特征和数量关系。如学生在用圆规画圆时，通过固定一点、确定不变距离、旋转一周等操作，对圆心、圆的半径、圆的特征和怎样画圆就会有较深刻的感性认识。

二、抓住数学来源于生活，运用联系生活的方法突出重点、突破难点
现代教育观指出：“数学教学，应从学生已有的知识经验出发，让学生亲身经历参与特定的教学活动，使学生感受数学与日常生活的密切联系，从中获得一些体验，并且通过自主探索、合作交流，将实际问题抽象成数学模型，并对此进行理解和应用。”所以，我们数学应从小学生已有的生活体验出发，从生活中“找”数学素材并多让学生到生活中去“找”数学、“想”数学，使学生真切感受到“生活中处处有数学”。如我们都知道“利息”知识源于生活，在日常生活中应用广泛。我在教学“利息”时，让学生通过5000元存入银行，计算整存整取三年期、整存整取五年期，体会到期后会取得多少利息等。这样从学生的实际出发，在课堂中充分让学生“做主”，引导学生从生活实际中理解了有关利息、利率、本金的含义，体会了数学的真实。只有让数学走进生活，学生才会愿学、乐学，从而激发起学生学数学、用数学的热情。

三、抓住小学生的特点，运用游戏的方法突出重点、突破难点
小学生的特点是好奇好动，对游戏有很大的兴趣。一般情况下，他们的注意只能保持15分钟左右。在教学中，如果组织学生通过灵活多变的游戏活动来学习数学知识，他们就会对数学学习产生浓厚的兴趣，把注意力长时间地稳定在学习对象上来，使教学收到很好的效果，而且课堂气氛妙趣横生，师生情感融为一体。如：学习“倍”的概念时，和学生一起做拍手游戏。教师首先拍2下，然后拍4个2下，让学生回答第二次拍的是第一次的几倍。接着，按要求师生对拍，进而同桌同学互拍。这样的教学过程，学生始终精神集中、情绪高涨。这种简单易行的游戏，深受学生喜爱，从而达到了教学的目的。

四、抓住知识间的异同，运用比较的方法突出重点、突破难点
着名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”小学数学中有许多内容既有联系又有区别，在教学中充分运用比较的方法，有助于突出教学重点、突破教学难点，使学生容易接受新知识，防止知识的混淆，提高辨别能力，从而扎实地掌握数学知识，发展逻辑思维能力。如：课堂教学中，对学生回答问题或板演，有些教师总是想方设法使之不出一点差错，即使是一些容易产生典型错误的稍难问题，教者也有“高招”使学生按教师设计的正确方法去解决，造成上课一听就懂、课后一做就错的不良后果。这样其实是教师对教学难点没吃透、教学中教学难点没突破的反映。教师在教学中，可通过一两个典型的例题，让学生暴露错解，师生共同分析出错误的原因，比较正、误两种解法，从正反两个方面吸取经验教训，使学生真正理解重难点，灵活运用新知。

五、抓住知识间的联系，采用转化的策略突破重点和难点
转化的方法就是利用已有的知识和经验，将复杂的转化为简单的，将未知的转化为已知的，将看来不能解答的转化成能解答的，简单地说就是化未知为已知、化繁为简、化曲为直等。在教学中，教师如能做到“化新为旧”，抓住知识间的“纵横联系”，帮助学生形成知识网络，逐步教给学生一些转化的思考方法，让学生掌握多种转化途径，就能掌握解题策略，提高解题能力。以六年级上册“解决问题的策略――替换”为例，“替换”是一种应用于特定问题情境下的解题策略，从学生的认知结构上看，掌握这一解题策略的过程是顺应的过程。因此，这节课的教学重点就是教学难点，即会用“替换”的策略理解题意、分析数量关系。除此以外，这节课的另一个教学难点是，在用“替换”的策略解决相差关系的问题时，要找准总数与份数的对应数量，理解总数的变化，从而达到突出重点、突破难点的目的。

