考研数学证明题如何设辅助函数

Ⅰ 柯西中值定理标准证明辅助函数怎么设

一般来说构造辅助函数是没有一定之规的，且技巧性很强，但是也不是没有大致规律可循的。比如拉格朗日中值定理和柯西中值定理，首先它们都是关于函数中值的问题，而这一问题有一个基础的定理：罗尔定理，因此构造的辅助函数要尽可能满足罗尔定理的条件。也就是要构造的函数满足在x=a和x=b点的函数值相等，并且其导数等于0时的形式就是要证的定理中表达式的形式。以拉格朗日中值定理为例，首先画出示意图就可以注意到拉格朗日中值定理其实就是罗尔定理中的图形旋转一个角度而已，写出过点(a,f(a)),(b,f(b))的方程：f(x)-f(a)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)，可以看出如果令f(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)，则f(a)=f(b)，且f'(x)=f'(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a)，令f'(x)=0则正是拉格朗日中值定理要证的表达式。柯西中值定理也是一样的道理。

Ⅱ 高数罗尔定理构造辅助函数

构造辅助函数时(这种情况适用于所有一阶齐次微分方程的情况→即f(x)与f~(x)只差一阶导时)，先把方程写成一阶齐次微分方程的形式:f~(∮)+g(∮)f(∮)=0，再把∮改成x，最后两端同乘e~(∫g(x)dx)，即可得到辅助函数。

罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

罗尔定理描述如下：

如果R上的函数 f(x) 满足以下条件：

（1）在闭区间[a,b] 上连续。

（2）在开区间(a,b) 内可导。

（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

证明：

因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

Ⅲ 高数里证明题里的辅助函数是怎么设的，根据

这个要根据要证明的部分反推，乘积，除法都可以试一下

Ⅳ 考研高数构造这个辅助函数的步骤是什么

Ⅳ 我知道要构造一个辅助函数还要用罗尔定理，可是不懂怎么构造，思路在哪里。求解

解答如下：

构造辅助函数h(x)=e^(-arcsinx)·f(x)，万能辅助函数h(x)=e^g(x)·f(x)h'(x)=e^g(x)·[f'(x)+g'(x)f(x)]。

本题，g'(x)=-1/√(1-x^2)得到，g(x)=-arcsinx，所以，构造辅助函数h(x)=e^(-arcsinx)·f(x)

(5)考研数学证明题如何设辅助函数扩展阅读:


罗尔定理描述如下：

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。


若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

Ⅵ 考研数学 微分中值定理的题目怎么设辅助函数呢

09年数一考的微分中值定理证明没做出来的都认为是看课本没看仔细，可是李永乐的复习大全里面是很清楚的讲了这一类题的证明方法的，大概思路就是令G(x)=原式左边-右边，然后等号左右两边求积分，再去证明积分后有两点的值相等，再用罗尔定理证明就可以了

Ⅶ 考研数学中值定理证明题

构造辅助函数，F'(x)=f(x)f''(x)+(f'(x))^2，F(x)=f(x)·f'(x)

我们目的是，证明F（x）在三个不同的点是取相同的值的，
从而可用罗尔定理证F’（x）有两个不同的零点
即f(x)f''(x)+(f'(x))^2=0有两个零点

想想这道题有过哪些特殊点，
我们通过第一题已知f（η）=0，那么很容易想到，让F(x)=0
F(η)=f(η)·f'(η)=0，

还有没有点0？
这题有一个陷阱，就是f(0)=0，而不是<0。
极限存在必有限，f(x)=f(x)/x ·x ；有界×无穷小=0
（其实不难理解，f(x)必须是x的同阶无穷小，哪怕找个f(x)=x验证下也就不会错得f(0)<0了。）
所以F(0)=f(0)·f'(0)=0

前面我们两个F(x)=0都是用了f(x)=0，f’(x)还没用到，一般地，题目会让f’(x)也能得0
因为f(0)=f(η)，故有f'(ξ)=0, F(ξ)=0, 0<ξ<η
因为F(0)= F(ξ)=0,故有F’（a）=0，a∈(0,ξ)包含于（0,1）
因为F(ξ)= F(η)=0,故有F’（b）=0，b∈(ξ,η)包含于（0,1）
即f(x)f''(x)+(f'(x))^2=0有两个零点a,b∈（0,1）

Ⅷ 高数用拉格朗日中值定理怎么构造辅助函数

拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明.理之一,它是沟通函数与其导数之间的桥梁,也是微分学的理论基础.一般高等数学教材上,大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理,直接给出一个辅助函数,把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理,证明的关键是给出—个辅助函数.怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去.罗尔定理：函数满足在[a,b止连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点∈,使f(∈)==o(如图1).拉格朗日定理：若f(x)满足在‘a,b’上连续,在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在_∈,使(如图2).比较定理条件,罗尔定理中端点函数值相等,f,而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制,即不一定相等.我们要作的辅助函数,除其他条件外,一定要使端点函数值相等,才能归结为:1.首先分析要证明的等式：我们令……(1)
则只要能够证明在(a,b)内至少存在一点∈,使f(∈t就可以了.由有,f(b)-tb=f(a)-ta……(2)
分析(2)式,可以看出它的两边分别是f(x)=f(x)-tx在b,a观点的值.从而,可设辅助函数f(x)=f(x)-tx.该函数f(x)满足在{a.b{上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b).根据罗尔定理,则在(a,b)内至少存在一点∈,使f.(∈)=o.也就是f(∈)-t=o,也即f(∈)=t,代人(1)得结论
2.考虑函数
我们知道其导数为
且有f(a)=f(b)=0.作辅助函数,该函数f(x)满足在[a,b]是连续,在(a,b)内可导,且ff.根据罗尔定理,则在(a,b)内至少存在一点∈,使f’从而有结论成立.用导数的方法是高中所学内容啊
第一个是大学的内容.第二个是高中的内容

Ⅸ 2012数学考研证明题解法

把不等式右边的移到左边去，即需要证明左侧的函数在定义域内大于等于0.。构建辅助函数F，F等于左侧函数，对其进行二次求导。。二次导数可以证明其实大于0的，就能证明一次导数在定义域递增，可算出一次导函数的零点，则在零点左侧，一次导函数小于0，F递减；在零点右侧，一次导函数大于0，F递增。。由此可知在一次导函数去的零点的点处，F取得极小值。。算出极小值minF（算出来等于0），则带入其中即可得到F大于等于minF=0.再把其原来右侧的移过去，即得证