高中数学怎么证明三线共点

㈠ 高中数学三点共线证明方法

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上佰，所以称为共线向量。

共线向量基本定理为如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。

证明过度程如下：

设A、B、C三点共线，O是平面内任一点。

因为A、B、C共线，所以存在非零实数k，使AB=kAC。

即 OB-OA=k(OC-OA)。

所以 OB=kOC+(1-k)OA。

[注：两个系数和 k+1-k=1]。

反之，若存在实数x，y 满足 x+y=1，且OA=xOB+yOC。

则 OA=xOB+(1-x)OC。

OA-OC=x(OB-OC)。

所以 CA=xCB。

因此，向量CA与CB共线。

又由于 CA、CB有公共点C。

所以，A、B、C三点共线。

三点共线的证明方法：

方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式.代入第三点坐标 看是否满足该解析式 （直线与方程）。

方法二：设三点为A、B、C .利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。

方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。

方法四：用梅涅劳斯定理。

方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”，可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。

方法六：运用公（定）理 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”.其实就是同一法。

方法七：证明其夹角为180°。

方法八：设A B C ，证明△ABC面积为0。

㈡ 高中几何中一般怎么证明三线共点，三点

1.
证明三线共点的方法：求出两条直线的交点，把这个交点代入第三条直线方程，如果使方程成立，则这个交点也在第三条直线上，那就得到三线共点；
2.
证明三点共线的方法：假设要证明ABC三点共线，可以用如下方法：
1）如果斜率存在，可以去证明kAC=kAB；
2）可以用向量花线的充要条件证明向量AC//向量AB；
3）可以求出其中两点所在所在直线方程，证明第三个点满足这条直线方程。

㈢ 高中几何中一般怎么证明三线共点，三点

1. 证明三线共点的方法：求出两条直线的交点，把这个交点代入第三条直线方程，如果使方程成立，则这个交点也在第三条直线上，那就得到三线共点；

2. 证明三点共线的方法：假设要证明ABC三点共线，可以用如下方法：

   1）如果斜率存在，可以去证明kAC=kAB；

   2）可以用向量花线的充要条件证明向量AC//向量AB；

   3）可以求出其中两点所在所在直线方程，证明第三个点满足这条直线方程。

㈣ 高中数学必修一到必修四 所有证明三点共线的方法

1、利用梅涅劳斯定理的逆定理
例1、如图1，圆内接ΔABC为不等边三角形，过点A、B、C分别作圆的切线依次交直线BC、CA、AB于 、 、 ，求证： 、 、 三点共线。
解：记 ，易知
又易证 .则 .

同理 .故 .
由梅涅劳斯定理的逆定理，知 、 、 三点共线。
2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线）
例2 、如图，以锐角ΔABC的一边BC为直径作⊙O，过点A作⊙O的两条切线，切点为M、N，点H是ΔABC的垂心.求证：M、H、N三点共线。(96中国奥数)
证明：射线AH交BC于D，显然AD为高。
记AB与⊙O的交点为E，易知C、H、E三点共线。
联结OM、ON、DM、DN、MH、NH，
易知 ，
∴A、M、O、D、N五点共圆，更有A、M、D、N四点共圆，
此时，
因为 （B、D、H、E四点共圆），
即 ；又 ，所以 ，故
同理， 。
因为 ，所以，M、H、N三点共线。
3、利用面积法
如果 ，点E、F位于直线MN的异侧，则直线MN平分线段EF，即M、N与EF的中点三点共线。
例3 、如图，延长凸四边形ABCD的边AB、DC交于点E，延长边AD、BC交于点F，又
M、N、L分别是AC、BD、EF的中点，求证：M、N、L三点共线。
证明：设BC的中点为O，辅助线如图所示，
由 可知，
点O必在 内，此时，

