数学家阿达玛的四阶段是什么

‘壹’ hadamard transform是什么意思

hadamard transform
哈达马变换；阿达玛变换；哈达玛转换
哈达玛变换是利用哈达玛矩阵作为变换矩阵新实施的遥感多光谱域变换。哈达玛矩阵为一个对称的正交矩阵。哈达变换实际是将坐标轴旋转45°的正交变换。
Hadamard变换(hadamard transform,HT)光谱技术是近几十年发展起来的一种新型的光谱调制技术,它实际是统计学中的称重设计在光学中的应用,理论模型是法国数学家Hadamard提出的一种n阶矩阵方程。如今,哈达玛变换已经广泛地用于光谱数据的获取、目标识别及分类、弱信号探测等领域。哈达玛变换成像光谱仪是以哈达玛变换为基础的一种光谱成像仪,是多通道探测技术在光学中的应用,它在摄取图像二维信息的同时,对图像的光谱信息进行编码,可以通过逆变换的方法复原出光谱信息。由于光谱仪中CCD器件各探测器单元光谱响应的不一致性,使得采集的编码图像中叠加了因探测器像元响应非均匀性而产生的固定噪声信号。

‘贰’ 函数的发展历程是怎么样的

函数概念的发展历史1.早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。
2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数
1718年约翰??贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。
1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”
18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰??贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰??贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数
1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。
等到康托(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。
4.现代函数概念──集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。
1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”
术语函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。
但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数包含于映射。当然，映射也只是一部分。 [编辑本段]幂函数幂函数的一般形式为y=x^a。
如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；
排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
（1）所有的图形都通过（1，1）这点。
（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。
（6）显然幂函数无界。 [编辑本段]高斯函数设x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为高斯（Guass）函数，也叫取整函数。
任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= [x] + （0≤<1） [编辑本段]复变函数复变函数是定义域为复数集合的函数。
复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。
以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。
复变函数论的发展简况
复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
复变函数论的内容
复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。
如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。
复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。
黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。
复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。
留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。
把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。
广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。
从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。
upcase 字符型 使小写英文字母变为大写 字符型
downcase 字符型 使大写英文字母变为小写 字符型 [编辑本段]阶梯函数形如阶梯的具有无穷多个跳跃间断点的函数. [编辑本段]反比例函数表达式为 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。
反比例函数的其他形式：y=k/x=k·1/x=kx-1
反比例函数的特点：y=k/x→xy=k
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：
反比例函数的图像为双曲线。
反比例函数关于原点中心对称，关于坐标轴角平分线轴对称，另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣,即k的绝对值。
如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。
当 k >0时，反比例函数图像经过一，三象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而减小所以又称为减函数
当k <0时，反比例函数图像经过二，四象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而增大所以又称为增函数
倘若不在同一象限，则刚好相反。
由于反比例函数的自变量和因变量都不能为0，所以图像只能无限向坐标轴靠近，无法和坐标轴相交。
知识点：
1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。
2.对于双曲线y＝ k/x，若在分母上加减任意一个实数m (即 y＝k／x（x±m）m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移m个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移） [编辑本段]程序设计中的函数许多程序设计语言中，可以将一段经常需要使用的代码封装起来，在需要使用时可以直接调用，这就是程序中的函数。比如在C语言中:
int max(int x,int y)
{
return(x>y?x:y;);
}
就是一段比较两数大小的函数，函数有参数与返回值。C++程序设计中的函数可以分为两类：带参数的函数和不带参数的函数。这两种参数的声明、定义也不一样。
带有（一个）参数的函数的声明：
类型名标示符+函数名+（类型标示符+参数）
{
}
不带参数的函数的声明：
void+函数名（）
{
}
花括号内为函数体。
带参数的函数有返回值，不带参数的没有返回值。
C++中函数的调用：函数必须声明后才可以被调用。调用格式为：函数名（实参）
调用时函数名后的小括号中的实参必须和声明函数时的函数括号中的形参个数相同。
有返回值的函数可以进行计算，也可以做为右值进行赋值。
#include <iostream>
using namespace std;
int f1(int x, inty)
{int z;<br>return x+y;<br>}
void main()
{cout<<f1(50,660)<<endl<br>}
C语言中的部分函数
main（主函数）
max（求最大数的函数）
scanf（输入函数）
printf（输出函数）

‘叁’ 布拉里·福蒂把“集合”分为哪两类

布拉里·福蒂本人认为，这个矛盾证明了“这个序数的自然顺序只是一个偏序”，这与康托尔之前证明的“序数集合是全序”的结果相矛盾。事实上布拉里·福蒂的文章中给出了一个“良序集”的错误概念，而这个概念是康托尔1883年引进的，但一直没有受到重视。

