有哪些能体现数学之美的题目

A. 收集关于数学中的美的事例

数学中的美太阳雨 发表于 2006-1-25 13:25:58

古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，那里就有美。”在小学数学教学中，只要我们稍加发掘，就不难发现数学的重要特征。

1、简洁与灵巧的美。数学中简洁与灵巧的美到处可见。如通行当今世界的阿拉伯数字符号，可以说是世人共识的最简洁的文字，用这种文字写出来的数和算式，不仅全世界的儿童都能认识，而且它的妙处还在于用10个有限的符号能表示出无限多的数。这与绘画时利用3种原色可以绘出众多色彩缤纷的图画，与作曲中凭7个音符能谱写出各种令人心醉的乐章一样，是多么令人惊叹的简洁美！又如在学生中间传为佳话的高斯问题：1+2+3……+98+99+100=（1+100）+（2+99）……+（50+51）=101×50=5050，更是令人为这种构思的巧妙和方法的简捷而拍案叫绝。这样巧妙的解题思路，无疑是一种美的享受。

2、对称与和谐的美。在小学数学中，对称与和谐的美比比皆是，简单几何图形中的等腰三角形、正方形、圆等都是具有对称美的直观而浅显的例子。对称美不仅表现在一些运算和数表中。如平均分具有和谐匀称的美。分数的初步认识通过对图形的平均分这种和谐的美所引起的形象思维，来指导学生初步认识分数的。相反，任意分就会产生不和谐、不匀称，这又从反面强化了分数的概念，使学生进一步体会到分数概念平均分的意义。

3、深刻丰富的内在美。新的课程标准指出数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理描述信息、建立模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。数学不仅帮助人们更好地探求客观世界的规律，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学是人们在对客观世界定性把握和刻画的基础上，逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行应用的过程，这一过程充满着探索与创造、观察、实验、模拟、猜测和调控等等，如今已经成为人们发展数学、应用数学的重要策略。正是由于有上述特点，构成了数学中的这种内在美。数学中的这种美，不是以色彩、线条、旋律等形象语言表现出来，而是把自然规律抽象成一些概念、法则或公式，并通过演绎而构成一幅现实世界与理想空间的完美图像。如在分数运算中，由于倒数的建立，除法可以转化为乘法、乘法可以转化为除法，乘和除这一对矛盾于是达到了辩证和统一，充分体现了数学的内在美。数学中的内在美在于它的本身，更重要的是它表现了人在数学创造活动中所显示的智慧、意志和才能。当我们看到学生在数学学习中矢志不移地追求，这不正是数学美的力量的真实写照吗？

B. 举出至少两个例子说明数学的简洁美或和谐美或奇异美或统一美，并且说明自己的体会

个人比较喜欢 黄金分割 和 斐波那契数列 ，觉得挺神奇的 生活中好多例子都是他们
下面是点简单介绍
斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887..…
从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之[1]积少1。
如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。
（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）因为：经计算可得：an^2-aa=(-1)^(n-1)
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f(n），f(0)=0，f⑴=1，f⑵=1，f⑶=2……）的其他性质：
1.f(0)+f⑴+f⑵+…+f(n)=f(n+2)-1。
2.f⑴+f⑶+f⑸+…+f(2n-1)=f(2n）。
3.f⑵+f⑷+f⑹+…+f(2n) =f(2n+1)-1。
4.[f(0)]^2+[f⑴]^2+…+[f(n)]^2=f(n）·f(n+1）。
5.f(0)-f⑴+f⑵-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]-1。
6.f(n+m)=f(n+1)·f(m)+f(n)·f(m-1)。
利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
怎样实现呢？伪代码描述一下
7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1）·f(n+1）。
8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2。
9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2）。
10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1] 斐波那契数列11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2.
