中学数学的数学思想有哪些

❶ 中学数学有哪些数学思想方法

在中学数学中经常用到的基本数学方法，大致可以分为以下三类：
(1)逻辑学中的方法.例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等.这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因为运用于数学之中而具有数学的特色.
(2)数学中的一般方法.例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法，在代数中常称图象法，在我们今后要学习的解析几何中常称坐标法)、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法，以及将来要学习的向量法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等.这些方法极为重要，应用也很广泛.
(3)数学中的特殊方法.例如配方法、待定系数法、加减（消元）法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等.这些方法在解决某些数学问题时也起着重要作用，我们不可等闲视之.

❷ 高中数学中都有哪些数学思想

第一：函数与方程思想

（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用

（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础

高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查

第二：数形结合思想：

（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面

（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系

在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系

数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化

第三：分类与整合思想

（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法

（2）从具体出发，选取适当的分类标准

（3）划分只是手段，分类研究才是目的

（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性

（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性

第四：化归与转化思想

（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题

（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法

（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化

第五： 特殊与一般思想

（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识

（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论

（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程

（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程

（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向

第六：有限与无限的思想：

（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路

（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向

（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用

（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查

第七：或然与必然的思想：

（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性

（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然

（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点

以上就是高中数学教学中的数学思想，在我们的教学过程中，要注意引导学生多向这些思想上靠，灵活运用，在教与学的过程中得以体现和实践。
希望对您有帮助，谢谢！

❸ 初中数学四大思想是什么

一、转化思想：
在解较复杂或条件较分散的几何问题时,往往需要通过某种转化手段（例如：作适当的辅助线）,讲生疏的问题转化成熟悉的问题,将复杂的问题转化成简单的问题,将分散的条件进行适当集中,从而使线段与线段,角与角,形与形之间建立联系,使问题得到解决.
二、方程思想：
当几何中的证明题和计算题所求的未知量不易直接求出时,可根据题目所给的条件,结合图形,联想到有关定理,选择便于把条件结论、图形和定理、定义结合起来的未知量设为x,从多角度寻求等量关系（图形的位置与定理的关系,已知条件与定理的关系等等）建立方程式或方程组通过解方程,使问题得以解决.
三、数形结合思想：
在直角坐标系中的几何图形,往往可以借助点的坐标,直线的解析式,函数的性质,将平面几何图形与函数图像有机地结合起来,通过形来理解数,利用数来理解形,借助图形的直观,加深对数量关系的认识,从而简化几何中的计算问题
四、分类讨论思想

❹ 中学阶段的学生，应该掌握哪些数学思想呢

中学以后的数学会比较抽象，会有一些很多图形的公式以及图形的面积，周长计算，还有一些函数的基本接触。在初中以后需要加强空间感的培养，和它逻辑能力的转变，以及他的思考能力的训练。所以可以在平时要讲一些做题，尽量的熟悉掌握。而且要充分利用错题进行知识的总结归纳，做到仅1返3，这样才能够更将数学的基本知识全部掌握。