“教学有法，但无定法。教无定法，贵在得法。”总之，在数学教学中如何突出重点、突破难点，并没有固定不变的模式。教师的教服务于学生的学，只要我们每一位数学教师在备课上多动脑筋，多花心血，认真研究大纲，努力钻研教材，结合学生实际，弄清重点、难点，合理安排教学环节，精心设计课堂提问，全身心投入到教学工作中去，就能找到关于突出重点、突破难点的“锦囊妙计”，从而实现教学效果的最优化。

⑧ 小学数学课如何突出重点突破难点

1．把握好重点和难点是突出重点、突破难点的前提。通过上文的分析，我们可以得出这样的结论：要想在教学中做到突出重点、突破难点，首先是深钻教材，从知识结构上，抓住各章节和每节课的重点和难点。其次是备足学生，根据学生实际的认知水平，并考虑到不同学生认知结构的差异，把握好教学重点和难点。课前的精心准备、准确定位，就为教学时突出重点和突破难点提供了有利条件。

2．找准知识的生长点是突出重点、突破难点的条件。

小学数学是系统性很强的学科。数学教学就是要借助于数学的逻辑结构，引导学生由旧人新，组织积极的迁移，促成由已知到未知的推理，认识简单与复杂问题的联系，不断完善认知结构。因此，新知识的形成都有其固定的知识生长点，找准知识的生长点，才能突出重点、突破难点。我们可依据以下3点找准知识生长点：(1)有的新知识与某些旧知识属同类或相似，要突出“共同点”，进而突破重、难点；(2)有的新知识由两个或两个以上旧知识组合而成，要突出“连接点”，进而突破重、难点；(3)有的新知识由某旧知识发展而来的，要突出“演变点”，进而突破重、难点。如教学“解决问题的策略”，虽然每个策略都有其适用的题目，但是在形成新策略的过程中要综合应用已有的策略，如学习替换与假设策略时要用到画图、列表等策略，且综合法与分析法贯穿始终。所以这一单元的教学，是数学认知结构改造的过程，要突出“演变点”，进而突破重、难点。

3．采用合适的教学方式是突出重点、突破难点的关键。

《全日制义务教育数学课程标准(修改稿)》指出：教师的教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与自主学习的关系，通过有效的措施，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得基本的数学活动经验。认真阅读这段话，可以知道：根据学生实际，采用合适的教学方式是突出重点、突破难点的关键。如教学“解决问题的策略”时，合适的教学方式是独立思考——尝试解题——合作交流——比较归纳——反思小结——形成体验。这样的教学方式，能使学生在经历问题解决的过程中，感悟解题策略，形成解题策略，体会策略价值，自觉应用策略解决问题，真正做到突出重点和突破难点。

4．积累基本的数学经验是突出重点、突破难点的基础。

基本数学经验是指在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。数学经验源于日常生活经验，高于日常经验。小学数学活动可分为4类：直接来源于生活的数学活动；间接来源干生活的数学活动；为数学学习设计的纯粹数学活动；意境连接性的数学活动。“解决问题的策略”教学属于间接来源于生活的数学活动，因此教师要设计有层次的数学学习活动，引导学生经历解题过程，进行体验和反思，把解决问题中的体验加以整理，对获得的数学经验进行反思，对学生的认知过程再认知，从而掌握解题策略，感受策略价值，积累数学经验，有效突破教学重、难点。以五年级上册“解决问题的策略——列举”为例，教学例1要让学生经历无序到有序的过程，学会用列表的方法有条理地列举；教学例2要引导学生用列举的策略解决问题，要不重复、不遗漏地进行思考，感受用列表、打“?”法列举的简洁、有序；教学例3要启发学生从不同的角度分析问题，进一步感受列举策略的特点。 教学每道例题，都要引导学生回顾和反思，积累数学经验，树立主动用策略解决问题的意识。

5．信息技术的合理应用是突出重点、突破难点的保障：

现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。现代信息技术已经成为学生学习数学和解决问题的强有力工具。因此，在突出教学重点和突破教学难点的过程中，要充分发挥现代信息技术的优势，化动为静，化隐为显，化难为易，化抽象为直观，并通过与传统技术的联合与互补，有效促进教学重难点的突破。如：教学六年级上册“解决问题的策略——替换、假设”时，利用信息技术，通过画图直观演示用替换和假设法解决问题的过程，使学生会用这两种策略分析数量关系，保证了重难点的顺利突破。

⑨ 小学数学教学如何找准重难点

所谓教学重点,就是学生必须掌握的基本技能.如：意义、性质、法则、计算等等.如何在数学教学中突破重点和难点呢?这就需要我们每一位数学教师在教学实践中不断地学习、总结、摸索.通过自己十多年来的数学教学实践,对此问题有如下点滴体会和做法.

