数学题的美在哪里

① 作为高中生，如何感受数学之美（大家注意我的补充）

作为高中生，我只想说当年我是高中生的时候，真的是被数学伤透了脑筋，因为我真的不喜欢数学， 就是很讨厌那种。每天做题目那种感觉，其实我也不是笨 只是那种对于数学的厌倦，也没有一个耐心的老师能够对我循循善诱的。打心眼儿里，我也是想学好数学的，但是奈何真的不像别人一样，一点就通。

希望还是能够学好数学吧，毕竟这个数学这个东西是你通往一个好的学校的，一个重要的一个部分环节，你不能在这个环节上面出了差错，不好。

② 数学之美的内容

数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。简言之数学美就是数学中奇妙的有规律的让人愉悦的美的东西。

作为科学语言的数学，数学具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，既所谓数学美。

数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构关系的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。

(2)数学题的美在哪里扩展阅读：

数学美有别与其它的美，它没有鲜艳的色彩，没有美妙的声音，没有动感的画面，它却是一种独特的美。

德国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”

大多数的数学家会由他们的工作及一般数学里得出美学的喜悦。他们形容数学是美丽的来表示这种喜悦。有时，数学家会形容数学是一种艺术的形式，或至少是一个创造性的活动。通常拿来和音乐和诗歌相比较。

③ 数学之美,你怎么看

19世纪大数学家高斯就说过“数学是科学中的皇后”），它具有简洁美(抽象美、符号美、统一美等)、和谐美(对称美、形式美等)、奇异美(有限美、神秘美等)。美在一个困难问题的简单解答，一个复杂问题的简单答案；美在种种图案、建筑物、衣服式样、家具及装饰等事物的对称性上；美在人们对和谐、有规律的事物的喜爱以及从事物中发现普遍性与统一性的秩序和规律中。
1、美观：数学对象以形式上的对称、和谐、简洁，总给人的观感带来美丽、漂亮的感受。
比如：几何学常常给人们直观的美学形象，美观、匀称、无可非议；
在算术、代数科目中也很多：
如（a+b）·c=a·c+b·c；
a+b=b+a
这些公式和法则非常对称与和谐，同样给人以美观感受。
但是外形上的的美观，并不一定是真实和正确的。
比如：sin（A+B）=sinA+sinB是何等的“对称”、“和谐”、“美观”啊！但是它是错误的，就象“”虽然美丽但是有“毒”。
2、美好：数学上的许多东西，只有认识到它的正确性，才能感觉到它的“美好”。
不美丽的例子很多，比如二次方程的求根公式，无论从哪方面看都不对称、不和谐、不美观。但是，当我们真正了解它、运用它，就会感到它的价值，它的美好。这一公式告诉我们许多信息：±表示它有两个根，a≠0、△会显示根的数目和方程的性质……
3、美妙：美妙的感觉需要培养，美妙的感觉往往来自“意料之外”但在“情理之中”的事物。三角形的高交于一点就是这样；2个圆柱体垂直相截后将截面展开，其截线所对应的曲线竟然是一条正弦曲线，与原来猜想的是一断圆弧大出“意料之外”，经过分析证明的确是正弦曲线，又在“情理之中”，美妙的感觉就油然而生了。
4、完美：数学总是尽量做到完美无缺。这就是数学的最高“品质”和最高的精神“境界”。欧氏几何公理化体系的建立，“1+1”的证明都是追求数学完美的典型例子。

④ 数学的美体现在生活的哪些方面

数学的美体现在哪些方面
(1)完备之美

没有那一门学科能像数学这样，利用如此多的符号，展现一系列完备且完美的世界。就说数吧，实数集是完备的，任意多的实数随便做加减乘除乘方开方，其结果依然是实数(注意:数学上完备是根据序列的收敛性严格定义的，我这里不是完备的严格说法，但可认为是广义的说法)。引入虚数单位，实数集扩展到复数集，还是任意多的复数，还做那些运算，结果还是复数。