❺ 初中数学思想主要有哪些

初中数学思想方法
二、认识初中数学思想方法.
初中数学中蕴含多种的数学思想方法,但最基本的数学思想方法是数形结合的思想,分类讨论思想、转化的思想、函数的思想,突出这些基本思想方法,就相当于抓住了中学数学知识的精髓.
1、数形结合的思想 数形结合是一种重要的数学思想方法,其应用广泛,灵活巧妙.”数缺形时少直观,形无数时难入微”是我国着名数学家华罗庚教授的名言,是对数形结合的作用进行了高度的概括 [1].在数学教学中,许多定律、定理及公式等常可以用图形来描述.而利用图形的直观,则可以由抽象变具体,模糊变清晰,使数学问题的难度下降,从而可以从图形中找到有创意的解题思路.如代数列方程解应用题中的行程问题,往往借助几何图形,靠图形感知来”支持”抽象的思维过程,从而寻求数量之间的相依关系.例如:小彬和小明每天早晨坚持跑步,小彬每秒跑4米,小明每秒跑6米,如果小明站在百米跑道的起点处,小彬站在他前面10米处,两人同时同向起跑,几秒后小明追上小彬?此时,我们可画出如下的线路图：
依据线路图,我们可以找出其中的等量关系
S小明=S小彬+10,然后设未知数列方程即可.
2、分类讨论的思想 分类讨论思想是根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将数学对象区分为不同种类的数学思想.对数学内容进行分类,可以降低学习难度,增强学习的针对性.因此,在教学中应启发学生按不同的情况去对同一对象进行能够分类,帮助他们掌握好分类的方法原则,形成分类的思想.如当 取何实数时,对 的值的分类讨论:当 时,；当 ＜3时,.
3、转化思想 数学问题的解决过程就是一系列转化的过程,中学数学处处都体现出转化的思想,如化繁为简、化难为易,化未知为已知,化高次为低次等,是解决问题的一种最基本的思想.因此在教学中,首先要让学生认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法,从而确信转化是可能的,而且是必须的；其次结合具体的教学内容进行有意识的训练,使学生掌握这一具有重大价值的思想方法.例如:当 时,求 的值.该题可以采用直接代入法,但是更简易的方法应为先化简再求值,此时原式 .
4、函数的思想 辩证唯物主义认为,世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中,这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学.华东师大版教材把函数思想已经渗透到初一、二教材的各个内容之中.因此,教学上要有意识、有计划、有目的地培养函数的思想方法.例如：进行求代数式的值的教学时,通过强调解题的第一步“当……时”的依据,渗透函数的思想方法--字母每取一个值,代数式就有唯一确定的值.如代数式x2-4中,当x=1时,则x2-4=-3；当x=2,则x2-4=0……通过引导学生对以上问题的讨论,将静态的知识模式演变为动态的讨论,这样实际上就赋予了函数的形式,在学生的头脑中就形成了以运动的观点去领会,这就是发展函数思想的重要途径.
这是四个最常用的
其他还有：归纳、演绎等等思想

❻ 高中数学的基本思想方法有哪些

1、函数方程思想

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组）。

然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程。

求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题。

经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解决问题中。

善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系。

构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

2、数形结合思想

“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。

例如求根号（(a-1)^2+(b-1)^2）+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐标系中，把它转化成一个点到(0，1)、(1，0)、(0，0)、(1，1)四点的距离，就可以求出它的最小值。

3、分类讨论思想

当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论。比如解不等式|a-1|>4的时候，就要分类讨论a的取值情况。

4、方程思想

当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。

5、整体思想

从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

6、化归思想

在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。三角函数，几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想。

常见的转化方式有：一般 特殊转化，等价转化，复杂 简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。

转化思想亦可在狭义上称为化归思想。化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题B来解决问题A的方法。

7、隐含条件思想

没有明文表述出来，但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件，或者是没有明文表述，但是该条件是一个常规或者真理。例如一个等腰三角形，一条线段垂直于底边，那么这条线段所在的直线也平分底边和顶角。

8、类比思想

把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

9、建模思想

为了更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性地描述一个实际现象，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。

使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。

10、归纳推理思想

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳)，简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

另外，还有概率统计思想等数学思想，例如概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等。另外，还可以用概率方法解决一些面积问题。

❼ 初中数学中的数学思想

初中数学中的数学思想是我为大家带来的论文范文，欢迎阅读。

摘 要：数学思想及数学方法是数学课程的精华，同时也是将理论知识转变为应用能力的途径。

当前，初中阶段的数学课程所包含的思想及方法主要有：整体思想、归纳思想、类比思想、辩证思想等。

教师想要帮助学生掌握学习方法，提高数学素养，就应重点培养学生的数学思想。

关键词：数学思想 初中数学 方法体系

数学思想是对数学知识和方法本质的认识，是解决数学问题的根本策略，它直接支配着数学的实践活动;数学思想和方法是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁。

