离散数学的是什么关系

‘壹’ 什么是离散数学中的“覆盖关系”“全序关系”“拟序关系”“偏序关系”

形式定义：

设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：

Ⅰ 自反性：对任意x∈A，有xRx；

Ⅱ 反对称性（即反对称关系）：对任意x,y∈A，若xRy，且yRx，则x=y；

Ⅲ 传递性：对任意x, y,z∈A，若xRy，且yRz，则xRz。

则称R为A上的偏序关系，通常记作≼。注意这里的≼不必是指一般意义上的“小于或等于”。

若然有x≼y，我们也说x排在y前面（x precedes y）。

举例解释:

对于上述提到的自反性和传递性的举例解释:

集合A={a,b,c...}上的关系R是自反 指的是R有(a,a),(b,b),(c,c)...

R是传递，指若有(a,b)和(b,c), 则必有(a,c).

偏序（Partial Order）的概念：

设A是一个非空集，P是A上的一个关系，若P满足下列条件：

Ⅰ 对任意的a∈A，（a,a）∈P;(自反性 reflexlve）

Ⅱ 若（a,b）∈P，且（b,a）∈P，则 a=b;（反对称性，anti-symmentric）

Ⅲ 若（a,b）∈P，（b,c）∈P，则（a,c）∈P;（传递性，transitive）

则称P是A上的一个偏序关系。

若P是A上的一个偏序关系，我们用a≤b来表示（a,b）∈P。

整除关系便是一个定义在自然数上的一个偏序关系|，3|6的含义是3整除6。大于或等于也是定义在自然数集上的一个偏序关系。

设集合X上有一全序关系，如果我们把这种关系用 ≤ 表述，则下列陈述对于 X 中的所有 a, b 和 c 成立：

如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性)

如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性)

a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)

配对了在其上相关的全序的集合叫做全序集合（totally ordered set）、线序集合（linearly ordered set）、简单序集合（simply ordered set）或链（chain）。链还常用来描述某个偏序的全序子集，比如在佐恩引理中。

关系的完全性可以如下这样描述：对于集合中的任何一对元素，在这个关系下都是相互可比较的。

注意完全性条件蕴涵了自反性，也就是说，a ≤ a。因此全序也是偏序（自反的、反对称的和传递的二元关系）。全序也可以定义为“全部”的偏序，就是满足“完全性”条件的偏序。

可作为选择的，可以定义全序集合为特殊种类的格，它对于集合中的所有 a, b 有如下性质：

我们规定 a ≤ b 当且仅当。可以证明全序集合是分配格。

全序集合形成了偏序集合的范畴的全子范畴，通过是关于这些次序的映射的态射，比如，映射 f 使得"如果 a ≤ b 则 f(a) ≤ f(b)"。

在两个全序集合间的关于两个次序的双射是在这个范畴内的同构。

严格全序

对于每个(非严格)全序 ≤ 都有一个相关联的非对称(因此反自反)的叫做严格全序的关系 <，它可以等价地以两种方式定义：

a < b 当且仅当 a ≤ b 且 a ≠ b

a < b 当且仅当 ¬(b ≤ a) (就是说 > 是 ≤ 的补关系的逆关系)

性质：

关系是传递的： a < b 且 b < c 蕴涵 a < c。

关系是三分的： a < b, b < a 和 a = b 中有且只有一个是真的。

关系是严格弱序，这里关联的等价是等同性。

我们可以其他方式工作，选择 < 为三分的二元关系；则全序 ≤ 可等价地以两种方式来定义:

a ≤ b 当且仅当 a < b 或 a = b

a ≤ b 当且仅当 ¬(b < a)

