数学上最根本的公理是什么

‘壹’ 初中数学八大公理是什么

1.过两点有且只有一条直线
2.两点之间线段最短
3.同角或等角的补角相等
4.同角或等角的余角相等
5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9.同位角相等，两直线平行
10.内错角相等，两直线平行
11.同旁内角互补，两直线平行
12.两直线平行，同位角相等
13.两直线平行，内错角相等
14.两直线平行，同旁内角互补
15.定理：三角形两边的和大于第三边
16.推论：三角形两边的差小于第三边
17.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
18.推论1：直角三角形的两个锐角互余
19.推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20.推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21.全等三角形的对应边、对应角相等
22.边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23.角边角公理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24.推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25.边边边公理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等
26.斜边、直角边公理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27.定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28.定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30.等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
31.推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33.推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
36.推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

‘贰’ 数学最基础的1条公理是1+1=2吗

2004年10月，一条科学新闻在国内的媒体上不胫而走：“1+1=2入选最伟大的公式。”原来，英国着名的科学杂志《物理世界》此前举行了一场别开生面的评选活动，邀请世界各地的读者选出自己心目中最伟大、最喜爱的公式、定理或定律。结果，让很多人意外的是，1+1=2这个连小学生都知道的基本数学公式不仅入选，而且还高居第七。一个加拿大读者说出了他的理由：“这个最简单的公式有着一种妙不可言的美感。”此次评选活动的主持者则这样评价到：“一个伟大公式的力量不仅论述了宇宙的基本特性并传达了标志性的信息，而且还在尽力孕育出更多自然界的科学突破。”
无独有偶，1971年，尼加拉瓜发行了一套纪念邮票《改变世界面貌的十个数学公式》，排在第一的赫然正是这个“1+1=2”。
1+1=2之所以如此重要，原因在于它是一条关于“数”的基础公式。没有它，就根本不会有数学，更不要说物理、化学等其他自然科学了。
[编辑本段]数的出现
早在蒙昧时代，人们就在对猎物的储藏与分配等活动中，逐渐产生了数的感觉。当一个原始人面对放在一起的3只羊、3个苹果或3支箭时，他会朦胧地意识到其中有一种共性。可以想象，他此时会是多么地惊讶。但是，从这种原始的感觉到抽象的“数”的概念的形成，却经过了极其漫长的时间。
