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数学中非线性的解是什么

发布时间:2022-09-06 23:34:27

⑴ 什么叫非线性数学

北京大学非线性科学中心朱照宣(阅读全文)

什么是非线性?非线性是一个数学名词,它指两个量之间没有象正比那样的“直线”关系。自然科学和工程技术中有许多问题要用到非线性的数学模型,比如,采用了非线性模型以后,可以说明为什么同一个前提会导致几种不同的后果,可以说明什么时候两种效应不能“叠加”(superposition),这两种现象会怎样彼此影响、发生“耦合”作用。

各门学科有各自的非线性问题,激光理论中有不少非线性光学问题,工程结构变形大的情况中要用非线性的结构力学,无线电技术中涉及非线性的振荡理论,说明化学反应中出现的螺纹波的起源,要用合适的非线性数学模型,等等。“非线性科学”是否管各门学科里所有非线性的问题呢?不是。真是那样的话,从数学的观点看来,线性是非线性的特殊情况,也可以算是非线性的一种,如果非线性科学里的“科学”又指所有学科,那么非线性科学就成为包罗一切的一门万能科学,也就甚么具体问题也不解决了。非线性科学只考虑各门学科中有关非线性的共性问题,特别是那些无法从线性模型稍加修正(比如摄动理论)还可解决的问题,再加上它自身理论发展所需要的一些概念方法等,这才是非线性科学的研究对象。共性很多地方表现为数学规律相同,因此数学在非线性科学里起很大作用;但数学在这里只是作为一种说明共性的手段,非线性数学(如果有这样一门学科的话,但一般不赞成这样的提法)只能用来解决由于非线性共性引起的某些数学问题,而另一些非线性共性虽然确实存在,但目前还很难用数学理论来处理。非线性科学和数学有密切关系,但不是一门数学。从学科性质说,非线性科学不是基础应用研究,而是基础性研究。钱学森1992年2月26日在科协全委会议讲话《再谈基础性研究》中说,“国家科委的基础性研究项目一共有12项,其中只有第一项是真正的基础研究,就是关于非线性科学的研究;还有一项可能是12项中排在最后,还没有定下来的,是经络研究。其他10项都是基础应用研究。”

从伽里略-牛顿(Galileo-Newton)时代开始有精确自然科学起,就碰上了非线性问题:伽里略研究过的摆和牛顿研究过的天体运动,都是非线性力学中的典型问题。19世纪经典力学两大难题——刚体定点运动和三体问题——就是上两个问题的继续,它们曾难倒了不少科学家,也因而推动了经典力学。19世纪末庞加莱(H.Poincare)正是在总结整个世纪这方面进展的基础上,提出不少新的理论和方法,当前非线性科学中的很多概念和思想,都本源于庞加莱。可以说非线性科学应当从20世纪初庞加莱开始算起,20世纪上半叶促进非线性科学发展的,有数学中的微分方程定性理论和无线电技术所需要的非线性线路理论,它们的结合引起“非线性振动理论”这一分支的成长。近二三十年非线性科学则又由于计算机的广泛引用而更兴旺起来,计算机不仅是数值计算的工具,也为非线性现象和理论分析提供了新的思想,促进这种发展的,还有数学中动力〔学〕系统理论的成长,以及统计物理学中不少成果,如重正化理论。非线性科学的研究范围究竟有多大,目前没有共同的标准。比如,近年来在学术界颇有影响的几“论”——普里高津(I.Prigogine)的耗散结构论,哈肯(H.Haken)的协同论,以及托姆(R.Thom)的突变论,也有人认为应算属于非线性科学。确实,这三“论”中许多定量的分析、一些概念和方法(如分岔(bifurcation)、自组织(self-organization)、图型(pattern)、分数维等),是和非线性科学相同的。但是,这几“论”还有不少内容是企图说明某些更一般的、涉及自然界甚至社会现象的普遍规律,有些则是带有哲理性或思辨性的论断。后面这些,我们宁愿不把它算在非线性科学范围内。非线性科学中,应该包括哪些可以有定量分析、精确计算、数学理论或实验研究的部分,大家的看法也并不一致,但一般认为,以下三项内容是它的不可少的组成成分或者是它的主体:孤立波(soliton),分形 (fractal),混沌(chaos)。

