大学数学ert怎么算

‘壹’ 进化的速率计算

S=R+E
物种净增率——种形成过程中物种数目的增长是指数增长，这和生物群体的个体数目增长相似。在测定物种数目的增长时要考虑初始物种数目（基数），换句话说物种净增率是单位时间内物种数目的相对增长。用公式表示则为：
DN/Dt=RN
公式中N代表物种数目，t代表时间，R就是物种净增率，将上式积分则得：
N=N0eRt
公式中N0代表初始物种数目，e是自然对数的底。如果已知初始物种数N0和终末物种数N、以及时间t，则可求出R。可将上式变化，得：
lnN=lnN0eRt
lnN=lnN0+lneRt
lnN=lnN0+Rt

N/N0=ert是通过积分来的~~~积分我忘了~~~你自己算算吧~~~
至于E=Ne/t，这里的E.Ne都不是相对的~~~所以应该不用微积分~~~直接算就可以了~~~
以上意见纯属个人意见，仅供参考~~~

‘贰’ 不可不说之泰勒公式

        在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。

简介

数学中，

泰勒公式

是一个用 函数在某 点的信息描述其附近取值的 公式。如果函数足够 光滑的话，在已知函数在某一点的各阶 导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值的相应倍数作为 系数构建一个 多项式来近似函数在这一点的 邻域中的值。带拉格朗日余项的泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于 英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。

公式定义

泰勒公式（Taylor's formula）

形式1:带Peano余项的Taylor公式：

若f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个邻域(x0-δ，x0+δ）内任意一点x(δ>0)，成立下式：

f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)

f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，f(n) (x0)表示f(n)(x)在x0处的取值

(可以反复使用L'Hospital法则来推导)

形式2：:带Lagrange余项的Taylor公式：

若 函数f(x）在闭区间[a，b]上有n阶连续 导数，在(a,b)上有n+1阶导数。任取x0∈[a,b]是一定点，则对任意x∈[a,b]成立下式：

f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x)，

Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x。)^(n+1), ξ在x。和x之间，是依赖于x的量。

（注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。）

正在加载泰勒公式

）

函数的

Maclaurin

展开指上面Taylor公式中x0取0的情况，即是Taylor公式的特殊形式，反过来通过平移和换元，

Maclaurin

展开式和上面的展开式是等价的。

Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等

证明

我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据 拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx，其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n

来近似地表示函数f(x）且要写出其误差f(x)-P(x）的具体表达式。设函数P(x）满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.），……，P(n)(x.)=f(n)(x.），于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0，所以A0=f(x.）；P'(x.)=A1,A1=f'(x.）；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2！……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n！。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+[f''(x.)/2!](x-x.)^2+……+[f(n)(x.)/n!](x-x.)^n.

接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x），于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据 柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1）=（Rn(x)-Rn(x.））/（（x-x.)^(n+1）-0）=Rn'（ξ1）/(n+1）（ξ1-x.)^n（注：（x.-x.)^(n+1）=0），这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'（ξ1）-Rn'(x.））/（（n+1）（ξ1-x.)^n-0）=Rn''（ξ2）/n(n+1）（ξ2-x.)^(n-1）这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1）=Rn(n+1）（ξ）/(n+1）！，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1）（x)=f(n+1）（x)-P(n+1）（x），由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1）（x)=0，于是得Rn(n+1）（x)=f(n+1）（x）。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1）（ξ）/(n+1）！?(x-x.)^(n+1）。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x）写为Rn。

麦克劳林展开式

函数的 Maclaurin展开指上面Taylor公式中x0取0的情况，即是Taylor公式的特殊形式.

Taylor公式的应用

：

1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。

解：根据导数表得：f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f⑷（x)=sinx……

f(n)(x)=sin(x+nπ/2)

于是得出了 周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,f⑷=0……

最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!+Rn(x)

Rn(x)=o(x^10) (Peano余项)

或Rn(x)=sin(ξ+11π/2)/11!*x^11,ξ∈(0,x)

类似地，可以展开y=cosx。

2、计算近似值e=lim x→∞ （1+1/x)^x。

解：对指数函数y=e^x运用 麦克劳林展开式并舍弃余项：

e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!

当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!

取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。

3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）

证明：这个公式把 复数写为了幂指数形式，其实它也是由 麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂 周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出 欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。

背景

e的来源和作用

e的发现始于微分，当 h 逐渐接近零时，计算 之值，其结果无限接近一定值 2.71828...，这个定值就是 e，最早发现此值的人是 瑞士着名数学家 欧拉，他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数.

计算对数函数 的导数，得，当 a=e 时，的导数为，因而有理由使用以 e 为底的对数，这叫作自然对数.

若将指数函数 ex 作泰勒展开，则得

以 x=1 代入上式得

此级数收敛迅速，e 近似到小数点后 40 位的数值是

将指数函数 ex 扩大它的定义域到 复数 z=x+yi 时，由

透过这个级数的计算，可得

由此，De Moivre 定理，三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如说，z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,

另方面，

所以，

我们不仅可以证明 e 是无理数，而且它还是个超越数，即它不是任何一个整系数多项式的根，这个结果是 Hermite 在1873年得到的.

甲）差分.

考虑一个离散函数（即数列） R，它在 n 所取的值 u(n) 记成 un，通常我们就把这个函数书成 或 (un).数列 u 的差分 还是一个数列，它在 n 所取的值以定义为

以后我们干脆就把 简记为

（例）：数列 1,4,8,7,6,-2,... 的差分数列为 3,4,-1,-1,-8 ...

