初中数学图像怎么看

‘壹’ 怎样学好初中数学的几何图形

初中的几何图形主要有三角形，特殊四边形（平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形），圆
其中最基础、最重要的是三角形，最复杂的是圆，四边形算是过度阶段。
所以你要把三角形的知识学精才行，这是基础啊。别的图形都是在三角形的基础上进行讲解分析的。
但你要想成为高手，对圆的训练就不能忽视，圆是初中图形部分的终极篇，前面的图形都可以放在圆里面考察，它是综合训练。
当然这只是对初中图形部分的分析而已，要想学好需要做很多具体工作的，你需要沉下心来，踏踏实实 应对每一天的学习和每一次考试、每一道题，注意积累经验，学会转换，讲别人好的东西变成自己的。还有一点，就是不要过分追求难题，这是一个误区，要侧重基础训练。等到中考复习时，你就会明白，剩下的都是基础的。
先说这么多，有问题再问我。

‘贰’ 怎么看一次函数和二次函数的图像有什么基本只是的 能举例说明一下吗 求数学高手

必修1《2.2 一次函数和二次函数的性质与图像》教学中例题和习题的使用及分析
北京市首都师范大学附属中学杜君毅
必修一中的2.2一次函数与二次函数一节的设计是B版教材的一个重要特色，同时也是体现B版教材注重初高中过渡的标志性内容之一。在使用教材的教学实践活动中，我认为在例题和习题的设计上做些改动，可能更有利于实现该内容在高中数学学习中的价值和作用。下面是我的一点不成熟思考，望与各位同仁交流探讨。

1 对本小节教与学的基本认识：

1.1.教学内容的分析

1.1.1数学上的分析

一次函数、二次函数作为一种简单而基本的初等函数,不论在初中还是高中都非常重要,也是初高中具体数学内容中联系最密切的内容.

一方面，在现实生活中，一次函数和二次函数是一类重要的函数模型，所以在初中就学习了这两个函数，但主要是在“看”的层面进行研究与认识。在高中阶段，一次函数与解析几何中直线方程有密切联系，二次函数是理解映射角度下的函数概念、函数单调性、奇偶性等概念的重要函数模型；二次函数是解决具有轴对称性的函数的具体模型示例；二次函数还是揭示函数、方程、不等式三者联系的恰当且重要的载体（难易适中）；此外，在中学阶段，利用导数工具研究函数的过程中，大量函数的导函数的符号往往与二次函数的符号有关，因此它又是利用导数工具解决有关函数单调性、最值和极值等问题的知识基础。

由于二次函数使学生初中就已经学习的函数，在高中阶段再次学习二次函数，主要突出对函数研究方法的不同，初中阶段主要是在“看”的层面，从形象直观的角度去认识，而在高中阶段，突出从函数解析式的代数特征进行抽象分析来研究了解认识函数的性质，从而更全面的认识和理解描点作图与函数解析式分析两种途径，在研究函数图象性质方面的互补性。

在分析二次函数解析式结构特征的过程中使用的配方法，是重要的代数变形技巧，这一技巧在今后的解析几何中还会有应用，而且从解析式代数结构特征来分析图像性质，也为今后解析几何中由曲线的方程代数特征研究分析曲线的几何特性，在技能和思想上做了一定的铺垫与渗透。

而就其在高中数学中的这些作用而言，在基本初等函数中，一次函数和二次函数是非常好的载体之一。

1.1.2教育分析

初中数学知识少、浅、难度容易、知识面窄。高中数学知识广泛，是对初中的数学知识推广和引申，也是对初中数学知识的完善和升华。在学习方法上、自学能力上、思维习惯上，都对高中学生有了较高的要求。但是高一学生昨天还是初中生，今天就是高中生；知识昨天是初中教材，比较容易、简单，高一一开学，就是高中教材，变得抽象难懂。台阶太高，缺少一个缓冲过渡，学生进入高中后，很多学生很快就表现出对于高中数学学习的不适应，二次函数就是一个很好载体让学生体会初高中学习内容和学习方式的区别与联系，实现初高中的衔接。

1.2教学目标的确定

1.2.1教学目标

①以一次函数、二次函数这两个重要函数模型为载体，学习研究函数性质的一般方法。通过这两个函数的复习与提高，沟通初高中数学内在联系，实现平稳过渡。

②突出数形结合思想，进一步理清函数解析式的代数特征与函数图象形的特征的联系，如：一次函数参数的几何含义，二次函数中参数对图像的影响；进一步提升运算水平，如：二次式的配方、分解，方程组求解（待定系数求解析式）；进一步提高学生联系的观点看数学，如：一次函数、二次函数与一次方程、二次方程和一次不等式、二次不等式之间的联系。

