数学史上的天元是什么

㈠ 天元术的主要贡献者是谁

李冶

所谓“天元术”，就是设未知数为“天”，然后列出方程，解方程题， “天元术”的创造者是金、元时期的数学家李冶。他原在金朝做小官，元灭金后，隐居湾山，潜心研究学问，于1248年着成《 测园海镜》12卷，以解直角三角形容圆内切圆问题为典型问题，论述“天元术”。

李冶的天元术中，先“立天元为一某某”就是设未知数，然后根据问题的条件列出天元式。在未知量的一次项旁边记一“元”字，在常数项旁记一“太”字，并按高次幂在上低次幂在排列，还可两个天元式相减进行“同数相消”。天元术已有现代列方程记法的雏型，现代学史家称它为半符号代数。用“元”代表未知数的说法，一直沿用到现在。

㈡ 对我国古代数学成就天元术的发展

天元术

天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。

“天元”二字首次出现在北宋数学家蒋周的《益古集》中。此后，李文一的《照胆》，石信道的《钤经》，刘汝谐的《如积释锁》，李思聪的《洞渊九容》等着作均对“天元术”进行了一定阐述。但这些方法不系统，一般浅谈辄止。对天元术贡献最大的数学家当属金元人李冶和朱世杰。李冶的《测圆海镜》、《益古演段》，朱世杰的《算学启蒙》、《四元玉鉴》都系统地介绍了用天元术建立二次方程。

公元1248年，12卷的《测圆海镜》的天元术专着诞生。从此书开始，文词代数演变成符号代数。《测圆海镜》是一本高雅、正宗的数学专着。其高雅之处有三：

一是总结性强。该书第一卷“识别杂记”阐述了用勾股弦求内切圆直径的方法，这些方法都是整合前代数学家所成。该书600多条定义，就是古代勾股容圆的总结。从第二卷起，他总结出一套行之有效的天元术程序，并用182种方法先后解答了148个问题。

二是专业度高。书中所列的天元术理论，勾股形解法，数学抽象化的新起点等知识，都是当时最先进的理论知识。

三是敢于创新。为了计算方便，该书中首次使用了负号（在数字上面加一横）和符号○（中文数字），以及一套先进的小数记法。这些都比西方数学家早几百年。

李治很快认识到，自己花费十几年心血写出的《测圆海镜》太过高雅、精深，一般人看不懂，普及天元术从何谈起？为此，他决心写一部天元术的基础读物。经过十几年努力，他终于完成了三卷《益古演段》。“益古”指蒋周的专着《益古集》，“演段”即《益古集》中演示的条段法。所谓条段法，是根据古书《九章算术》中用几何方法代替代数方程的方法，因方程中各项均用条形面积所表示而得名。很显然，条段法是一种旧法，虽然直观，但计算麻烦且占篇幅。《益古演段》正是把条段法转化为天元术的第一理论书，正如序言所讲：“使粗知十百者，便得入室啖其文，顾不快哉！”

《益古演段》最大特色就是用天元术解决日常所见的方、圆面积等问题。除四道题是一次方程外，其它都是二次方程，内容安排基本上是从易到难。当时只要熟读《益古演段》，便可依葫芦画瓢地列出方程解决类似问题。可以这么说，目前初中数学教材上的一元二次方程，其解题思想均来自于李冶的《益古演段》。

《测圆海镜》和《益古演段》成为世界上至今保留下来的有关“天

㈢ 对我国古代数学成就天元术的发展作出重要贡献的是谁

李冶

我国古代重要的数学成就“天元术”的主要贡献者是李冶。十二、十三世纪，中国北方终于出现了一种系统解一元方程的方法，即着名的天元术。“天元”即未知数的意思。

“天元”二字首次出现在北宋数学家蒋周的《益古集》中。此后，李文一的《照胆》，石信道的《钤经》，刘汝谐的《如积释锁》，李思聪的《洞渊九容》等着作均对“天元术”进行了一定阐述。但这些方法不系统，一般浅谈辄止。

对天元术贡献最大的数学家当属金元人李冶和朱世杰。李冶的《测圆海镜》、《益古演段》，朱世杰的《算学启蒙》、《四元玉鉴》都系统地介绍了用天元术建立二次方程。

(3)数学史上的天元是什么扩展阅读

欧洲的数学家，到了十六世纪才完成的东西，在我国在十三世纪已经作出来了。1248年，金代数学家李冶在其着作《测圆海镜》中，系统地介绍了天元术。

用天元术列方程的方法是：首先“立天元一为某棠”，就是现在的设未知数x，然后依据问题的条件列出两个相等的天元式（就是含这个天元的多项式），把这两个天元式相减，就得到一个天元式，就是高次方程式。