12.f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)
隐藏斐波那契数列
将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……
公式表示如下：
f⑴=C(0,0)=1。
f⑵=C(1,0)=1。
f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
……
F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)
斐波那契数列的整除性与素数生成性
每3个连续的数中有且只有一个被2整除，
每4个连续的数中有且只有一个被3整除，
每5个连续的数中有且只有一个被5整除，
每6个连续的数中有且只有一个被8整除，
每7个连续的数中有且只有一个被13整除，
每8个连续的数中有且只有一个被21整除，
每9个连续的数中有且只有一个被34整除，
.......
我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）
斐波那契数列的素数无限多吗？
斐波那契数列的个位数：一个60步的循环
11235,83145,94370,77415,61785.38190,
99875,27965,16730,33695,49325,72910…
斐波那契数与植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花
8………………………翠雀花
13………………………金盏 和玫瑰
21………………………紫宛
34、55、89……………雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
编辑本段斐波那契斐波那契—卢卡斯数列
卢卡斯数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。（我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2））。
这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示），F（n）*L（n）=F(2n），及L（n）=F（n-1)+F(n+1)
n12345678910…
斐波那契数列F(n)11235813213455…
卢卡斯数列L(n)13471118294776123…
F(n)*L(n)138215514437798725846765…
类似的数列还有无限多个，我们称之为斐波那契—卢卡斯数列。
如1，4，5，9，14，23…，因为1，4开头，可记作F[1，4]，斐波那契数列就是F[1，1]，卢卡斯数列就是F[1，3]，斐波那契—卢卡斯数列就是F[a，b]。
斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系
①任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。
如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1），
n12345678910…
F[1,4]n14591423376097157…
F[1,3]n13471118294776123…
F[1,4]n-F[1,3]n0112358132134…
F[1,4]n+F[1,3]n27916254166107173280…
②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如
n12345678910…
F[1,1](n)11235813213455…
F[1,1](n-1)0112358132134…
F[1,1](n-1)0112358132134…
F[1,3]n13471118294776123…
黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列
斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，
斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1
卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5
F[1，4]数列：|4*4-1*5|=11
F[2，5]数列：|5*5-2*7|=11
F[2，7]数列：|7*7-2*9|=31
斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。
而F[1，4]与F[2，5]的黄金特征都是11，是孪生数列。F[2，7]也有孪生数列：F[3，8]。其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契—卢卡斯数列。
广义斐波那契数列
斐波那契数列的黄金特征1，还让我们联想到佩尔数列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（该类数列的这种特征值称为勾股特征）。
佩尔数列Pn的递推规则：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).
据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，称为广义斐波那契数列。
当p=1，q=1时，我们得到斐波那契—卢卡斯数列。
当p=1，q=2时，我们得到佩尔—勾股弦数（跟边长为整数的直角三角形有关的数列集合）。
当p=-1，q=2时，我们得到等差数列。其中f1=1，f2=2时，我们得到自然数列1，2，3，4…。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1（等差数列的这种差值称为自然特征）。
具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义斐波那契数列p=±1。
当f1=1，f2=2，p=2，q=1时，我们得到等比数列1，2，4，8，16……
编辑本段相关数学1.排列组合
有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？
答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144种。
2.数列中相邻两项的前项比后项的极限
当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1）的极限是多少？
这个可由它的通项公式直接得到，极限是（-1+√5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。
3.求递推数列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通项公式
由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
3.兔子繁殖问题（关于斐波那契数列的别名）
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
两个月后，生下一对小兔民数共有两对
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
经过月数0123456789101112
幼仔对数101123581321345589
成兔对数01123581321345589144
总体对数1123581321345589144233
幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<；；算盘全书>；；中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）
`````

C. 举一两个数学美

蝴蝶定理
蝴蝶定理是平面几何的古典结果。

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。 这里介绍一种较为简便的初等数学证法。 证明：过圆心O作AD与BC中垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。SM。MT。 ∵△AMD∽△CMB，且SD=1/2AD,BT=1/2BC， ∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B ∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB ∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M与O，T。Y。M均是四点共圆， ∴∠XOM=∠YOM ∵OM⊥PQ∴XM=YM

黄金分割
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。

让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做"菲波那契数列"，这些数被称为"菲波那契数"。特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。

菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→0.618…。由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。

一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。

斐波那契数列
斐波那契是意大利的数学家.他是一个商人的儿子.儿童时代跟随父亲到了阿尔及利亚,在那里学到了许多阿拉伯的算术和代数知识,从而对数学产生了浓厚的兴趣.