目前，在初中阶段，主要数学思想方法有：转化思想、方程思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等。

一、转化思想

所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。

我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。

数学问题的解决过程就是一系列转化的过程。

转化是化繁为简、化难为易、化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析、解决问题的能力有着积极的促进作用。

在学习《平行四边形和梯形的认识》时，对于梯形的认识和学习可引导学生通过作适当的辅助线，比如做梯形的高、平移一条腰或者平移一条对角线把梯形分割或补成三角形和平行四边形来解决问题。

从而把生疏的、新的问题转化为熟悉的、旧的问题，把困难的问题转化为容易的问题。

二、方程思想

所谓方程思想，主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。

教材中大量地出现这种思想方法，如列方程解应用题、求函数解析式、利用根的判别式、根与系数关系、求字母系数的值等。

方程建模的思想对人的教育价值体现在两个方面：一个是建模，另一个是化归。

学生学习方程的意义在于：一是学习在生活中从错综复杂的事情中，将最本质的东西抽象出来，这个过程是非常难的，很有训练的价值;二是在运算中遵循最佳的途径，将复杂问题简单化，这种优化思想对于思维习惯的影响是深远的。

教学时，可有意识地引导学生发现等量关系从而建立方程。

如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时，可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数，可把它们看成三个“未知量”，告诉学生利用方程思想来解决，那学生就会自觉地去找三个等量关系建立方程组。

在这里如果单讲解题步骤，就会显得呆板、僵硬，学生只知其然，不知其所以然。

三、分类讨论思想

“分类讨论”是一种逻辑方法，是中学数学中一个极其重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略，当被研究的问题包含多种可能的情况不能一概而论时，就要按照可能出现的各种情况进行分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想。

近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性.在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是在平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够.在数学中，当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得到每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的解答，这种“化整为零、各个击破、再集零为整”的方法，叫做分类讨论法。

1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。

2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的'结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。

4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类;逐类进行讨论，获取阶段性成果;归纳小结，综合出结论。

由于学生的思维的全面性还不完善，缺乏实际的经验，这样呢，在分类讨论问题时，学生不知道从哪个方面、哪个角度去分析、去讨论，才能有利于问题的解决，这是教学过程中的一个难点，所以在教学过程中，培养学生的分类思想显得特别重要，即结合具体的解题过程，适当向学生介绍一些必要的分类知识，引导他们去发现、去尝试、去总结，这对他们学习知识、研究问题、提高技能是大有帮助的。

四、数形结合的思想

“数缺形，少直观;形缺数，难入微”，数形结合的思想，就是研究数学的一种重要思想方法，它是指把代数的精确刻画与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象思维相结合的一种方法。

数形结合的思想贯穿于初中数学教学的始终。

数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：(1)建立适当的代数模型。

(2)建立几何模型解决有关方程和函数的问题。

(3)与函数有关的代数、几何综合性问题。

(4)以图象形式呈现信息的应用性问题。

采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点。

如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。

数形结合是数学中一种重要的思想方法，它将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使代数问题几何化或使几何问题代数化，为问题的解决提供了简洁明快的途径。