把具体的数抽象成空间中的点，在一定的假设和约定之下，可以得到完备的空间，这些空间可以是一维的，也可以是二维三维甚至多维的。三维之外，你就难以想象，但不能否认其存在。某空间的点、序列依一定的法则进行运算，依然不能离开那个空间，这就是完备性。这种完备性是很奇妙的。你可以把它想象成在一个球体中，不管你如何运动，总是不能钻出球面。

具有完备性的空间，可以带来许多好处。工程中用得最多的空间是Hilbert空间。顺便提一句，Hilbert是个二十世纪最伟大的数学家之一。

另外，数学中的诸多体系，其本身也都是完备的，如欧式几何，这是大家所熟知的，在几个公理的基础上，推演出一系列漂亮的结论，生命力经久不衰，尤其在工程运用中。

(2)对称之美

提到对称的美，大家首先想到的是几何，其实几何只是一方面，是“看得见”的那一方面。实际上，对称性在数学中处处存在。如微积分的基本定理，展现了微分与积分之间的紧密联系，本身具有很强的对称性。如泛函中的对偶算子，不但在运算上具有显着的对称性，在性质上也处处显示出一致性。

(3)简洁之美

数学中有个非常漂亮的公式，那就是欧拉公式。这个式子把数学中几个“伟大的”数给联系到了一块，它们分别是自然对数、圆周率、虚数单位以及1，其中前两个是超越数，是无数个超越数中人类目前仅仅找到的两个，而且这两个对数学影响巨大。我大胆猜想，当下一个超越数被找到的时候，数学将会经历另一场巨大的革命。虚数单位今天看起来没什么特别，但它刚被引进的时候曾受到众多(大)数学家的置疑和反对，最后它终于还是进来了，而数学也开辟了一条康庄大道，那就是复变函数。

勿庸置疑，欧拉公式是简洁而完美的，另一个可以跟它抗衡的式子出现在物理学中，那就是爱因斯坦的质能变换公式。我这种说法可能有点武断，不过我目前只能想到这一点，呵呵。

(4)抽象之美

这一点可能会引起许多人的异议，因为在许多人看来，抽象是不好的，因为离现实太远。可是我不这么认为，数学如果不抽象，便难以发展，虽然很多问题都是从现实引出的。数学建立在符号逻辑的基础之上，即使是解决实际问题，也要把问题抽象出来，用数学符号表示，才可以很好的解决。另一方面，抽象的数学，能带动你在无限的思维空间中遨游，抛开一切杂念，成为一种美好的享受。当然，这有点理想化，但不可否认，这确实是一种美的体验。

⑤ 数学的简洁美主要体现在什么地方

19世纪大数学家高斯就说过“数学是科学中的皇后”），它具有简洁美(抽象美、符号美、统一美等)、和谐美(对称美、形式美等)、奇异美(有限美、神秘美等)。美在一个困难问题的简单解答，一个复杂问题的简单答案；美在种种图案、建筑物、衣服式样、家具及装饰等事物的对称性上；美在人们对和谐、有规律的事物的喜爱以及从事物中发现普遍性与统一性的秩序和规律中。 1、美观：数学对象以形式上的对称、和谐、简洁，总给人的观感带来美丽、漂亮的感受。 比如：几何学常常给人们直观的美学形象，美观、匀称、无可非议； 在算术、代数科目中也很多： 如（a+b）·c=a·c+b·c； a+b=b+a 这些公式和法则非常对称与和谐，同样给人以美观感受。 但是外形上的的美观，并不一定是真实和正确的。 比如：sin（A+B）=sinA+sinB是何等的“对称”、“和谐”、“美观”啊！但是它是错误的，就象“”虽然美丽但是有“毒”。 2、美好：数学上的许多东西，只有认识到它的正确性，才能感觉到它的“美好”。 不美丽的例子很多，比如二次方程的求根公式，无论从哪方面看都不对称、不和谐、不美观。但是，当我们真正了解它、运用它，就会感到它的价值，它的美好。这一公式告诉我们许多信息：±表示它有两个根，a≠0、△会显示根的数目和方程的性质…… 3、美妙：美妙的感觉需要培养，美妙的感觉往往来自“意料之外”但在“情理之中”的事物。三角形的高交于一点就是这样；2个圆柱体垂直相截后将截面展开，其截线所对应的曲线竟然是一条正弦曲线，与原来猜想的是一断圆弧大出“意料之外”，经过分析证明的确是正弦曲线，又在“情理之中”，美妙的感觉就油然而生了。 4、完美：数学总是尽量做到完美无缺。这就是数学的最高“品质”和最高的精神“境界”。欧氏几何公理化体系的建立，“1+1”的证明都是追求数学完美的典型例子。