最后用增乘开方法求这个方程的正根。显然，天元术和现今代数方程的列法雷同，而在欧洲，只是在十六世纪才开始做到这一点。

我国把解方程称为“开方术”，除了天元术，还有四元术，即是解四元高次方程，这一点，欧洲直到十八世纪才完成，比中国晚了四百多年。

㈣ 天元术与四元术是什么

天元术和四元术是宋代创造的高次方程的数值解法。天元术是列方程的方法，四元术是高次方程组的解法。

在我国古代，解方程叫做“开方术”。至宋代，开方术已经发展到历史的新阶段，远远走在当时世界的前列。

在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。

宋代以前，数学家要列出一个方程，如唐代着名数学家王孝通撰写的《缉古算经》，首次提出三次方程式正根的解法，能解决工程建设中上下宽狭不一的计算问题，是对古代数学理论的卓越贡献，比阿拉伯人早300多年，比欧洲早600多年。

随着宋代数学研究的发展，解方程有了完善的方法，这就直接促进了对于列方程方法的研究，于是出现了我国数学的又一项杰出创造天元术。

“四元术”是多元高次方程组的建立和求解方法。用四元术解方程组，是将方程组的各项系数摆成一个方阵。

其中常数项右侧仍记一“太”字，4个未知数一次项的系数分置于常数项的上下左右，高次项系数则按幂次逐一向外扩展，各行列交叉处分别表示相应未知数各次幂的乘积。

解这个用方阵表示的方程组时，要运用消元法，经过方程变换，逐步化成一个一元高次方程，再用增乘开方法求出正根。

从四元术的表示法来看，这种方阵形式不仅运算繁难，而且难以表示含有4个以上未知数的方程组，带有很大的局限性。

我国代数学在四元术时期发展至顶峰，如果要再前进一步，那就需要另辟蹊径，突破新的难关了。

后来，清代的代数学进展是通过汪莱等人对于方程理论的深入研究和引进西方数学这两条途径来实现的。

方程组的方阵图

㈤ 金代数学家天元术的发展是谁

金代数学家天元术的发展是李冶。天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。

宋代以前，数学家要列出一个方程，如唐代王孝通运用几何方法列三次方程，往往需要高超的数学技巧、复杂的推导和大量的文字说明，这是一件相当困难的工作。

随着宋代创立的增乘开方法的发展，解方程有了完善的方法，这就直接促进了对于列方程方法的研究，于是，又出现了中国数学的又一项杰出创造——天元术。

(5)数学史上的天元是什么扩展阅读：

影响

天元术并非李冶的独创，而是从金代起便在中国北方开始萌芽。据祖颐在《四元玉鉴后序》中的记载，李冶以前研究天元术的学者至少有蒋周、李文一、石信道、刘汝谐、李德载等等，但并未提到李冶。而除李冶之外，其它早期天元术的着作也已经失传。

1303年朱世杰的《四元玉鉴》问世，其中将天元术扩展为含有天元、地元、人元和物元的“四元术”，即四元高次方程组的解法，将天元术发展到了一个新的高度。

㈥ 天元术是哪个数学家发明的

李冶；朱世杰

1248年，金代数学家李冶在其着作《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。

据史籍记载，金、元之际已有一批有关天元术的着作，如蒋周《益古演段》、李文一《照胆》、石信道《钤经》、刘汝锴《如积释锁》等（朱世杰《四元玉鉴》祖颐后序），可惜都已失传。但在稍晚的李冶和朱世杰的着作中，都对天元术作了清楚的阐述。

(6)数学史上的天元是什么扩展阅读：

天元术的出现，提供了列方程的统一方法，其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲，只是到了十六世纪才做到这一点。此外，宋代创立的增乘开方法又简化了求解数学高次方程正根的运算过程。因此，在这一时期，列方程和解方程都有了简单明确的方法和程式，中国古典代数学发展到了比较完备的阶段。

不仅如此，继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，如李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，刘大鉴《干坤括囊》有天、地、人三元等，最后又由朱世杰创立了四元术。

㈦ 天元术是金代的哪位数学家

天元术主要贡献者是李治和朱世杰，李治在数学专着《测圆海镜》（12卷）中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。
天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，在古代数学中，列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。
“天元”二字首次出现在北宋数学家蒋周的《益古集》中。此后，李文一的《照胆》，石信道的《钤经》，刘汝谐的《如积释锁》，李思聪的《洞渊九容》等着作均对“天元术”进行了一定阐述。但这些方法不系统，一般浅谈辄止。对天元术贡献最大的数学家当属金元人李冶和朱世杰。李冶的《测圆海镜》、《益古演段》，朱世杰的《算学启蒙》、《四元玉鉴》都系统地介绍了用天元术建立二次方程。