在实践中我们发现，学生在解决问题的过程中经常会面对问题时无从下手，这时如果学生能灵活运用数形结合的方法，往往能很快找到解决问题的窍门。

总之，在初中数学教学中，渗透数学思想方法，可以克服就题论题、死套模式。

数学思想方法可以帮助我们加强思路分析，寻求已知和未知的联系，提高分析、解决问题的能力，从而使思维品质和能力有所提高。

提高学生的数学素质，必须紧紧抓住数学思想方法这一重要环节，因为数学思想方法是提高学生的数学思维能力和数学素养的重要保障。

参考文献：

[1]陈振宣.《中学数学思想方法》.上海科技教育出版社

[2]郑敏信.《数学方法论》.广西教育出版社

❽ 初中数学思想方法有哪些

初中数学思想方法从接受的难易程度可分为三个层次：
一是基本具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等；
二是科学的逻辑方法，如观察、归纳、类比、抽象概括等方法，以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法；
三是数学思想，如数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想及化归与转化的思想。
例如：
1、数形结合思想。
数形结合思想就是根据数学题目所给的条件和结论之间的内在关系，即分析其代数的意义，又分析其几何的意义，把题目所展示出的数量关系与图形(画图)相结合起来，利用这样的结合，找到解题的思路，使问题得到解决。
2、分类讨论思想。
在数学中，有时候根据题目所给出的条件，可能存在各种不同的情况，这时候就需要通过分类讨论，将所有可能出现的情况整合在一起，得出最后的结果，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，也是一种重要的解题策略。
3、换元法。
在解决题目的过程过程中，将一个或者某个字母的式子看成一个整体，用一个新的字母来表示，达到简化式子的目的。换元法可以把一个比较复杂的式子化简，把问题归结为比原来更基本的问题，达到化繁为简、化难为易的效果。
4、配方法。
将一个式子设法构成平方式，然后再进行所需要的转化。当在求二次函数最值问题、解决实际问题最省钱、盈利最大化等问题时，经常要用到此方法。
5、待定系数法法。
当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，就需要求出式子中待定的字母的值；为此，需要把已知的条件代入到这个待定的式子中，往往会得到含待定字母的方程或者方程组，然后解这个方程或者方程组就可以使问题得到解决。

❾ 高中数学解题时都涉及到那些数学思想

一、高中数学重要数学思想
一、 函数方程思想
函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。
1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；
2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；
3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。
二、 数形结合思想
数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。
4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.
5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。
6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领：
(1) 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；
(2) 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点，顶点是关键点），作好知识的迁移与综合运用；
(3) 对于以下类型的问题需要注意： 可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点 及余弦定理进行转化达到解题目的。
三、 分类讨论的数学思想
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：
（1）涉及的数学概念是分类讨论的；
（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；
（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；
（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究。
四、 化归与转化思想
所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难解问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。
立体几何中常用的转化手段有
1.通过辅助平面转化为平面问题，把已知元素和未知元素聚集在一个平面内，实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化；
2.平移和射影，通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题，化未知为已知的目的；
3.等积与割补；
4.类比和联想；
5.曲与直的转化；
6.体积比，面积比，长度比的转化；
7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。
二、中学数学常用解题方法
1. 配方法
配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式.高考中常见的基本配方形式有：
（1)a^2+b^2= (a + b)^2- 2ab = (a -b)^2+ 2ab;
（2）a^2+ b^2+c^2= (a＋b + c)2- 2 ab – 2 a c – 2 bc;
（3）a^2+ b^2+ c^2-ab–bc–a c = [(a-b)^2+ (b-c)^2+(a-c)^2];
（配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，求解与证明及二次曲线的讨论。
2.待定系数法
一 待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决。待定系数法的主要理论依据是：
（1）多项式f(x)=g(x)的充要条件是：对于任意一个值a，都有f（a）＝g(a);
（2）多项式f(x) ≡g(x)的充要条件是：两个多项式各同类项的系数对应相等；
二 运用待定系数法的步骤是：
（1）确定所给问题含待定系数的解析式（或曲线方程等）；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决；
三 待定系数法主要适用于：求函数的解析式，求曲线的方程，因式分解等。
3.换元法
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中数学中换元法主要有以下两类：
（1）整体换元：以“元”换“式”； （2）三角换元 ，以“式”换“元”；
（3）此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等；换元法应用比较广泛。如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体置换的策略。
4.向量法
向量法是运用向量知识解决问题的一种方法，解题常用下列知识：
（1）向量的几何表示，两个向量共线的充要条件；（2）平面向量基本定理及其理论；
（3）利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题；
（4）两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式；
5.分析法、综合法
（1）分析法是从所求证的结果出发，逐步推出能使它成立的条件，直至已知的事实为止；分析法是一种“执果索因”的直接证法。
（2）综合法是从已经证明的结论、公式出发，逐步推出所要求证的结论。综合法是一种“由因导果”，叙述流畅的直接证法。
（3）分析法、 综合法是证明数学问题的两大最基本的方法。分析法“执果索因”的分析方法，思路清晰，容易找到解题路子，但书写格式要求较高，不容易叙述清楚，所以分析法、综合法常常交替使用。分析法、 综合法应用很广，几乎所有题都可以用这两个方法来解。
6.反证法
反证法是数学证明的一种重要方法，因为命题p与它的否定非p的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题（即命题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。
一 反证法证明的一般步骤是：
（1）反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）归谬：从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛盾的结果；
（3）结论：有矛盾判定假设不正确，从而肯定的结论正确；
二 反证法的适用范围：（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的命题；
（2）结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题，特别是结论是否定形式（“不是”、“不可能”、“不可得”）等的命题；（3）涉及各种无限结论的命题；（4）以“最多（少）、若干个”为结论的命题；（5）存在性命题；（6）唯一性命题；（7）某些定理的逆定理；
（8）一般关系不明确或难于直接证明的不等式等。
三 反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律”。
7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法等.