③加深对函数符号的理解，认识函数符号语言在进行数学表述方面的作用。

④在一次函数与二次函数性质的阅读、交流学习中，获得温故而知新的快乐。

1.2.2重点、难点：

本小节重点是认识研究函数的一般方法，理解数与形的联系；代数运算技能；方程、不等式、函数之间的联系。

本小节难点是理解并运用数与形的联系，函数符号语言的理解与运用。

1.3 对一次函数和二次函数教学的学情分析

一次函数和二次函数的图像及性质是中考的核心重点内容，经历初三备考的洗礼，学生从知识上来讲，对一次函数和二次函数掌握是很很好的。但是从对函数概念和图像性质的理解与认识来讲，是有缺陷的。从函数解析式来分析函数性质，对于学生来讲是比较困难的。一方面，以前研究图像基本是在看图说话的层面，另一方面，学生对配方的运算在初中训练是不够，代数运算变形的技能还打不到熟练的程度。学生在初中虽然对函数在坐标下的图象有所认识，但是对函数解析式和图像间的联系的认识还需要逐步加深。因此，学生对一次函数和二次函数要达到高中的学习要求，并不是毫无障碍，因此这需要教师做适当的引导、启发和讲解。

1.4教学方法和教学手段的选择

好的数学教学应该是从学习者的生活经验和自己的知识背景出发，提供给学生充分进行数学实践活动和交流的机会，使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握数学知识、思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。学生应该是学习的主人，教师的作用在于成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同学习研究者。

因此本节课主要采取启发式的探究，即通过问题串的设计，实现引导、启发学生的课下“自主”学习活动，通过课上的质疑、交流讨论、释疑等活动，逐步使学生思维走向深刻，促使学生对“二次函数图像的性质及应用”、“研究函数的一般方法和应用”的认识和理解达到一个更高的层面.

2教学过程的设计

2.1 教学活动的设计

1.课前安排：

课前自己阅读本节内容，并尝试思考回答自学提纲上的问题，对不能解答和阅读中产生的疑问，进行标记或记录。

2.课上的交流与讨论：

教师要求学生按照阅读提纲上的问题顺序汇报自己的思考结果，其他学生给予评价，教师做适当点评和补充（以激励和表扬为主）。

3.课堂练习：

在处理完自学提纲上的问题后，让学生进行实践练习，检验、巩固、补救所学知识、方法和所悟思想。

2.2课前准备（阅读学习问题串的设计）

2.2.1问题选择和设计的原则

1.有助于学生在温习初中二次函数的同时,能够对二次函数的认识和理解有所延伸和提高；

2.有助于学生以具体二次函数解析式和函数图象为载体认识理解运用抽象函数符号语言进行表述；

3.有助于学生从实践操作过程中认识、领悟研究函数的一般思想和方法；

4.有利于学生在问题的思考与探索中感受数学思维的神奇力量和价值；

5.能满足优秀学生学习探索的欲望。

2.2.2自学提纲上问题设计及意图

问题1：请依据一次函数解析式，指出一次函数图像的基本性质（定义域、值域、单调性、奇偶性），并说明参数对一次函数图象基本性质的影响。

【设计意图】

问题2：一次函数的图像为什么是一条直线？如何理解“倾斜程度”一词？斜率的变化是怎样反映直线的倾斜程度的？

【设计意图】

问题3：(练习A-5)下列函数在什么范围内取值时，？

（1） （2）

【设计意图】

问题4：阅读课本例1，思考如下问题：

1.例题的分析过程中第（1）步配方获得顶点与第（2）步解方程获得图像与轴交点对第（3）步取值列表是多此一举还是意义深远？请比较分析“由函数解析式的抽象分析获得图像的认识”与“由列表、描点作图获得对函数图象的直观认识”两种途径，尝试阐述两种途径对研究函数图像性质的各自作用和意义。

2.例1的第（3）步列表、描点、作图的依据是什么？即，为什么这样取值得到的点就是函数图像上的点？

3.如何理解例1的第（4）步证明图像关于对称的过程？该过程中所取的不限制是否可以？反之，如果一个函数对于定义域内任意都满足满足，函数的图象具有怎样的性质？如何给予解释？由上述证明的符号语言表述，以及前面所学的函数单调性和奇偶性概念的描述，你认为在高中数学中引入函数符号的意义何在？