还有两个关联的次序是补关系 ≥ 和 >，它们构成了四元组 {<, >, ≤, ≥}。

我们可以通过这四个关系中的任何一个，定义或解释集合全序的方式；由符号易知所谈论的是非严格的，抑或是严格全序。

例子

字母表的字母按标准字典次序排序，比如 A < B < C 等等。

把一个全序限制到其全序集合的一个子集上。

所有的两个元素都是可比较的任何偏序集合 X (就是说，如果 a,b 是 X 的成员，则 a≤b 或 b≤a 中的一个为真或二者都为真)。

由基数或序数(实际上是良序)组成的任何集合。

如果 X 是任何集合，而 f 是从 X 到一个全序集合的单射函数，则 f 诱导出 X 上的一个全序：规定 x1 < x2 当且仅当 f(x1) < f(x2)。

设有某个集族，其成员都是用序数为索引的全序集合，然后把这集族上取的笛卡尔积中的有序对按字典序排序，那麽，这字典序是一全序。例如，若有一个集合由一些词语组成，按字母表把词语排序的话会是一全序。举个实例，我们规定"bird"先于"cat"。这可视为是向字母表加入空格符号""（定义""先于所有字母），得到集合A，然后对其自身取可数次笛卡尔积，得到Aω。"bird"可理解为Aω里的序对("b","i","r","d","","",...)，"cat"则是("c","a","t","","","",...)。从而{"bird","cat"}成为Aω的一个子集，把Aω上的字典序限制到这字集，便得出"bird"<"cat"。

实数集和自然数集、整数集、有理数集（作为实数集的子集），用平常的小于(<)或大于(>)关系排序都是（严格）全序的。它们都可以被证明是带有特定性质的全序集合的唯一的（在同构意义下的）最小实例（一个全序 A 被称为是带有特定性质的最小全序，即意味着只要别的全序 B 有这个性质，就有从 A 到 B 的子集的一个序同构)：

自然数集是最小的没有上界的全序集合。

整数集是最小的没有上界也没有下界的全序集合。

有理数集是最小的在实数集内稠密的全序集合，这里的稠密性是指对于任意实数a, b，都存在有理数q使得a<q<b。

实数集是最小的无界连通（序拓扑的意义下）的全序集合。

‘贰’ 离散数学、组合数学、图论的关系是什么

图论是组合数学的一个分支，而离散数学是专为计算机专业编的数学书，和组合数学有部分知识交叉。

离散数学（Discrete mathematics）是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。

组合数学（Combinatorial mathematics），又称为离散数学。广义的组合数学就是离散数学，狭义的组合数学是离散数学除图论、代数结构、数理逻辑等的部分。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。

图论〔Graph Theory〕是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。

(2)离散数学的是什么关系扩展阅读：

一、离散数学学科内容

1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数。

2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用。

3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数。

4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理。

5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理。

二、图论的起源

众所周知，图论起源于一个非常经典的问题——柯尼斯堡（Konigsberg）问题。

1738年，瑞典数学家欧拉( Leornhard Euler)解决了柯尼斯堡问题。由此图论诞生。欧拉也成为图论的创始人。

1859年，英国数学家汉密尔顿发明了一种游戏：用一个规则的实心十二面体，它的20个顶点标出世界着名的20个城市，要求游戏者找一条沿着各边通过每个顶点刚好一次的闭回路，即“绕行世界”。用图论的语言来说，游戏的目的是在十二面体的图中找出一个生成圈。

这个生成圈后来被称为汉密尔顿回路。这个问题后来就叫做汉密尔顿问题。由于运筹学、计算机科学和编码理论中的很多问题都可以化为汉密尔顿问题，从而引起广泛的注意和研究。

‘叁’ 具体数学VS离散数学VS组合数学什么关系

1、具体数学这们课程就是讲数学在计算机学中如何应用，在计算机学中如何用数学来解决问题，是数学和计算机学的结合。

2、离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。

它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，

如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。

通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。

3、组合数学（combinatorial mathematics），又称为离散数学。

狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面问题。组合数学主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。有

时人们也把组合数学和图论加在一起看作离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。

计算机科学即算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。

组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。

具体数学是与离散数学正好相对应的数学学科的分支。 具体数学和离散数学一样也是计算机科学的不可分割的一部分，应用于程序设计和算法式分析。

(3)离散数学的是什么关系扩展阅读

《具体数学:计算机科学基础:第2版》是一本在大学中广泛使用的经典数学教科书。

书中讲解了许多计算机科学中用到的数学知识及技巧，教你如何把一个实际问题一步步演化为数学模型，然后通过计算机解决它，特别着墨于算法分析方面。

其主要内容涉及和式、整值函数、数论、二项式系数、特殊的数、生成函数、离散概率、渐近式等，都是编程所必备的知识.另外，本书包括了六大类500 多道习题，并给出了所有习题的解答，有助读者加深书中内容的理解。

《具体数学:计算机科学基础:第2版》面向从事计算机科学、计算数学、计算技术诸方面工作的人员，以及高等院校相关专业的师生。

离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。

离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。

离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个着名的典型例子-四色定理又称四色猜想，

这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯·格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，"每幅地图都可以仅用四种颜色着色，

并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色"。那么这能否从数学上进行证明呢?