孤立波,以及相应的孤立子的研究,是这三者中发展较早的一个。当然它的发现可以追溯到 19世纪,即使是对它的理论和实验研究,在20世纪50-60年代也已较多。到今天,除了沿它自身体系发展外,由于它在数学处理上已取得不少经验,我们指望从而得到了解其他非线性现象中图型形成的机理。比如,有空间传播性能的波形不变的非线性现象,可以认为是系统中由于自组织而“降维”,在数学上和非线性振动中的所谓同宿解有关。对其他非线性现象的理解可能从孤立波已有成果得到借鉴。

分形和不规则形状的几何有关。人们早就熟悉从规则的实物抽象出诸如圆、直线、平面等几何概念,芒德波罗(B.B.Mandelbrot)则对曲曲弯弯的海岸线、棉絮团似的云烟找到合适的几何学描述方法——分形。早期概念中的分形要求整体和它的各个局部都相似,即具有“自相似性”(self-similarity)。正如天下没有绝对圆的东西、几何学里的圆存在于数学家脑袋中一样,完全自相似的分形也只是一种数学抽象。当今概念中的分形(多重分形 (multifractals))对自相似性作了适当的修正和推广,使分形更能接近现实的事物。这套几何工具在处理许多非线性现象时是很有效的。分形理论开始是在各种物理或真实例子里寻找应用,后来人们则进一步研究那些具有分形几何特征的事物具有什么样的物理规律,研究分形形状的事物是如何随时间演化的。分形理论出现较晚,它的数学准备不象孤立波那样充分,目前它的数学理论和实际应用之间距离还较大,有些数学概念还得从头重新建立。比如,微积分里导数是和光滑曲线的斜率相联系的,对于曲曲弯弯海岸线那样的曲线,导数又怎样定义?如果象微分积分那样的操作都没有,那就很难做进一步的定量的研究。分形数学和分形物理的结合还刚开始。

混沌指一种貌似无规的运动,但支配它这种运动的规律却可用确定型的方程来描述。上面提到的庞加莱在总结天体力学中的问题时,已经对这种现象有了认识。到20世纪50年代,有些物理学家(如玻恩(M.Born))也已明确知道经典力学中会有长期动态的不可预测性。但混沌现象和理论开始受到重视,一般认为契机于60年代两件事。一是罗仑兹(E.Lorenz)在天气预报方程的研究中发现,尽管描述用的方程是确定性的,天气长期动态却是不可预测的。另一是,几位数学家证明了有关经典力学动态的一个定理,即现在按他们的姓称谓的卡姆(KAM)理论。这两件事也分别代表混沌理论两类对象和两种方法:罗仑兹的对象是耗散系统(这类系统和周围环境有联系、有交往,它们在自然和工程中都有),而卡姆的对象是保守系统(当作是孤立的、封闭的,它们在天体研究和统计物理中常见)。罗仑兹依靠的是数值计算,卡姆用的是严格数学推理,这两种方法在混沌理论研究里都是必不可少的。当前混沌理论所面临的数学情况比分形理论好些,但不如孤立波。现有的数学有的对混沌理论很起作用,也有些问题则还没有找到称手的数学工具。

以上三项内容是彼此联系着的,也还和其他问题有关。当一个系统或事物里有可调的参量( 设参量自身不参与随时间变化),参量不同会引起系统长期动态发生什么根本的(定性)变化,这是“分岔理论”所关心的问题。当参量变化跨越某些临界值(叫做分岔点),系统将有根本的转变,比如孤立波失稳了,或者一种分形结构变化了,混沌过程变成周期振荡了,等等。再有,如果在一系统或事物的演化中,从时间过程看有混沌,而在空间分布上又有变化着的分形图型,就得时空联系起来研究图型的动力学。正是本着这样的观点,在《非线性科学》这个重大项目里的各个课题,是既有分工又有联系。