4.例1的第(5)步是观察图像获得函数单调区间，如果没有列表画图，从函数解析式的分析可否获得单调区间？你怎样阐述你的单调性结论是对的？

【设计意图】引导学生的思考走向深刻，①使学生逐步发现高中研究函数的方法开始关注对函数解析式的代数特征的抽象分析，由此获得对图像性质的初步认识与把握。②促进学生对函数图象和函数解析式的关系的认识和理解。③使学生初步感受高中阶段引入更多的数学符号语言的必要性。一个等式代替了函数图象对称性冗长的中文表述，将自变量、函数值以及运动变化的关系简洁明了的展现出来。

【说明】例2和例1本质上没有区别，仅在二次函数二次项的正负上做了改变，显得有些多余，因此，本问题仅以例1的阅读为基础提出思考问题。

若选取学生又将重复例1中的做法，不如将例1从具体二次函数抽象到一般的二次函数，用字母系数代替常值系数，并针对二次项系数的正负进行必要的讨论，建议归纳总结如下。

问题5：完成2.2.1练习A-5和2.2.2练习A-3，并思考函数、方程、不等式之间有何联系？函数在求解不等式中有何作用？

【设计意图】促使学生发现函数、方程、不等式三者的内在联系。

问题6：你对可本中“一般地，对于任何二次函数都可以通过配方化为

，其中，

从而归结出二次函数的性质。”这段话有何理解？你认为它给你解决二次函数的相关问题提供了什么？方法or结论or其它？

【设计意图】促使学生学会在阅读中关注什么？该问题的回答可以反映出学生认知策略的不同，这为课上的交流埋下伏笔。在课堂交流中学生关注点的交流，会有助于学生对自己认知策略的反省，从而改善学生的学习方式和策略。

（注：澳大利亚教育学者比格斯（1987）定义了三种认知策略。第一种是浅层次的取向。通常是机械学习的方式，学习集中于表面看来重要的标题和要素并试图记忆，他们相信对细节的记忆是最好的学习方法；第二种是深层次取向。往往集中于寻求意义并伴随好奇心，把学习内容和个人意义的情景及已有的知识结合起来。第三种是成就取向。目的上类似于浅层次取向，集中于产物，表现为跟随教师教学为主的策略。）

问题7：你认为课本P59对二次函数的性质的归结是否满意？你人还可以补充进哪些性质？请重新归结梳理一个你最满意的性质条目。

【设计意图】使学生认识到函数性质的研究应该关注的哪些方面。定义域、值域、单调性、奇偶性、图像的对称性、图像与轴的交点情况等。

问题8：什么情况下可以用待定系数法求函数解析式？

【设计意图】提示学生要关注课本上一些文字的理解

问题9：完成课本例1；练习A-5；练习B-1后，思考待定系数求二次函数解析式时，如何设二次函数解析式会更方便计算？

【设计意图】认识一个函数解析式不同表达形式的价值和意义。

2.3课堂练习的设计选取及意图

练习1：尝试完成下列一组问题（依课本例2函数改编），并完成题后反思。

（1）已知函数，不计算试比较值的大小。

【设计意图】加深学生对函数单调性的分析和认识。

（2）已知函数，试比较值的大小。

（3）已知函数，试比较值的大小。

【设计意图】（2）（3）这是第（1）问的变式，使学生认识参数对函数性质的影响。（5）加强了对分类思想的运用。

（4）已知开口向下的二次函数满足，试比较值的大小。

【设计意图】加深学生对抽象函数的认识，增强对符号语言的理解。

（5）已知函数在单调递减，且满足，试比较值的大小。

【设计意图】这是第（4）问的拓展，去掉二次函数这个具体函数的背景，难度增大，加深学生对函数对称性的符号语言表述的理解。

反思：请指出以上5各小题的区别与联系，并抽象概括比较二次函数值的通法。

【设计意图】锻炼学生的归纳总结和抽象概括能力，抓住问题本质，只要开口方向和对称轴不变，相对大小是不会变的，此外，二次函数图像是研究具有轴对称性的函数的一个重要示意图。