⑥ 数学之美

随着社会的迅猛发展，经济水平不断提高，人们生活质量越来越好。但与此同时带来的是人们对于资本的渴求的膨胀，人们越来越注重实际利益，注重实业重工的发展，相对而言，理论上的一些研究就理所当然的被视作一种无用之学科。首当其冲的便是数学，在中国，几乎所有人都认为在大学里学纯数学将来是没有什么前途的，事实上，在西方发达国家并非如此。在哲人的眼里，数学是如此美丽，它巧夺天工，不可言喻。保罗•埃尔德什形容他对数学的观点：“为何数字美丽呢？这就像在问贝多芬第九交响曲为什么会美丽一般。若你不知道为什么，其他人也没办法告诉你为什么。我知道数字是美丽的，且若它们不美丽的话，世上也没有事物会是美丽的了。”

一、数学之美所谓何然

数学美是自然美的客观反映。历史上曾有多位学者名人对数学美提出自己的见解，我国着名数学家华罗庚说过：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”数学家徐利治说：“作为科学语言的数学，具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，既所谓数学美。数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构关系的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。” 随着数学的发展和人类文明的进步，数学美的概念会有所发展，分类也不相同，但它的基本内容是相对稳定的，这就是：对称美、简洁美、统一美和奇异美。
数学的对称美，从古希腊时代起就被认为是数学美的一个基本内容。所谓对称性，既指组成某一事物或对象的两个部分的对等性。数学中的这种对称处处可见，较为形象的就是我们司空见惯的一些轴对称图形，尤其是圆，真可谓是三百六十度完全对称无死角。毕达哥拉斯就曾说过：“一切平面图形中最美的是圆，在一切立体图形中最美的是球形。”这正是基于这两种形体在各个方向上都是对称的。而对于我来说，关于对称印象最深刻的便是小学五年级的时候老师让我做的一道数学题。当时老师在报纸上看到这道题，就拿给同办公室的几个老师做，结果居然那几个老师都没有做出来，于是老师就把我叫到办公室去当场做，看小孩子的思维会不会活跃一些，题目是一个四位数乘以九得到的数等于这个数的倒序。我当时一看这题目，心想既然是对称的，那么第一个数字必是1，然后乘以九，那么最后一个数字必是9，接着我又想第二个数字最大是1但一代进去显然不行，那么就只能是0了，这么一来就轻而易举地猜出第三个数字是8，所以答案就是1089*9=9801.我记得自己当时是很快就把答案想出来了，老师们都很诧异，连连夸奖。当时心里真的是特别高兴，也是第一次对数字的对称性有了基本的概念。现在想想那道题其实真的很简单，但就是这么简单的数学题里也蕴含着数学那高度的对称美。
数学的简洁美，是人类思想表达简明化要求的反映。爱因斯坦说过：“美在本质上终究是简单性。” 数学语言本身就是最简洁的文字，同时反映客观规律极其深刻，许多复杂的客观现象，总结为一定的规律时，往往呈现为十分简单的公式。欧拉给出的公式：V－E+F=2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，令人惊叹不已。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。如笛卡尔坐标系的引入。对数符号的使用，复数单位的引入。微积分的出现都体现了数学外在形式更简洁，内容更深厚。数学中绝大部分公式都体现了“形式的简洁性，内容的丰富性”。 数学的简洁美还表现在形态上，即数学美的外部表现形态，是数学定理和数学公式(或表达式)的外在结构中呈现出来的美。形态美的主要特征，在于它的简单性。
数学的统一美，是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。一切客观事物都是相互联系的，因而,作为反映客观事物的数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。例如,从结构上分析，解析法、三角法、复数法、向量法和图解等具体方法,都可以统一于数形结合法。欧几里德的《几何原本》,把一些空间性质简化为点、线、面、体几个抽象概念和五条公设及五条公理,并由此导致出一套雅致的演绎理论体系,显示出高度的统一性。布尔基学派的《数学原本》,用结构的思想和语言来重新整理各个数学分支,在本质上揭示数学的内在联系,使之成为一个有机整体,在数学的高度统一性上给人以美的启迪。