一般认为，自然数的概念的形成可能与火的使用一样古老，至少有着30万年的历史。现在我们无法考证，人类究竟在什么时候发明了加法，因为那时没有足够详细的文献记录（也许文字也刚刚诞生）。但加法的出现无疑是为了在交换商品或战俘时进行运算。至于乘法和除法，则必定是在加减法的基础上搞出来的。而分数应该是处于分割物体的需要。
应该说，当某个原始人第一个意识到1+1=2，进而认识到两个数相加得到另一个确定的数时，这一刻是人类文明的伟大时刻，因为他发现了一个非常重要的性质——可加性。这个性质及其推广正是数学的全部根基，它甚至说出数学为什么用途广泛的同时，告诉我们数学的局限性。
人们现在知道，世界上存在三类不同的事物。一类是完全满足可加性的量。比如质量，容器里的气体总质量总是等于每个气体分子质量之和。对于这些量，1+1=2是完全成立的。第二类是仅仅部分满足可加性的的量。比如温度，如果把两个容器的气体合并在一起，则合并后气体的温度就是原来气体各自温度的加权平均（这是一种广义的“相加”）。但这里就有一个问题：温度这个量不是完全满足可加性的，因为单个分子没有温度。
世界上还有一些事物，他们是彻底拒绝可加性的，比如生命世界里的神经元。我们可以将容器里的分子分到两个容器，使得每个容器里的气体仍然保持有宏观量——温度、压强等。但是，我们对神经元不能这样做。我们每个人都会产生幸福、痛苦之类的感觉。生物学告诉我们，这些感觉是由神经元产生的。但是，我们却不能说，某个神经元会产生多少幸福或痛苦。不仅每个神经元并不具备这种性质，而且我们也不能将大脑劈成两半，使得每个半球都有幸福或者痛苦感。神经元不是分子——分子可以随时分开或者重组，神经元具有协调性，一旦将他们分开，生命就会终结，不可能再组合（你可以自我实验下-.-）。
目前的数学尽管已发展了5000年，却仍主要建立在可加性的基础之上。遇到这些不满足可加性的问题时，我们常常觉得很难用数学来处理。这正反映了数学的局限性。
[编辑本段]另一种“1+1”
数学上，还有另一个非常有名的“（1+1）”，它就是着名的哥德巴赫猜想。尽管听起来很神奇，但它的题面并不费解，只要具备小学三年级的数学水平就就能理解其含义.原来，这是18世纪时，德国数学家哥德巴赫偶然发现，每个不小于6的偶数都是两个素数之和。例如3+3=6； 11+13=24。他试图证明自己的发现，却屡战屡败。1742年，无可奈何的哥德巴赫只好求助当时世界上最有权威的瑞士数学家欧拉，提出了自己的猜想。欧拉很快回信说，这个猜想肯定成立，但他无法证明。
有人立即对一个个大于6的偶数进行了验算，一直算到了330000000，结果都表明哥德巴赫猜想是对的，但就是不能证明。于是这道每个不小于6的偶数都是两素数之和[简称（1+1）]的猜想，就被称为“哥德巴赫猜想”，成为数学皇冠上一颗可望不可即的“明珠”。
19世纪20年代，挪威数学家布朗用一种古老的数学方法“筛法”证明，每一个大于6的偶数可以分解为一个不超过9个素数之积和另个不超过9个素数之积的和，简称“（9+9）”。从此，各国数学家纷纷采用筛法去研究哥德巴赫猜想。
1956年底，已先后写了四十多篇论文的陈景润调到科学院，开始在华罗庚教授指导下专心研究数论。1966年5月，他象一颗璀璨的明星升上了数学的天空，宣布他已经证明了（1＋2）。
1973年，关于（1+2）的简化证明发表了，他的论文轰动了全世界数学界。“（1+2）”即“大偶数都能表示为一个素数及一个不超过二个素数的积之和”，被国际公认为“陈景润定理”。
陈景润(1933.5~1996.3)是中国现代数学家。1933年5月22日生于福建省福州市。1953年毕业于厦门大学数学系。由于他对塔里问题的一个结果作了改进，受到华罗庚的重视，被调到中国科学院数学研究所工作，先任实习研究员、助理研究员，再越级提升为研究员，并当选为中国科学院数学物理学部委员。
1996年3月下旬，由于积劳成疾，在距离哥德巴赫猜想的光辉顶峰只有咫尺之遥时，陈景润却倒下了，给世人留下无尽遗憾。
没有“1+1=2"就没有我们的宇宙了.然而为什么“1+1=2”?是谁让“1+1=2”呢?