练习2：

（1）练习B—3：用配方法求下列函数的定义域和值域：

① ②。

【选取意图】此题咋一看不是二次函数，但是若观察到根式下是二次函数就可以依据二次函数图像解一元二次不等式来求定义域，突出了函数与方程和不等式的内在联系。将根号下的二次函数在定义域内的值域开方就得到函数的值域，思维量较大，要求对一元二次函数的图像和性质很熟练，体现配方法这一通性通法的作用，学生为难在根号，难点在于未抓住根式下的主要矛盾，第（2）题答案也比较有趣，定义域和值域都只有一个元素，这又可以让学生加深对函数概念的理解。

（2）求函数的值域，并说出它在哪个区间上是增函数?在哪个区间上是减函数？绘制函数的图像。

【设计意图】对二次函数限定自变量取值后，该函数就不再是二次函数了，它仅是二次函数图像的一个部分，在整体中观察局部性质。该题加强了对函数是两个数集间的映射的概念的理解，突出了研究函数要关注定义域。

（3）用配方法求下列函数的定义域和值域：

（1）； （2）

【设计意图】使学生加深对能转化成一元二次函数问题的认识，还可以让学生认识到配方法在解决问题中的作用。此外，认识到研究二次函数在限定的取值范围内讨论其性质的必要性，从而可以使学生对高中阶段从集合之间的对应角度定义函数的必要性。

2.4课下探索与研究

以课本P61的探索与研究为题材，写一篇图像平移变换的小论文，要求阐述函数解析式的代数变化与图像的平移变化的联系（可否从外在的一种对应关系找到内在的坐标上的解释），为了发现函数图像间的平移关系，经常需对函数解析式做怎样的变形处理？

【修改】把课本探索与研究中的4.改成如下问题：

探究函数与；与；与的图像关系。

【设计意图】引导学生去探究揭示数学现象背后的原因。对4的修改更有利于学生去发现抽象其中的内在规律，获得图像平移变换的经验。

（此文选自高中数学B版第六次试验工作研讨会论文集.）

‘叁’ 初中高中数学所有函数的性质 图像

1.一次函数(包括正比例函数)
最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R
值域：R
奇偶性：无
周期性：无
平面直角坐标系解析式(下简称解析式):
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]
（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）
③y-y1=k(x-x1)[点斜式]
（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）
④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]
（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）
⑤x/a-y/b=0[截距式]
（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）
解析式表达局限性：
①所需条件较多（3个）；
②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；
④参数较多，计算过于烦琐；
⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜 角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。

2.二次函数
题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R
值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）
奇偶性：偶函数
周期性：无
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；
⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0，图象与x轴交于两点：
（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，图象与x轴无交点；
②y=a(x-h)^2+t[配方式]
此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；

3.反比例函数
在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
定义域：（负无穷，0）∪（0，正无穷）
值域：（负无穷，0）∪（0，正无穷）
奇偶性：奇函数
周期性：无
解析式：y=1/x

4.幂函数
y=x^a
①y=x^3
定义域：R
值域：R
奇偶性：奇函数
周期性：无
图象类似于将一个过圆点的二次函数的第四区间部分关于x轴作轴对称
后得到的图象（类比，这个方法不能得到三次函数图象）
②y=x^(1/2)
定义域：[0，正无穷）
值域：[0，正无穷）
奇偶性：无（即非奇非偶）
周期性：无
图象类似于将一个过圆点的二次函数以原点为旋转中心，顺时针旋转
90°，再去掉y轴下方部分得到的图象（类比，这个方法不能得到三次
函数图象）

5.指数函数
在平面直角坐标系上的图象（太难描述了，说一下性质吧……）
恒过点（0，1）。联系解析式，若a＞1则函数在定义域上单调增；若0＜a＜1 则函数在定义域上单调减。
定义域：R
值域：（0，正无穷）
奇偶性：无
周期性：无
解析式：y=a^x
a＞0
性质：与对数函数y=log(a)x互为反函数。
*对数表达：log(a)x表示以a为底的x的对数。

6.对数函数
在定义域上的图象与对应的指数函数（该对数函数的反函数）的图象关于直线y=x轴对称。
恒过定点（1，0）。联系解析式，若a＞1则函数在定义域上单调增；若0＜a＜1 则函数在定义域上单调减。
定义域：（0，正无穷）
值域：R
奇偶性：无
周期性：无
解析式：y=log(a)x
a＞0
性质：与对数函数y=a^x互为反函数。