注：我们说“数列”是“定义在离散点上的函数”如果在高中，这样的说法就很恶劣.但在此地，却很恰当，因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推.

差分算子的性质

（i) [合称线性]

（ii) （常数） [差分方程根本定理]

（iii)

其中，而 (n(k) 叫做排列数列.

（iv) 叫做自然等比数列.

（iv)' 一般的指数数列（几何数列）rn 之差分数列（即“导函数”）为 rn(r-1）

（乙）.和分

给一个数列 (un).和分的问题就是要算和 . 怎么算呢 我们有下面重要的结果：

定理1 （差和分根本定理） 如果我们能够找到一个数列 (vn），使得，则

和分也具有线性的性质：

甲）微分

给一个函数 f，若 牛顿商（或差分商） 的极限 存在，则我们就称此极限值为 f 为点 x0 的导数，记为 f'(x0) 或 Df(x），亦即

若 f 在定义区域上每一点导数都存在，则称 f 为可导微函数.我们称 为 f 的导函数，而 叫做微分算子.

微分算子的性质：

（i) [合称线性]

（ii) （常数） [差分方程根本定理]

（iii) Dxn=nxn-1

（iv) Dex=ex

（iv)' 一般的指数数列 ax 之导函数为

（乙）积分.

设 f 为定义在 [a,b] 上的函数，积分的问题就是要算阴影的面积.我们的办法是对 [a,b] 作分割：

；其次对每一小段 [xi-1,xi] 取一个样本点 ；再求近似和 ；最后再取极限 （让每一小段的长度都趋近于 0).

若这个极限值存在，我们就记为 的几何意义就是阴影的面积.

（事实上，连续性也“差不多”是积分存在的必要条件.)

积分算子也具有线性的性质：

定理2 若 f 为一连续函数，则 存在.（事实上，连续性也“差不多”是积分存在的必要条件.)

定理3 ( 微积分根本定理） 设 f 为定义在闭区间 [a,b] 上的连续函数，我们欲求积分 如果我们可以找到另一个函数 g，使得 g'=f，则

注：⑴⑵两式虽是类推，但有一点点差异，即和分的上限要很小心！

上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分，微分与积分，是两个互逆的操作，就好像加法与减法，乘法与除法是互逆的操作一样.

我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了，而上面定理1及定理3告诉我们，要计算 (un) 的和分及 f 的积分，只要去找另一个 (vn) 及 g 满足，g'=f （这是差分及微分的问题），那么对 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.换句话说，我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作，这就是"以简御繁"的精神.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此.

甲）Taylor展开公式

这分别有离散与连续的类推.它是数学中“逼近”这个重要想法的一个特例.逼近想法的意思是这样的：给一个函数 f，我们要研究 f 的行为，但 f 本身可能很复杂而不易对付，于是我们就想法子去找一个较“简单”的函数 g，使其跟 f 很“靠近”，那么我们就用 g 来取代 f.这又是以简御繁的精神表现.由上述我们看出，要使用逼近想法，我们还需要澄清

两个问题：即如何选取简单函数及逼近的尺度.

（一） 对于连续世界的情形，Taylor 展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数，并且用局部的“切近”作为逼近尺度.说得更明白一点，给一个直到到 n 阶都可导微的函数 f，我们要找一个 n 次多项函数 g，使其跟 f 在点 x0 具有 n 阶的“切近”，即，答案就是

此式就叫做 f 在点 x0 的 n 阶 Taylor 展式.

g 在 x0 点附近跟 f 很靠近，于是我们就用 g 局部地来取代 f.从而用 g 来求得 f 的一些局部的定性行为.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.当f是足够好的一个函数，即是所谓解析的函数时，则 f可展成 Taylor 级数，而且这个 Taylor 级数就等于 f 自身.

值得注意的是，一阶 Taylor 展式的特殊情形，此时 g(x)=f(x0）+f'(x0)(x-x0) 的图形正好是一条通过点 (x0,f(x0)) 而且切于 f 的图形之直线.因此 f 在点 x0 的一阶 Taylor 展式的意义就是，我们用过点 (x0,f(x0)) 的切线局部地来取代原来 f 曲线.这种局部化“用平直取代弯曲”的精神，是微分学的精义所在.

利用 Taylor 展式，可以帮忙我们做很多事情，比如判别函数的极大值与极小值，求积分的近似值，作函数表（如三角函数表，对数表等)，这些都是意料中事.事实上，我们可以用逼近的想法将微积分“一以贯之”.

复次我们注意到，我们选取多项函数作为逼近的简单函数，理由很简单：在众多初等函数中，如三角函数，指数函数，对数函数，多项函数等，从算术的观点来看，以多项函数最为简单，因为要计算多项函数的值，只牵涉到加减乘除四则运算，其它函数就没有这么简单.

当然，从别的解析观点来看，在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数.例如，三角多项式，再配合上某种逼近尺度，我们就得到 Fourier 级数展开，这在 应用数学上占有举足轻重的地位.（事实上，Fourier 级数展开是采用最小方差的逼近尺度，这在 高等数学中经常出现，而且在统计学中也有应用.)

注：取 x0=0 的特例，此时 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不过只要会做特例的展开，欲求一般的 Taylor 展式，作一下平移（或变数代换）就好了.因此我们大可从头就只对 x=0 点作 Taylor 展式.

