高等数学极限题如何掌握

1. 高数中关于函数极限的法则

极限是高等数学的基础，要学清楚。
设f:(a,+∞)→R是一个一元实值函数，a∈R.如果对于任意给定的ε>0，存在正数X，使得对于适合不等式x>X的一切x，所对应的函数值f(x)都满足不等式. │f(x)-A│<ε , 则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作 f(x)→A(x→+∞). 例y=1/x，x→+∞时极限为y=0 函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。 极限符号可记为lim。
函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以x→Xo 的极限为例，f(x) 在点Xo 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。 问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。详见附例1。 函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若极限 存在，则在该点的极限是唯一的）
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 1.夹逼定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立 （2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A 不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。 2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。 在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。 3.柯西准则 数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。

2. 大一高等数学，数列极限怎么求啊

结果是3/5。

计算过程如下：

(3n+2)/(5n+1)

=(3+2/n)/(5+1/n)

当n→∞时，2/n→0，1/n→0

那么

lim(n→∞)(3+2/n)/(5+1/n)

=(3+0)/(5+0)=3/5

等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等，（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。

(2)高等数学极限题如何掌握扩展阅读：

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

3. 高数极限问题

极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。
关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.
极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y＝f(x)在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。
1：利用两个准则求极限。
(1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N时，有且则有 .
利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和 ，使得。
例[1]
求的极限
解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项
则
又因为
（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。
例：[1] 证明下列数列的极限存在，并求极限。
证明：从这个数列构造来看 显然是单调增加的。用归纳法可证。
又因为
所以得. 因为前面证明是单调增加的。
两端除以 得
因为则, 从而
即 是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。
令 则
则. 因为 解方程得
所以
高等数学中极限问题的解法详析 
2018-06-30
6页
4.46分
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数学分析中极限的求法 
摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。
关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.
极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y＝f(x)在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。
1：利用两个准则求极限。
(1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N时，有且则有  .     
利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和 ，使得。
例[1]                                 
求的极限
解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项
则
又因为
（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。
例：[1]  证明下列数列的极限存在，并求极限。       证明：从这个数列构造来看  显然是单调增加的。用归纳法可证。 
又因为
所以得. 因为前面证明是单调增加的。
两端除以 得 
因为则, 从而 

4. 高等数学求极限题目 具体都有哪些做法 或者拿到一个极限题目首先要怎么入手呢

1. 代入法, 分母极限不为零时使用.先考察分母的极限,分母极限是不为零的常数时即用此法.
【例1】lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
=(3-3)/(9+3+1)=0
【例2】lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx
lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx
=(lg1+e^0)/arccos0
=(0+1)/1
=1
2. 倒数法,分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时使用.
【例3】 lim[x-->1]x/(1-x)
∵lim[x-->1] (1-x)/x=0 ∴lim[x-->1] x/(1-x)= ∞
以后凡遇分母极限为零,分子极限为不等于零的常数时,可直接将其极限写作∞.
3. 消去零因子（分解因式）法,分母极限为零,分子极限也为零,且可分解因式时使用.
【例4】 lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
=lim[x-->1](x-1)^2/[x(x^2-1)
=lim[x-->1](x-1)/x
=0
【例5】lim[x-->-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)
lim[x-->-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)
= lim[x-->-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)]
= lim[x-->-2]x(x+1) / (x-3)
=-2/5
【例6】lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
= lim[x-->1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]
= lim[x-->1](x-2) /[(x-1)
=∞
【例7】lim[h-->0][(x+k)^3-x^3]/h
lim[h-->0][(x+h)^3-x^3]/h
= lim[h-->0][(x+h) –x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h
= lim[h-->0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2]
=2x^2
这实际上是为将来的求导数做准备.
4. 消去零因子（有理化）法,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,但可有理化时使用.可利用平方差、立方差、立方和进行有理化.
【例8】lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x
lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x
= lim[x-->0][√1+x^2]-1] [√1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0][ 1+x^2-1] /｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0] x / [√1+x^2]+1]
=0
【例9】lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
=lim[x-->-8][√(1-x)-3] [√(1-x)+3] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]
÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)] [√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8](-x-8) [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3]
=-2
5. 零因子替换法.利用第一个重要极限：lim[x-->0]sinx/x=1,分母极限为零,分子极限也为零,不可分解,不可有理化,但出现或可化为sinx/x时使用.常配合利用三角函数公式.
【例10】lim[x-->0]sinax/sinbx
lim[x-->0]sinax/sinbx
= lim[x-->0]sinax/(ax)*lim[x-->0]bx/sinbx*lim[x-->0]ax/(bx)
=1*1*a/b=a/b
【例11】lim[x-->0]sinax/tanbx
lim[x-->0]sinax/tanbx
= lim[x-->0]sinax/ sinbx*lim[x-->0]cosbx
=a/b
6. 无穷转换法,分母、分子出现无穷大时使用,常常借用无穷大和无穷小的性质.
【例12】lim[x-->∞]sinx/x
∵x-->∞ ∴1/x是无穷小量
∵|sinx|∞]sinx/x=0
【例13】lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
= lim[x-->∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2)
=1/2
【例14】lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)
lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)
=lim[n-->∞][n( n+1)/2]/(2n^2-n-1)
=lim[n-->∞][ (1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)
=1/4
【例15】lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
= lim[x-->∞][(2x-3)/ (5x+1)]^20[(3x+2)/ (5x+1)]^30
= lim[x-->∞][(2-3/x)/ (5+1/ x)]^20[(3+2/ x)/ (5+1/ x)]^30
=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50