100多年后的1976年，肯尼斯·阿佩尔(Kenneth Appel)和沃尔夫冈·哈肯(Wolfgang Haken)使用计算机辅助计算，用了1200个小时和100亿次的判断，终于证明了四色定理，轰动世界，这就是离散数学与计算机科学相互协作的结果。

离散数学可以看成是构筑在数学和计算机科学之间的桥梁，因为离散数学既离不开集合论、图论等数学知识，又和计算机科学中的数据库理论、数据结构等相关，它可以引导人们进入计算机科学的思维领域，促进了计算机科学的发展。

‘肆’ 计算机数学与离散数学是什么关系啊

离散数学是计算机科学的数学基础，但不是全部。
离散数学一般包括，逻辑、关系、（函数的一些概念）、简单的图论和数论，简单的抽象代数内容，简单的组合数学。
离散数学可以被认为是数学的一个类别（不是一个分支，而是很多分支的总称）。大学本科的离散数学里的内容一般都是那些分支的最基础的东西（比如图论和数论、集合、二元关系、一元逻辑学、抽象代数最基础的概念）

‘伍’ 数据结构是什么，离散数学是什么.它们有关系吗

有联系,比如在图这章,离散基本上就是照般数据结构的
数据结构是计算机存储、组织数据的方式.数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合.通常情况下,精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率的算法.数据结构往往同高效的检索算法和索引技术有关.
离散数学(Discrete mathematics)是数学的几个分支的总称,以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标,其研究对象一般地是有限个或可数无穷个元素；因此它充分描述了计算机科学离散性的特点.
离散数学通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、代数结构、关系论、函数论、图论、组合学、数论等

‘陆’ 离散数学的全等关系是什么

满足自反性、对称性，传递性的关系。
在离散数学中，全等是一组等价关系，等价关系都可以连着写。离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。

‘柒’ 离散数学中的集合论里的关系有几种怎么判定

1，自反：R为A上的二元关系，若
对于任意的x，x属于集合A→<x,x>∈R，则称R在A上是自反的
2；对称：数学上，若对所有的
a
和
b
属于
X，下述语句保持有效，则集合
X
上的二元关系
R
是对称的：“若
a
关系到
b，则
b
关系到
a。”
数学上表示为：
<math>\forall
a,
b
\in
X,\
a
R
b
\Rightarrow
\;
b
R
a</math>
例如：“和……结婚”是对称关系；“小于”不是对称关系。
对称关系不是反对称关系（aRb
且
bRa
得到
b
=
a）的反义。有些关系既是对称的又是反对称的，比如"等于"；有些关系既不是对称的也不是反对称的，比如整数的"整除"；有些关系是对称的但不是反对称的，比如"模
n
同余"；有些关系不是对称的但是反对称的，比如"小于"。
3传递：在逻辑学和数学中，若对所有的
a，b，c
属于
X，下述语句保持有效，则集合
X
上的二元关系
R
是传递的：“若a
关系到
b
且
b
关系到
c，
则
a
关系到
c。”
数学上表示为：
<math>\forall
a,
b,
c
\in
X,\
a
R
b
\and
b
R
c
\;
\Rightarrow
a
R
c</math>
4反自反：
5反对称：数学上，若对所有的
a
和
b
属于
X，下述语句保持有效，则集合
X
上的二元关系
R
是反对称的：“若对所有的
a
和
b
属于
X，若
a
关系到
b
且
b
关系到
a，则
a
=
b。”
数学上表示为：
<math>\forall
a,
b
\in
X,\
a
R
b
\and
b
R
a
\;
\Rightarrow
\;
a
=
b</math>
严格不等是反对称的；实际上
a
<
b
且
b
<
a
是不可能的，因此严格不等的反对称性是一种空虚的真(vacuously
true)。
注意，反对称关系不是对称关系（aRb
得到
bRa）的反义。有些关系既是对称的又是反对称的，比如"等于"；有些关系既不是对称的也不是反对称的，比如整数的"整除"；有些关系是对称的但不是反对称的，比如"模
n
同余"；有些关系不是对称的但是反对称的，比如"小于"。
满足传递性和自反性的反对称关系称为偏序关系。

‘捌’ 什么是离散数学

离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。