如何证明离散数学中的自反性

① 一道离散数学证明题, 设x上的关系R,S是自反的,试证R.S ,R∩S也是自反的.

若R与S是集合A上的自反关系,
则任意x∈A,＜x,x＞∈R,
＜x,x＞∈S,
从而＜x,x＞∈R∩S,
注意x是A的任意元素,
所以R∩S也是集合A上的自反关系．

② 想问一下离散数学的自反和反自反、对称和反对称的判断问题

书上的这些关系性质的定义中，一阶逻辑公式的变项x,y的取值是全总个体域，所以辖域内有x∈A，y∈A的限制。实际上我们只是在集合A中考虑的，所以这些定义完全可以去掉那些x∈A，y∈A的限制。
在集合A作为个体域时，定义是
（1） 若任意x(<x,x>∈R)，则称R在A上是自反的。
（2） 若任意x(<x,x>不属于R)，则称R在A上是反自反的。
（3） 若任意x任意y(<x,y>∈R→<y,x>∈R)，则称R为A上对称的关系。
（4） 若任意x任意y(<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)，则称R为A上的反对称关系。
这样，看起来就简洁了。
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1、判断自反、反自反时，就是看所有的<x,x>。如果所有的<x,x>都在R中，R自反。如果所有的<x,x>都不在R中，R反自反。如果只有一部分<x,x>在R中，则R既不自反也不反自反。

2、集合A上的关系R是笛卡尔积A×A的子集，只要A中的<x,y>保证x,y∈A即可，x,y不用取遍A中所有元素。
对称、反对称定义中的辖域是一个蕴涵式，比如对称的定义中，蕴涵式的前件是x,y∈A∧<x,y>∈R，后件是<y,x>∈R。前件有两部分，x,y∈A，<x,y>∈A，其中x,y∈A是肯定的，否则有什么讨论的意义呢。前件假，整个蕴涵式真。所以我们只考虑前件真时后件是真是假就行了。前件真的时候就是<x,y>∈A，我们我们考虑的是从R中任取一个<x,y>，如果<y,x>也都在R中，则R对称。
对于反对称也是一样的，从R中找出<x,y>与<y,x>，看x与y是否相等。

③ 离散数学中 R1R2都是自反的 R1。R2是自反的吗求证明

如果R1，R2是在不同集合A，B上的二元关系那就是错的
设R1={<1,2>,<2,1>,<1,1>,<2,2>}（自反，A={1，2}）
R2={<2,3>,<3,2>,<2,2>,<3,3>}（自反，B={2，3}）
R1右合成R2={<1,2>,<1,3>,<2,2>}非自反
如果R1，R2是在同一个集合A上的二元关系那是对的
自反就是A中所有元素x都有<x,x>在R里
R1，R2自反则恒等关系IA是R1和R2的子集
即任意x属于A，<x,x>属于R1的同时也属于R2
R1右合成R2自反

④ 离散数学中的自反，反自反，对称，反对称关系怎么用图示表示

自反，就是节点处画一个自己到自己的有向环。

反自反，没有一个自己到自己的有向环。

对称，就是每一条关系线，都对应一个反方向的关系线。

反对称，就是没有一对，关系箭头方向相反的关系线。

⑤ 关于离散数学的自反问题

设有一个关系R，集合A，如果A中的任意元素x都满足：xRx，则关系R是自反的。
就用的例子来说，在整数集中，任意取一个数字x，都满足：x小于等于x
所以：小于等于关系是自反的。
假设有一个集合A={1,2,3,a,b,c} B={1,2,b}
则A包含B，B包含于A
B中所有的元素都能在A中找到

⑥ 大一离散数学自反性，反自反性怎么区分，求讲。

设R是A上的二元关系：

自反：任取一个A中的元素x，如果都有<x,x>在R中，那么就成R在A上是自反的。

反自反：任取一个A中的元素x，如果都有<x,x>不在R中，那么就成R在A上是反自反的。

在关系矩阵上的表示：

自反：主对角线上的元素都是1。

反自反：主对角线上的元素都是0。

在关系图上的表示：
自反：每一个顶点都有环。
反自反：每一个顶点都没有环。

(6)如何证明离散数学中的自反性扩展阅读：

离散数学自反性，反自反性的总结：

生活中的次序关系也就是序偶的一种现实体现。两个元素x，y按照一定的次序组成的二元组称为有序偶对。

由于序偶是有次序的，所以序偶的相等是对应位置上对应元素的相等。推广序偶的思想，是定义任意n个元素的有序序列，也可以叫做n重有序组。基本的序偶定义了，因而可以在集合的层面上定义集合之间的关系。