一、认真备课,吃透教材,抓住教材的重难点是突破重难点的前提

小学数学大纲指出：小学数学教学,要使学生不仅长知识,还要长智慧……,培养学生肯于思考问题,善于思考问题.做为一个数学教师,要明确这一目的,把我们的主要精力,放在发展学生智力上,着眼于培养和调动学生的积极性和主动性,引导学生学会自己走路,首先自己要识途.我感到,要把数学之路探清认明,唯一的办法就是深钻教材,抓住各章节的重点和难点,备课时既能根据知识的特点,又能根据学生认识事物的规律,精心设计,精心安排,取得事半功倍的效果.因此,有课前的充实准备,就为教学时突破重点和难点提供了有利条件.

二、以旧知识为生长点,突破重点和难点

小学数学是系统性很强的学科,每项新知识往往是旧知识的延伸和发展,又是后续知识的基础.知识的链条节节相连、环环相扣、旧里蕴新,又不断化新为旧,不仅纵的有这样的联系,还有横的联系,纵横交错,形成知识网络,学生能认识知识之间的联系,才能深刻理解,融汇贯通.数学教学就是要借助于数学知识的逻辑结构,引导学生由旧入新,组织积极的迁移,促成由已知到未知的推理,认识简单与复杂问题的连结,用数学学科本身的逻辑关系,训练学生的思维.数学教学并没有固定模式,实际教学中还要考虑到教学内容的一些特点,当新旧知识之间有紧密的逻辑关系或所学知识与旧知识之间没有实质性的变化,只是认知结构中原有知识的特例时,教学时就以原有知识为生长点,直接由旧到新,即从学生已有的知识和经验出发.因为学生获取知识,总是在已有的知识经验的参与下进行的,脱离了已有的知识经验基础进行教学,其原有的知识经验就无法参与,而新旧知识连结纽带的断裂,必然会给学生带来理解上的困难,使其难以掌握所学的知识.正因如此,自己在教学中运用了迁移规律,来实现重、难点的突破.
1.若一个新知识可以看作是由某一个旧知识发展而来的,教学中则要突出“演变点”,达到突破重点难点的目的：
如“有余数除法的验算”这部分知识,要以前面能整除的除法验算为基础.两类验算都要用“商和除数相乘”,后者演变的是“还要加上余数”.教学时,不但复习能整除的验算方法,还以127÷6为例要复习有余数的除法,其中重点追问：“这道题中127÷6,商21是平均分的127吗?那么平均分了多少?验算时只用商和除数相乘行吗?应怎么办?这一系列问题,大家讨论”.这样就能顺利地掌握新规律和验算方法.
2.若一个新知识可以看作是由两个或两个以上旧知识组合而成的,教学中则通过突出“连接点”这一途径,从而突破重点难点：
如“异分母分数加减法”是由同分母加减法的计算方法和通分两个旧知识组成的,它的关键问题是因为分数单位不同不能直接相加减,教学新知识前复习同分母分数加减法：

