同一法证明数学问题为什么正确

‘壹’ 高中数学解题时都涉及到那些数学思想

一、高中数学重要数学思想
一、 函数方程思想
函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。
1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；
2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；
3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。
二、 数形结合思想
数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。
4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.
5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。
6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领：
(1) 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；
(2) 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点，顶点是关键点），作好知识的迁移与综合运用；
(3) 对于以下类型的问题需要注意： 可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点 及余弦定理进行转化达到解题目的。
三、 分类讨论的数学思想
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：
（1）涉及的数学概念是分类讨论的；
（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；
（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；
（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究。
四、 化归与转化思想
所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难解问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。
立体几何中常用的转化手段有
1.通过辅助平面转化为平面问题，把已知元素和未知元素聚集在一个平面内，实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化；
2.平移和射影，通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题，化未知为已知的目的；
3.等积与割补；
4.类比和联想；
5.曲与直的转化；
6.体积比，面积比，长度比的转化；
7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。
二、中学数学常用解题方法
1. 配方法
配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式.高考中常见的基本配方形式有：
（1)a^2+b^2= (a + b)^2- 2ab = (a -b)^2+ 2ab;
（2）a^2+ b^2+c^2= (a＋b + c)2- 2 ab – 2 a c – 2 bc;
（3）a^2+ b^2+ c^2-ab–bc–a c = [(a-b)^2+ (b-c)^2+(a-c)^2];
（配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，求解与证明及二次曲线的讨论。
2.待定系数法
一 待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决。待定系数法的主要理论依据是：
（1）多项式f(x)=g(x)的充要条件是：对于任意一个值a，都有f（a）＝g(a);
（2）多项式f(x) ≡g(x)的充要条件是：两个多项式各同类项的系数对应相等；
二 运用待定系数法的步骤是：
（1）确定所给问题含待定系数的解析式（或曲线方程等）；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决；
三 待定系数法主要适用于：求函数的解析式，求曲线的方程，因式分解等。
3.换元法
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中数学中换元法主要有以下两类：
（1）整体换元：以“元”换“式”； （2）三角换元 ，以“式”换“元”；
（3）此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等；换元法应用比较广泛。如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体置换的策略。
4.向量法
向量法是运用向量知识解决问题的一种方法，解题常用下列知识：
（1）向量的几何表示，两个向量共线的充要条件；（2）平面向量基本定理及其理论；
（3）利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题；
（4）两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式；
5.分析法、综合法
（1）分析法是从所求证的结果出发，逐步推出能使它成立的条件，直至已知的事实为止；分析法是一种“执果索因”的直接证法。
（2）综合法是从已经证明的结论、公式出发，逐步推出所要求证的结论。综合法是一种“由因导果”，叙述流畅的直接证法。
（3）分析法、 综合法是证明数学问题的两大最基本的方法。分析法“执果索因”的分析方法，思路清晰，容易找到解题路子，但书写格式要求较高，不容易叙述清楚，所以分析法、综合法常常交替使用。分析法、 综合法应用很广，几乎所有题都可以用这两个方法来解。
6.反证法
反证法是数学证明的一种重要方法，因为命题p与它的否定非p的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题（即命题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。
一 反证法证明的一般步骤是：
（1）反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）归谬：从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛盾的结果；
（3）结论：有矛盾判定假设不正确，从而肯定的结论正确；
二 反证法的适用范围：（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的命题；
（2）结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题，特别是结论是否定形式（“不是”、“不可能”、“不可得”）等的命题；（3）涉及各种无限结论的命题；（4）以“最多（少）、若干个”为结论的命题；（5）存在性命题；（6）唯一性命题；（7）某些定理的逆定理；
（8）一般关系不明确或难于直接证明的不等式等。
三 反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律”。
7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法等.

‘贰’ 怎样证明一个初中数学问题已知线段成比例，证明分这两条线段成比例的线段平行

解：用同一法证明，具体步骤如下：
过D作DM//BC交AC于M
由平行线分线段成比例，得AD/AB=AM/AC
又有AD/AB=AE/AC
则E、M重合
所以DE//BC