长大以后,因为商业贸易关系,他走遍了许多国家,到过埃及,叙利亚,希腊,西西里和法兰西.每到一处他都留心搜集数学知识.回国后,他把搜集到的算术和代数材料,进行研究,整理,编写成一本书,取名为《算盘之书》,于1202年正式出版.

这本书是欧洲人从亚洲学来的算术和代数知识的整理和总结,它推动了欧洲数学的发展.其中有一道"兔子数目"的问题是这样的:

一个人到集市上买了一对小兔子,一个月后,这对小兔子长成一对大兔子.然后这对大兔子每过一个月就可以生一对小兔子,而每对小兔子也都是经过一个月可以长成大兔子,长成大兔后也是每经过一个月就可以生一对小兔子.那么,从此人在市场上买回那对小兔子算起,每个月后,他拥有多少对小兔子和多少对大兔子?

这是一个有趣的问题.当你将小兔子和大兔子的对数算出以后,你将发现这是一个很有规律的数列,而且这个数列与一些自然现象有关.人们为了纪念这位兔子问题的创始人,就把这个数列称为"斐波那契数列".

你能把兔子的对数计算出来吗?

解:可以这么推算:

第一个月后,小兔子刚长成大兔子,还不能生小兔子,所以只有一对大兔子.

第二个月后,大兔子生了一对小兔子,他有了一对小兔子和一对大兔子.

第三个月后,原先的大兔子又生了一对小兔子,上月出生的小兔子也长成了大兔子,他共有一对小兔子和两对大兔子.

第四个月后,两对大兔子各生一对小兔子,上月出生的小兔子又长成了大兔子,他共有两对小兔子和三对大兔子.

第五个月后,三对大兔子各生一对小兔子,上月出生的两对小兔子也长成了大兔子,他共有三对小兔子和五对大兔子.

……

以此类推,可知:每月的小兔子对数等于上月大兔子的对数,每月大兔子的对数等于上月大兔子与小兔子的对数之和.

我们把大小兔子的对数写成上下两行,从买回小兔子算起,每个月后他所拥有的兔子对数便是:

仔细观察两行数发现它们是很有规律的:每行数,相邻的 三项中,前两项的和便是第三项.

有趣的是:雏菊花花蕊的蜗形小花,有21条向右转,有34条向左转,而21和34,恰是斐波那契数列中相邻的两项;松果树和菠萝表面的凸起,它们的排列也分别成5:8和8:13这样的比例,也是斐波契数列中相邻两项的比.

这个数列不仅在数学,生物学中,还在物理,化学中经常出现,而且它还具有很奇特的数学性质,真是令人叫绝!