‘叁’ 数学上的公理有哪些

数学上的公理有很多，你所要问的可能指作为数学基础的东西。我不保证如果只有中学数学知识就可以看懂我写的东西，但我将大致讲讲思想，后面会给出一些知识的来源。

现代数学的大部分，其基础是数理逻辑和公理集合论。它们各自是由一组确定的公理描述的。
数理逻辑中描述了关于逻辑演算的基本规则。其中描述了如（用通俗的话说）“如果A、B两句话都对，那么A就对”等等的一组公理。
公理集合论通常指由着名的ZFC（Zemelo-Fraenkel公理加上选择公理[Axiom of Choice]）公理系统定义的集合论。其中描述了如（用通俗的话说）“两个集合的元素相同则集合相等”等等的一组公理。
用上面的公理系统，加上适当的定义和推理，就可以推演出现代数学的大部分内容。
从某种角度上看，所有数学定义都是公理，因为定义就是规定了研究对象的一些性质——而定义甚至不能指出研究对象是存在的。

一个习见的例子是欧几里得几何，也就是中学课本中的几何。可以说它是一组公理推演出来的，但也可以说是一组几何公理定义了什么是几何，定义了什么是点、线、面等几何对象。当然，中学课本用的公理系统并不完善，出于教学的需求，它增加了一些多余的公理（如关于三角形全等的公理，本来只是定理），但省略了一些中学阶段不易理解的公理（如连续性公理，要求了解实数构造）。

再举一个常有人问的例子：自然数是什么？
其实数学上严格定义自然数就是用一组公理来定义的，也就是Peano公理。它的严格表述较繁，你可以参看网络（那个解释其实也不是很好，将就吧）。
Peano公理，用通俗的话说，是说自然数必须有个1；然后有了1，后面就一定得有个2，而且只有一个2，以此类推；然后还要有归纳法，或者说从1开始的一个无穷序列必须构成一个集合。
这组公理并没有说明自然数存在，但我们可以把只含一个空集一个元素的集合当成1，然后把1与空集作为两元素的集合当成2，以此类推，构造出确实有这么一个自然数的集合。
在公理的基础上，我们还可以定义加法的运算，并证明它们的运算性质。（顺便说一句，你会发现很多人曾无聊地问过的“1 + 1 = 2”恰是由加法的定义直接保证的

‘肆’ 数学有哪些公理有哪些基本事实

公理：等于同量的量彼此相等。等量加等量，其和相等。等量减等量，其差相等。

在数学中，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。

和定理不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。

经由可靠的论证（三段论、推理规则）由前提（原有的知识）导至结论（新的知识）的逻辑演绎方法，是由古希腊人发展出来的，并已成为了现代数学的核心原则。除了重言式之外，没有任何事物可被推导，若没有任何事物被假定的话。

公理即是导出特定一套演绎知识的基本假设。公理不证自明，而所有其他的断言（若谈论的是数学，则为定理）则都必须借助这些基本假设才能被证明。

然而，对数学知识的解释从古至今已不太一样，且最终“公理”这一词对今日的数学家眼中和在亚里斯多德和欧几里得眼中的意思也有了些许的不同。

‘伍’ 初中数学公理是什么

1.过两点有且只有一条直线 2.两点之间线段最短
3.同角或等角的补角相等 4.同角或等角的余角相等
5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9.同位角相等，两直线平行 10.内错角相等，两直线平行 11.同旁内角互补，两直线平行 12.两直线平行，同位角相等 13.两直线平行，内错角相等 14.两直线平行，同旁内角互补
15.定理：三角形两边的和大于第三边 16.推论：三角形两边的差小于第三边
17.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 18.推论1：直角三角形的两个锐角互余
19.推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20.推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21.全等三角形的对应边、对应角相等
22.边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23.角边角公理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24.推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25.边边边公理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等
26.斜边、直角边公理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27.定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28.定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30.等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31.推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33.推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 36.推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42.定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形
43.定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44.定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45.逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
47.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形
48.定理：四边形的内角和等于360° 49.四边形的外角和等于360°
50.多边形内角和定理：n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51.推论：任意多边的外角和等于360°
52.平行四边形性质定理 1：平行四边形的对角相等 53.平行四边形性质定理 2：平行四边形的对边相等 54.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等
55.平行四边形性质定理 3：平行四边形的对角线互相平分
56.平行四边形判定定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57.平行四边形判定定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58.平行四边形判定定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 59.平行四边形判定定理 4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60.矩形性质定理 1：矩形的四个角都是直角 61.矩形性质定理 2：矩形的对角线相等
62.矩形判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形 63.矩形判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形 64.菱形性质定理 1：菱形的四条边都相等
65.菱形性质定理 2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66.菱形面积=对角线乘积的一半，即 S=（a×b）÷2 67.菱形判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形
68.菱形判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69.正方形性质定理 1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70.正方形性质定理 2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71.定理1：关于中心对称的两个图形是全等的
72.定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73.逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74.等腰梯形性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等 75.等腰梯形的两条对角线相等
76.等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
释义
①经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。
②某个演绎系统的初始命题，这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的，并且是推出该系统内其他命题的基本命题。

