半弦是什么数学

A. 吉他半弦是什么意思

没太看懂，标准音高是从一到六弦分别是 E B G D A E，各降半音的话就是你前面说的Eb/Bb/F#/C#/G#/Eb ，无论你同时把六根弦降多少音高，
“以第 1 空弦音为基准音.
调整第 2 弦音高.使第 2 弦第 5 品音高和第 1 弦空弦音高相同
调整第 3 弦音高.使第 3 弦第 4 品音高和第 2 弦空弦音高相同
调整第 4 弦音高.使第 4 弦第 5 品音高和第 3 弦空弦音高相同
调整第 5 弦音高.使第 5 弦第 5 品音高和第 4 弦空弦音高相同
调整第 6 弦音高.使第 6 弦第 5 品音高和第 5 弦空弦音高相同”
的方法都是行得通的。

B. 半弦，半径，弦心距之间的关系

半径=弦心距+拱高
弦的一半，弦心距，半径构成直角三角形，满足勾股定理：弦的一半^2+弦心距^2=半径^2。
已知弦长、弦高、求弧长
设弦长=2l,弦高=h,半径=R,圆心角=2a.
根据相交弦定理:(2R-h)h=l^2
--->R=(l^2+h^2)/(2h).
sina=l/R=2hl/(l^2+h^2)
--->a=arcsin[2hl/(l^2+h^2)]
所以,弧长=aR=a(l^2+h^2)/(2h).
现在已知一个弓形的弧长及弦长,求其矢高,注意半径和圆周角未知
设半径为r，圆心角为a
则弧长l=r*a，
弦长b=2*r*sin(a/2)
通过这两个方程可以解出r和a，然后就可以求出h了
h=r-r*cos(a/2)
扇形弦长公式
半径r，圆心角a，弦长l
弦长与两条半径构成一个三角形，用余弦定理
l^2=2r^2-2r^2cosa=2r^2(1-cosa)
l=r*√[2(1-cosa)]
用半角公式可转化为
l=2r*sin(a/2)
弓形面积
l－弧长
b－弦长
h－矢高
r－半径
α－圆心角的度数
S＝r2/2·(πα/180-sinα)
＝r2arccos[(r-h)/r]
-
(r-h)(2rh-h2)1/2
＝παr2/360
-
b/2·[r2-(b/2)2]1/2
＝r(l-b)/2
+
bh/2
≈2bh/3

C. 【数学】sin cos tan分别是什么意思

tan 就是正切的意思，直角三角函数中，锐角对应的边跟另一条直角边的比

cos 就是余弦的意思，锐角相邻的那条直角边与斜边的比

sin 就是正弦的意思，锐角对应的边与斜边的边

三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。

我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦（AC）与全弦所对弧的一半（AD）相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。

印度人称连结弧（AB）的两端的弦（AB）为”吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；称AB的一半（AC） 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。

D. 圆中的半弦是指什么

弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长d的公式。
PS：圆锥曲线， 是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。

E. 三角函数

三角函数 是 基本初等函数 之一 ， 是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为 自变量 ，角度对应 任意角 终边与 单位圆 交点坐标或其比值为 因变量 的函数。也可以等价地用与 单位圆 有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和 圆 等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在 数学分析 中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是 复数 值。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、 半正矢函数 、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为 双曲正弦函数 、 双曲余弦函数 等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

