什么环不含单位元数学

㈠ 数学中，群、环、域、集分别是什么它们的范围不同吗

群：在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。

环(Ring)：是一类包含两种运算(加法和乘法)的代数系统，是现代代数学十分重要的一类研究对象。其发展可追溯到19世纪关于实数域的扩张及其分类的研究。

域：定义域，值域，数学名词，函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。

集合：简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。

范围：

群、环、域都是满足一定条件的集合，可大可小，可可数 也可 不可数，一个元素可以是群‘0’，三个也可以‘0，1，-1’，可数的：以整数为系数的多项式（可以验证也是环），当然R也是；环不过是在群的基础上加上了交换律和另外一种运算，域的条件更强（除0元可逆），常见的一般是数域，也就是：整数，有理数，实数，复数。

群，环，域都是集合，在这个集合上定义有特定元素和一些运算，这些运算具有一些性质。群上定义一个运算，满足结合律，有单位元（元素和单位元进行运算不变），每个元素有逆元（元素和逆元运算得单位元） 例整数集，加法及结合律，单位元0,逆元是相反数， 正数集，乘法及结合律，单位元1，逆元是倒数 环是一种群，定义的群运算（记为＋）还要满足交换律。

另外环上还有一个运算（记为×），满足结合律，同时有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由于×不一定有交换律，所以分开写。 例整数集上加法和乘法。 域是一种环，上面的×要满足交换律，除了有＋的单位元还要有×的单位元（二者不等），除了＋的单位元外其他元素都有×的逆元。 例整数集上加法和乘法，单位元0,1。

(1)什么环不含单位元数学扩展阅读

群、环、域代数结构：

群、环、域、向量空间、有序集等等，用集合与关系的语言给出来的统一的形式。首先，由于数学对象的多样性，有不同的类型的集。

如群表示的集为G×G.实际上，群涉及的是二元运算；而向量空间表示的集为F×F→F，F×V→V，V×V→V，向量空间涉及域F中的运算，域F中的元对V中元的运算，V中元的运算.引入基本概念——“合成”(如，群的合成就是乘法运算；向量空间的“合成”有F中的元对V中元的作用乘法，V中元的加法运算)，并且，要求“合成”适合给定的公理体系，得到的就是一个数学结构。

事实上，代数结构中，所有概念均可用集合及关系来定义，即用集合及关系的语言来表述。

做为基本概念，若仅仅着眼于“合成”(即“运算”)，则这种数学结构称为代数结构，或代数系(统).换言之，代数结构(代数系)就是带有若干合成(运算)的集合。

㈡ 请用通俗的语言解释一下数学中群，环，域的概念

群，环，域都是集合，在这个集合上定义有特定元素和一些运算，这些运算具有一些性质
群上定义一个运算，满足结合律，有单位元（元素和单位元进行运算不变），每个元素有逆元（元素和逆元运算得单位元）
例整数集，加法及结合律，单位元0,逆元是相反数，
正数集，乘法及结合律，单位元1，逆元是倒数
环是一种群，定义的群运算（记为＋）还要满足交换律。另外环上还有一个运算（记为×），满足结合律，同时有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由于×不一定有交换律，所以分开写
例整数集上加法和乘法
域是一种环，上面的×要满足交换律，除了有＋的单位元还要有×的单位元（二者不等），除了＋的单位元外其他元素都有×的逆元
例整数集上加法和乘法，单位元0,1

㈢ 一个环未必有一个单位元怎么解释

环的单位元的定义是：一个环R的一个元素e 叫做一个单位元，假如对于R的任意元素a都有ea=ae=a

因为环的乘法不一定满足交换律，所以可能会出现仅满足ea=a或仅满足ae=a的情况，这种情况下就没有单位元。

㈣ 抽象代数：域F上的一元多项式环F［x］是有单位元的环吗为什么

在Z[x]中x生成的理想(x)就是所有形如xf(x)的多项式 (f(x) ∈ Z[x]),
可进一步描述为常数项为0的整系数多项式.
考虑环同态φ: Z[x] → Z, φ(f(x)) = f(0), 易见φ是一个满同态, 即im(φ) = Z.
又可知ker(φ) = (x), 由同态基本定理即得Z[x]/(x)与Z同构.

㈤ 设R为交换环（不一定有乘法单位元）,若R有零因子但只有有限个零因子,证明:R是一个有限环

用反证法, 假设R是无限环, 但存在并只有有限个零因子.
设a是R中一个零因子, 则有a ≠ 0, 并存在b ≠ 0使ab = 0.
考虑映射φ: R → R, φ(x) = xa, 可知φ是R作为加法群到自身的同态.
易见, ker(φ)中的非零元都是零因子, 因此ker(φ)是有限群.
而R是无限群, 由同态基本定理, im(φ)同构于R/ker(φ)是无限集.
即当x取遍R中的元素, xa有无限种不同的取值.
但(xa)b = x(ab) = 0, 可知xa的非零取值都是R中的零因子.
于是R中有无限个零因子, 矛盾.
因此题目所述的环只能为有限环.