在《非线性科学》项目里目前定下的课题有15个,分两类。一类是研究已明确各类非线性系统所共有的那些问题,如上面提到的内容。另一类是某几个特殊的非线性系统,如等离子体、流体力学中的湍流、生命科学中个别的问题。研究这些“个性”,目的是为了更好地了解 “共性”,或者发现一些新的“共性”。第一类的9个课题是:1)可积系统的数学理论;2) 孤〔立〕子实验与物理特性;3)耗散系统混沌的深入研究;4)保守系统的混沌行为;5)量子混沌;6)混沌实验研究;7)分形的数学理论;8)分形的物理机理;9)非线性发展方程描述的无穷维系统。属于第二类的有6个课题:10)时空离散系统的基本机理;11)随机力对非线性系统的作用;12)湍流的动力学途径研究;13)生命系统中若干非线性现象;14)等离子体中相干结构、混沌与湍流相互关系的研究;15)固态物质损伤演化的非线性动力学。

http://www.acumox.org/blogs/xp/2005/2/10/

⑵ 非线性是什么意思与线性的区别是什么

非线性是自然界复杂性的典型性质之一,那么你对非线性了解多少呢?以下是由我整理关于什么是非线性的内容,希望大家喜欢!

什么是非线性
非线性(non-linear),即 变量之间的数学关系,不是直线而是曲线、曲面、或不确定的属性,叫非线性。非线性是自然界复杂性的典型性质之一;与线性相比,非线性更接近客观事物性质本身,是量化研究认识复杂知识的重要 方法 之一;凡是能用非线性描述的关系,通称非线性关系。

狭义的非线性是指不按比例、不成直线的数量关系,无法用线性形式表现的数量关系,如曲线、曲面等。而广义上看,是自变量以特殊的形式变化而产生的不同于传统的映射关系,如迭代关系的函数,上一次演算的映射为下一次演算的自变量,显然这是无法用通常的线性函数描绘和形容的。很显然,自然界事物的变化规律不是像简单的函数图像,他们当中存在着并非一一对应的关系。如果说线性关系是互不相干的独立关系,那么非线性则是体现相互作用的关系,正是这种相互作用,使得整体不再是简单地全部等于部分之和,而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。
线性与非线性的区别
非线性是相对于线性而言的,是对线性的否定,线性是非线性的特例,所以要弄清非线性的概念,明确什么是非线性,首先必须明确什么是线性,其次对非线性的界定必须从数学表述和物理意义两个方面阐述,才能较完整地理解非线性的概念。

(1) 线性

对线性的界定,一般是从相互关联的两个角度来进行的:其一,叠加原理成立:“如果ψl,ψ2是方程的两个解,那么aψl+bψ2也是它的一个解,换言之,两个态的叠加仍然是一个态。”叠加原理成立意味着所考察系统的子系统间没有非线性相互作用。其二,物理变量间的函数关系是直线,变量间的变化率是恒量,这意味着函数的斜率在其定义域内处处存在且相等,变量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。

(2) 非线性

在明确了线性的含义后,相应地非线性概念就易于界定:

其—,“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L(aφ+bψ)=aL(φ)+bL(ψ)的算符”,即叠加原理不成立,这意味着φ与ψ间存在着耦合,对(aφ+bψ)的操作,等于分别对φ和ψ操作外,再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的操作,或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。

其二,作为等价的另—种表述,我们可以从另一个角度来理解非线性:在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中,一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或 其它 变量的相应变化是不成比例的,换言之,变量间的变化率不是恒量,函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方,概括地说,就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。可以说,这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现,也是非线性系统复杂性的根源。

对非线性概念的这两种表述实际上是等价的,其—叠加原理不成立必将导致其二物理变量关系不对称;反之,如果物理变量关系不对称,那么叠加原理将不成立。之所以采用了两种表述,是因为在不同的场合,对于不同的对象,两种表述有各自的方便之处,如前者对于考察系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的,后者对于考察特定的变量间的关系(包括变量的时间行为)将是方便的。

关于非线性概念需要强调的是,线性或非线性的提法是相对于物理变量而言的,也就是说,只有物理变量的关系才是判断是否是非线性的根据,而非物理变量的关系不能成为非线性与否的判据。这里所说的物理变量是指那些可以观测的、人们感兴趣的、对人类有意义的变量。例如分形理论中,简单分形的分维D是恒量,在无标度区间内lnN=DlnL,lnN与lnL是线性关系,但是显然不能籍此得出简单分形是线性的结论。这里的物理变量是N和 L,而不是经过对数变换的nN与lnL,即人们可观测的、感兴趣的、对人们有意义的是N和L,而不是lnN和lnL,N与L的关系N=LD是非线性的,所以可得出分形是非线性的结论。再如,物价对时间的直接关系(而不足Mandbrolt所统计的棉花价格指数的无标度性)正是人们感兴趣的、对人们有意义的,而且两者的关系是非线性的,所以物价随时间的变化是一种非线性现象。
非线性的性质
非线性科学正处于发展过程之中,它所研究的各门具体科学中的非线性普适类,有已经形成的 (如混沌、分形、孤子),有正在形成的(如适应性与自涌行为),还会有将要形成的,所以非线性的性质还没有完全呈现出来,这里也就不可能全面地讨论非线性的性质。下面仅从“非线性与线性的关系”、“非线性的物理机制”和“非线性与稳定性”三个方面作初步探讨。