5. 怎样才能学好高数的极限问题

1.在极限四则运算中有...但是为什么在无穷小量的差、和计算的时候不能分别代入等价无情小再据上面的公式计算？
【因为没有这个性质】
乘积项（分子或分母）中的都一样，因为根据
极限的四则运算法则
的
乘积法则，把分子分母同乘上
等价无穷小量
，很明显就有了【等价无穷小代换】的性质了；
但
加减
不同，因为还有
高阶无穷小
；学过
泰勒定理
就很清楚了；如：
lim（x->0)
[x-sinx]/x^3
=1/6
实际
分子
x
-
sinx
是
x^3
的同阶无穷小；【sinx=x-x^3/6
+o(x^3)】
你一替换它不仅消去了消去
一阶无穷小，同时也把
三阶无穷小量
-x^3/6
也消去了；
2.罗必塔法则是用在极限上的还是求导上的？
【罗必塔法则】是借助
导数
帮助我们求
极限
的；
极明白又常用的定理，用它把书上的例子都做了就啥都懂了，不用资料；
3.仅就图片上的问题；
【极限的四则运算法则】只不过他把两条性质
简写
处理了,他是默认这个大家都应该明白：
lim
f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)
lim
f(x)-g(x)=limf(x)-limg(x)

6. 高等数学中几种求极限的方法

极限是微积分中的一条主线，是学好微积分的重要前提条件。而此问题一般来说比较困难，要根据具体情况进行具体分析和处理，方法很多比较凌乱。以下是我搜索整理的高等数学中几种求极限的方法，供参考借鉴！

一、由定义求极限

极限的本质――既是无限的过程，又有确定的结果。一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。

然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值，因此由定义法求极限就有一定的局限性，不适合比较复杂的题。

二、利用函数的连续性求极限

此方法简单易行但不适合于f(x)在其定义区间内是不连续的函数，及f(x)在x0处无定义的情况。

三、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限

极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之，不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等。

四、利用两边夹定理求极限

定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，则limZ=A

两边夹定理应用的关键：适当选取两边的函数(或数列)，并且使其极限为同一值。

注意：在运用两边夹定理求极限时要保证所求函数(或数列)通过放缩后所得的.两边的函数(或数列)的极限是同一值，否则不能用此方法求极限。

五、利用单调有界原理求极限

单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。使用单调有界准则时需证明两个问题：一是数列的单调性，二是数列的有界性;求极限时，在等式的两边同时取极限，通过解方程求出合理的极限值。

利用单调有界原理求极限有两个难点：一是证明数列的单调性，二是证明数列的有界性，在证明数列的单调性和数列的有界性时，我们通常都采用数学归纳法。

六、利用等价无穷小代换求极限

在实际计算过程中利用等价无穷小代换法或与其它方法相结合，不失为一种行之有效的方法，但并非计算过程中所有的无穷小量都能用其等价的无穷小量来进行计算。用等价无穷小代换时，只能代换分子、分母中的乘积因子，而不能代换其中的加减法因子。于是用等价无穷小代换的问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进行x的等价无穷小代换这一点上，在利用等价无穷小代换的方法求极限时必须把分子(或分母)看作一个整体，用整个分子(或分母)的等价无穷小去代换。

七、利用泰勒展式求极限

运用等价无穷小代换方法求某些极限，往往可以减少计算量，使问题得以简化。但一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除的极限，而对两个无穷小量非乘或非除的极限，对于一些未能确定函数极限形态的关系式，不能用洛必达法则及等价无穷小代换方法，须用泰勒公式去求极限。