中文名

三角函数

外文名

trigonometric

function

提出者

印度数学家

提出时间

公元五世纪

适用领域

函数及图像

应用学科

数学

目录

[if !supportLists].         [endif]1  发展历史

[if !supportLists].         [endif]▪ 起源

[if !supportLists].         [endif]▪ 古希腊历史

[if !supportLists].         [endif]▪ 阿拉伯历史

[if !supportLists].         [endif]▪ 弦表的发明

[if !supportLists].         [endif]▪ 传入中国

[if !supportLists].         [endif]2  定义

[if !supportLists].         [endif]▪ 直角三角形三角函数定义

[if !supportLists].         [endif]▪ 基本三角函数关系的速记方法

[if !supportLists].         [endif]▪ 变化规律

[if !supportLists].         [endif]▪ 任意角三角函数定义

[if !supportLists].         [endif]▪ 单位圆定义

[if !supportLists].         [endif]▪ 级数定义

[if !supportLists].         [endif]3  三角学

[if !supportLists].         [endif]4  特殊角

[if !supportLists].         [endif]5  几何性质

[if !supportLists].         [endif]▪ 函数图象

[if !supportLists].         [endif]▪ 最小正周期

[if !supportLists].         [endif]6  诱导公式

[if !supportLists].         [endif]▪ 公式内容

[if !supportLists].         [endif]▪ 推导方法

[if !supportLists].         [endif]7  关于三角恒等式

[if !supportLists].         [endif]▪ 两角和与差

[if !supportLists].         [endif]▪ 和差化积

[if !supportLists].         [endif]▪ 积化和差

[if !supportLists].         [endif]▪ 二倍角公式

[if !supportLists].         [endif]▪ 三倍角公式

[if !supportLists].         [endif]▪ n倍角公式

[if !supportLists].         [endif]▪ 半角公式

[if !supportLists].         [endif]▪ 辅助角公式

[if !supportLists].         [endif]▪ 万能公式

[if !supportLists].         [endif]▪ 降幂公式

[if !supportLists].         [endif]▪ 三角和

[if !supportLists].         [endif]▪ 幂级数

[if !supportLists].         [endif]▪ 泰勒展开式

[if !supportLists].         [endif]▪ 傅里叶级数

[if !supportLists].         [endif]8  概念

[if !supportLists].         [endif]9  推广

[if !supportLists].         [endif]10  复数性质

[if !supportLists].         [endif]11  相关定理

[if !supportLists].         [endif]▪ 解释

[if !supportLists].         [endif]▪ 正弦定理

[if !supportLists].         [endif]▪ 余弦定理

[if !supportLists].         [endif]▪ 正切定理

[if !supportLists].         [endif]▪ 广义射影定理

[if !supportLists].         [endif]▪ 三角恒等式

[if !supportLists].         [endif]12  函数介绍

[if !supportLists].         [endif]▪ 正弦函数

[if !supportLists].         [endif]▪ 余弦函数

[if !supportLists].         [endif]▪ 正切函数

[if !supportLists].         [endif]▪ 余切函数

[if !supportLists].         [endif]▪ 正割函数

[if !supportLists].         [endif]▪ 余割函数

[if !supportLists].         [endif]▪ 正矢函数

[if !supportLists].         [endif]▪ 余矢函数

[if !supportLists].         [endif]▪ 半正矢函数

[if !supportLists].         [endif]▪ 半余矢函数

[if !supportLists].         [endif]▪ 外正割函数

[if !supportLists].         [endif]▪ 外余割函数

[if !supportLists].         [endif]13  记忆口诀

发展历史

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起源

公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个 计算工具 ，是一个附属品，但是 三角学 的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。

三角学中” 正弦 ”和” 余弦 ”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比 托勒密 更精确的正弦表。

我们已知道，托勒密和 希帕克 造出的弦表是 圆 的全 弦 表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦（ AC ）与全弦所对弧的一半（ AD ）相对应，即将 AC 与 ∠AOC 对应，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。

印度人 称连结 弧 （ AB ）的两端的弦（ AB ）为”吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；称AB的一半（ AC ） 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪， 阿拉伯文 被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。 [1]

古希腊历史

早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。 古希腊 三角术的奠基人是公元前2世纪的 喜帕恰斯 。他按照 古巴比伦 人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的 弧度制 不同）。对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。 梅涅劳斯 在他的着作《球面学》中使用了正弦来描述球面的 梅涅劳斯定理 。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的 托勒密 时代达到了高峰，托勒密在《 数学汇编 》（ Syntaxis Mathematica ）中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。

古希腊文化传播到 古印度 后，古印度人对三角术进行了进一步的研究。公元5世纪末的数学家 阿耶波多 提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦，这个做法被后来的古印度数学家使用，和现代的正弦定义一致了。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度（3.75°）的三角函数值表。然而古印度的数学与当时的中国一样，停留在计算方面，缺乏系统的定义和演绎的证明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义，但他们的三角学是直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了 正切 和 余切 、 正割 和 余割 的概念，并计算了间隔10分（10′ ） 的正弦和正切数值表。到了公元14世纪，阿拉伯人将三角计算重新以算术方式代数化（古希腊人采用的是建立在几何上的推导方式）的努力为后来三角学从天文学中独立出来，成为了有更广泛应用的学科奠定了基础。

阿拉伯历史

进入15世纪后， 阿拉伯数学 文化开始传入欧洲。随着欧洲商业的兴盛，航行、历法测定和地理测绘中出现了对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学着作的同时，欧洲数学家开始制作更详细精确的 三角函数值 表。 哥白尼 的学生乔治·约阿希姆·瑞提克斯制作了间隔10秒（10″ ） 的正弦表，有9位精确值。瑞提克斯还改变了正弦的定义，原来称弧对应的弦长是正弦，瑞提克斯则将角度对应的弦长称为正弦。16世纪后，数学家开始将 古希腊 有关球面三角的结果和定理转化为平面三角定理。 弗朗索瓦·韦达 给出了托勒密的不少结果对应的平面三角形式。他还尝试计算了多倍角正弦的表达方式。