二、数学之美所以何能
数学之美在各位先知哲人的眼里是如此的美丽，那么数学是凭着什么从几个简单的阿拉伯数字和拉丁字母发展为如此瑰丽传奇的数学世界的呢？仅凭个人的力量显然是远远不够的，它是数千年来祖辈们世世代代传承积累下来的。
数学之美是人民之于数学的智慧结晶。人们在日常的生活中总会遇到一些需要用数学来解决的小问题，然后就有人提出一个改进的小方法，让计算变得更为容易，这样日积月累，慢慢地便使得数学的土壤越来越肥沃，培育出更多的数学芬芳之果，让数学这个世界越变越丰富，越变越美丽。我不是数学考古专家，不能调研到什么具体的人民对于数学方面的小改进。但是我可以讲讲自己的例子。身边的人都知道我的速算是很厉害的，倒不是我有多聪明，而是我会把一些难算的式子在脑子里做一些的变换然后再计算，这样就容易多了，就我个人而言，这改进虽然很小，或者都称不上是改进，但是就是因为人民大众这样一点一滴的积累，使得数学越来越美。
数学之美是智者之于数学的灵感源泉。我国数学家陈景润身居陋室，但为了攻破歌德巴赫猜想这一世界数学难题，不断演算，通过努力终于摘取了数学皇冠上的明珠。接下来我讲一个蒲丰用投针求圆周率的近似值的试验。有一天蒲丰邀请许多宾朋来家做了一个奇特的实验。他事先在白纸上画好了一条条有等距离的平行线，将纸铺在桌上，又拿出一些质量匀称长度为平行线间距离之半的小针，请客人把针一根根随便仍到纸上，蒲丰则在一旁计数，结果共投2212次，其中与任意平行线相交的有704次，蒲丰又做了一简单的除法 ，然后他宣布这就是圆周率的近似值，还说投的次数越多越精确。这个实验使人震惊，圆周率和一个表面看来毫不相干的随便投针实验沟通在一起。然而，这确实是有理论根据的。计算圆周率的这一方法新颖、奇妙而让人叫绝。
数学之美是社会之于数学的发展需要。我们面临一个科学技术迅猛发展的时代。信息的数字化和信息的数学处理已经成为几乎所 有高科技项目共同的核心技术。从事先设计、制定方案，到试验探索、不断改进，到指挥控制、具体 操作，处处倚重于数学技术。许多国家认识到，发展高清晰度电视是未来经济技术竞争的主战场之一。应该指出，电视屏幕不仅是现代人们日常生活所不可缺少的，而且可能通过联网成为信息传 递处理的工作面。几乎所有重要的工作岗位都将与之有关。数学技术在如此重要项目的激烈较量 中起了决定作用。1991年的海湾战争是一场现代高科技战争，其核心技术竟然也是数学技术。这一事实引 起人们不小的惊讶。美国总结海湾战争经验得出结论是：“未来的战场是数字化的战争”。