‘叁’ 数学归纳法为什么是对的如何证明其正确性

从严格的数学角度来说，数学归纳法是一个严格的数学定理，注意不是公理。它是可以在集合论的一系列公理下被证明的。证明如下：

数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中：

第一步：验证n取第一个自然数时成立。

第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

最后一步总结表述。

需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：

证明1：所有的马都是一种颜色。

首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。

第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：

1, 2, 3……n, n+1。

对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色。

对（2、3……n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色。

由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。

这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立。

而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。

合理性

数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：

自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）。

比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1。

下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：

对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。

对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S的，所以k>1）。

k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。

注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。

以上内容参考网络-数学归纳法

‘肆’ 一道数学证明题！谁会啊~！

利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线）
例2
、如图，以锐角ΔABC的一边BC为直径作⊙O，过点A作⊙O的两条切线，切点为M、N，点H是ΔABC的垂心.求证：M、H、N三点共线。(96中国奥数)
证明：射线AH交BC于D，显然AD为高。
记AB与⊙O的交点为E，易知C、H、E三点共线。
联结OM、ON、DM、DN、MH、NH，
易知
，
∴A、M、O、D、N五点共圆，更有A、M、D、N四点共圆，
此时，
因为
（B、D、H、E四点共圆），
即
；又
，所以
，故
同理，
。
因为
，所以，M、H、N三点共线。
3、利用面积法
如果
，点E、F位于直线MN的异侧，则直线MN平分线段EF，即M、N与EF的中点三点共线。
例3
、如图，延长凸四边形ABCD的边AB、DC交于点E，延长边AD、BC交于点F，又
M、N、L分别是AC、BD、EF的中点，求证：M、N、L三点共线。
证明：设BC的中点为O，辅助线如图所示，
由
可知，
点O必在
内，此时，
同理，
。
因此
。此时，直线MN平分EF，即M、N、L三点共线。
注：利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。
4、利用同一法
尽管同一法是一种间接证法，但它却是一各很有用的证法，观察例4后，你会感到，同一法在证明三点共线问题时，也有其用武之地。
例4
、如图4(a)，凸四边形ABCD的四边皆与⊙O相切，切点分别为P、M、Q、N，设PQ与
MN交于S，证明：A、S、C三点共线。
证明：如图4(b)，令PQ与AC交于
，
易证
互补。
而
，则
，
故
。再令MN与AC交于
。同理可得
但
，所以
。利用合比性质得，
。
因此，
，可断定
与
必重合于点S，故A、S、C三点共线。
注：观察本题图形,显然还可证得B、S、D三点共线；换言之，AC、BD、PQ、MN四线共点。
5、利用位似形的性质
如果
与
是两个位似三角形，点O为位似中心，那么不仅A、
、O；B、
、O；C、
、O分别三点共线，而且
、
的两个对应点与位似中心O也三点共线，位似形的这种性质，对于证明三点共线，颇为有用。
例5、如图,
内部的三个等圆⊙
、⊙
、⊙
两两相交且都经过点P，其中每两个圆都与
的一边相切,已知O、I分别是
的外心、内心，证明：I、P、O三点共线。
证明：联结
、
、
。由已知得
、
、
。
可断定
与
是一对位似三角形，
且易知
的内心I是两者的位似中心。
因为⊙
、⊙
、⊙
为等圆，
即
,
所以点P是
的外心。又点O是
的外心，故P、O两点是两个位似三角形的对应点，利用位似形的性质，即得I、P、O三点共线。
6、
利用反证法
有的几何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的。
例6、如图，梯形ABCD中、DC//AB，对形内的三点
、
、
，如果到四边距离之和皆相等，那么，
、
、
三点共线，试证之。
证明：先看
两点，
设直线
分别交AD、BC于M
、N，
于
，
于
，
于
，
于
。
因为DC//AB，则点
到AB、CD的距离之和等于点
到AB、CD的距离之和。由已知可得
。过点
作AD的平行线、过点
作BC的平行线得交点P（由于AD与BC不平行）。记
交
于G，
交
于H。
观察上式有
。所以，
。
因为
有两条高
，所以，
是等腰三角形，则
。
故
。
再用反证法证明点
一定在
上：假设点
不在
上，联结
并延长分别交AD、BC于
，易知点
在MN的异侧；因为点
到AD、BC的距离之和等于点
到AD、BC的距离之和，由上述证明过程知必有
。
事实上，观察图形只能得到
，矛盾，这说明点
必在
上，即MN上，因此
、
、
三点共线。

‘伍’ 求证明。数学题目怎么证明

可以用同一法。
直观上有AF=AE=AS（后一个是待证明的）。假如如果该式成立，则有△ASE相似于△CED（虽然这用的是不合法的‘SSA’，但在AE=AS的条件下，两个三角形都是锐角三角形，因此必须是相似的。）
证明AE=AS可以用同一法（因为在△ABC被确定后整个图形是唯一确定的。我们反过来给定S，证明D是内接圆的切点。）过A点作直线l平行于BC。l上取点S'，使AS’=AE且S’与F在AC的异侧。作射线S’E交BC于点D'。由AS平行于BC知∠SAE=∠ECD；又由∠AES=∠CED，知△ASE’相似于△CD’E。故CE=CD’，因此D’是内切圆的切点。进而命题成立。

不知解答思路如何？谢谢你的问题，它帮助我找回了对几何的兴趣。

‘陆’ 数学方法 同一法

在符合同一法则的前提下,代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法.同一法是间接证法的一种。当要证明某种图形具有某种特性而不易直接证明时，使用此法往往可以克服这个困难。
用同一法证明的一般步骤是:
(1)不从已知条件入手,而是作出符合结论特性的图形;
(2)证明所作的图形符合已知条件;
(3)推证出所作图形与已知.

可以将求证与任意一题设交换证明，即已知逆命题的求解

‘柒’ 高中数学的数学归纳法证明为什么是正确的我对此抱有质疑态度。让n=1然后确实成立了，这时假设n=k

假设n=k成立，n=k就是条件，无条件成立，假设什么成立不需要条件。