18世纪开始，随着解析几何等分析学工具的引进，数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的 无穷级数 表示。Collins将牛顿的结果告诉了詹姆斯·格列高里，后者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。 莱布尼兹 在1673年左右也独立得到了这一结果。 欧拉 的《无穷小量分析引论》（ Introctio in Analysin Infinitorum ，1748年）对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了 欧拉公式 ，还有使用接近现代的简写 sin. 、 cos. 、 tang. 、 cot. 、 sec. 和 cosec. 。

弦表的发明

根据认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列 直角三角形 ，然后一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之间的距离。然而，第一张弦表制作者希腊文学家希帕克 （Hipparchus，约前180~前125）不是这样作，他采用的是在同一个固定的 圆 内，去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长。这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。希帕克的原着早已失传，我们所知关于希帕克在三角学上的成就，是从公元二世纪希腊着名天文学家托勒密的遗着《天文集》中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。

据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的60进位法。把 圆周 360等分，把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又等分为60份，这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很久以后，罗马人把它们分别取名为”partes minutae primae”和”partes minutae

secundae”；后来，这两个名字演变为”minute”和”second”，成为角和时间的度量上” 分 ”和” 秒 ”这两个单位得起源。

建立了半径与圆周的度量单位以后， 希帕克 和 托勒密 先着手计算一些特殊 圆弧 所对应的弦长。比如 60°弧（1/6圆 周长 ）所对的弦长，正好是内接 正六边形 的边长，它与半径相等，因此得出60°弧对应的弦值是60个半径单位（半径长的1/60为一个单位）；用同样的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所对应的弦值。有了这些弧所对应的弦值，接着就利用所称的” 托勒密定理 ”，来推算两条已知所对弦长的弧的”和”与”差”所对的弦长，以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基于这样一种几何上的推算。他们终于造出了世界上第一张弦表。

传入中国

三角学 输入中国，开始于明 崇祯 4年（1631年），这一年， 邓玉函 、 汤若望 和 徐光启 合编《 大测 》，作为 历书 的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。在《大 测 》中，首先将sine译为”正半弦”，简称” 正弦 ”，这就成了“正弦” 一词 的由来。 [2]

定义

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直角三角形三角函数定义

在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个 直角三角形 ，其中∠ACB为 直角 。对∠BAC而言， 对边 （opposite）a=BC、 斜边 （hypotenuse）c=AB、 邻边 （adjacent）b=AC，则存在以下关系：

基本函数 英文 缩写 表达式 语言描述 [if !vml][endif] 三角形

正弦函数 sine sin a/c ∠A 的对边比斜边

余弦函数 cosine cos b/c ∠A 的邻边比斜边

正切函数 tangent tan a/b ∠A 的对边比邻边

余切函数 cotangent cot b/a ∠A 的邻边比对边

正割函数 secant sec c/b ∠A 的斜边比邻边

余割函数 cosecant csc c/a ∠A 的斜边比对边

注：正切函数、余切函数曾被写作 tg 、 ctg ， 现已不用这种写法 。

基本三角函数关系的速记方法

[if !vml][endif] 六边形

如右图，六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：

1）对角相乘乘积为1，即sinθ·cscθ=1； cosθ·secθ=1； tanθ·cotθ=1。

2）六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ...

3）阴影部分的三角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值，如：

[if !vml]

[endif]

 ；

[if !vml]

[endif]

 ；

[if !vml]

[endif]

 。

变化规律

正弦 值在

[if !vml]

[endif]

 随角度增大（减小）而增大（减小），在

[if !vml]

[endif]

 随角度增大（减小）而减小（增大）；

余弦值在

[if !vml]

[endif]

 随角度增大（减小）而增大（减小），在

[if !vml]

[endif]

 随角度增大（减小）而减小（增大）；

正切 值在

[if !vml]

[endif]

 随角度增大（减小）而增大（减小）；

余切值在

[if !vml]

[endif]

 随角度增大（减小）而减小（增大）。

注：以上其他情况可类推，参考第五项：几何性质。

除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：

函数名 与常见函数转化关系  

正矢函数 [if !vml]

[endif]

[if !vml][endif] versin

[if !vml]

[endif]

余矢函数 [if !vml]

[endif]

[if !vml]

[endif]

半正矢函数 [if !vml]

[endif]

[if !vml]

[endif]

半余矢函数 [if !vml]

[endif]

[if !vml]

[endif]

外正割函数 [if !vml]

[endif]

外余割函数 [if !vml]

[endif]

任意角三角函数定义

在 平面直角坐标系 xOy中设∠β的始边为x轴的正半轴，设点P（x，y）为∠β的终边上不与原点O重合的任意一点，设r=OP，令∠β=∠α，则：

[if !vml]

[endif]

 ，

[if !vml]

[endif]

 ，

[if !vml]

[endif]