二、数学之美所知何用
现如今，越来越多的大学生在填大学专业方向时，都不愿填写数学这个专业，理由是毕业后工作不好找。我自己也是，其实我个人是非常热爱数学的，我可以一天不吃不喝在那边做一道数学题并且乐在其中。但是最终还是迫于家庭和社会各方面压力选择了大家普遍认为将来就业可能比较好的电子专业，虽然我自己不是很喜欢，但是既来之，则安之。然而，在此我还是要说学习数学是有用的，而且是非常地有用，未来的社会必是数字化的时代。
数学之美的社会应用——揭示自然规律，指导工程设计。1995年1月，在贩神大地震之后，美国利用数学模型进行地震预测，预告本世纪末加州南部可能发生大地震；1995年3月，我国中央人民广播电视台宣布启用数字式转播方式，指出以前的模拟式转播方式效果差，所以改用新的转播方式；1995年6月，欧州联盟开会研讨未来数字化通信的统一制式；1996年2月，我国电子工业部宣布“九五计划”开发重点：数字化信息技术。所订的两个重点研制项目是：数字式高清晰度电视接受机样机和数字式激光盘；1996年4月，我国国家科委发布招标公告，正式宣布数字式高清晰度电视开发项目。仅以几件事为例就能清楚地看到数学对当代人们的生产和生活所起的重要作用。
数学之美的突出表现——黄金比例分割。黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。
伯特兰•罗素以下列文字来形容他对数学之美的感觉：数学，如果正确地看它，则具有……至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。
参考文献：
（1）（美）西奥妮•帕帕斯 . 理性的乐章--从名言中感受数学之美. 王幼军 译. 上海：上海科技教育出版社，2010.
（2）（英）波斯特 . 数学证明之美 . 贺俊杰，铁红玲 译 . 湖南：湖南科技出版社，2012
（3）（美）克利福德•A•皮科夫 . 马东玺 译 . 湖南：湖南科学技术出版社，2010
（4）吴军 . 数学之美系列文章 . 2006——2007.

⑦ 数学数学到底哪里有趣了，数学之美又在哪里

数字黑洞 6174

任意选一个四位数（数字不能全相同），把所有数字从大到小排列，再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作，7 步以内必然会得到 6174。

例如，选择四位数 6767：

7766 - 6677 = 10899810 - 0189 = 96219621 - 1269 = 83528532 - 2358 = 61747641 - 1467 = 6174……

6174 这个“黑洞”就叫做 Kaprekar 常数。对于三位数，也有一个数字黑洞——495。

3x + 1 问题

从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以 2 ；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的 3 倍后再加 1 。你会发现，序列最终总会变成 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的循环。

例如，所选的数是 67，根据上面的规则可以依次得到：

67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17,52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

数学家们试了很多数，没有一个能逃脱“421 陷阱”。但是，是否对于 所有 的数，序列最终总会变成 4, 2, 1 循环呢？

这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这可以从 3x + 1 问题的各种别名看出来： 3x + 1 问题又叫 Collatz 猜想、 Syracuse 问题、 Kakutani 问题、 Hasse 算法、 Ulam 问题等等。后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做 3x + 1 问题算了。

直到现在，数学家们仍然没有证明，这个规律对于所有的数都成立。

特殊两位数乘法的速算

如果两个两位数的十位相同，个位数相加为 10，那么你可以立即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作 AB 和 AC，那么它们的乘积的前两位就是 A 和 A + 1 的乘积，后两位就是 B 和 C 的乘积。

比如，47 和 43 的十位数相同，个位数之和为 10，因而它们乘积的前两位就是 4×(4 + 1)=20，后两位就是 7×3=21。也就是说，47×43=2021。

类似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。

这个速算方法背后的原因是，(10 x + y) (10 x + (10 - y)) = 100 x (x + 1) + y (10 - y) 对任意 x 和 y 都成立。

幻方中的幻“方”