㈥ 数学上的群、域、环等有什么区别和联系

1、群(group)是两个元素作二元运算得到的一个新元素，需要满足群公理(group axioms)，即：

①封闭性：a ∗ b is another element in the set

②结合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

③单位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a

④逆 元：加法的逆元为-a，乘法的逆元为倒数1/a，… (对于所有元素)

⑤如整数集合，二次元运算为加法就是一个群(封闭性是显然的，加法满足结合律，单位元为0，逆元取相反数-a)。

2、环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R, +, ·)，需要满足环公理(ring axioms)，如(Z,+, ⋅)。环公理如下：

①(R, +)是交换群

封闭性：a + b is another element in the set

结合律：(a + b) + c = a + (b + c)

单位元：加法的单位元为0，a + 0 = a and 0 + a = a

逆 元：加法的逆元为-a，a + (−a) = (−a) + a = 0 (对于所有元素)

交换律：a + b = b + a

②(R, ·)是幺半群

结合律：(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)

单位元：乘法的单位元为1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a

③乘法对加法满足分配律Multiplication distributes over addition

3、域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。

由此可见，域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。整数集合，不存在乘法逆元(1/3不是整数)，所以整数集合不是域。有理数、实数、复数可以形成域，分别叫有理数域、实数域、复数域。

㈦ 什么是数学里面的环

环的定义
一个环是由一个集合R和两种二元运算 + 和 · 组成，这两种运算可称为加法和乘法。一个环必须遵守以下规律：

(R, +)形成一个可交换群，其单位元称作零元素，记作‘0’。即：
(a + b) = (b + a)
(a + b) + c = a + (b + c)
0 + a = a + 0 = a
∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
(R, ·)遵守：
1·a = a·1 = a （仅限于含幺环）
(a·b)·c = a·(b·c)
乘法关于加法满足分配律：
a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
(a + b)·c = (a·c) + (b·c)
注意乘法中的·常常被省略，所以 a·b 可简写为 ab。 此外，乘法是比加法优先的运算，所以 a + bc 其实是 a + (b·c)。

几类特殊的环
含单位元环：
在环的定义中，对于乘法单位(1)的存在并没有做明确的要求。如果一个环R对于乘法有单位元存在(称幺元素或幺元或单位元，记作‘1’)，则这个环称为含幺环或含单位元环。
交换环：
虽然环的定义要求加法具有交换律，但并没有要求乘法也具有交换律。如果我们上面定义的乘法具有交换性：ab=ba，那么这个环就称为交换环。
除环：
主条目：除环
如果含单位元环R去掉关于加法的单位元0后，对于乘法形成一个群（一般来说环R对乘法形成半群），那么这个环就称为除环。除环不一定是交换环，比如四元数环。交换的除环就是域。
无零因子环：
一般来说环R对乘法形成半群，但R\{0}对乘法不一定形成半群。因为如果有两个非零元素的乘积是零，R\{0}对乘法就不是封闭的。如果R\{0}对乘法仍然形成半群，那么这个环就称为无零因子环。
这个定义实际上等价于任意两个非零元素的乘积非零。
整环：
主条目：整环
整环是含单位元的无零因子的交换环。例如多项式环和整数环。
主理想环：
主条目：主理想环
每一个理想都是主理想的整环称为主理想环。
唯一分解环：
主条目：唯一分解环
如果一个整环R中每一个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.
商环：
主条目：商环
素环：
主条目：素环
例子：
整数环是一个典型的交换且含单位环。
有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。
所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。
n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。
环的理想
主条目：理想
右理想： 令R是环， 那么环R与其加法 + 构成阿贝尔群。令I是R的子集。那么I称为R的右理想 如果以下条件成立：

(I, +) 构成 (R, +) 的子群。
对于任意 和 有 。
左理想： 类似地，I称为R的左理想如果以下条件成立：

(I, +) 构成 (R, +) 的子群。
对于任意 和 有 。
如果I既是右理想，也是左理想，那么I就叫做双边理想，简称理想。

例子：

整数环的理想：整数环Z只有形如的nZ理想。

除环的理想：除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。
一般性质：

定理1 在环中，(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想。

定理2 在环中，(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想。
对于R的两个理想A，B，记。按定义不难证明下面的基本性质：

(1) 如果A是R的左理想，则AB是R的左理想；
(2) 如果B是R的右理想，则AB是R的右理想；
(3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。
如果A环R的一个非空子集，令<A>=RA+AR+RAR+ZA，则<A>是环R的理想，这个理想称为R中由A生成的理想, A称为生成元集。同群的生成子群类似，<A>是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：
(1) 当是交换环时，<A>=RA+ZA
(2) 当是有单位元1的环时，<A>=RAR
(3) 当是有单位元交换环时，<A>=RA
主理想：如果是个n元集合，则记，称是有限生成理想.特别当是单元素集时，称为环R的主理想。注意作为生成元一般不是唯一的，如。的一般形式是：

性质：
几类特殊环中的主理想：
(1) 如果是交换环，则
(2) 如果是有单位元的环，则
(3) 如果是有单位元的交换环，则
真理想： 如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。
极大理想： 一个真理想I被称为R的极大理想，如果没有其他真理想J,使得I是J的真子集。
极大左理想：设 I 是环R的左理想，如果并且在 I 与R之间不存在真的左理想，则称 I 是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
(1)如果 I 是极大左理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。
(2)极大理想未必是极大左理想。
除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不对，即存在不是除环的单环。
定理1 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
定理2 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R / I是域。
定理3 设 I 是环R的左理想，则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有I + J = R。
素理想：真理想I被称为R的素理想，如果对于R的任意理想A，B， 可推出 或 。
素环：如果环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。无零因子环是素环。在交换环R中，真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：R / I是素环.
半素理想：设 I 是环R的理想，并且。如果对任意理想P，由，可得，则称 I 是环R的半素理想。
显然，半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。