(1) 非线性与线性的关系

非线性与线性是相对而言的,两者是一对矛盾的概念,一方面两者在一定程度上可以相互转化,另一方面两者又存在本质区别,再者两者同时存在于—个系统中,规定着系统相应方面的性质。

①非线性与线性的密切联系

首先,在数学上一些线性方程可转化为非线性方程来解。物理上的一些非线性问题,也可以通过数学变换而转化为线性方程来研究。如非线性的KdV方程通过散射反演方法化为线性的可积方程,从而求出了精确的解析解;一些非线性不强的问题,可用线性逼近方法将其转化为若干线性问题来求近似解,这是已在各门学科中广泛采用并相当有效的的方法。

其次,在某些情况下,由方程得到的解析解并不能提供更多的信息,无助于更好地理解系统的行为,而从解的非线性形式中,我们却可以方便地得到所研究系统的重要性质。如:考虑这样一个简单方程:d2X/dt2+X=0,它的解是X=Acos(t)+Bsin(t),从这个非线性形式中,我们容易知道它是个周期函数,满足cos(t+2π)=cos(t),sin(t+2π)=sin(t)。而从cos(t)和sin(t)的解析形式中,极难证明其具有相应的周期性这一重要性质。所以,认为线性方程可以得到解析解, 非线性方程难以得到解析解,因而线性能给出比非线性更多的有用信息是不确切的。这意味着,对某些问题从非线性的角度考察不仅是可能的,而且有时也是必要的。

所以,线性与非线性在一定程度上是可以相互转化的,这表明了线性与非线性之间有密切的联系。

②非线性与线性的本质区别

非线性与线性虽然可以通过数学变换而相互转化,在数学上有一定的联系,但是在同一视角、同一层次、同一参照系下,非线性与线性又是有本质区别的。

在数学上,线性函数关系是直线,而非线性函数关系是非直线,包括各种曲线、折线、不连续的线等;线性方程满足叠加原理,非线性方程不满足叠加原理;线性方程易于求出解析解,而非线性方程一般不能得出解析解。

在物理上,近线性问题(它不是我们所说的非线性问题)可用线性逼近方法求出一定精确度的解,即依据具体问题对精确度的要求,逐次解出若干个线性问题,把它们叠加起来,就能得到很好的近似解。但是对于非线性问题,由于存有小参数发散及收敛慢等问题,线性逼近方法将失效,特别是对于高速运动状态、强烈的相互作用、长时间的动态行为等非线性很强的情况,线性方法将完全无能为力。线性逼近方法的这些局限性,导致非线性方法的不可替代,在无法用线性方法处理的强非线性的地方,只能用非线性方法。线性逼近方法并非经常能奏效,这不光是方法论问题,也是自然观问题,自然界既有量变又有质变,在质变中, 自然界要经历跃变或转折,这是线性所不能包容的。

③非线性与线性在同一系统中的作用

非线性与线性有一定的联系又有本质区别,它们常同时存在于一个系统之中,规定着系统不同侧面的性质,一个确定的系统,一般都同时具有线性和非线性两种性质:首先,在一个给定的非线性系统中,它的非线性性质决定它的平衡构造或说稳定机制是否存在,及存在的地方。其次,系统的线性性质决定着系统关于其平衡点(稳定结构)的小振动的规律,即系统在稳定点附近的线性展开性质。