㈧ 天元术是什么数学家

天元术的主要贡献者是李冶和朱世杰。1248年，金代数学家李冶的《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》、《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。

天元术简介
天元术是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致，但写法不同。用天元术列方程的方法是：首先“立天元一为某棠”，就是现在的设未知数x，然后依据问题的条件列出两个相等的天元式(就是含这个天元的多项式)，把这两个天元式相减，就得到一个天元式，就是高次方程式。最后用增乘开方法求这个方程的正根。

李冶简介
李冶，真定栾城人，金代着名数学家。李冶与元好问、张德辉交往密切，时人尊称“龙山三老”。他在数学专着《测圆海镜》(12卷)中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。
朱世杰简介
朱世杰，字汉卿，号松庭。他的着作《算学启蒙》3卷，内容包括常用数据、度量衡和田亩面积单位的换算、算四则运算法则、筹算简法、分数、比例、面积、体积、盈不足术、高阶等差级数求和、数字方程解法、线性方程组解法、天元术等，是一部比较全面的数学启蒙书籍。

㈨ 天元术的渊源

天元术的思想渊源于道、名、墨三家。作为天元术发展高峰的四元术，朱世杰的《四元玉鉴》天地人与物并列的“四象会元”方法极有可能也受到道教思想的影响。
天元术是一种半符号式的代数，“以不同的文字表示不同的未知数意味着开始向符号代数的转化，这包括了对数的抽象、对文字的抽象、对运算的抽象思维过程，表现了中国数学家高度的抽象思维能力。”王鸿钧、孙宏安：《中国古代数学思想方法》，江苏教育出版社，1988，第143页。是近代符号代数的雏形。天元术的出现和完善是中国古代数学思想发展的重要环节，而这一重要数学思想的源头活水乃是道教思想。
天元术是一种用数学文字符号列方程的方法。“立天元一”是其主要数学思想方法，这与今之代数学“设Ⅹ为某某”是等价的。中国古代数学列方程的数学思想可以远溯到汉代《九章算术》，书中就用文字叙述的方法建立了二次方程，但尚缺乏明确的未知数概念。唐代王孝通以高度的数学技巧成功地列出了三次方程，但还无法掌握列方程的一般方法，仍然需要借助语言文字来表述。郭金彬先生对中国传统计算思想的演变进行了研究，认为：“到了宋代，高次方程的发展使方程的造法越来越困难。但是，不找出某种普遍的列方程的方法是不行的。因为，众所周知，要运用方程求解实际问题，首先要根据问题所提供的条件列出方程，然后解方程求根，获得答案。‘天元术’就是在这种情况下产生出来的具有中国独特风格的一种普遍的列方程的方法”郭金彬：《中国传统科学思想史论》，知识出版社，1993，第43页。郭金彬先生所说的“中国独特风格”，笔者以为其主要就体现在道门中人洞渊所首创的“天元”概念及“立天元一”天元术思想方法。
金代道教数学家所传的天元术对南宋数学思想的发展可能也产生过积极影响。钱宝琮先生在论及“金元之际数学之传授”这一问题时，指出：
南宋数学以秦九韶《数书九章》（公元1247年）为最有价值。九韶为四川人，转至东南，寓居湖州。《数书九章》自序云“早岁侍亲中都，因得访习于太史。又尝从隐君子受数学”。其大衍求一术之“立天元一”，疑得自金人，非南宋另有天元术也。《钱宝琮科学史论文选集》，科学出版社，1983，第321页。

㈩ 李冶是怎样用天元术建方程的

李冶是金元时期的数学家?文学家?诗人。金亡北渡，常与元好问唱和，世称“元李”。晚年居于封龙山下，隐居讲学。

李冶在数学上的主要贡献是天元术，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。与杨辉?秦九韶?朱世杰并称为“宋元数学四大家”。

李冶的父亲李遹是位博学多才的学者，曾在大兴府尹胡沙虎手下任推官。李冶出生的时候，蒙古军队加紧向金代朝廷进攻，腐朽的朝廷内已潜伏着亡国的危机。

李遹的上司胡沙虎是一个深得金朝宠信的奸臣。李遹见他无恶不作，常常据理力争，置个人生死祸福于度外。李遹为了防备不测，便把老小送回故乡栾城。

这时李冶正值童年，他没有随家人回乡而独自到栾城的邻县元氏求学去了。由于胡沙虎篡权乱政，李遹被迫辞职，隐居阳翟，从此不再过问政事。

他吟诗作画，在当地颇有名声。

父亲的正直为人及好学精神对李冶深有影响。在李冶看来，学问比财富更可贵。他在青少年时期，对文学?史学?数学?经学都感兴趣，曾与好友元好问外出求学，拜文学家赵秉文?杨云翼为师，不久便名声大振。