 ，

[if !vml]

[endif]

 ，

[if !vml]

[endif]

 ，

[if !vml]

[endif]

 。

单位圆定义

[if !vml][endif] 三角函数

六个三角函数也可以依据 半径 为1中心为原点的 单位圆 来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于 直角三角形 。但是 单位圆 定义的确允许三角函数对所有 正数 和 负数 辐角都有定义，而不只是对于在 0  和 π/2 弧度 之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都 包含 了。根据 勾股定理 ，单位圆的 方程 是：对于圆上的任意点（ x,y ）， x²+y²=1 。

图像中给出了用 弧度 度量的一些常见的角:逆时针方向的度量是 正角 ，而顺时针的度量是 负角 。设一个过 原点 的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cosθ 和 sinθ 。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ = y /1和 cosθ = x /1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。

对于大于 2π 或小于等于 2π  的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π 的 周期函数 ：对于任何角度 θ 和任何 整数 k 。

周期函数的 最小正周期 叫做这个函数的“ 基本周期 ”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。

在 正切函数 的图像中，在角 k π 附近变化缓慢，而在接近角 （ k + 1/2）π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = （ k + 1/2）π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 （ k + 1/2）π 的时候函数接近 正无穷 ，而从右侧接近 （ k + 1/2）π 的时候函数接近负无穷。

[if !vml][endif] 三角函数

另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别 是，对于这个圆的 弦 AB ，这里的 θ 是对向角的一半，sin θ 是 AC （半弦），这是印度的 阿耶波多 介入的定义。cos θ 是水平距离 OC ，versin θ =1-cos θ 是 CD 。tan θ 是通过 A 的 切线 的 线段 AE 的长度，所以这个函数才叫 正切 。cot θ 是另一个切线段 AF 。sec θ = OE 和csc θ = OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。 DE 是exsec θ =sec θ -1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出 正割 和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散，而余割和余切在 θ接近零的时候发散。

依据单位圆定义，可以做三个 有向线段 （ 向量 ）来表示正弦、余弦、正切的值。如图所示，圆O是一个单位圆，P是 α 的 终边 与单位圆上的交点，M点是 P 在 x 轴的投影， A （1,0）是圆O与x轴 正半轴 的交点，过A点做过圆O的 切线 。

那么向量 MP 对应的就是 α 的 正

F. 抛物线中半弦长公式，是什么啊，我说的半弦长是我图中的m和n，能看懂吗

这叫做焦半径,不是半弦长
连接抛物线上一点与焦点的线段叫做焦半径,若抛物线为y²=2px,p>0,则焦半径r=x0+p/2,x0是抛物线上点的横坐标

G. 半弦长公式

是的,很容易可以推出来~
x0=(x1+x2)/2
那么|x1-x0|=|x1-(x1+x2)/2|=|(x1-x2)/2|=|x1-x2|/2
所以AC=弦长/2=[(根号1+k²)×|x1-x2|]/2=(根号1+k²)×|x1-x0|

H. 数学符号中的sh,ch表示什么意思哦

sh表示双曲正弦函数，一般记作sinh，也可简写成sh。

ch表示双曲余弦函数，一般记作cosh，也可简写为ch。

双曲正弦函数和双曲余弦函数是双曲函数中最基本的两种，由这两个函数可推导出双曲正切函数等。

双曲正弦函数的定义式为：sinh=(eˣ-e⁻ˣ)/2。当x的绝对值很大时，双曲正弦函数的图形在第一象限内接近于曲线y=eˣ/2，在第三象限内接近于曲线y=-e⁻ˣ/2。当x=0时，sinhx=sinh0=0。

双曲余弦函数的定义式为：cosh=(eˣ+e⁻ˣ)/2。当x=0时，cosh0=1是该函数的最小值。

(8)半弦是什么数学扩展阅读

双曲函数与三角函数的关系

奥古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科书《Trigonometry and Double Algebra》中将圆三角学扩展到了双曲线，威廉·金顿·克利福德在1878年使用双曲角来参数化单位双曲线。

给定相同的角α，在双曲线上计算双曲角的量值（双曲扇形面积除以半径）得到双曲函数，角α得到三角函数。在单位圆和单位双曲线上，双曲函数与三角函数有如下的关系：

（1）正弦同样是从x轴到曲线的半弦。

（2）余弦同样是从y轴到曲线的半弦（图中的余弦是长方形的另一条边）。

（3）正切同样是过x轴上单位点（1,0）在曲线上的切线到终边的长度。

（4）余切同样是从y轴与过终边和曲线交点的切线与y轴的交点和曲线连线之长度。

（5）正割同样是在一个有正切和单位长的直角三角形上，但边不一样。

（6）余割同样是y轴与过终边和曲线交点的切线与y轴的交点和原点之距离。