序偶和集合联系在一起可以得到笛卡尔积的概念。集合A X B的元素是序偶，序偶中的第一元素取自A，第二元素取自B，同时集合A与B的笛卡尔积仍然是一个集合。笛卡尔积不满足交换律。涉及到笛卡尔积的证明题就有集合方面的证明。

和第一章涉及到的集合的证明题类似。将题目过程分解，一般是先确定序偶第一元素所属的集合以及第二元素所属的集合，然后根据并运算以及交运算的定义确定逻辑语言上的从属关系，转化出等效表达，然后再根据定义转化回数学语言，最后完成证明。

关键是利用笛卡尔积的定义确定从属集合情况。还有利用第二章的几个计数定理确定集合的数目以及必然存在性。

这里开始研究关系的定义。A X B的任意子集就是就是从集合A到集合B的一个二元关系，简称关系。

R为空集的时候就是空关系，当R自反时为恒等关系，当这个子集等于原集合时为全关系。A为关系R的前域，B为关系R的后域，同时对于C和D有C为定义域D为值域，两个集合的并集为域。

会考察关系的定义域值域以及域，确定好每个关系的第一元素和第二元素就可以解决问题。

由以上的讨论可知道关系的表示可以枚举表示。同时还可以用有向图以及布尔矩阵表示出关系。由于关系可以用布尔矩阵表示，因而也可以相应地对布尔矩阵使用并运算交运算以及布尔积。

同时这些运算还涉及到交换律、结合律以及分配律。关系是以序偶为元素的特殊集合，因而可以对它用集合的所有运算。交并差与第一章相同，注意补运算是相关于原本的集合笛卡尔积的。在此基础上关系可以进行复合运算。

复合运算的本质是合成，通过中间元素确定前域以及后域。基于关系图的处理要注意搭建中间桥梁，基于关系矩阵时可以直接进行布尔积运算，然后根据结果矩阵写出答案。

这里相关的证明题和之前证明的思路类似，只需引入一个复合运算需要的中间变量完成综合分析即可。同时这里还要能够举出反例完成题目的说明。

相应的关系也会有逆运算。逆运算就是交换前域后域，对于关系图的转化是改变有向图的指向方向，对于关系矩阵就是将其转置。相关的证明延续之前的思路。关系的幂运算基于复合运算的原理，幂集的基数会单调不增。

关系还有一些特殊的性质。自反性与反自反性，对称性与反对称性，还有传递性。自反反自反以及对称反对称都是不是非黑即白的，存在既不属于这个也不属于那个的情况。

判断自反看关系图的自环情况以及关系矩阵的对角线，对称性与反对称性要看节点之间的连线情况，存在既是对称也是反对称的情况。

传递关系的关系图和矩阵判断可能相对不会太好看，主要是要确定存不存在中间连接。对于抽象的关系上述的方法不太方便，于是要用到集合关系上的判定定理。几个公式以及相关的判断定理要记住并理解。

关系还有闭包运算。闭包运算的重点是确定是否添加最少的元素以及是否具备对应的性质。闭包也有相关的定理公式，这里要注意的是定义证明以及数学归纳法的使用。

⑦ 设X上的关系R和S是自反的,试证明 R和S的复合是自反的

证明如下：

若R与S是集合A上的自反关系，则任意x∈A,＜x,x＞∈R,＜x,x＞∈S,

复合关系的定义是:设R为X到Y的关系，S为从Y到Z的关系。

则RoS称为R和S的复合关系，表示为 RoS＝{|x∈X∧z∈Z∧(彐y)(y∈Y∧∈R∧∈S)}

从而＜x,x＞∈RoS,注意x是A的任意元素，所以RoS也是集合A上的自反关系．

⑧ 离散数学里面的自反还是反自反怎么判断

如果主对角线全是1 就是自反
主对角线全是0，就是反自反
矩阵判断最简单

⑨ 离散数学中，对于空关系的性质，自反与反自反怎么理解

关系是一个集合，空关系对应空集。
集合论中，为了集合运算构成代数系统，规定：空集是任何集合的子集。
注意是规定。而关系的研究手段是借助于集合，因此空关系这个集合是自反关系集合以及反自反关系集合的子集。
所以，从逻辑上来说，或本质上说，空关系是自反与反自反的是一种规定。