1230年，李冶赴洛阳应试，被录取为词赋科进士，时人称赞他“经为通儒，文为名家”。

1232年农历正月，钧州城被蒙古军队攻破。李冶不愿投降，只好换上平民服装，走上了漫长而艰苦的流亡之路。这是他一生的重要转折点，将近50年的学术生涯便由此开始了。

李冶经过一段时间的颠沛流离之后，定居于现在山西省崞山的桐川。由于他不再为官，这在客观上使他的科学研究有了充分的时间。他在桐川的研究工作是多方面的，包括数学?文学?历史?天文?哲学?医学。

李冶在桐川的生活条件是十分艰苦的，不仅居室狭小，而且常常不得温饱，要为衣食而奔波。但他却以着书为乐，从不间断自己的写作。

李冶的数学研究是以天元术为主攻方向的。这时天元术虽已产生，但还不成熟，就像一棵小树一样，需要人精心培植。李冶在前人的基础上，将天元术改进成一种更简便而实用的方法。

特别值得一提的是，他在桐川得到了道教洞渊派的一部算书，内有九容公式，专讲勾股容圆问题的内容。此书对他启发甚大。为了能全面?深入地研究天元术，李冶把勾股容圆问题作为一个系统来研究。

李冶讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题，经过多年的艰苦奋斗，终于在l248年写成《测圆海镜》12卷。这是他一生中的最大的成就，也是我国现存最早的一部系统讲述天元术的着作。

《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径公式。其主要成就是总结并完善了天元术，使之成为我国独特的半符号代数。这种半符号代数的产生，要比欧洲早三百年左右。卷1的“识别杂记”阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，共600余条，每条可看做一个定理或公式。这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结。

后面各卷的习题，都可以在“识别杂记”的基础上以天元术为工具推导出来。李冶总结出一套简明实用的天元术程序，并给出化分式方程为整式方程的方法。他发明了负号和一套先进的小数记法，采用了从0至9的完整数码。除O以外的数码古已有之，是筹式的反映。但筹式中遇O空位，没有符号O。从现存古算书来看，李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用O的两本书，它们成书的时间相差不过一年。

《测圆海镜》重在列方程，对方程的解法涉及不多。但书中用天元术导出许多高次方程，给出的根全部准确无误，可见李冶是掌握高次方程数值解法的。

《测圆海镜》在体例上也有创新。全书基本上是一个演绎体系，卷一包含了解题所需的定义?定理?公式，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来。李冶之前的算书，一般采取问题集的形式，各章?卷内容大体上平列。李冶以演绎法着书，这是我国数学史上的一个进步。

《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟，对后世有深远影响。元代王恂?郭守敬在编《授时历》的过程中，曾用天元术求周天弧度。元代大数学家朱世杰说:“以天元演之?明源活法，省功数倍。”清代着作家阮元认为:“立天元者，自古算家之秘术;而海镜者，中土数学之宝书也。”

《测圆海镜》无疑是当时世界上第一流的数学着作。但由于内容较深，粗知数学的人看不懂，所以天元术的传播速度较慢。

李冶清楚地看到这一点，他坚信天元术是解决数学问题的一个有力工具，同时深刻认识到普及天元术的必要性。于是，他在1259年写成另一部数学着作《益古演段》，这是一本普及天元术的着作。

《益古演段》把天元术用于解决实际问题，研究对象是日常所见的方?圆面积。全书64题，处理的主要是平面图形的面积问题，所求多为圆径?方边?周长之类。除4道题是一次方程外，其他全是二次方程问题，内容安排基本上是从易到难。

此时的李冶对天元术的运用更加熟练，他在《益古演段》中常用人们易懂的几何方法对天元术进行验证，这对于人们接受天元术是有好处的。

在数学理论上，《益古演段》也有创新。该书的问题同《测圆海镜》不同，所求量不是一个而是两个?三个甚至四个。按古代方程理论，应该用方程组来解，所含方程个数与所求量个数一致。但解二次方程组要比解一元方程困难得多。

李冶既已完善了天元术程序，便力图提高它的一般化程度，用以解决各种多元问题。他的主要方法是利用出入相补原理及等量关系来减少未知数，化多元为一元，找到关键的天元一。一旦这个天元一求出来，其他要求的量就可根据与天元一的关系，很容易求出了。《益古演段》的价值不仅在于普及天元术，理论上也有创新。李冶善于用传统的出入相补原理及各种等量关系来减少题目中的未知数个数，化多元问题为一元问题。同时，李冶在解方程时采用了设辅助未知数的新方法，以简化运算。

《益古演段》图文并茂，深入浅出，不仅利于教学，也便于自学。这些特点，使它成为一本深受人们欢迎的数学教材，对天元术的传播发挥了不小的作用。

测圆海镜