D. 关于数学的美学问题

数学引起的美感其实就是几何图形的美与数字的美 生活中的美都来源与数学 建筑需要几何 对称需要计算。。。。数学的简洁与抽象美：数学的简洁美，并不是指数学内容本身简单，而是指数学的表达形式、数学的证明方法和数学的理论体系的结构简洁。公式C＝2πR就是其中一例。几何中完美的图形——圆，内含的周长与半径有着异常简洁和谐的关系，一个传奇的数"π"把它们紧紧相连。又如，数“1”，小至一个原子、粒子；大至一个太阳、一个宇宙……宇宙万物，均可以用“1”来表示。几何形体的各种求面积、体积公式，简洁实用，万无一失，只要符合有关条件，计算不出错误，就可以得到正确的结果。细心的人还可以找到他们之间的内在联系。再如，许多简便的解法，也是数学简洁美的体现。简单举例：计算1

—+—+—+—+—+—+—+—+—。 面对这个计算题，若贸然用一般的通分的方法

来解决，会带来繁杂的计算。当仔细审视这题的特点，发现 每一项的分数的分子皆是1，而分母可分别分拆成两个相连的自然数之积，即1×2,2×3,3×4,4×5,5×6,6× 7,7×8,8×9,9×10，于是，立即使我们联想到，把每个分数都分拆成两个分数之差。这样一来，尽管计算过程中分数的项数增加了一倍，但出现正负相间的两个相同的分数，中间的项对消了，只剩下首末两项，从而很快 获得结果，即

这一简洁的解法，给人以美的享受。

（二）、数字和符号美。美好的数字：一是万物之始，一统天下，一马当先，何其壮美；二是偶数，双喜临门，比翼双飞，多么美好幸福；三是升的谐音，表示多数，三教九流，三生有幸，三番四次，四是全包围结构，四平八稳，小四合院独具特色，四通八达，四季发财；对于一个循环小数，可以采用循环节的记数法，简洁准确的表示出来。数学学习中还涉及到许多符号，如四则运算中的"＋、－、×、÷"，比较大小的 "＜、＞、＝ " 号，还有改变运算顺序的小括号［］、中括号[ ]、大括号{ }等等，这些符号都讲究上下左右对称，如 果书写时 不注意它们的对称性，错写漏写都破坏了它们之间的内在美。

（ 三）、数学中的构图美和组合美。几何初步知识是小学数学的一项重要内容，它包括直线、线段、射线、角、长方形、正方形、圆、平行四边形、梯形、长方体、正方体、球的认识和画法等，这些图形，无论他们的简单和复杂程度如何，都各自具有独特的美。例如：直线表现刚劲有力，曲线表现轻快流畅，三角形寓有变化之美，等腰三角形、等腰梯形、长方形、圆等几何形体的对称美，正方形的平稳方正等等，教师可在教学中利用教材提供的各种图形，引导学生在认识和掌握各种图形的过程中，体验他们的优美，达到美的感受。并且可以利用图形之间的关系或者一些有趣的规律，发挥学生的想象力，让他们用各种图形拼组成自己喜欢的事物，体会数学的组合美。

（四）、 数学知识中的对称美。数学知识中的对称主要有轴对称美，如等腰三角形、矩形；中心对称美，如平行四边形、圆等；形式上对称美，如正（+）与负（-）、加法与减法、乘法与除法、正比与反比等。在教学中可以密切联系生活实际，联系生物体结构，如衣服、裤子、人体是轴对称的，揭示对称美，给学生领会对称美的价值，通过实例加深学生对数学对称美观念的理解，深化思维，培养学生感受美、鉴赏美的能力。

（五）、数学方法美。自然数的个数是无限的：1、2、3、4、……奇数的个数是无限的1、3、5……人们采用“一一对应’的数学方法：神奇地发现自然数列与奇数列还有如下关系：1、2、3、4、……把一个圆形，分割成8份、16

1、3、5、7、……

份、32份，相等的近似的三角形拼摆后，圆形神奇地转化成近似的长方形，所分的份数越多，所拼得图形越接近于长方形。曲与直的这种转化，在生活中可以找到它的活生生的典型”砌墙用的一块块方砖面是长方形，可以砌成横断面是圆形的烟囱；把用方砖砌成的横断面是圆形的烟囱拆开，又可以得到一块块的面是长方形的方砖。