2解释
①根据基本事实和人类理性而共同约定、遵守的基本命题。
②在一个系统中已为实践反复证明而被认为无须再证明的基本事实。如“等量加等量其和相等”，就是公理。

3实例
（a）传统形式逻辑三段论由一类事物的不证自明的全称判断作为前提，可以推断这类事物中部分判断为真，那么这个全称判断就是公理。如“有生必有死”，就属于这种判断。
（b）在欧几里得几何系统中，下面所述的是几何系统中的部分公理：
① 等于同量的量彼此相等。
② 等量加等量，其和相等。
③ 等量减等量，其差相等。
④ 彼此能重合的物体是全等的。
以下是常用的等量公理的代数表达：
①如果a=b，那么a+c=b+c。
②如果a=b，那么a－c=b－c。
③如果a=b，且c≠0，那么ac=bc。
④如果a=b，且c≠0，那么a/c=b/c。
⑤如果a=b，b=c，那么a=c。

4公理系统
公理系统（axiomatic system）就是把一个科学理论公理化，用公理方法研究它，每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系。公理化的实现就是：①从其诸多概念中挑选出一组初始概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，称为导出概念；②从其一系列命题中挑选出一组公理，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。初始概念和公理是公理系统的出发点[1] 。
公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统。最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的。第一个现代公理系统是D.希尔伯特于1899年提出的。他在《几何基础》一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题[2] 。
例如欧几里德《几何原本》中就规定了五条公理和五条公设（以现代观点来看，公设也是公理），平面几何中的一切定理都可由这些公理和公设推导而得。
公理系统要满足某些一般要求，包括系统的一致性（无矛盾性）、完全性，以及公理的独立性。其中一致性是最重要的，其他几个性质则不是每个公理系统都能满足的，或可以不必一定要求的
由于公理系统可以建造一个完整的、无矛盾、满足一致性的理论体系，所以几乎所有的数学领域甚至一些数学以外的科学领域也采用了公理化体系来构造他们的理论系统。如现代得到多数人认可的大爆炸理论，就是基于这种认识。
在数学中，所有的定理都必须给予严格的证明，但公理却是无需证明的。因为数学公理是在基本事实或自由构造的基础上为了研究方便人为设定的。有些是一般性的东西，人类仍无法用现有理论推导，如1+1=2。
一个公理体系中的名词是预先已经定义的概念，这样的公理系统就是实质公理系统。如欧几里德几何公理系统。因为要先定义概念，所以就要有一些初始的概念作为定义其他概念的出发点，如欧氏几何中使用的“部分”、“长度”、“宽度”、“界限”以及“同样的位置”等。

5公理集合论
公理集合论（axiomatic set theory）是数理逻辑的主要分支之一。是用公理化方法重建（朴素）集合论的研究以及集合论的元数学和集合论的新的公理的研究。1908年，E.策梅洛首开先河，提出了第一个集合论公理系统，旨在克服集合论中出现的悖论。20世纪20年代，A.弗伦克尔和A.斯科朗对此予以改进和补充，从而得到常用的策梅洛—弗伦克尔公理系统，简记为ZF。ZF是一个形式系统，建立在有等词和关系符号“∈”（与朴素集合论中的属于关系相对应）的一阶谓词演算之上。它的非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离（子集）公理模式、替换公理模式、正则（基础）公理。如果另加选择公理（AC），则所得到的公理系统简记为ZFC。现已证明：ZF对于发展集合论是足够的，它能避免已知的集论悖论，并在数学基础的研究中提供了一种较为方便的语言工具。[3] 但是由哥德尔不完备性定理可知，ZF是不完备的[4] 。由哥德尔第二不完备性定理可知，如此丰富的集合论公理系统，如果是协调的，那么在其内部也是无法证明的，而须借助于更强的公理才能证明[4] 。
由于几乎全部数学都可归约为集合论，所以ZF系统的一致性一直是集合论中至关重要的问题。但根据哥德尔的不完全性定理，却无法在ZF系统内证明自身的一致性。此外，一些重要的命题，如连续统假设也是在ZF中不可判定的。寻找这些不可判定问题并证明其不可判定性和扩充ZF，以期在扩充后的系统中判定这些命题，就成了公理集合论研究的两个出发点。1963年，美国学者P.科恩创立力迫法，从而证明了集合论中的一大批独立性问题 。
详细请参考http://wenku..com/link?url=D0h-

