数学如何证明函数单调性

A. 如何证明函数的单调性

用导数的正负来说明函数在一区间内的单调增或减，或通过函数单调性定义进行证明。设定义域内任意x1
x2满足x1<x2，通过不等式证明（可能要用到放缩的方法），推出f(x1)<f(x2)，则函数为增函数，反之，为减函数。

B. 怎么证明函数单调性

在高等数学中，证明函数的单调性一般利用一阶导数的符号，如果一阶导数大于零，函数单增，如果一阶导数小于点，函数单减。

C. 如何证明函数的单调性

根据定义来证明，
在（-∞，0）任取x1和x2,并设x1<x2
f(x1)=x1^2+1,f(x2)=x2^2+1
f(x1)-f(x2)=x1^2-x2^2
=(x1-x2)(x1+x2)
因为x1<x2<0
所以x1+x2<0
x1-x2<0
所以(x1-x2)(x1+x2)>0
所以f(x1)<f(x2)
即在（-∞，0）上，函数值随x的增大而减小，所以函数在（-∞，0）上单调递减。
当然也可以用导数证明。不过我猜你还没学？那就用定义。定义法证明常常作差或做商比较大小，再根据单调性定义判断

D. 利用定义判断或证明函数单调性的步骤。

利用定义判断函数单调性的方法，步骤如下：

1、在区间D上，任取x₁，x₂，令x₁<x₂；

2、作差求：f(x₁)-f(x₂);

3、对f(x₁)-f(x₂)的结果进行变形处理；

4、确定f(x₁)-f(x₂)符号的正负；

5、下结论，根据“同增异减”原则，指出函数在区间上的单调性。

(4)数学如何证明函数单调性扩展阅读：

其他判断方法有：

1、等价定义法

设函数f(x)的定义域为D，在定义域内任取x₁，x₂,且x₁不等于x₂，若[f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)>0,则函数单调递增；若有 <0，则函数单调递减，以上是函数单调性的第二定义。

2、求导法

导数与函数单调性密切相关。它是研究函数的另一种方法，为其开辟了许多新途径。特别是对于具体函数，利用导数求解函数单调性，思路清晰，步骤明确，既快捷又易于掌握，利用导数求解函数单调性，要求熟练掌握基本求导公式。

如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加；反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

参考资料来源：网络-单调性

E. 证明函数的单调性

1.
对于单调性的定义的理解，要注意以下三点：
（1）函数的单调性是对于函数定义域内的某个子集而言的，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。
（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的
有两个特征：一是同属一个单调区间；二是任意性，证明单调性时不能随意以两个特殊值替换；三是有大小，通常规定
。三者缺一不可。
（3）由于定义都是充要性命题，因此由
是增（减）函数且
可推出
（
），这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“互逆互推”。
2.
证明函数单调性的步骤：
①取值：即设x
1
,x
2
是指定区间内的任意两个值，且
，则
；
②作差变形：即作差
，并通过因式分解、配方、有理化、通分等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形；
③确定符号：确定差
的符号。若符号不确定，要分区域讨论。
④判断：根据定义作出结论。
3.
函数的单调性是函数的一个重要性质，注意增函数、减函数定义的如下两种等价形式：

设
I，（1）
在I上是增函数；
在I上是减函数；
（2）
在I上是增函数；
在I上是减函数。