初中数学的因式分解怎么做

⑴ 初中因式分解是什么

因式分解法是数学中用以求解高次一元方程的一种方法。把方程的一侧的数(包括未知数)，通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。

因式分解是代数学术语，指将一个多项式表示为几个多项式之积的过程与结果，数域Р上每一个次数n21的多项式都可以唯一分解成Р上的不可约多项式的乘积，将P上多项式表示成这样的乘积的过程称为多项式的因式分解，简称因式分解（或分解因式)。在不同的数域上，多项式分解因式的结果可能是不同的。

方法分类:

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法、分组分解法和十字相乘法、待定系数法、双十字相乘法、对称多项式轮换对称多项式法、余数定理法、求根公式法、换元法、长除法、除法等。

⑵ 初中八年级数学因式分解的几种方法

找了一些我学过的给你，我也上初二！
定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。
公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
分解因式技巧
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式；
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
3.提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题：
1.
5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2.
x^3-x^2+x-1
解法：=(x^3-x^2)+(x-1)
=x^2(x-1)+
(x-1)
=(x-1)(x^3+1)
利用二二分法，提公因式法提出
x2，然后相合轻松解决。
3.
x^2-x-y^2-y
解法：=(x^2-y^2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法a^2-b^2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。
十字相乘法
这种方法有两种情况。
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
图示如下：
a╲╱c
b╱╲d
例如：因为
1
╲╱2
-3╱╲
7
-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，
所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中
拆项、添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
相关公式
注意:换元后勿忘还元.
例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x^2+x+5)(x2+x-2)
=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．

⑶ 因式分解怎么做一般分为哪几种方法（有例题讲解最好）

1. 提公因式法：xx+5x=0→x(x+5)=0
   

2. 公式法：[比如你用完全平方公式aa+2ab+bb=(a+b)(a+b)]2xx+4xx+2=0→

   2(xx+2xx+1)=0→2(x+1)(x+1)=0

3. 十字相乘：xx+2x-3=xx+(3-1)x+(-1)*3=(x+3)(x-1)

4. 分组分解法：xx+yy+13-6x-4y=xx-6x+yy-4y+9+4=(xx-6x+9)+(yy-4y+4)

   =(x-3)(x-3)+(y-2)(y-2)

望采纳！

⑷ 如何巧做因式分解

把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，和我们小学里学的因数分解很类似。

1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；

这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；

要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。

口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。

1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。

2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。

3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，就像把8进行因数分解的时候，不能写成8=2*4，这里的4还可以再分解成为2*2，所以要写成8=2*2*2。

5、结果的多项式首项一般为正。 在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子；

6、括号内的首项系数一般为正；

7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如ab+ac，因式分解时要写成a(b+c)；

8、考试时一般就要化到实数，在实数范围内因式分解，因为在初中，实数范围是最大的。

口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

不叫提公因式，因为括号内不得用分数。

⑸ 因式分解怎么做，步骤！

1.提取公因式
这个是最基本的.就是有公因式就提出来,这个大家都会,就不多说了
2.完全平方
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
看到式字内有两个数平方就要注意下了,找找有没有两数积的两倍,有的话就按上面的公式进行.
3.平方差公式
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
这个要熟记,因为在配完全平方时有可能会拆添项,如果前面是完全平方,后面又减一个数的话,就可以用平方差公式再进行分解.
4.十字相乘
x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
这个很实用,但用起来不容易.
在无法用以上的方法进行分解时,可以用下十字相乘法.
例子:x^2+5x+6
首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法.
一次项系数为1.所以可以写成1*1
常数项为6.可以写成1*6,2*3,-1*-6,-2*-3(小数不提倡)
然后这样排列
1 - 2

1 - 3
(后面一列的位置可以调换,只要这两个数的乘积为常数项即可)
然后对角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘积相加.2+3=5,与一次项系数相同(有可能不相等,此时应另做尝试),所以可一写为(x+2)(x+3) (此时横着来就行了)

我再写几个式子,楼主再自己琢磨下吧.
x^2-x-2=(x-2)(x+1)
2x^2+5x-12=(2x-3)(x+4)

其实最重要的是自己去运用,以上方法其实可以联合起来一起用,实践永远比别人教要好.

顺便告诉你.若一个式子的b^2-4ac小于0的话,这个式子是无论如何也不能分解了(在实数范围内,b为一次项系数,a为二次项系数,c为常数项)

这些方法一般在最高次为二次时适用!

⑹ 因式分解方法是怎么样的

分解因式最简单的方法，就是提公因式

不过要注意，公因式不仅是系数、字母，还会是一个式子，例如

( a + b )( 3m + 2n ) + ( 2m + 3n )( a + b )，公因式是 ( a + b )

= ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )

= ( a + b )( 5m + 5n ) 这样再提出系数 5

= 5( a + b )( m + n )

公式法就是平方差、完全平方、立方和、立方差的公式倒过来用

a" - b" = (a - b)(a + b)

a" + 2ab + b" = (a + b)"

a" - 2ab + b" = (a - b)"

a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b")

a"' - b"' = (a - b)(a" + ab + b")

(6)初中数学的因式分解怎么做扩展阅读：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；

完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3．

其他公式：(1)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

例如：a2+4ab+4b2=(a+2b)2。

⑺ 数学因式分解的方法

因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
解：a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解：令y= x +2x -5x-6
作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

⑻ 数学因式分解怎么做

数学因式分解题做法，无非是提取公因式或凑公式。
1、公因式法，如果一个多项式的各项都含有公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式
2、比如分解因式x^3-2x^2-x=x（x^2-2x-1）。
3、应用公式法，由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，把乘法公式反过来就可以用来把某些多项式分解因式。
4、比如分解因式a2+4ab+4b2，可得到结果为（a+2b）×2。

⑼ 初二数学因式分解怎么做详细过程详细方法，拜托了各位

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。” 几道例题 1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2． 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33： x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5． 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． （分解因式的过程也可以参看右图。） 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。 3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c是△ABC的三条边， ∴a＋2b＋c＞0． ∴a－c＝0， 即a＝c，△ABC为等腰三角形。 4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误 例2把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。 考试时应注意： 在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到整数！ 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。 编辑本段应用 1、 应用于多项式除法。 2、 应用于高次方程的求根。 3、 应用于分式的通分与约分 顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展： 1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2^P-1)。即（2p+1）|（2^P-1）； .例如： 23|(2^11-1);；11=4×2+3； 47|(2^23-1);；23=4×5+3； 167|(2^83-1);,,,.83=4×20+3； 。。。。 2,，p=2^n×3^2+1,，则（6p+1）|(2^P-1)， 例如：223|(2^37-1);；37=2×2×3×3+1； 439|(2^73-1)；73=2×2×2×3×3+1； 3463|(2^577-1);；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1； ，，，。 3，p=2^n×3^m×5^s-1,则（8p+1）|（2^P-1）； .例如;233|(2^29-1)；29=2×3×5-1； ;1433|(2^179-1)；179=2×2×3×3×5-1； 1913|（2^239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1； ，，，。 还有一些梅森数分解取得进展，不再一一叙述