7.三角函数
⑴正弦函数：y=sinx
图象为正弦曲线（一种波浪线，是所有曲线的基础）
定义域：R
值域：[-1，1]
奇偶性：奇函数
周期性：最小正周期为2π
对称轴：直线x=kπ/2 (k∈Z）
中心对称点：与x轴的交点：（kπ，0）(k∈Z）

⑵余弦函数：y=cosx
图象为正弦曲线，由正弦函数的图象向左平移π/2个单位（最小平移量）所得。
定义域：R
值域：[-1，1]
奇偶性：偶函数
周期性：最小正周期为2π
对称轴：直线x=kπ (k∈Z）
中心对称点：与x轴的交点：（π/2+kπ，0）(k∈Z）

⑶正切函数：y=tg x
图象的每个周期单位很像是三次函数，很多个，均匀分布在x轴上。
定义域：{x│x≠π/2+kπ}
值域：R
奇偶性：奇函数
周期性：最小正周期为π
对称轴：无
中心对称点：与x轴的交点：（kπ，0）(k∈Z）。

*三角函数的性质略了，太多，光公式就不止千个。另外，三角函数的图象平移、拉伸变化，在图象平移内容中说得很清楚（不在这里，在教材里）我就不多说了。

大功告成！希望对你的学习有所帮助。

‘肆’ 三次函数的图像怎么画，负无穷，正无穷怎么看

初中就学过函数的画法啊，虽然不知道你是几年级，根据你提问，最少是高三了吧。
画坐标轴，找特殊点，连线就可以啊。
特殊点怎么找，求函数单调性，求函数极值和极值点坐标。因为高中的函数都是基本初等函数，所以不用考虑函数连续性问题。有了这些，基本上任何一个函数大致长什么样子就画出来了。在分析题目的时候，也只需要知道函数图像是个什么样子就可以进行分析了。
以正无穷做例子，正无穷不是一个数，符号是∞
一般会说一个函数或者表达式趋于无穷大。可以理解为：如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ，只要x适合不等式0<|x-x0|<δ,即x趋于无穷，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。
负无穷同理。 这个概念是高等数学最基本也是最核心的知识。可能很多人都没真正理解。

‘伍’ 关于数学一次函数图像我一点都不懂，到底怎么通过图像看坐标 以及直角坐标系

直线经过1、3象限是y随x的增大而增大；经过2、4象限是y随x的减小而减小。

比如这个，这个函数就是y=x+2

y=kx+b（k≠0） 当你看到图像的时候，与y轴的交点便是b，例如：函数与y轴的交点是（0，4），那么y=kx+4 函数与x轴的交点是（5，0），意思是说当x=5时，y=0，所以，0=5k+4 解出来x=-4/5 于是y=-4/5x+4 函数就这样解出来了

我想“b”比较容易理解，但是k不太好理解，你就记住函数与x轴的交点为（z，0）（z为任意数）就是当x=z时，y=0，便可以得出一元一次方程，便可以解出x的值了

【建议你去附近的书店买一本“初中数学基础知识及重难点讲解”的书，比较好让你懂，里面都有例题讲解的】

‘陆’ 初中数学几何图形判定及性质（懂的来）

1过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc。如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(其中，b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
109定理 不在同一直线上的三个点确定一条直线
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
121
①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135
①两圆外离 d＞R+r
②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r)
⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
142内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
143面积公式:①S正Δ=- -×(边长)2.-②S平行四边形=底×高.③S菱形=底×高=- -×(对角线的积) -④S圆=πR2.⑤C圆周长=2πR.⑥弧长L=- -.-⑦S扇形=- -=- -LR.⑧S圆柱侧=底面周长×高.-⑨S圆锥侧=- -×底面周长×母线=πrR,并且-2πr-=- -