（二） 对于离散的情形，Taylor 展开就是：

给一个数列，我们要找一个 n 次多项式数列 (gt），使得 gt 与 ft 在 t=0 点具有 n 阶的“差近”.所谓在 0 点具有 n 阶差近是指：

答案是 此式就是离散情形的 Maclaurin 公式.

乙）分部 积分公式与Abel分部和分公式的类推

（一） 分部 积分公式：

设 u(x),v(x) 在 [a,b] 上连续，则

（二） Abel分部和分公式：

设（un),(v）为两个数列，令 sn=u1+......+un，则

上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv），及莱布尼慈差分公式 的结论.注意到，这两个莱布尼慈公式，一个很对称，另一个则不然.

（丁）复利与连续复利 （这也分别是离散与连续之间的类推）

（一） 复利的问题是这样的：有本金 y0，年利率 r，每年复利一次，要问 n 年后的本利和 yn= 显然这个数列满足差分方程 yn+1=yn（1+r)

根据（丙）之（二）得知 yn=y0（1+r)n 这就是复利的公式.

（二） 若考虑每年复利 m 次，则 t 年后的本利和应为

令，就得到连续复利的概念，此时本利和为y(t)=y0ert

换句话说，连续复利时，t 时刻的本利和 y(t)=y0ert 就是 微分方程 y'=ry 的解答.

由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述，而连续复利的问题由微分方程来描述.对于常系数线性的差分方程及微分方程，解方程式的整个要点就是叠合原理，因此求解的办法具有完全平行的类推.

（戊）Fubini 重和分定理与 Fubini 重积分定理（也是离散与连续之间的类推）

（一） Fubini 重和分定理：给一个两重指标的数列 (ars），我们要从 r=1 到 m,s=1到 n，对 (ars) 作和，则这个和可以这样求得：光对 r 作和再对 s 作和（反过来亦然）.亦即我们有

（二）Fubini 重积分定理：设 f(x,y) 为定义在 上之可积分函数，则

当然，变数再多几个也都一样.

（己）Lebesgue 积分的概念

（一） 离散的情形：给一个数列 (an），我们要估计和，Lebesgue 的想法是，不管这堆数据指标的顺序，我们只按数值的大小来分堆，相同的分在一堆，再从每一堆中取一个数值，乘以该堆的个数，整个作和起来，这就得到总和.

（二）连续的情形：给一个函数 f，我们要定义曲线 y=f(x) 跟 X 轴从 a 到 b 所围出来的面积.

Lebesgue 的想法是对 f 的影域 作分割：

函数值介 yi-1 到 yi 之间的 x 收集在一齐，令其为，于是 [a,b] 就相应分割成，取样本点，作近似和

让影域的分割加细，上述近似和的极限若存在的话，就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 积分.

余项

泰勒公式的余项f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [其中f(n）是f的n阶导数]

泰勒余项可以写成以下几种不同的形式：

⒈佩 亚诺(Peano）余项：

Rn(x) = o((x-a)^n)

⒉施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：

Rn(x) = f(n+1）（a+θ（x-a））（1-θ）^(n+1-p)(x-a)^(n+1）/(n!p)

[f(n+1）是f的n+1阶导数，θ∈（0,1）]

⒊拉格朗日（Lagrange）余项：

Rn(x) = f(n+1）（a+θ（x-a))(x-a)^(n+1）/(n+1）！

[f(n+1）是f的n+1阶导数，θ∈（0,1）]

⒋柯西（Cauchy）余项：

Rn(x) = f(n+1）（a+θ（x-a））（1-θ）^n (x-a)^(n+1）/n!

[f(n+1）是f的n+1阶导数，θ∈（0,1）]

⒌积分余项：

Rn(x) = [f(n+1）（t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n!

[f(n+1）是f的n+1阶导数]

这里诸多余项事实上很多是等价的。

泰勒简介

18世纪早期 英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在英格兰 德尔塞克斯郡的 埃德蒙顿市出生。1701年，泰勒进 剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年后移居 伦敦，获得法学学士学位。1712年当选为 英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年1 2月29日于 伦敦逝世。

由于工作及健康上的原因，泰勒曾几次访问 法国并和法国数学家蒙莫尔多次通信讨论级数问题和概率论的问题。1708年，23岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解，引起了人们的注意，在这个工作中他用了 牛顿的瞬的记号。 从1714到1719年,是泰勒在数学上多产的时期。

主要着作

他的两本着作：《正和反的增量法》及《直线透视》都出版于1715年，它们的第二版分别出于1717和1719年。从1712到1724年，他在《哲学会报》上共发表了13篇文章，其中有些是通信和评论。文章中还包含毛细管现象、磁学及温度计的实验记录。

在生命的后期，泰勒转向宗教和哲学的写作，他的第三本着作《哲学的沉思》在他死后由外孙W.杨于1793年出版。

泰勒以微积分学中将 函数展开成无穷 级数的定理着称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶 导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由 拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。

泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成 幂级数；同时亦使 泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了 微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常 微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。

1715年，他出版了另一名着《线性透 视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719）。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用“没影点”概念， 这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。

展开式

泰勒公式可以用(无限或者有限)若干项连加式(-级数)来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的 次导数)的导数求得。

对于正整数n，若函数 在闭区间 上 阶连续可导，且在 上 阶可导。任取 是一定点，则对任意 成立下式：

其中， 表示 的n阶导数，多项式称为函数 在a处的泰勒展开式，剩余的 是泰勒公式的余项，是 的高阶无穷小。[1]