（六）、数学思想美。数学知识中隐含有丰富的思想品德教育素材，小学数学教材中编写了许多小故事，如"除号的由来"、"等号的由来"等；我国数学家陈景润身居陋室，但为了攻破歌德巴赫猜想这一世界数学难题，不断演算，通过努力终于摘取了数学皇冠上的明珠；数学家华罗庚中学时期的数学成绩并不好，也没有考取大学，但通过自己的自学，成为我国赫赫有名的数学家，并邀请到国外讲学，溘然长逝在异国讲坛上。数学家们高尚的思想品德，深厚的爱国热情，非凡的智慧才能，都是教育我们学生的好素材，激发学生对数学的热爱和追求，培养克服困难、奋发向上的精神，培养学生的远大志向。

（七）数学知识的奇异美。奇异性是数学内涵美的又一基本内容。它是指所得的结果新颖奇特，出人意料。七巧板拼图是小学数学课常采用的内容。用七块板可以拼成一个最简单的正方形，也可以拼出千变万化的复杂图案：如人形、鸟兽、花草、房屋等。通过七巧板拼图练习，学生感到图案之多，出人意料；图形之美，妙趣横生。

有趣的数学知识，不仅能让人感受到不同的美，而且利用数学的奇妙还能装扮人们的生活。比如：搞服装设计，如果拥有黄金分割的知识，就会感觉自己的设计很舒服。巴赫的音乐中充斥着数学的对称美，埃及的金字塔在建筑线条上凝聚了多少形象的数学……真可谓哪里有数学，哪里就有美。

E. 有哪些简洁又能表现数学之美的东西

用中国最经典的数学题目：
＜孙子算经＞
三人同行七十稀，
五数梅花廿一枝，
七子团圆整半月，
除百零五便得知．
意思是，一个自然数除以三的余数乘以七十，除以五的余数乘以二十一，除以七的余数乘以十五，然后加起来，减去一百零五，直到小于一百零五，便是这个数．
例如：一个数除以三的余数是二，除以五的余数是四，除以七的余数是六，求这个自然数（最小的）．
解：2*70+4*21+6*15＝314
314－105＝209
209－105＝104
即符合这个条件的最小自然数是104．其实，只要是104+105*N的自然数都符合这个题目．

F. 数学之美

随着社会的迅猛发展，经济水平不断提高，人们生活质量越来越好。但与此同时带来的是人们对于资本的渴求的膨胀，人们越来越注重实际利益，注重实业重工的发展，相对而言，理论上的一些研究就理所当然的被视作一种无用之学科。首当其冲的便是数学，在中国，几乎所有人都认为在大学里学纯数学将来是没有什么前途的，事实上，在西方发达国家并非如此。在哲人的眼里，数学是如此美丽，它巧夺天工，不可言喻。保罗•埃尔德什形容他对数学的观点：“为何数字美丽呢？这就像在问贝多芬第九交响曲为什么会美丽一般。若你不知道为什么，其他人也没办法告诉你为什么。我知道数字是美丽的，且若它们不美丽的话，世上也没有事物会是美丽的了。”

一、数学之美所谓何然

数学美是自然美的客观反映。历史上曾有多位学者名人对数学美提出自己的见解，我国着名数学家华罗庚说过：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”数学家徐利治说：“作为科学语言的数学，具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，既所谓数学美。数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构关系的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。” 随着数学的发展和人类文明的进步，数学美的概念会有所发展，分类也不相同，但它的基本内容是相对稳定的，这就是：对称美、简洁美、统一美和奇异美。
数学的对称美，从古希腊时代起就被认为是数学美的一个基本内容。所谓对称性，既指组成某一事物或对象的两个部分的对等性。数学中的这种对称处处可见，较为形象的就是我们司空见惯的一些轴对称图形，尤其是圆，真可谓是三百六十度完全对称无死角。毕达哥拉斯就曾说过：“一切平面图形中最美的是圆，在一切立体图形中最美的是球形。”这正是基于这两种形体在各个方向上都是对称的。而对于我来说，关于对称印象最深刻的便是小学五年级的时候老师让我做的一道数学题。当时老师在报纸上看到这道题，就拿给同办公室的几个老师做，结果居然那几个老师都没有做出来，于是老师就把我叫到办公室去当场做，看小孩子的思维会不会活跃一些，题目是一个四位数乘以九得到的数等于这个数的倒序。我当时一看这题目，心想既然是对称的，那么第一个数字必是1，然后乘以九，那么最后一个数字必是9，接着我又想第二个数字最大是1但一代进去显然不行，那么就只能是0了，这么一来就轻而易举地猜出第三个数字是8，所以答案就是1089*9=9801.我记得自己当时是很快就把答案想出来了，老师们都很诧异，连连夸奖。当时心里真的是特别高兴，也是第一次对数字的对称性有了基本的概念。现在想想那道题其实真的很简单，但就是这么简单的数学题里也蕴含着数学那高度的对称美。