角的平分线
性质定理 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言：
∵OC是∠AOB的角平分线（或者∠AOC＝∠BOC）
PE⊥OA，PF⊥OB
点P在OC上
∴PE＝PF（角平分线性质定理）
判定定理 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上
几何语言：
∵PE⊥OA，PF⊥OB
PE＝PF
∴点P在∠AOB的角平分线上（角平分线判定定理）
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等
几何语言：
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C（等边对等角）
推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
几何语言：
（1）∵AB＝AC，BD＝DC
∴∠1＝∠2，AD⊥BC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）
（2）∵AB＝AC，∠1＝∠2
∴AD⊥BC，BD＝DC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）
（3）∵AB＝AC，AD⊥BC
∴∠1＝∠2，BD＝DC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）
推论2 等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60°
几何语言：
∵AB＝AC＝BC
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°（等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°）
等腰三角形的判定
判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
几何语言：
∵∠B＝∠C
∴AB＝AC（等角对等边）
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
几何语言：
∵∠A＝∠B＝∠C
∴AB＝AC＝BC（三个角都相等的三角形是等边三角形）
推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
几何语言：
∵AB＝AC，∠A＝60°（∠B＝60°或者∠C＝60°）
∴AB＝AC＝BC（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）
推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
几何语言：
∵∠C＝90°，∠B＝30°
∴BC＝ AB或者AB＝2BC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
线段的垂直平分线
定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
几何语言：
∵MN⊥AB于C，AB＝BC，（MN垂直平分AB）
点P为MN上任一点
∴PA＝PB（线段垂直平分线性质）
逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
几何语言：
∵PA＝PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上（线段垂直平分线判定）
轴对称和轴对称图形
定理1 关于某条之间对称的两个图形是全等形
定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
定理3 两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
逆定理 若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称
勾股定理
勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即
a2 ＋ b2 ＝ c2
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形
四边形
定理 任意四边形的内角和等于360°
多边形内角和
定理 多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n － 2）·180°
推论 任意多边形的外角和等于360°
平行四边形及其性质
性质定理1 平行四边形的对角相等
性质定理2 平行四边形的对边相等
推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD‖BC，AB‖CD（平行四边形的对角相等）
∠A＝∠C，∠B＝∠D（平行四边形的对边相等）
AO＝CO，BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分）
平行四边形的判定
判定定理1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AD‖BC，AB‖CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）
判定定理3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AD＝BC，AB＝CD
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AO＝CO，BO＝DO
∴四边形ABCD是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
判定定理5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AD‖BC，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
矩形
性质定理1 矩形的四个角都是直角
性质定理2 矩形的对角线相等
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC＝BD（矩形的对角线相等）
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°（矩形的四个角都是直角）
推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
几何语言：
∵△ABC为直角三角形，AO＝OC
∴BO＝ AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
几何语言：
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°
∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
几何语言：
∵AC＝BD
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
菱形
性质定理1 菱形的四条边都相等
性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
几何语言：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD（菱形的四条边都相等）
AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC
（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）
判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
几何语言：
∵AB＝BC＝CD＝AD
∴四边形ABCD是菱形（四边都相等的四边形是菱形）
判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言：
∵AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
正方形
性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
中心对称和中心对称图形
定理1 关于中心对称的两个图形是全等形
定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
梯形
等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
几何语言：
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D（等腰梯形在同一底上的两个角相等）
等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
几何语言：
∵∠A＝∠B，∠C＝∠D
∴四边形ABCD是等腰梯形（在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）
三角形、梯形中位线
三角形中位线定理 三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半
几何语言：
∵EF是三角形的中位线
∴EF＝ AB（三角形中位线定理）
梯形中位线定理 梯形的中位线平行与两底，并且等于两底和的一半
几何语言：
∵EF是梯形的中位线
∴EF＝ (AB＋CD)（梯形中位线定理）
比例线段
1、 比例的基本性质
如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc
2、 合比性质
3、 等比性质
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
几何语言：
∵l‖p‖a
（三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例）
推论 平行与三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行与三角形的第三边
垂直于弦的直径
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵OC⊥AB，OC过圆心
（垂径定理）
推论1
（1） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵OC⊥AB，AC＝BC，AB不是直径
（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
（2） 弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵AC＝BC，OC过圆心
（弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧）
（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
几何语言：
（平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧）
推论2 圆的两条平分弦所夹的弧相等
几何语言：∵AB‖CD
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
圆周角
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直角
推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
圆的内接四边形
定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
几何语言：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠ADB＝180°，∠B＝∠ADE
切线的判定和性质
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
∴l ⊥OA（切线性质定理）
推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）
弦切角
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠ACM所对的是 ， =
∴∠BCN=∠ACM
和圆有关的比例线段
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被焦点分成的两条线段长的积相等
几何语言：∵弦AB、CD交于点P
∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
几何语言：∵AB是直径，CD⊥AB于点P
∴PC2=PA·PB（相交弦定理推论）
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT2=PA·PB（切割线定理）
推论 从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等
几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线
∴PT2=PA·PB（切割线定理推论）