余项

泰勒公式的余项 可以写成以下几种不同的形式：

1、佩亚诺(Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在

2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：

其中θ∈（0,1）。

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈（0,1）。

4、柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈（0,1）。

5、积分余项：

以上诸多余项事实上很多是等价的。

2公式推广

编辑

麦克劳林展开

函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中a取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若 在x=0处n阶连续可导，则下式成立：

其中 表示 的n阶导数。[1]

泰勒中值定理

若 在包含 的某开区间（a，b）内具有直到n+1阶的导数，则当x∈（a，b）时，有

其中 是n阶泰勒公式的拉格朗日余项：

，

多元泰勒公式

对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设B(a,r) 是欧几里得空间RN中的开球，ƒ 是定义在B(a,r) 的闭包上的实值函数，并在每一点都存在所有的n+1 次偏导数。这时的泰勒公式为：

对所有

3验证推导

编辑

我们知道，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：

于是：

其中误差α是在limΔx→0 即limx→x0的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

来近似地表示函数f(x）且要写出其误差f(x)-P(x）的具体表达式。设函数P(x)满足 ：

于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，显然有：

，所以 ；

，所以 ；

，所以 ；

，所以 ；

至此，多项的各项系数都已求出，得：

以上就是函数 的泰勒展开式。[1]

接下来就要求误差的具体表达式了。设 ，令 得到：

进而：

根据柯西中值定理：

其中 ；

继续使用柯西中值定理得到：

其中 ；

连续使用n+1次后得到：

其中；

同时：

而：

进而：

综上可得：

一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x）写为Rn。[1]

4发展简史

编辑

希腊哲学家芝诺在考虑利用无穷级数求和来得到有限结果的问题时，得出不可能的结论-芝诺悖论，这些悖论中最着名的两个是“阿喀琉斯追乌龟”和“飞矢不动”。

后来，亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，直到德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究，此部分数学内容才得到解决。阿基米德应用穷举法使得一个无穷级数能够被逐步的细分，得到了有限的结果。[2]

14世纪，玛达瓦发现了一些特殊函数，包括正弦、余弦、正切、反正切等三角函数的泰勒级数。

17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究，并且发表了若干麦克劳林级数。直到1712年，英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒提出了一个通用的方法，这就是为人们所熟知的泰勒级数；爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授发现了泰勒级数的特例，称为麦克劳林级数。

5公式应用

编辑

实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。

泰勒展开式的重要性体现在以下三个方面：

幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

实例

1、展开三角函数 和 。

解：根据导数表得：

最后可得：

其中 为皮亚诺余项：

或：

其中

[3] 类似地，可以展开y=cos(x)。

2、计算近似值

解：对指数函数

运用麦克劳林展开式并舍弃余项：

当x=1时：

取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。[3]

3、欧拉公式：

（其中 ，即一个虚数单位）

证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。证明思路是先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。

‘叁’ 进化的速率计算

S=R+E
物种净增率--种形成过程中物种数目的增长是指数增长，这和生物群体的个体数目增长相似。在测定物种数目的增长时要考虑初始物种数目(基数)，换句话说物种净增率是单位时间内物种数目的相对增长。用公式表示则为:
DN/Dt=RN
公式中N代表物种数目，t代表时间，R就是物种净增率，将上式积分则得:
N=N0eRt
公式中N0代表初始物种数目，e是自然对数的底。如果已知初始物种数N0和终末物种数N、以及时间t，则可求出R。可将上式变化，得:
lnN=lnN0eRt
lnN=lnN0+lneRt
lnN=lnN0+Rt
N/N0=ert是通过积分来的~~~积分我忘了~~~你自己算算吧~~~
至于E=Ne/t，这里的E.Ne都不是相对的~~~所以应该不用微积分~~~直接算就可以了~~~
以上意见纯属个人意见，仅供参考~~~

‘肆’ 电阻率层析（ERT）

电阻率层析（ERT）围绕探测区域布置电极阵列，以特定组合方式通过电极阵列对探测区域充电并测量电位，根据测量结果反演探测区域的电阻率结构（Carrigan et al.，2009;Wurdemann et al.，2010;Daily et al..2004;Fabriol et al..2009;Said,2011）。

（一）数据采集

1.工作方式

目前ERT测量多采用跨孔方式，即供电和电位测量电极阵列分别位于不同的钻孔中，测量目标是孔间区域的电阻率空间变化。

2.必要条件

二维ERT测量至少需要一对钻至目的层位的钻孔，三维ERT测量至少需要三个钻至目的层位的钻孔。

3.仪器设备

ERT测量采用仪器设备包括地面和井中两部分，地面设备包括数据采集模块、供电模块、多路转换开关、采集控制模块、地面电极阵列以及地面和井中电极阵列连接电缆地面部分，井中设备包括井中电缆、电极、电缆固定和保护设备以及绝缘材料等。

4.电极阵列布置

井中和地面电极阵列的布置是ERT测量前期准备的一个重要组成部分，需要提前确定电极阵列的布置流程以保证电极阵列（特别是井中电极阵列）的布置实施。

ERT测量的井中电极一般采用环形不锈钢电极，以一定的间隔固定于经绝缘处理的井下套管外壁，通过防水接头与井下电缆相连。井下电缆通过井口接头与地面电缆和设备相连，一般需要具备抵御CO₂、地层咸水和钻井液侵蚀的能力，并具备一定的抗机械拉伸或剪切能力。井中电极阵列布置需要采用一些特殊的固定和保护装置。