八、利用级数收敛的必要条件求极限

求极限的方法有很多种，在解题时，这些方法并不是孤立的，常常一个问题需要用到几种方法。根据题目给出的条件，选择适当的方法结合使用，能使运算更简捷，起到事半功倍的效果。同时又能加强对微积分知识整体上的深层次认识，对学好微积分是大有裨益的。

分数求极限的方法

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；

3、运用两个特别极限；

4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。

7、夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。

8、特殊情况下，化为积分计算。

9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。

7. 如何学好高等数学中的 极限

主要要求你能掌握方法，极限中有很多中求法。比如无穷小乘以有界量还是无穷小，重要极限,罗毕达法则等等。多做习题当然不是乱作，在做题中总结规律和方法，都写在一张纸上。等你做的差不多的时候你会发现你总结的方法就可以解决你所有的题目了。

如果你还是比较迷茫，我可以给你一个当时我使用的的方法参考。

从一本参考书中找到极限部分的习题，当然了题目都很全面各种类型的都包括了！但是题目很简单不难！（一共50道题）准备一张白纸，做一道题就把它使用的方法写在纸上，下一道题你会发现同上一题方法一样没关系在刚才写的方法后边写正字，不会做的问老师或同学。等你都做完了你会发现就那么十几种，把他们看看清楚你就会记住了！
当然了很多题目需要你采用老方法。80%~90%的极限题目几乎你都可以用罗毕达法则来做，那样就失去意义了，尽量采用两种方法会更好。

其实到最后你会发现真的极限题目只会使用上边说的三中方法。类似重要极限二的题目会遇到这样一种。
lim(分式但可化为1+无穷小量的形式)^任意次方=lim（1+无穷小量）^无穷小量的倒数*无穷小量*任意次方

比如lim{(x+1)/x}^3x x趋于无穷
=lim{1+1/x}^[x*(1/x)*3x]
=`````````````*(1/x)*3x]```````````部分组成重要极限二
=e^[lim(1/x) * 3x]
=e^3

多总结没有坏处！！！

8. 大学高数极限应该怎么学

你可以先自己预习课本，学会总结，如果又不懂的问题，带着问题去听课这样效果最好。
高数极限是高数中最为基础的一章节。要多做并熟练掌握极限运算的典型方法。它包括重要极限公式2个、罗布塔法则、无穷小等价代换、非零极限因式边做边代换、无穷小与有界函数任是无穷小、分段函数的极限方法、抽象函数求极限等。自己总结会更加的印象深刻。
加油！

9. 高数中求极限的方法总结

1、极限分为一般极限，还有个数列极限

区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种。

2、解决极限的方法如下

（1）等价无穷小的转化(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)，e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

（2）洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)首先它的使用有严格的使用前提，必须是X趋近而不是N趋近(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷)。必须是函数的导数要存在(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)。必须是0比0，无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。

3、泰勒公式

(含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意)e^x展开，sinx展开，cos展开，ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母，看上去复杂处理很简单。

5、无穷小与有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。

6、夹逼定理

(主要对付的是数列极限)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7、等比等差数列公式应用

对付数列极限，q绝对值符号要小于1。

8、各项的拆分相加

来消掉中间的大多数，对付的还是数列极限，可以使用待定系数法来拆分化简函数。

9、求左右求极限的方式

(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，Xn的极限与Xn+1的极限是一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化。

10. “微积分”如何理解极限定义四道题轻松掌握极限定义理解与应用

在这一微积分解题系列中，一些基础的知识点不会在此文呈现出来，而是要你用大脑去回忆与题目相关的知识点。本系列仅仅是通过一些代表性的题目来夯实高等数学即微积分当中的基本概念、基本定理、基本公式、基本技能等。所以不会像其他书上那样讲定义等知识点。

本期主要内容：

正确理解极限定义；

利用极限定义证明某数为一函数或一数列的极限；

证明极限的性质。

1.正确理解极限定义；

例1，

2.利用极限定义证明某数为一函数或一数列的极限；

例2.

例3.

3.证明极限的性质。

例4.试证明下述命题

下面是例题的简要提示或解答。

例1.（1）与上述定义等价，数列极限的定义中自然数N不唯一，对于任意的n>N与对于任意的n>=N是等价的。epsilon>0具有任意性，故epsilon>0与

100epsilon>0等价。 （2）epsilon>1不能保证任意小。 （3）存在epsilon>0这样的表述不能保证Xn与a无限接近。 （4）数列极限定义中N是依赖于epsilon确定的，而不是（4）所表述的：存在N使得对任意epsilon>0.......。

例2.

例3.

例4.

同步自原作者头条号：航小北爱解题