布拉里·福蒂的文章发表以后，阿达玛在第一次国际数学家大会上仍然给出了一个错误的良序集的定义。布拉里·福蒂很快就认识到阿达玛的错误，并在1897年10月的一篇文章中予以指出，但是他没有重新检查自己的证明。后来康托尔注意到布拉里·福蒂所提到的矛盾，然而这个矛盾并没有使康托尔放弃集合的良序性，而是放弃了它的集合性。他把集合分为两类：相容集合和不相容集合，而只把前者叫做集合。他的这种区分标准仍然是不精确的。

布拉里·福蒂的悖论揭示了康托尔集合论的矛盾。1902年6月16日，罗素又提出了集合论的又一个悖论，并以其简单明确震惊了整个数学界，从而引发了数学史上的第三次数学危机。集合论悖论的出现，促进了康托尔朴素集合论的公理化进程，也促使数学家们对数学基础的进一步探讨。

‘肆’ 有什么数学家的成长经历，给点例文

康托尔
由康托尔首创的全新且具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的二千多年以来，人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，它从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透道所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑和哲学带来了深远的影响。不过康托尔的集合论并不是完美无缺的，一方面，康托尔对“连续统假设”和“良序性定理”始终束手无策；另一方面，19和20世纪之交发现的布拉利－福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论，使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑。加之集合论的出现确实冲击了传统的观念，颠倒了许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，其中反对的最激烈的是柏林学派的代表人物之一、构造主义者克罗内克。克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的，不可用有限步骤构造出来的都是可疑的，不应作为数学的对象，他反对无理数和连续函数的理论，同样严厉批评和恶毒攻击康托尔的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义。他说康托尔的集合论空空洞洞毫无内容。除了克罗尼克之外，还有一些着名数学家也对集合论发表了反对意见。法国数学家庞加莱（Poincare，J ules Henri,1854.4.29－1912.7.17）说：“我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。德国数学家魏尔（Wey1，Claude Hugo Hermann,1885.11.9－1955.12.8）认为，康托尔关于基数的等级观点是“雾上之雾”。克莱因（Klein，Christian Felix，1849.4.25－1925.6.22）也不赞成集合论的思想。数学家H．A．施瓦兹原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交。集合论的悖论出现之后，他们开始认为集合论根本是一种病态，他们以不同的方式发展为经验主义、半经验主义、直觉主义、构造主义等学派，在基础大战中，构成反康托尔的阵营。 1884年，由于连续统假设长期得不到证明，再加上与克罗内克的尖锐对立，精神上屡遭打击，5月底，他支持不住了，第一次精神崩溃。他的精神沮丧，不能很好地集中研究集合论，从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔。不过每当他恢复常态时，他的思想总变得超乎寻常的清晰，继续他的集合论的工作。 康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来。瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨（Hurwitz，Adolf，1859.3.26－1919.11.18）在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。在分组会上，法国数学家阿达玛（Hadamard Jacques，1865.12.8－1963.10.17），也报告康托尔对他的工作的重要作用。随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。希尔伯特(Hilbert David，1862.1.23-1943.2.14)高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克罗内克的后继者布劳威尔（1881.2.27－1966.12.2）等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。