井中电极阵列的布置受到井下套管性质、钻孔本身性质以及固井方式等因素的制约，例如，井中电极的半径由井下套管和钻孔半径决定；井下套管若为非金属材质，则无须采取套管外壁的绝缘处理；井中电极阵列布置后，一般固定不动直到储存工程结束，固井施工要确保电极与地层的耦合，并且不能改变电极阵列的井中位置。

ERT测量的井中电极布置一般采用边布置、边检测的方法，以确保井下电极阵列部署的可靠性。

5.测量参数的选择

ERT测量需要确定地面采集控制和供电单元、地面和井中电极阵列等环节的测量参数。

地面采集控制单元的测量参数包括采样间隔和供电－电位测量模式及组合方案等，可采用的供电电位测量模式很多，如偶极－偶极、双极－双极等，由于单一的供电－电位测量模式探测能力有限，一般采用多种供电电位测量模式组合的方法开展测量。

地面供电单元的测量参数包括采用电源类型、供电信号类型、供电量级和供电频率等。

地面和井中电极阵列测量参数包括地面和井中电极阵列的电极距和布置方式等，电极阵列的电极距取决于监测区段的规模、井下设备的现有条件以及监测分辨率需求，地面和井中电极阵列的布置方式需要通过试验确定。

（二）数据处理与解释

1.数据预处理

数据预处理包括数据采集参数的整理和视电阻率的计算。数据采集参数的整理包括地面和井中电极阵列的电极距和空间位置、观测模式，供电电流、测量电位差等相关数据的编辑和校对。

2.电阻率反演

电阻率反演实现观测视电阻率到反演电阻率模型的转化，即完成两者间的函数关系建立。首先，根据预处理提供的相关资料给定初始电阻率模型，然后根据对应电流场方程开展正演计算，并得出其对应的理论视电阻率；然后根据观测值与理论值的差异，求解初始电阻率模型的修正量，修正初始电阻率模型；重复上述过程直至观测视电阻率与对应的目标函数达到反演要求。

电阻率反演主要涉及电流场正演和电阻率模型修正量方程求解计算两个部分，电流场正演计算一般多采用有限元方法，便于处理地形起伏情形（白登海等，1995；董清华，1997;Günther et al,2006;Hatanaka et al.，2005）。

3.资料解释

根据电阻率反演获得的电阻率成像剖面，结合地震、钻孔－测井资料以及地质背景资料，研究井间电阻率空间变化规律与地层岩性空间变化的关系以及井间地层结构、构造形态变化，主要解释手段包括地层对比、构造解释、储盖层属性预测等。

‘伍’ 数学题ERT

首先先提取一个4x。再利用完全平方公式。
Y=4x（x²——6x+9）
=4x（x-3)²

就OK啦……………………

请采纳，呵呵，我是第一个呢！！

‘陆’ 进化的速率计算

S=R+E
物种净增率——种形成过程中物种数目的增长是指数增长，这和生物群体的个体数目增长相似。在测定物种数目的增长时要考虑初始物种数目（基数），换句话说物种净增率是单位时间内物种数目的相对增长。用公式表示则为：
DN/Dt=RN
公式中N代表物种数目，t代表时间，R就是物种净增率，将上式积分则得：
N=N0eRt
公式中N0代表初始物种数目，e是自然对数的底。如果已知初始物种数N0和终末物种数N、以及时间t，则可求出R。可将上式变化，得：
lnN=lnN0eRt
lnN=lnN0+lneRt
lnN=lnN0+Rt
N/N0=ert是通过积分来的~~~积分我忘了~~~你自己算算吧~~~
至于E=Ne/t，这里的E.Ne都不是相对的~~~所以应该不用微积分~~~直接算就可以了~~~
以上意见纯属个人意见，仅供参考~~~

‘柒’ ERT系统是什么概念

两相流(或多相流)是一种广泛存在的混合流动模式。随着工业生产水平的不断提高，对两相流参数进行测量的需要也越来越迫切，有关的研究受到国内外专家的普遍重视。近年来发展起来的过程层析成象(Process Tomography,简称PT)技术是一种非常有潜力的两相流/或多相流检测手段[1,2].既可以利用它可视化测量的优势进行在线监测，观察流型，计算相含率，也有可能从它的直接测量信号中提取流型、相含率等信息。
电阻层析成象(Electrical Resistance Tomography,简称ERT)技术是PT技术中的一种，ERT适用于两相流中的液相连续相的生产过程，如液－气泡混合过程、液固混合过程、旋涡分离过程以及化学反应过程等，对这些过程的分析研究或者在线定性/定量监测与控制等，ERT技术提供了一种高效、低成本的多维测量手段，是一种先进的高新检测技术，具有广阔的开发和应用前景。

1 ERT技术的基本原理
ERT的所有理论都建立在似稳场假设的基础上。在电磁场理论中，似稳场满足麦克斯韦微分方程组[3].似稳场遵循静态场的规律，即矢位A和电位分别满足Poisson方程和Laplace方程。ERT系统敏感场满足第三类的稳场条件，可以用静态场的理论来描述和求解。
ERT的实质就是运用一个物理可实现系统完成对被测物场特性分布f(r,)的雷登变换与雷登逆变换。系统的工作过程就是根据特殊设计的敏感器阵列获得的物场信息(边界测量电压)，去求取物场内部的电压分布——投影数据，再采用定性/定量的图象重建算法求出被测物场的图象(电导分布信息)，进而从重建图象信息中提取物场的特征参数，为过程检测和控制提供依据。

