A. 数学教学中如何引入导数
数学作为一种文化现象历来受到人们的重视,但数学文化作为一种特殊的文化形态,直到20 世纪下半叶才由美国着名的数学史学家倪莱因在其3本力作《西方文化中的数学》、《古今数学思想》 和《数学——确定性的丧失》中从人类文化发展史的角度进行了比较系统而深刻的阐述[1]。伽利略曾说:数学是上帝用来书写宇宙的文字。现在也有数学家说:数学是看不见的文化。的确,数学作为一种文化,它的产生和发展伴随着人类文明的进程,并在其中起着极其重要的推动作用,占有举足轻重的地位。同样在我们的教育中,数学文化的地位也是举足轻重的,“以提高学生素质,特别是提高民族素质为最终目的的数学教育,从根本上来说应该是数学文化教育”[2]。这就要求数学教育工作者在教育教学中,应该注重渗透数学文化的思想,体现其教育价值。因此,在高等数学课堂教学中,教师应从具体的数学概念、原理、定理的讲授,数学思想、数学方法的传授中揭示数学的文化底蕴,从多个侧面多个角度向学生展现数学文化,从而用数学精神、原则、思想提升学生的文化素养。文章结合自身的教学实践,浅谈一点在导数概念引入的教学中进行数学文化教育的体会。
1揭示数学概念的历史文化背景,感受数学的求真探索精神
数学概念来源于生活实践,在我们生活会遇到许多问题,这些问题的解决促使了很多概念的产生,当人们遇到用现有的概念、方法不能解决的问题时就会创立新的概念、方法和理论。导数的概念,就是在解决变速直线运动的瞬时速度和曲线切线的问题时产生的,从而导致了微积分理论的创立,开创了数学史上的新纪元,因此导数概念有着十分丰富的实际背景。在引入导数概念的教学中,教师应向学生介绍其产生的历史文化背景,介绍创立微积分的数学家——牛顿与莱布尼茨的故事与贡献。用数学家们的求真精神、探索精神激发学生的求知欲,增强他们学习数学的兴趣;用数学家的思想方法去引导学生的思考,提高学生解决实际问题的能力;从而提高学生的数学素质。
在导数概念的引入时,教师可以按如下步骤进行:
第一步教师向学生展示促使微积分产生的四大类问题,即:第一类问题是研究物体运动的时候出现的,也就是求瞬时时速度的问题,第二类问题是求曲线的切线的问题,第三类问题是求函数的最大值和最小值问题,第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力问题。
第二步教师向学生介绍这四个问题是17世纪科学家们遇到的问题,十七世纪的许多着名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,从而使上述四个问题得到了解决。牛顿创立的导数当时叫流数,侧重于运动学来考虑,莱布尼茨侧重于几何学来考虑。同时并用多媒体向学生介绍牛顿与莱布尼茨的贡献。
第三步教师向学生提问:现在用我们所学的知识能解决哪几个问题?
第四步教师引导学生重现问题解决的方法与过程:引入教材中的两个引例。下面通过变速直线运动瞬时速度的求解这个例子来探讨具体的课堂教学过程:
1、首先向学生提问匀速直线运动的速度怎么求?(学生回答:速度等于路程除以时间)
2、再向学生展示变速运动示意图,如图(1)所示,让学生计算从到这段时间内物体的路程Δs=s(t)-s(t0),所用时间为Δt=t-t0。
3、再向学生提问平均速度怎么求?(学生回答)从而得到Δt=t-t0时间内的平均速度v=ΔsΔt=s(t)-s(t0)t-t0。
图(1)
4、教师向学生提问:下面我们如何得到t0时刻的瞬时速度?教师引导学生思考:如果时刻t与时刻t0间隔越短,Δt=t-t0这段时间内的平均速度就会越接近时刻的瞬时速度。
5、引导学生分析得v(t0)=limΔt→t0ΔsΔt=limΔt→t0s(t)-s(t0)t-t0
第五步教师用同样的方法引入曲线切线的求解过程
第六步教师问学生用该方法还可以解决哪些问题?(学生回答:角速度,加速度等)
通过以上教学活动,一方面让学生体会数学知识对实际问题解决的巨大力量,同时也让学生感受到数学家的探索创新精神和数学的人文精神,有利于提高学生的数学素质和人文素养。另一方面,通过例子中由平均速度变到瞬时速度,由割线斜率变到切线斜率,让学生体会到了事物无限变化的趋势,即从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变认识质变的辩证唯物主义思想。
3展现从具体到抽象归纳概括的数学方法,培养抽象逻辑思维能力
有了第一阶段引例的铺垫,教师可引导学生抽象出两例中的共同特征是所求问题的最终结果都是要求一个极限,即:函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋于零时的极限,这个极限就是所说的导数,从而得出导数的概念。
教师可以再举一个具体确定函数的例子来进行应用,如求函数在点处的切线,反过来应用导数求解具体的问题。这样教学过程就完成了从具体到抽象,又从抽象到具体的过程,培养学生的抽象逻辑思维能力及解决实际问题的能力。
B. 高中数学如何学好导数
首先要把几个常用求导公式记清楚；然后在解题时先看好定义域；对函数求导，对结果通分；接下来，一般情况下，令导数=0，求出极值点；在极值点的两边的区间，分别判断导数的符号，是正还是负；正的话，原来的函数则为增，负的话就为减，然后根据增减性就能大致画出原函数的图像，根据图像就可以求出你想要的东西，比如最大值或最小值等。如果特殊情况，导数本身符号可以直接确定，也就是导数等于0无解时，说明在整个这一段上，原函数都是单调的。如果导数恒大于0，就增；反之，就减。无论大题，小题，应用题，都是这个套路。
C. 导数的求导方法
1、根据导数定义，用三步法求出一些简单函数的导数。
（1）求△y。
（2）求：△y/△x 。
（3）求：f'=dy/dx 2、建立求导的四则运算法则、复合函数求导法则和反函数求导法则，从而导出基本初等函数求导公式，
3、熟记基本函数的求导公式。可推导隐函数和对数函数的求导法。
D. 数学里面什么是导数怎么理解导数
导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