‘伍’ 布尔巴基学派的简介

在1914年到1918年的大战中，德国政府和法国政府对于关系到科学的问题的看法并不一样。德国人让他们的学者去研究科学，通过他们的发现以及对发明或者方法的改进来提高军队的力量，结果这些都有助于德国战斗力的增长。而法国人，至少在战争初期一两年间，认为人人应该上前线，因而年轻的科学家正如其他的法国人一样也到前线服役。这表现一种民主和爱国主义精神，对此我们只能表示敬佩，但是其后果对于年轻的法国科学家来说却是可怕的大屠杀。高等师范院校的优秀学生们有三分之二是被战争毁掉的。20世纪20年代，一些百里挑一的天才人物如魏伊、德尔萨特、嘉当、迪多涅、薛华荔等进入万人竞试的高等师范学校。但他们没有碰到什么年轻教师，而都是些着名的老头子，基础课就是由他们负责教授。这些老头们的确很着名，不过他们只知道他们在20岁或30岁时学的数学，而 对20世纪的数学他们认识得相当模糊。
这个时期，德国数学突飞猛进，涌现了一批第一流的数学家：诺特、西格尔、阿廷、哈塞等等，而法国人还故步自封，对敌国的进展不甚了解，对新兴的莫斯科拓扑学派和波兰的拓扑和泛函分析学派就更是一无所知。而对其他象冯·诺依曼和黎兹的工作也不理解，只知道栖居在自己的函数论的小天地中。在这里，函数论是至尊无上的。不过，法国人中也有代表先进潮流的数学家如e·嘉当；但是，他超出他同时代人的水平20多年，谁也不理解他的工作。（在庞加莱之后，最先理解他的工作的是赫尔曼·外尔，在十年之中，他是唯一理解嘉当的人。）因此除嘉当之外，其他人完全封闭在 函数论当中了，虽然函数论是重要的，但毕竟只代表数学的一部分。
在进入高师的年轻人中，迪多涅，魏伊，亨·嘉当等人，不满足于法兰西数学界的现状，把触角伸向“函数论王国”之外他们深刻认识到了法国数学同世界先进水平的差距。他们痛切感觉到，如果还继续搞这个方向，法国的数学就肯定要走进死胡同。当然，法国数学家在函数论方面仍然可以很出色，但是在数学的其他方面，人们就会忘掉法国的数学家了。这就会使法国的二百多年的传统中断，因为从费尔马到庞加莱这些最伟大的数学家都总是具有博大全才的数学家的名声，他们既能搞算术和代数，又能搞分析和几何。恰恰是这些有远见的青年人，在法国科学全面落后的情况下，使法国数学在第二次世界大战之后又能保持先进水平，而且影响着整个现代数学的发展。可以说，当时打开那些年轻人通往外在世界的通道只有阿达玛的讨论班。阿达玛是法兰西学院的教授。在年初，他把他认为最重要的论着分配给打算在讨论班上做报告的人。在当时这是件新鲜事，但对青年人的提高大有好处。在1934年阿达玛退休之后，g·儒利雅以稍稍不同的方式继续主持这个讨论班。以更系统的方式去研究从所有方向上进来的伟大的思想。这批年轻人决心象范·德·瓦尔登整理代数学那样，从头来起，把整个数学重新整理一遍，以书的形式来概括现代数学的主要思想，而这也正是布尔巴基学派及其主要着作《数学原理》产生的起源。当时，布尔巴基的大多数成员还不到30岁，年纪稍大些的也不过才30出头。假如他们年纪再大一些，知识再多一些，他们也就永远不会开始这项伟大的事业了。布尔巴基的成员以高度的热情开始进行工作。可是20世纪的数学已经发展到这样一个程度，即每一位数学家都必须专业化。也许只有少数象庞加莱和希尔伯特这样的大数学家才能掌握整个数学。而对于普通的数学家，要想对整个领域有一个全面的认识，并能抓住各个分支的内在关系，那是非常困难的。为了达到原来的目标—对数学所有分支中的基本概念加以阐明，然后在此基础上再集中于专门学科，布尔巴基的成员应该对于他所听到的所有东西都有兴趣，并且在一旦需要时，能够写书中的一章，即便那不是他们的专长。因此他们必须从一开始就要忘掉自己的专业。假如他是位狂热专迷的代数学家，说“我只对代数学有兴趣对其它东西一概不感兴趣”，那么他将永远不会成为布尔巴基的成员。布尔巴基所使用的工作方法极为冗长而且艰苦。他们一年举行两三次集会，一旦大家多多少少一致同意要写一本书或者一章论述某种专题，起草的任务就交给布尔巴基中想要担任的人。这样，他就由一个相当泛泛的计划中开始写一章或几章的初稿。一般来说，他可以自由的筛选材料，一两年之后，将所完成的初稿提交大会，然后一页不漏地大声宣读，接受大家对每个证明的仔细审查，并且受到无情的批评。如果哪一位有前途，有见解的青年被注意到并被邀请参加布尔巴基的一次大会，而且能经受住讨论会上“火球般”的攻击，积极参加讨论，就自然而然被吸收为新成员，但如果他只是保持沉默，下次决不会受到邀请。布尔巴基的成员不定期更换，年龄限制在50岁以下。虽然一个过50岁的人仍然可以是一位非常好的并且极富有成果的数学家，但是他很难接受新思想，接受那些比他年轻25到30岁的人的思想。为了避免这种迟早会导致布尔巴基的分裂的紧张关系，因此一开始,就决定布尔巴基的成员都要在50岁退出。在讨论会上，短兵相接的批判与反批判，不受年龄的限制，即便两人相差20岁，也挡不住年轻的责备年纪大的，说他对这个问题什么也不懂。大家都知道正确对待这种情况的方法是一笑置之。因此，在布尔巴基的成员面前，没有人敢自夸自己是一贯正确的。有时一个题目要几易作者，第一个人的原稿被否定，由第二个人重写，下次大会上第二个人的原稿也许会被撕得粉碎，再由第三个人重新开始。从开始搞某一章到它成书在书店中发卖，其间平均需要经历8到12年。