2 ERT的系统构成
由于不同媒质具有不同的电导率(电阻率的倒数)，求出敏感场的电导率分布便可获得物场的媒质分布信息。因此其工作方式采用电流激励、电压测量。当场内电导率分布变化时，电流场的分布会随之变化，导致场内电势分布变化，从而场域边界上的测量电压也要发生变化。利用边界上的测量电压，通过一定的成象算法，可以重建出场内的电导率分布或反映电导率分布情况的灰度分布，实现可视化测量。
典型的ERT系统包括用于激励测量的电极阵列、数据采集与处理单元、图象分析单元。如图1所示。

图1 典型ERT系统的构成

ERT系统的电极阵列由特殊设计的电极等间隔排布，控制单元(计算机)向数据采集单元发出指令，给某一对电极施加激励电流，在过程对象内部建立起敏感场。测量边界上的电压信号，将得到的测量数据送图象重建单元，以适当的算法重建出对象内部的电导率分布，从而得到媒质分布图象(二维或三维)。最后送图象分析单元，对图象的物理意义加以解释，提取有关的特征参数，为过程控制或实验研究提供必要的依据。

3 ERT技术特点
同其它PT技术相比，ERT技术具有以下特点：
(1)被检测物场的连续相必须具有一定的导电性，一般必须是含有水的生产过程。
(2)敏感阵列为非侵入式，由一系列等间隔排布的电极构成。敏感阵列的设计对于敏感场的性能有直接的影响。电极的设计、排布以及电极的性能是整个系统至关重要的一部分。
(3)敏感场的激励信号为低频的交流恒流源。激励信号的频率范围一般选用千到几数万赫兹。频率过低容易引起电极的电化学反应，尤其对电解质溶液、腐蚀性溶液等等。频率过高，电磁场感应及分布阻抗等会带来很强的测量噪声。
(4)检测信号为弱的交流电压信号或其微小变化，要求测量电路必须具有高的灵敏度和信噪比。
(5)敏感场存在软场(soft-field)效应。敏感场分布要受到场内媒质(物场)分布的影响，敏感场与物场的相互作用为非线形，导致图象重建和图象分析的困难。
(6)设计敏感电极阵列时，必须考虑电极阵列所形成的空间敏感场的非均匀性的影响，应尽可能使其灵敏度均匀性好。

4 ERT技术的研究现状
作为PT技术的一个重要分支，目前ERT技术的研究主要集中在以下几个方面：敏感电极阵列的优化设计，硬件电路性能的提高，图象重建算法的改进，应用性的开发等等。世界上从事过程ERT研究的以英国UMIST的PT小组较为领先，已经在搅拌器和旋流器[4]等实验装置上进行了应用研究，并开发出应用于金属容器的ERT系统[5].美国的Rensselaer Polytechnic Institute的Jones等人也在从事ERT技术应用于多相流检测的研究。美国University of Arizona的D.J.LaBrecque等人将ERT应用于环境监测与整治的研究。美国Lancaster University的Andrew Binley等人用ERT方法分析土壤和岩石的成分。中国的天津大学徐苓安教授领导的PT小组着手开发的ERT技术为核心的在线监测系统，应用于精馏塔的实时观测。浙江工学院开发出应用于土壤环境监测的大范围ERT系统；北京航空航天大学、东北大学也相继着手于成象算法、应用性的ERT系统的研究方面作了一些工作。
当前国际上ERT技术在硬件电路方面已达到很高的指标，英国UMIST的ERT系统灵敏度可达4.88μV,共模抑制比为-70dB[6].成象算法方面也从定性研究进入到定量的MNR(牛顿-拉夫逊)算法，但这一算法需要高精度的场模型及高精度的测量数据，尚未实际应用。目前还没有关于ERT敏感场空间分布的定量认识。

5 ERT技术必须解决的问题及ERT技术展望
为实现定量测量并达到一定的精度，要求ERT系统能够提供高精度的重建图象，并能对重建图象的物理意义予以准确解释，如获得各种媒质准确的大小、形状、位置等详细的信息，以为过程控制提供依据，要求ERT技术的研究应在以下几个方面作出努力：①为ERT系统提供被测对象信息的硬件系统必须准确可靠，这就要求传感器材料的选择、加工的精度、数据采集系统的稳定性、精度等尽可能满足要求；②敏感场分布特性的认识和改进，尽可能改善敏感场灵敏度分布的均匀性。实际上ERT系统的敏感场是三维非均匀分布的，简单地用二维场近似的分析实际的三维场势必要引起误差。改进敏感电极阵列的设计使其灵敏度均匀性好，以改善敏感场的空间分布，使其具有二维场的分布特性；或是基于三维场描述敏感场特性研究媒质分布、重建图象算法及对图象的解释等等。③高质量的图象重建算法及图象物理意义解释算法的开发也很重要。图象重建算法主要是算法收敛性的改进和实时性的提高等方面