一个“三阶幻方”是指把数字 1 到 9 填入 3×3 的方格，使得每一行、每一列和两条对角线的三个数之和正好都相同。下图就是一个三阶幻方，每条直线上的三个数之和都等于 15。

大家或许都听说过幻方这玩意儿，但不知道幻方中的一些美妙的性质。例如，任意一个三阶幻方都满足，各行所组成的三位数的平方和，等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上图中的三阶幻方，就有

816 2 + 357 2 + 492 2 = 618 2 + 753 2 + 294 2

利用线性代数，我们可以证明这个结论。

天然形成的幻方

从 1/19 到 18/19 这 18 个分数的小数循环节长度都是 18。把这 18 个循环节排成一个 18×18 的数字阵，恰好构成一个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是 81 （注：严格意义上说它不算幻方，因为方阵中有相同数字）。

196 算法

一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直到得出一个回文数为止。例如，所选的数是 67，两步就可以得到一个回文数 484：

67 + 76 = 143143 + 341 = 484

把 69 变成一个回文数则需要四步：

69 + 96 = 165165 + 561 = 726726 + 627 = 13531353 + 3531 = 4884

89 的“回文数之路”则特别长，要到第 24 步才会得到第一个回文数，8813200023188。

大家或许会想，不断地“一正一反相加”，最后总能得到一个回文数，这当然不足为奇了。事实情况也确实是这样——对于 几乎 所有的数，按照规则不断加下去，迟早会出现回文数。不过，196 却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算机算到了 3 亿多位数，都没有产生过一次回文数。从 196 出发，究竟能否加出回文数来？196 究竟特殊在哪儿？这至今仍是个谜。

Farey 序列

选取一个正整数 n。把所有分母不超过 n 的 最简 分数找出来，从小到大排序。这个分数序列就叫做 Farey 序列。例如，下面展示的就是 n = 7 时的 Farey 序列。

定理：在 Farey 序列中，对于任意两个相邻分数，先算出前者的分母乘以后者的分子，再算出前者的分子乘以后者的分母，则这两个乘积一定正好相差1 ！

这个定理有从数论到图论的各种证明。甚至有一种证明方法巧妙地借助 Pick 定理，把它转换为了一个不证自明的几何问题！

唯一的解

经典数字谜题：用 1 到 9 组成一个九位数，使得这个数的第一位能被 1 整除，前两位组成的两位数能被 2 整除，前三位组成的三位数能被 3 整除，以此类推，一直到整个九位数能被 9 整除。

没错，真的有这样猛的数：381654729。其中 3 能被 1 整除，38 能被 2 整除，381 能被 3 整除，一直到整个数能被 9 整除。这个数既可以用整除的性质一步步推出来，也能利用计算机编程找到。

另一个有趣的事实是，在所有由 1 到 9 所组成的 362880 个不同的九位数中，381654729 是唯一一个满足要求的数！

数在变，数字不变

123456789 的两倍是 246913578，正好又是一个由 1 到 9 组成的数字。

246913578 的两倍是 493827156，正好又是一个由 1 到 9 组成的数字。

把 493827156 再翻一倍，987654312，依旧恰好由数字 1 到 9 组成的。

把 987654312 再翻一倍的话，将会得到一个 10 位数 1975308624，它里面仍然没有重复数字，恰好由 0 到 9 这 10 个数字组成。

再把 1975308624 翻一倍，这个数将变成 3950617248，依旧是由 0 到 9 组成的。

不过，这个规律却并不会一直持续下去。继续把 3950617248 翻一倍将会得到 7901234496，第一次出现了例外。

三个神奇的分数

1/49 化成小数后等于 0.0204081632 …，把小数点后的数字两位两位断开，前五个数依次是 2、4、8、16、32，每个数正好都是前一个数的两倍。

100/9899 等于 0.01010203050813213455 … ，两位两位断开后，每一个数正好都是前两个数之和（也即 Fibonacci 数列）。

而 100/9801 则等于 0. … 。

利用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象的产生原因。

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