‘陆’ 《数学领域中的发明心理学》pdf下载在线阅读全文，求百度网盘云资源

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书名：数学领域中的发明心理学

作者：[法] 雅克·阿达玛

译者：陈植荫

豆瓣评分：8.3

出版社：大连理工大学出版社

出版年份：2016-1-1

页数：92

内容简介：

《数学领域中的发明心理学》在1945年出版发行，后又经再版重印，并被译为几种文字，影响甚大，是一本数学方法论方面的经典着作。在该书中，阿达玛追随庞加莱在巴黎心理学学会上的讲演的思想，着重论述了以“无意识思维”为核心的数学发明心理过程，给人以强烈印象。

作者简介：

雅克·所罗门·阿达马（Jacques Solomon Hadamard，1865.12—1963.10）是法国数学家。

‘柒’ 什么是反证法

反证法，又称归谬法、背理法，是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。
反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：
欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。

反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：
某命题：若A则B，则此命题有4种情况：
1.当A为真，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；
2.当A为真，B为假，则A→B为假，﹁B→﹁A为假；
3.当A为假，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；
4.当A为假，B为假，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；
∴一个命题与其逆否命题同真假
即关于〉=〈的问题：
大于 -〉反义：小于或等于
都大于-〉反义：至少有一个不大于
小于 -〉反义：大于或等于
都小于-〉反义：至少有一个不小于
即反证法是正确的。
与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A
假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的.
但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推出与﹁A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾.
步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。
（2）从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。
（3）由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。
反证法在简易逻辑中适用题型：
（1）唯一性命题
（2）否定性题
（3）“至多”，“至少”型命题

‘捌’ 实变函数、泛函分析是讲什么的

实变函数的内容

以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。

实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。

实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。

什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。

为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。

勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。

自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。

什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。

和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。

总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。

实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响。

泛函分析的产生

十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。

本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的着作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。

由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。

非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。

这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。

这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。

研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。

泛函分析的特点和内容

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。

正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。

泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。

半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。

泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。

‘玖’ 什么叫综合法什么叫分析法什么叫综合分析法什么叫反证法

一，综合法是把经济现象的各个部分、各个方面和各种因素联系起来，从总体上认识和把握经济现象的方法。

以综合法解应用题时，先选择两个已知数量，并通过这两个已知数量解出一个问题，然后将这个解出的问题作为一个新的已知条件，与其它已知条件配合，再解出一个问题，一直到解出应用题所求解的未知数量。

二，分析法是把复杂的经济现象分解成许多简单组成部分，分别进行研究的方法。

1，从求解的问题出发，正确地选择出两个所需要的条件，依次推导，一直到问题得到解决的解题方法叫做分析法。

2，用分析法解题时如果解题所需要的两个条件，（或其中一个条件）是未知的时候，就要分别求解找出这两个（或一个）的条件，一直到问题都是已知的时候为止。

3，分析法指从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一个显然成立的条件（已知量、定义、公理、定理、性质、法则等）为止，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法。也称为因果分析、逆推证法或执果索因法。

三，综合分析法是指运用各种统计综合指标来反映和研究社会经济现象总体的一般特征和数量关系的研究方法。

1，要深入钻研教材，剖析教学内容的逻辑层次。

2，分析要以对基本概念的正确理解为基础。

3，要抓住主导因素来进行。

4，要灵活运用综合与分析。

四，反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断(即反论题)的虚假来确立论题的真实性的论证方法。

反证法的论证过程如下：

1，首先提出论题;然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假;

2，最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。

在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。

反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。

(9)数学家阿达玛的四阶段是什么扩展阅读

一，法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

二，事物都有自己的原因和结果。从结果来找原因，或从原因推导结果，就是找出事物产生、发展的来龙去脉和规律，这就起到了证明论点的合理性和正确性的作用。基本思想是：由未知探需知，逐步推向已知。

三，综合法其实质在于： 抓住事物在总体上相互联结的矛盾的特殊性，研究这一矛盾如何决定事物的各种属性，如何在事物的运动中表现出整体的特性。它能够克服分析法的局限性，能够揭示事物在分割状态下无法显露出来的特性。

在认识事物的过程中，综合与分析是辩证统一的。综合必须以分析为基础，分析也要以先前综合的成果为指导，而且在一定条件下，综合与分析可以互相转化。