‘捌’ 无理数e是怎么来的

e
e的发现始于微分,当 h 逐渐接近零时,计算 之值,其结果无限接近一定值 2.71828...,这个定值就是 e,最早发现此值的人是瑞士着名数学家欧拉,他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数.
计算对数函数 的导数,得 ,当 a=e 时, 的导数为 ,因而有理由使用以 e 为底的对数,这叫作自然对数.
若将指数函数 ex 作泰勒展开,则得
以 x=1 代入上式得
此级数收敛迅速,e 近似到小数点后 40 位的数值是
将指数函数 ex 扩大它的定义域到复数 z=x+yi 时,由
透过这个级数的计算,可得
由此,De Moivre 定理,三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如说,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,
另方面,
所以,
我们不仅可以证明 e 是无理数,而且它还是个超越数,即它不是任何一个整系数多项式的根,这个结果是 Hermite 在1873年得到的.
甲)差分.
考虑一个离散函数(即数列) R,它在 n 所取的值 u(n) 记成 un,通常我们就把这个函数书成 或 (un).数列 u 的差分 还是一个数列,它在 n 所取的值以定义为
以后我们干脆就把 简记为
(例):数列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分数列为 3, 4, -1, -1, -8 ...
注:我们说“数列”是“定义在离散点上的函数”如果在高中,这样的说法就很恶劣.但在此地,却很恰当,因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推.
差分算子的性质
(i) [合称线性]
(ii) (常数) [差分方程根本定理]
(iii)
其中 ,而 (n(k) 叫做排列数列.
(iv) 叫做自然等比数列.
(iv)' 一般的指数数列(几何数列)rn 之差分数列(即“导函数”)为 rn(r-1)
(乙).和分
给一个数列 (un).和分的问题就是要算和 . 怎么算呢 我们有下面重要的结果:
定理1 (差和分根本定理) 如果我们能够找到一个数列 (vn),使得 ,则
和分也具有线性的性质:
甲)微分
给一个函数 f,若牛顿商(或差分商) 的极限 存在,则我们就称此极限值为 f 为点 x0 的导数,记为 f'(x0) 或 Df(x),亦即
若 f 在定义区域上每一点导数都存在,则称 f 为可导微函数.我们称 为 f 的导函数,而 叫做微分算子.
微分算子的性质:
(i) [合称线性]
(ii) (常数) [差分方程根本定理]
(iii) Dxn=nxn-1
(iv) Dex=ex
(iv)' 一般的指数数列 ax 之导函数为
(乙)积分.
设 f 为定义在 [a,b] 上的函数,积分的问题就是要算图甲阴影的面积.我们的办法是对 [a,b] 作分割:
;其次对每一小段 [xi-1,xi] 取一个样本点 ;再求近似和 (见图乙);最后再取极限 (让每一小段的长度都趋近于 0).
若这个极限值存在,我们就记为 的几何意义就是图甲阴影的面积.
(事实上,连续性也“差不多”是积分存在的必要条件.)
图甲
图乙
积分算子也具有线性的性质:
定理2 若 f 为一连续函数,则 存在.(事实上,连续性也“差不多”是积分存在的必要条件.)
定理3 (微积分根本定理) 设 f 为定义在闭区间 [a,b] 上的连续函数,我们欲求积分 如果我们可以找到另一个函数 g,使得 g'=f,则
注:(1)(2)两式虽是类推,但有一点点差异,即和分的上限要很小心!
上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分,微分与积分,是两个互逆的操作,就好像加法与减法,乘法与除法是互逆的操作一样.
我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了,而上面定理1及定理3告诉我们,要计算 (un) 的和分及 f 的积分,只要去找另一个 (vn) 及 g 满足 , g'=f (这是差分及微分的问题),那么对 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.换句话说,我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作,这就是"以简御繁"的精神.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此.
甲)Taylor展开公式
这分别有离散与连续的类推.它是数学中“逼近”这个重要想法的一个特例.逼近想法的意思是这样的:给一个函数 f,我们要研究 f 的行为,但 f 本身可能很复杂而不易对付,于是我们就想法子去找一个较“简单”的函数 g,使其跟 f 很“靠近”,那么我们就用 g 来取代 f.这又是以简御繁的精神表现.由上述我们看出,要使用逼近想法,我们还需要澄清
两个问题:即如何选取简单函数及逼近的尺度.
(一) 对于连续世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数,并且用局部的“切近”作为逼近尺度.说得更明白一点,给一个直到到 n 阶都可导微的函数 f,我们要找一个 n 次多项函数 g,使其跟 f 在点 x0 具有 n 阶的“切近”,即 ,答案就是
此式就叫做 f 在点 x0 的 n 阶 Taylor 展式.
g 在 x0 点附近跟 f 很靠近,于是我们就用 g 局部地来取代 f.从而用 g 来求得 f 的一些局部的定性行为.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.当f是足够好的一个函数,即是所谓解析的函数时,则 f可展成 Taylor 级数,而且这个 Taylor 级数就等于 f 自身.
值得注意的是,一阶 Taylor 展式的特殊情形,此时 g(x)=f(x0+f'(x0)(x-x0)) 的图形正好是一条通过点 (x0,f(x0)) 而且切于 f 的图形之直线.因此 f 在点 x0 的一阶 Taylor 展式的意义就是,我们用过点 (x0,f(x0)) 的切线局部地来取代原来 f 曲线.这种局部化“用平直取代弯曲”的精神,是微分学的精义所在.
利用 Talor 展式,可以帮忙我们做很多事情,比如判别函数的极大值与极小值,求积分的近似值,作函数表(如三角函数表,对数表等),这些都是意料中事.事实上,我们可以用逼近的想法将微积分“一以贯之”.
复次我们注意到,我们选取多项函数作为逼近的简单函数,理由很简单:在众多初等函数中,如三角函数,指数函数,对数函数,多项函数等,从算术的观点来看,以多项函数最为简单,因为要计算多项函数的值,只牵涉到加减乘除四则运算,其它函数就没有这麼简单.
当然,从别的解析观点来看,在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数.例如,三角多项式,再配合上某种逼近尺度,我们就得到 Fourier 级数展开,这在应用数学上占有举足轻重的地位.(事实上,Fourier 级数展开是采用最小方差的逼近尺度,这在高等数学中经常出现,而且在统计学中也有应用.)
注:取 x0=0 的特例,此时 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不过只要会做特例的展开,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或变数代换)就好了.因此我们大可从头就只对 x=0 点作 Taylor 展式.
(二) 对于离散的情形,Taylor 展开就是:
给一个数列 ,我们要找一个 n 次多项式数列 (gt),使得 gt 与 ft 在 t=0 点具有 n 阶的“差近”.所谓在 0 点具有 n 阶差近是指:
答案是 此式就是离散情形的 Maclaurin 公式.
乙)分部积分公式与Abel分部和分公式的类推
(一) 分部积分公式:
设 u(x),v(x) 在 [a,b] 上连续,则
(二) Abel分部和分公式:
设(un),(v)为两个数列,令 sn=u1+......+un,则
上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv),及莱布尼慈差分公式 的结论.注意到,这两个莱布尼慈公式,一个很对称,另一个则不然.
(丁)复利与连续复利 (这也分别是离散与连续之间的类推)
(一) 复利的问题是这样的:有本金 y0,年利率 r,每年复利一次,要问 n 年后的本利和 yn= 显然这个数列满足差分方程 yn+1=yn(1+r)
根据(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 这就是复利的公式.
(二) 若考虑每年复利 m 次,则 t 年后的本利和应为
令 ,就得到连续复利的概念,此时本利和为y(t)=y0ert
换句话说,连续复利时,t 时刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答.
由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述,而连续复利的问题由微分方程来描述.对于常系数线性的差分方程及微分方程,解方程式的整个要点就是叠合原理,因此求解的办法具有完全平行的类推.
(戊)Fubini 重和分定理与 Fubini 重积分定理(也是离散与连续之间的类推)
(一) Fubini 重和分定理:给一个两重指标的数列 (ars),我们要从 r=1 到 m,s=1到 n, 对 (ars) 作和 ,则这个和可以这样求得:光对 r 作和再对 s 作和(反过来亦然).亦即我们有
(二)Fubini 重积分定理:设 f(x,y) 为定义在 上之可积分函数,则
当然,变数再多几个也都一样.
(己)Lebesgue 积分的概念
(一) 离散的情形:给一个数列 (an),我们要估计和 ,Lebesgue 的想法是,不管这堆数据指标的顺序,我们只按数值的大小来分堆,相同的分在一堆,再从每一堆中取一个数值,乘以该堆的个数,整个作和起来,这就得到总和.
(二)连续的情形:给一个函数 f,我们要定义曲线 y=f(x) 跟 X 轴从 a 到 b 所围出来的面积.(见下图)
Lebesgue 的想法是对 f 的影域 作分割:
函数值介 yi-1 到 yi 之间的 x 收集在一齐,令其为 , 于是 [a,b] 就相应分割成 ,取样本点 ,作近似和
让影域的分割加细,上述近似和的极限若存在的话,就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 积分.