❿ 初中数学思想主要有哪些

初中数学思想方法
二、认识初中数学思想方法。
初中数学中蕴含多种的数学思想方法，但最基本的数学思想方法是数形结合的思想，分类讨论思想、转化的思想、函数的思想，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。
1、数形结合的思想 数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用广泛，灵活巧妙。”数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国着名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括 [1]。在数学教学中，许多定律、定理及公式等常可以用图形来描述。而利用图形的直观，则可以由抽象变具体，模糊变清晰，使数学问题的难度下降，从而可以从图形中找到有创意的解题思路。如代数列方程解应用题中的行程问题，往往借助几何图形，靠图形感知来”支持”抽象的思维过程，从而寻求数量之间的相依关系。例如:小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米，如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明追上小彬？此时，我们可画出如下的线路图：
依据线路图，我们可以找出其中的等量关系
S小明=S小彬+10，然后设未知数列方程即可。

2、分类讨论的思想 分类讨论思想是根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的数学思想。对数学内容进行分类，可以降低学习难度，增强学习的针对性。因此，在教学中应启发学生按不同的情况去对同一对象进行能够分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。如当 取何实数时，对 的值的分类讨论:当 时， ；当 ＜3时， 。
3、转化思想 数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，中学数学处处都体现出转化的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，是解决问题的一种最基本的思想。因此在教学中，首先要让学生认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法，从而确信转化是可能的，而且是必须的；其次结合具体的教学内容进行有意识的训练，使学生掌握这一具有重大价值的思想方法。例如:当 时，求 的值。该题可以采用直接代入法，但是更简易的方法应为先化简再求值，此时原式 。
4、函数的思想 辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。华东师大版教材把函数思想已经渗透到初一、二教材的各个内容之中。因此，教学上要有意识、有计划、有目的地培养函数的思想方法。例如：进行求代数式的值的教学时，通过强调解题的第一步“当……时”的依据，渗透函数的思想方法--字母每取一个值，代数式就有唯一确定的值。如代数式x2-4中，当x=1时，则x2-4=-3；当x=2，则x2-4=0……通过引导学生对以上问题的讨论，将静态的知识模式演变为动态的讨论，这样实际上就赋予了函数的形式，在学生的头脑中就形成了以运动的观点去领会，这就是发展函数思想的重要途径。

这是四个最常用的
其他还有：归纳、演绎等等思想