⑶ 什么是线性,非线性

线性linear,指量与量之间按比例、成直线的关系,在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。
非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系,一阶导数不为常数。
拓展资料:
什么是线性和非线性?数学解释和应用于生活中有什么区别?
第一:什么是线性和非线性
怎么区别?
第二:是一个X轴,Y轴吗.纵横怎么代表线性非线形、
第三:用生活例子怎么表示线性和非线性
<1>两个变量之间的关系是一次函数关系的——图象是直线,这样的两个变量之间的关系就是“线性关系”;如果不是一次函数关系的——图象不是直线,就是“非线性关系”。
<2>比如说y=kx
就是线形的
而y=x^2就是非线形的
线形的图形一般是一条直线。
<3>“非线性”的意思就是“所得非所望”.一个线性关系中的量是成比例的:十枚橘子的价钱是一枚的十倍.非线性意味着批发价格是不成比例的:一大箱橘子的价钱比一枚的价钱乘以橘子的个数要少。这里重要的观念是“反馈”——折扣的大小反过来又影响顾客购买的数量。

⑷ 什么是非线性

什么是非线性?非线性是一个数学名词,它指两个量之间没有象正比那样的“直线”关系。自然科学和工程技术中有许多问题要用到非线性的数学模型,比如,采用了非线性模型以后,可以说明为什么同一个前提会导致几种不同的后果,可以说明什么时候两种效应不能“叠加”(superposition),这两种现象会怎样彼此影响、发生“耦合”作用。

⑸ 非线性关系!是啥意思

非线性关系的意思:
非线性是指两个变量间的关系,是不成简单比例(即线性)关系的。
所谓线性,从数学上来讲,是指方程的解满足线性叠加原理。即方程任意两个解的线性叠加仍然是方程的一个解。线性意味着系统的简单性,但自然现象就其本质来说,都是复杂的,非线性的。所幸的是,自然界中的许多现象都可以在一定程度上近似为线性。传统的物理学和自然科学就是为各种现象建立线性模型,并取得了巨大的成功。但随着人类对自然界中各种复杂现象的深入研究,越来越多的非线性现象开始进入人类的视野。

⑹ 什么叫线性和非线性

非线性:

非线性,即变量之间的数学关系,不是直线而是曲线、曲面、或不确定的属性,叫非线性。

非线性是自然界复杂性的典型性质之一;与线性相比,非线性更接近客观事物性质本身,是量化研究认识复杂知识的重要方法之一;凡是能用非线性描述的关系,通称非线性关系。

什么叫线性:

对线性的界定,一般是从相互关联的两个角度来进行的:其一,叠加原理成立:“如果ψl,ψ2是方程的两个解,那么aψl+bψ2也是它的一个解,换言之,两个态的叠加仍然是一个态。”

叠加原理成立意味着所考察系统的子系统间没有非线性相互作用。

其二,物理变量间的函数关系是直线,变量间的变化率是恒量,这意味着函数的斜率在其定义域内处处存在且相等,变量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。

⑺ 非线性是什么意思

非线性是指两个变量间的数学关系,不是直线,而是曲线、曲面、或不确定的属性,是不成简单比例(即线性)关系的。

非线性是自然界复杂性的典型性质之一;与线性相比,非线性更接近客观事物性质本身,是量化研究认识复杂知识的重要方法之一;凡是能用非线性描述的关系,通称非线性关系。

共性

非线性关系虽然千变万化,但还是具有某些不同于线性关系的共性。

线性关系是互不相干的独立关系,而非线性则是相互作用,正是这种相互作用,使得整体不再是简单地全部等于部分之和,而可能出现不同于“线性叠加”的增益或亏损。

激光的生成就是非线性的,当外加电压较小时,激光器犹如普通电灯,光向四面八方散射;而当外加电压达到某一定值时,会突然出现一种全新现象:受激原子好像听到“向右看齐”的命令,发射出相位和方向都一致的单色光,就是激光。

⑻ 非线性是什么非线性为何无处不在

生活中充满了非线性,可以这么说,非线性即是一切,而线性只是非线性在一定尺度或范围约束下的近似。
简单举例如下:
1. 自来水龙头,从拧开的一瞬间,从无到有,就是非线性,随后逐步变大,在宏观尺度好像流体均匀流出,其实不然,需要用流体模型来描述。水龙头继续开大,可能又会变得水流不稳定,非线性再次凸显。
2. 将一并未开封的啤酒打开后,瞬间倒过来,啤酒流出瓶口,开始随着空气导入而液体非常不稳定的间歇喷涌,即便后续比较平稳,而因为空气压强的关系而不断间歇变化,一点没有线性的感觉,直到结束。
3. 烧开一壶水也是类似情况。