‘陆’ 数学八大公理是什么

传统形式逻辑三段论由一类事物的不证自明的全称判断作为前提，可以推断这类事物中部分判断为真，那么这个全称判断就是公理。如“有生必有死”，就属于这种判断。

在欧几里得几何系统中，下面所述的是几何系统中的部分公理：

① 等于同量的量彼此相等。

②等量加等量，其和相等。

③ 等量减等量，其差相等。

④ 彼此能重合的物体是全等的。

以下是常用的等量公理的代数表达：

①如果a=b，那么a+c=b+c。

②如果a=b，那么a－c=b－c。

③如果a=b，且c≠0，那么ac=bc。

④如果a=b，且c≠0，那么a/c=b/c。

⑤如果a=b，b=c，那么a=c。

在数学中，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。和定理不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。

(6)数学上最根本的公理是什么扩展阅读

古希腊人认为几何学也是数种科学的其中之一，且视几何学的定理和科学事实有同等地位。他们发展并使用逻辑演绎方法来作为避免错误的方法，并以此来建构及传递知识。亚里斯多德的后分析篇是对此传统观点的一决定性的阐述。

“公理”，以传统的术语来说，是指在许多科学分支中所共有的一个不证自明的假设。

在各种科学领域的基础中，或许会有某些未经证明而被接受的附加假定，此类假定称为“公设”。公理是许多科学分支所共有的，而各个科学分支中的公设则是不同的。公设的有效性必须建立在现实世界的经验上。确实，亚里斯多德曾言，若读者怀疑公设的真实性，这门科学之内容便无法成功传递。

参考资料来源：
网页链接网络-公理

‘柒’ 数学公理的定义

公理是一个汉语词汇，读音为gōng lǐ，是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。

在数学中，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。和定理不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。

中文名
公理
外文名
axiom
拼音
gōng lǐ
注音
ㄍㄨㄙ ㄌㄧˇ
适用范围
数学，物理学
快速
导航
词语概念

公理系统

实例

公理集合论

公理化

更多的探讨
历史发展
古希腊
经由可靠的论证（三段论、推理规则）由前提（原有的知识）导至结论（新的知识）的逻辑演绎方法，是由古希腊人发展出来的，并已成为了现代数学的核心原则。除了重言式之外，没有任何事物可被推导，若没有任何事物被假定的话。公理即是导出特定一套演绎知识的基本假设。公理不证自明，而所有其他的断言（若谈论的是数学，则为定理）则都必须借助这些基本假设才能被证明。然而，对数学知识的解释从古至今已不太一样，且最终“公理”这一词对今日的数学家眼中和在亚里斯多德和欧几里得眼中的意思也有了些许的不同。
古希腊人认为几何学也是数种科学的其中之一，且视几何学的定理和科学事实有同等地位。他们发展并使用逻辑演绎方法来作为避免错误的方法，并以此来建构及传递知识。亚里斯多德的后分析篇是对此传统观点的一决定性的阐述。
“公理”，以传统的术语来说，是指在许多科学分支中所共有的一个不证自明的假设。
在各种科学领域的基础中，或许会有某些未经证明而被接受的附加假定，此类假定称为“公设”。公理是许多科学分支所共有的，而各个科学分支中的公设则是不同的。公设的有效性必须建立在现实世界的经验上。确实，亚里斯多德曾言，若读者怀疑公设的真实性，这门科学之内容便无法成功传递。
传统的做法在《几何原本》中很好地描绘了出来，其中给定一些公设（从人们的经验中总结出的几何常识事实），以及一些“公理”（极基本、不证自明的断言）。
公设
能从任一点画一条直线到另外任一点上去。
能在一条直线上造出一条连续的有限长线段。
能以圆心和半径来描述一个圆。
每个直角都会相互等值。
（平行公设）若一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两个直角，那么这两条直线在各自不断地延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。
公理
等同于相同事物的事物会相互等同
若等同物加上等同物，则整体会相等。
若等同物减去等同物，则其差会相等。
相互重合的事物会相互等同。
整体大于部分。
近代的发展
近150年来，数学家所学到的是，将意思从数学陈述（公理、公设[1] 、命题、定理）和定义中抽离出去是很有用的。此一抽象化（或甚至可说是公式化）使得数学知识变得更一般化，容许多重不同的意思，且因此可以用在多重的方面上。
结构主义的数学走得更远，并发展出没有“任一”特定应用的理论和公理（如体论、群论、拓扑学、向量空间）。“公理”和“公设”之间的差异消失了。欧几里得公设因为可以导出大量的几何事实而被创造出来。这些复杂事实的真实性依赖于对基本假定的承认。然而，若舍弃第五公设，则可以得到有更多内容的理论，如双曲几何。我们只需要准备以更弹性的方式来使用“线”和“平行”等术语。