同理， 。
因此 。此时，直线MN平分EF，即M、N、L三点共线。
注：利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。
4、利用同一法
尽管同一法是一种间接证法，但它却是一各很有用的证法，观察例4后，你会感到，同一法在证明三点共线问题时，也有其用武之地。
例4 、如图4(a)，凸四边形ABCD的四边皆与⊙O相切，切点分别为P、M、Q、N，设PQ与
MN交于S，证明：A、S、C三点共线。
证明：如图4(b)，令PQ与AC交于 ，
易证 互补。
而 ，则
，
故 。再令MN与AC交于 。同理可得
但 ，所以 。利用合比性质得， 。
因此， ，可断定 与 必重合于点S，故A、S、C三点共线。
注：观察本题图形,显然还可证得B、S、D三点共线；换言之，AC、BD、PQ、MN四线共点。
5、利用位似形的性质
如果 与 是两个位似三角形，点O为位似中心，那么不仅A、 、O；B、 、O；C、 、O分别三点共线，而且 、 的两个对应点与位似中心O也三点共线，位似形的这种性质，对于证明三点共线，颇为有用。
例5、如图, 内部的三个等圆⊙ 、⊙ 、⊙ 两两相交且都经过点P，其中每两个圆都与 的一边相切,已知O、I分别是 的外心、内心，证明：I、P、O三点共线。
证明：联结 、 、 。由已知得
、 、 。
可断定 与 是一对位似三角形，
且易知 的内心I是两者的位似中心。
因为⊙ 、⊙ 、⊙ 为等圆，
即 ,
所以点P是 的外心。又点O是 的外心，故P、O两点是两个位似三角形的对应点，利用位似形的性质，即得I、P、O三点共线。
6、 利用反证法
有的几何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的。
例6、如图，梯形ABCD中、DC//AB，对形内的三点 、 、 ，如果到四边距离之和皆相等，那么， 、 、 三点共线，试证之。
证明：先看 两点，
设直线 分别交AD、BC于M 、N，
于 ， 于 ，
于 ， 于 。
因为DC//AB，则点 到AB、CD的距离之和等于点 到AB、CD的距离之和。由已知可得 。过点 作AD的平行线、过点 作BC的平行线得交点P（由于AD与BC不平行）。记 交 于G， 交 于H。
观察上式有 。所以， 。
因为 有两条高 ，所以， 是等腰三角形，则 。
故 。
再用反证法证明点 一定在 上：假设点 不在 上，联结 并延长分别交AD、BC于 ，易知点 在MN的异侧；因为点 到AD、BC的距离之和等于点 到AD、BC的距离之和，由上述证明过程知必有 。
事实上，观察图形只能得到 ，矛盾，这说明点 必在 上，即MN上，因此 、 、 三点共线。
7、 用塞瓦定量的逆定理
变三点共线为三线共点，利用塞瓦定理的逆定理，在圆内接凸六边形ABCDEF中，若
，则AD、BE、CF三线共点；反之亦然，利用这个结果来证明某些三点共线问题，可立竿见影。
例7、如图7，凸四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC交于点P，作PE、PF切圆于E、F，又AC与BD交于K，证明：E、K、F三点共线。
解：联结AE、ED、CF、FB得凸六边形ABFCDE。
欲证E、K、F三点共线，即AC、BD、EF三线共点，
只须证 。
注意到 。
则 。又PE=PF，
则 。
故 。
因此，AC、BD、EF三线共点，即E、K、F三点共线。

㈤ 如何证明三线共点，用立体几何方法

证明三线共点的步骤就是，先说明两线交于一点，再证明此在另一线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个半面的交线上。

三点共线与三线共点的理论：若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此半面内。

例如，在四面体ABCD中作图PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证M、N、K三点共线。

解答：由题意可知，M、N、K分别在直线PQ，RQ，RP上，根据公理1可知M、N、K在半面PQR上,同理,M、N、K分别在直线CB、DB、DC上,可知M、N、K在半面PQR与半面BCD的公共直线上,所以M、N、K三点共线。

(5)高中数学怎么证明三线共点扩展阅读：

其他证明三线共点是理论：

1、公理1：过不在一条直线的三点,有且只有一个平面。

2、推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个半面。

3、推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。

4、推论3：经过两条平行直线有且只有一个半面。

5、公理2：若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

㈥ 高二数学三点共线如何证明 要方法

方法一：取两点确立一条直线
计算该直线的解析式
代入第三点坐标 看是否满足该解析式
方法二：设三点为A、B、C
利用向量证明：a倍AB向量=AC向量（其中a为非零实数）
方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率
相等即三点共线

㈦ 高中数学必修二三点共线的证明怎么做

1，借助解析几何的点连线斜率相等且有共点
2，同样的运用解析几何，根据线段的数量关系，如若AB+BC=AC，则A,B,C三点共线（或者求两向量的夹角）
3，运用向量（必修4）
4，一般几何方法（如面积不存在，夹角为平角，几何定理，如梅涅劳斯定理等）
详细方法可以去网络一下

㈧ 高中几何中一般怎么证明三线共点、三点共线和四点共面之类的问题麻烦详细解释一下，配上例子更好。

三线共点：证明三线有一共同交点
三点共线：两点确定一条直线，证明第三点也在这条直线上就可以了
四点共面：三点确定一个面，只要证明第四点也在这个面上就可以