这是旧知识,并提问：同分母分数加减法的法则是什么?为什么它们能 为什么?这时又可用旧知识——通分来代替,则成为两个旧知识的连接点,这就是今天要学习的新内容异分母分数加减法.并请同学们在此基础上讨论此题的计算步骤,抓住规律“化异为同”,沟通新旧知识,从而突破难点.
3.若一个新知识可以看作与某一些旧知识属同类或相似,教学时则要突出“共同点”,进而突破重点难点：
如除数是两、三位数的除法是多位数除法的重点和难点,在这部分知识教学中,教师的主要任务是以学生为主体,引导学生运用迁移规律,分层次逐步推进,突破各个难点,学好试商的方法.除数是两、三位数的除法,是以除数是一位数的除法为基础的,后者是除数由一位变为两位、三位,出现了从被除数的哪一位除起,先看被除数的前几位的问题.但无论除数是几位数,试商方法都是一致的,即有共同点,就是教学中应抓住的,教学时,先以除数是一位数的除法为例,复习一位数除法的计算法则及试商方法,从而启发学生明白除数是两位数的除法的计算法则及试商方法同一位数除法相同,进而再研究除数是三位数的除法,通过三个层次的教学,总结归纳出除数是一、二、三位数的除法都是从最高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位,除到哪一位够除,就把商写在哪一位的上面,每次除得的余数必须比除数小.这就抓住了一类知识的共同点,仿旧知识学习新知识,再把新知归为旧知识.学生容易理解记忆,为学好多位数的试商,达到正确地迅速地求出商,提高计算能力奠定了基础.因此,在数学教学过程中,要重视揭示和建立新旧知识的内在联系,从已有的知识和经验出发,找准知识的生长点,帮助学生建立新旧知识的联系,是教学中突破重点难点的又一途径.

三、依据教材内容的重点和难点选择板书内容,并以板书设计为突破口

板书是课堂教学的缩影,是揭示教学重点难点的示意图,也是把握重点、难点的辐射源,板书起着提纲挈领的作用,它是在吃透教学大纲的基础上,根据教学的要求、特点和学生的实际情况设计出来的,把提纲性、艺术性、直观性融为一体,既起到纲举目张的作用,又收到激发兴趣、启迪思维的效果.自己通过多年来的实践能够根据教学内容的特点,认真选择突出重点的板书内容,精心设计板书,并力求做到板书的形式新颖、布局合理、有层次、别具一格,突出重点.例如：在备“正反比例应用题对比练习课”时,为了突破本节课的重点难点,我把突破口放在板书设计上：如下：
正反比例应用题对比练习课
不同点：

2.等式：商=商 积=积

相同点：
1.意义：x变、y随x变
2.步骤：相同
从板书的内容上看体现了这节课的重点和难点,从板书的形式上看,比较直观,对比性强,学生便于比较,对学生能够起到引导的作用,于是老师提出问题：通过这节课的学习,谁能总结归纳正反比例应用题的异同点是什么?通过学生的思考与板书内容的沟通,学生便从正反比例的意义上、解题思路上、条件方法上总结出正反比例应用题的异同点.因此教师如何根据教材特点,选择板书内容,合理设计板书格局是突破重点难点的途径之一.

四、强化感知,突破重点、难点

几何部分中的概念及有关知识抽象,学生难以理解、难以接受,要突破这些难点,教学中必须遵循儿童的认知规律,用形象、鲜明的直观教学手段,强化感知,突破难点.
如圆柱与圆锥底面积、高、体积之间,在一定条件下的内在联系是六年级学生学习中的一个难点.因此教学时自己采用直观教学与代入求值相结合的方法进行教学,指导学生动手操作,反复观察分析,做法分为如下三步：
1.将橡皮泥捏成一个底面半径为2厘米（即底面积12.56平方厘米）,高为5厘米的圆柱体.
板书：已知：r=2 h=5 求S=?（12.56） V=?（62.8）
2.再将这个圆柱体捏成一个以12.56平方厘米为底的圆锥体（学生先想象这个圆锥体的形象,再按要求做）
想算结合：什么没变?什么变了?与原来圆柱体有什么关系?
（V不变、S不变、形变、H变）
板书：已知： V=62.8 S=12.56 求h锥=?（15）
15÷5=3
3.把圆锥体捏回圆柱体,再捏成以圆柱高5厘米为锥高的圆锥体；
想算结合：什么没变?什么变了?（V没变、H没变、S变）与原来圆柱体又有什么关系?
板书：已知：h=5 V=62.8 求S锥=?（37.68）
37.68÷12.56=3
通过直观教学和计算相结合,学生发现圆柱体和圆锥体之间的内在联系：
由于学生自己动手,直观教学,对所学内容,容易接受,记忆深刻,并通过教具、学具的应用,实际事例引导学生观察思考,使学生能够正确理解所学知识的含义,在理解的基础上从感知经表象到认识,从而突破教学难点.