‘捌’ 在数学上什么叫做公理

公理是一个汉语词汇，读音为gōng lǐ，是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。
在数学中，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。和定理不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。

‘玖’ 数学世界前五大公理是什么数学的所有定理

欧几里德的《几何原本》，一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义，5个公设，5个公理。其实他说的公社就是我们后来所说的公理，他的公理是一些计算和证明用到的方法（如公理1：等于同一个量的量相等，公理5：整体大于局部等）他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的，也就是后来我们教科书中的公理。分别是：
公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线
公设2：一条有限线段可以继续延长
公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆
公设4：凡直角都彼此相等
公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。
在这五个公设理里，欧几里德并没有幼稚地假定定义的存在和彼此相容。亚里士多德就指出，头三个公设说的是可以构造线和圆，所以他是对两件东西顿在性的声明。事实上欧几里德用这种构造法证明很多命题。第五个公设非常罗嗦，没有前四个简洁好懂。声明的也不是存在的东西，而是欧几里德自己想的东西。这就足以说明他的天才。从欧几里德提出这个公理到1800年这大约2100年的时间里虽然人们没有怀疑整个体系的正确性，但是对这个第五公设却一直耿耿于怀。很多数学家想把这个公设从这个体系中去掉，但是几经努力而无果，无法从其他公设中推到处第五公设。
同时数学家们也注意到了这个公设既是对平行概念的论述（故称之为平行公理）也是对三角形内角和的论述（即内角和公理）。高斯对这一点是非常明白的，他认为欧几里德几何式物质空间的几何，1799年他说给他的朋友的一封信中表现了他相信平行公里不能从其他的公设中推导出来，他开始认真从事开发一个新的能够应用的几何。1813年，发展了他几何，最初称为反欧氏几何，后称星空几何，最后称非欧几何。在他的几何中三角形内角可以大于180度。当然得到这样的几何不是高斯一人，历史上有三个人。一个是他的搭档，另一个是高斯的朋友的儿子独立发现的。其中一个有趣的问题是，非欧氏几何中过直线外一点的平行线可以无穷。

‘拾’ 数学上，最根本的公理是那几条它与定理又是怎么区分的

两点之间，线段最短
经过一点的直线有无数条
经过两点的直线有且仅有一条
两直线平行，同位角相等
两个三角形两条边和其夹角对应相等，则这两个三角形全等
。。。。。。
定理是由公理推导出来的
公理是公认成立的，一般不可以证明的
比如说
两点之间，线段最短
无法证明
但定理
三角形的任意两边之和一定大于第三边
就可以根据
两点之间，线段最短
推导出来