‘玖’ ERT系统的含义是什么,有什么特点

ERT系统主要用于电学成像，主要应用领域有医学和石油工业，不过目前国内仅处于医学研究实验阶段，以天津大学为领先

‘拾’ 金融专业都学什么

金融专业本科的学习课程如下

1、马克思主义基本原理概论，学分4，考试类型，必考

2、概率论与数理统计（经管类），学分5，考试类型，必考

3、线性代数（经管类），学分4 ，考试类型，必考

4、管理系统中计算机应用，学分3，考试类型，必考

5、银行会计学，学分5，考试类型，必考

6、保险学原理，学分5，考试类型，必考

7、对外经济管理概论，学分5，考试类型，必考

8、金融市场学，学分5，考试类型，必考

9、管理学原理，学分6，考试类型，必考

10、市场营销学，学分5，考试类型，必考

11、国际金融学，学分6，考试类型，必考

12、财务管理学，学分6，考试类型，必考

13、英语（二），学分14，考试类型，选考

14、法学概论，学分6，考试类型，选考

15、电子商务概论，学分4，考试类型，选考

16、金融法，学分4，考试类型，选考

17、财政学，学分6，考试类型，选考

18、货币银行学，学分4，考试类型，加考

19、银行信贷管理学，学分6，考试类型，加考

20、政治经济学(财经类) ，学分6，考试类型，加考

21、基础会计学，学分5，考试类型，加考

22、国际经济法概论，学分6，考试类型，加考

(10)大学数学ert怎么算扩展阅读

金融专业是以融通货币和货币资金的经济活动为研究对象，具体研究个人、机构、政府如何获取、支出以及管理资金以及其他金融资产的学科专业，是从经济学中分化出来的。

中国所说的金融学是指两部分内容。第一部分指的是货币银行学（money and banking）。它在计划经济时期就有，是当时的金融学的主要内容。比如人民银行说他们是搞金融的，意思是搞货币银行；第二部分指的是国际金融(international finance)，研究的是国际收支、汇率等问题。这两部分合起来是国内所指的金融。

中国金融专业本科课程设置似乎更偏向于经济而不是正统的金融学，它的核心学科是宏观经济学，货币银行学和国际金融，主要学习货币银行学、国际金融等方面的基本理论和基本知识，而它们都是属于经济学大类的，货币银行学属于货币经济学而国际金融属于国际经济学。因此中国金融本科教育是一种经济与金融的交叉学科。

参考资料

网络-金融专业