右上图为函数y=(x) 的图象，函数在x_0处的导数′(x_0) = lim{Δx→0} [(x_0 +Δx) -(x_0)] /Δx。如果函数在连续区间上可导，则函数在这个区间上存在导函数，记作′(x)或 dy/ dx。
导数定义
一、导数第一定义
设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第一定义
二、导数第二定义
设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第二定义
三、导函数与导数
如果函数 y = f(x) 在开区间I内每一点都可导就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值都对应着一个确定的导数这就构成一个新的函数称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数记作 y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。
折叠编辑本段导数的起源
一.早期导数概念----特殊的形式
大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们所说的导数f'(A)。
二.17世纪----广泛使用的“流数术”
17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”；他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要着作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的变化与函数的变化的比的构成最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。
三.19世纪导数----逐渐成熟的理论
1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《网络全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简单表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言对微积分中出现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今天常见的形式。
四.实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能 微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是实无限理论即无限是一个具体的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比如无限接近。
就历史来看两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年后来极限论就是现在所使用的。
光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论都不是最好的手段。
折叠编辑本段导函数
一般地假设一元函数 y=f(x )在 点x0的某个邻域N(x0δ)内有定义当自变量取的增量Δx=x-x0时函数相应增量为 △y=f(x0+△x)-f(x0)。若函数增量△y与自变量增量△x之比当△x→0时的极限存在且有限就说函数f(x)在x0点可导并将这个极限称之为f在x0点的导数或变化率。
“点动成线”若函数f在区间I 的每一点都可导便得到一个以I为定义域的新函数记作 f'(x) 或y'称之为f的导函数不能简称为导数.
折叠编辑本段几何意义
函数y=fx在x0点的导数f'x0的几何意义表示函数曲线在P0[x导数的几何意义0fx0] 点的切线斜率
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率.
折叠编辑本段科学应用
导数与物理几何代数关系密切.在几何中可求切线在代数中可求瞬时变化率在物理中可求速度加速度.
导数亦名纪数、微商微分中的概念是由速度变化问题和曲线的切线问题矢量速度的方向而抽象出来的数学概念.又称变化率.
如一辆汽车在10小时内走了 600千米它的平均速度是60千米/小时.但在实际行驶过程中是有快慢变化的不都是60千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况可以缩短时间间隔设汽车所在位置s与时间t的关系为： s=ft
那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是：
[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]
当 t1与t0无限趋近于零时汽车行驶的快慢变化就不会很大瞬时速度就近似等于平均速度 .
自然就把当t1→t0时的极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度
E. 数学里的导数怎么学
首先明确导数是求一条曲线或者一个变化的东西的
变化率的
然后高中的我们刚学完
分为很多种-有常数函数-一次的-二次的还有对数的-指数的-==
再课本上有公式的--可以先把公式记住
明确的说吧--以后求导数的题目一定很多--（有一些不常用-老师会指出的）
如果公式记不住-那你一道题目也不要做--很简单的--
再这里也没办法给你说--
怎么说呢--比如y=3X^4+2x^3+X^2
的导数就是Y~=12x^3+6X^2+2X
能看的懂吗？
F. 作业2高中数学教材中,“导数”概念是如何建立的
“导数”的概念
实际上就是建立在极限的基础上的
基本概念就是
增量Δy与自变量增量Δx的比值
在Δx趋于0时的极限a如果存在
a即为在x0处的导数