五、以形式多样的课堂练习突出重点,突破难点

精心设计课堂练习是提高教学质量的重要保证,因为学生是通过练习来进一步理解和巩固知识的,也必须通过练习,才能把知识转化成技能技巧,从而提高综合运用知识的能力.所谓精心设计练习,关键在于“精”,精就是指在新课上设计的练习要突出重点——新知识点.围绕知识重点多层次一套一套地让学生练习.
例如：“三位数乘多位数”新课知识重点是用乘数百位上的数去乘被乘数,乘积是多少个百,乘得的积的末位要写在积的百位上.这一个新知识是在学生掌握一、两位数乘多位数计算法则的基础上来学习的,因此,设计新课练习,要紧紧围绕新课知识重点,在学生原有的知识基础上设计以下练习题：
1.完成下列各题计算：
① 314 ② 537

1570 2148
目的：集中时间和注意力放在本节课重点上.
2.计算下列各题：
（1）541×632 （2）712×431
目的：a：乘数个位、十位上数字小,节省时间
b：重点放在本节课上
c：独立完成三位数乘多位数的计算
3.选择教材上练习题：
目的：通过在前两套计算题目的基础上,总结
4.思考题：
（1）5379×8641 （2）735×1324
目的：a：起到知识渗透、迁移的作用
b：培养学生思维的灵活性
因而,要突出教学重点,还应在设计授新课的练习题上下功夫.
综上所述,教师的教服务于学生的学,教师每备一节课,要动一番脑筋,花一番心血,认真研究教学大纲,深钻教材内容,并结合学生实际,把握教材内容,弄清重点、难点,深刻理解教材意图,合理安排教学环节,精心设计课堂设问,方可找出突出重点,突破难点的方法和最佳途径.

⑩ 如何梳理小学数学教学中的教学重点，难点，知识点

一堂数学课上得好不好，关键看教师是否正确地讲解了教材的基本内容，是否突破了教材的重点及解决了教材的难点，使学生真正地理解和掌握了教材的基本知识。教师在教学中能否抓住重点、突破难点，是做好教学工作的基本条件，也是教师能力的表现。 首先，确定教学重点和难点应注意:根据学生的认知水平，从重点确定好难点。数学教学重点与学生的认知结构有关，是由于学生原有数学认知结构与学习新内容之间的矛盾而产生的，从学生认知水平来分析，通过同化掌握事物知识点是教学难点。当然，在实际教学中，由于学生个体认知水平的差异。精心设计课堂练习是提高教学质量的重要保证。教师通过课堂练习能及时了解当堂教学效果，使教与学的信息得到立即反馈，避免“亡羊补牢”。总之，要根据学生实际，在把握重点的基础上确定好难点。 其次，把握好重点和难点是突破难点、突破重点的前提，通过上面的分析，我们可以得出结论，要想在教学中做到突出重点、突出难点，首先要深钻教材，从知识结构上，抓住各章节和每节课的重点和难点。其次是备足学生，根据学生的实际的认知水平，并考虑到不同学生认知结构的差异，把握好教学重点和难点，课前的精心准备，正确的定位，就为教学时突出重点和突破难点提供了有利条件。教学重点来自于知识本身，是由于数学知识内在的逻辑结构而客观存在的，因而对每一个学生均是一致的。而教学难点却不同，它依赖于学生自身的理解和接受能力。实践证明不同层次的学生对于同一知识点的难点突破速度与水平是参差不齐的。由于教学重点与难点二者形成的依据不同，所以有的教学内容既是教学重点又是教学难点，有的内容是教学重点但不一定是教学难点，有的内容是教学难点但不一定是教学重点。但是教学重点和难点都是由同一教学内容的教学目标所决定的。我感到，要把数学之路探清认明，唯一的办法就是深钻教材，抓住各章节的重点和难点，备课时既能根据知识的特点，又能根据学生认识事物的规律，精心设计，精心安排，才能取得事半功倍的效果。 总之，在数学教学中如何突出重点、突破难点，并没有固定不变的模式。只要我们每一位数学教师在备课上多动一番脑筋，多花一番心血，认真研究大纲，努力钻研教材，结合学生实际，弄清重点、难点，合理安排教学环节，精心设计课堂提问，全心全意的投身到教学工作中去，就能找到关于突出重点、突破难点的“锦囊妙计”，从而实现教学效果的最优化。