数学分析计算积分时对称性怎么判断

㈠ 二重积分关于x和y的关系式,如何判断其对称性

如若将y替换为-y，表达式不变，则关于x轴对称；表达式变为相反数，则关于x轴反对称；如若将x替换为-x，表达式不变，则关于y轴对称；表达式变为相反数，则关于y轴反对称；如若将x和y互换，表达式不变，则关于y＝x对称；表达式变为相反数，则关于y＝x反对称。

对称的情况对于被积函数和积分域都有效，反对称的情况对于被积函数的表达式，积分域的对称性需要定义积分域的所有表达式的集合有对应的对称性才成立，即所有表达式都经历某一种变换后，表达式的集合不变。

若被积函数与积分域都关于某个轴对称，则积分值为对称轴一侧的积分域上的积分的2倍；若被积函数关于某个轴反对称而积分域关于同一个轴对称，则积分值为0。由于积分的可加性，被积函数中相加减的每一项可以单独运用以上性质。

二重积分的本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分，同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等等。

㈡ 关于二重积分积分区域对称性问题

二重积分主要是看积分函数的奇偶性，如果积分区域关于x轴对称考察被积分函数y的奇偶，如果为奇函数，这为0，偶函数这是其积分限一半的2倍。如果积分区域关于y
轴对称考察被积分函数x的奇偶.三重积分也有奇偶性，但是有差别，要看积分区域对平面的对称性，即
xoy
xoz
yoz

㈢ 高等数学。请问这个三重积分对称性那里是怎么看出来的dy的积分上限为什么不是x-a呢谢谢

#1 这个三重积分对称性那里是怎么看出来的？
这个对称性指的是轮换对称性，也就是说x换成y，y换成z，z换成x，结果还是原来的区域，你看一下组成这个积分区域的6个方程，他们是不是满足这个轮换对称性？满足轮换对称性的区域上的积分满足：
∫∫∫f(x,y,z)dv = ∫∫∫f(y,z,x)dv = ∫∫∫f(z,x,y)dv
本题中即有：∫∫∫xdv = ∫∫∫ydv = ∫∫∫zdv
#2 dy的积分上限为什么不是x-a呢？
你再仔细看一下积分区域，这是第一卦限的一个正方体区域，显然x，y，z的上下限都是常数

㈣ 对坐标的曲面积分对称性怎么看

一般只涉及积分区域对称性和积分函数的对称性。

重积分曲线曲面都有第一型和第二型积分之分。

第二型曲线或曲面积分是被积区域带方向的。被积区域尽管对称，但对称的两区域积分方向不同，函数积分值就相互抵消了。

此题就属于第二型曲面积分。在曲面z=x^2+y^2上（取外侧也好，内侧也好），zOx平面把曲面一分两半，一半方向指向y轴正方向，一半指向y轴负方向。

(4)数学分析计算积分时对称性怎么判断扩展阅读：

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

㈤ 积分对称性怎么看P145

第一个积分被积函数是t的奇函数, 积分区间[-1,1]关于原点对称, 所以积分为0(当然前提被积函数确实是可积的). 如果不明白的话就把积分区间拆成[-1,0]和[0,1], 对其中一个做换元u=-t.
第二个积分的被积函数是半个单位圆, 积分结果当然是半圆的面积.

㈥ 都说利用轮换对称性计算积分，可我怎么判断他是否具有轮换对称性，对轮换对称性的判断我很模糊

利用轮换的定义，将变量x和y互换，得到的结果还是和原先的是一样的就有轮换对成性。比如告诉你个关于x,y,z的函数，但你发现其中的x,y,z互相交换并不改变函数的值，如x+y+z=1.则x,y,z具有轮换对称性，这样解题的时候就可以利用，比如让你求x，你就可以写成1/3倍的（x+y+z)

㈦ 二重积分的对称性怎么证明，注意是证明

按定义，或奇函数偶函数性质