可见在一个既定的尺度上,比如酒瓶,水龙头,水壶这样的宏观尺度,中间如果是液体,那么水分子的尺度就很小。这样小尺度的大数量物质在运动的时候,往往能够在宏观尺度上形成一定统计意义的均值或某个现象,而它又是不稳定的。
所以总体上来说,非线性无处不在,线性是偶发,而且也是平均或统计意思上的。

正因为如此,非线性世界的情况多变且复杂,这个找规律和预测提供了障碍。比如天气预报,一般只能预报三天的天气,因为天气的形成,有赖于局部的空气中各种小物质的大量相互作用,参数和属性极多,几乎无法预测。
非线性世界中,偶发的平静,它体现为相对的线性表现,这可以被称为物理规律。这些情况的互相转化,可以被称为相变,就像天气剧烈变化,从一种天气急剧变化为另一种。吉布斯在研究了化学过程后,提出了相变相关理论,比价深刻。

举一个例子:飞机的阻力
当飞机高速飞行,阻力首先是空气阻力,虽然空气分析稀少,这就是为啥大家坐飞机能比汽车快的原因,阻力小,速度快。
但当飞机速度达到一定程度后,哪怕稀薄的空气,不同小分子装机金属机壳的概率,密度,相对速度,频率等也就大了,自然阻力越来越多。
可能大家以为就这样下去了,这个物理过程很清晰。但其实不然,高速运行的飞机,速度达到一定程度后,其前后的空气压差而导致的涡街才是最大问题。
因为飞机开得快,身后压力小,有点类似抽真空。飞机后部或者机翼边缘等地方,压力比较小,于是空气产生了对流,形成漩涡。
而随着飞机飞到一定速度后,漩涡就像一个大炮一样,从飞机后面打出去,就如同飞机后面有一条街道,里面行走着很多漩涡人,简称涡街。
而涡街将进一步导致更大的压力差,将飞机拉回来。所以飞机速度无法进一步提高。
于是大家一定想到了真空当中运行,肯定会好很多,的确如此。所以宇宙空间中的飞行器,比近地飞行的飞机要快得多,就是因为宇宙空间和外层空间更稀薄,
集合没有大气和各种元素和分子,空空如也,接近真空,也就能进一步提速。

在举一个例子:汽车起步
开过车的朋友一定知道,起步挂一档,自动挡的汽车起步的时候也是慢慢提速,档位自动切换到抵挡,以便提供更大的推动力来将汽车从零开始提速。
换挡的操作,其实就是一个非线性的过程。汽车的动力输出和实际速度变化,有对应关系,汽车生产厂家,调教底盘的时候,可定有模拟曲线。
而这根曲线可能看着是线性的,因为是近似,自动挡汽车的自动部件应该就是跟着理论值,通过程序实现自动切换档位(根据汽车当前速度和油门程度来计算),
而手动挡就更清晰了,对应汽车从速度0,到低速,到中速,到高速,正是认识到这几个阶段的非线性,所以手动挡的人,才会根据经验,快速切换合适的档位来提速。

类似的人走路也是起步,虽然说猎豹和百米冠军和汽车或飞机比速度,起步人和动物占优,这是因为动物的生物理化结构,长期进化的结果,起步慢要被吃掉。
所以人和猎豹起步提速比战斗机还快,但后面就被追上了。拿人来说,正准备过马路,在等待红灯变绿的你,将重心正好控制在双脚之间,此时突然绿灯亮了,
心急的你猛的抬起右脚就要往前走,发现你上身往后仰,那是因为惯性。你重心的保持是有惯性的,要改变就要付出代价,且要经理过程和时间。你抬腿便走,
为了保持重心依旧维持在你脚下,你驱赶不得不后仰。

⑼ 大学数学:什么是非线性偏微分方程的精确解我只知道通解和特解

所谓非线性偏微分方程的精确解是针对这类方程的数值解而言的。如你所知,通解就是用某些方法得到方程的解的形式,在给出特定的初边值条件以后,就得到了特解。但是,很多这类方程都是无法用既有的方法解出来的。只有简单的双曲、椭圆等方程才能得到那种通解和特解。这些解其实就是精确解。由于很多这类方程根本无法得到精确解,所以计算数学发展出来很多数值方法,得到的解就是数值解。精确解就是相对于数值解而言的。

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