数学的简洁美，是人类思想表达简明化要求的反映。爱因斯坦说过：“美在本质上终究是简单性。” 数学语言本身就是最简洁的文字，同时反映客观规律极其深刻，许多复杂的客观现象，总结为一定的规律时，往往呈现为十分简单的公式。欧拉给出的公式：V－E+F=2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，令人惊叹不已。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。如笛卡尔坐标系的引入。对数符号的使用，复数单位的引入。微积分的出现都体现了数学外在形式更简洁，内容更深厚。数学中绝大部分公式都体现了“形式的简洁性，内容的丰富性”。 数学的简洁美还表现在形态上，即数学美的外部表现形态，是数学定理和数学公式(或表达式)的外在结构中呈现出来的美。形态美的主要特征，在于它的简单性。
数学的统一美，是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。一切客观事物都是相互联系的，因而,作为反映客观事物的数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。例如,从结构上分析，解析法、三角法、复数法、向量法和图解等具体方法,都可以统一于数形结合法。欧几里德的《几何原本》,把一些空间性质简化为点、线、面、体几个抽象概念和五条公设及五条公理,并由此导致出一套雅致的演绎理论体系,显示出高度的统一性。布尔基学派的《数学原本》,用结构的思想和语言来重新整理各个数学分支,在本质上揭示数学的内在联系,使之成为一个有机整体,在数学的高度统一性上给人以美的启迪。

二、数学之美所以何能
数学之美在各位先知哲人的眼里是如此的美丽，那么数学是凭着什么从几个简单的阿拉伯数字和拉丁字母发展为如此瑰丽传奇的数学世界的呢？仅凭个人的力量显然是远远不够的，它是数千年来祖辈们世世代代传承积累下来的。
数学之美是人民之于数学的智慧结晶。人们在日常的生活中总会遇到一些需要用数学来解决的小问题，然后就有人提出一个改进的小方法，让计算变得更为容易，这样日积月累，慢慢地便使得数学的土壤越来越肥沃，培育出更多的数学芬芳之果，让数学这个世界越变越丰富，越变越美丽。我不是数学考古专家，不能调研到什么具体的人民对于数学方面的小改进。但是我可以讲讲自己的例子。身边的人都知道我的速算是很厉害的，倒不是我有多聪明，而是我会把一些难算的式子在脑子里做一些的变换然后再计算，这样就容易多了，就我个人而言，这改进虽然很小，或者都称不上是改进，但是就是因为人民大众这样一点一滴的积累，使得数学越来越美。
数学之美是智者之于数学的灵感源泉。我国数学家陈景润身居陋室，但为了攻破歌德巴赫猜想这一世界数学难题，不断演算，通过努力终于摘取了数学皇冠上的明珠。接下来我讲一个蒲丰用投针求圆周率的近似值的试验。有一天蒲丰邀请许多宾朋来家做了一个奇特的实验。他事先在白纸上画好了一条条有等距离的平行线，将纸铺在桌上，又拿出一些质量匀称长度为平行线间距离之半的小针，请客人把针一根根随便仍到纸上，蒲丰则在一旁计数，结果共投2212次，其中与任意平行线相交的有704次，蒲丰又做了一简单的除法 ，然后他宣布这就是圆周率的近似值，还说投的次数越多越精确。这个实验使人震惊，圆周率和一个表面看来毫不相干的随便投针实验沟通在一起。然而，这确实是有理论根据的。计算圆周率的这一方法新颖、奇妙而让人叫绝。
数学之美是社会之于数学的发展需要。我们面临一个科学技术迅猛发展的时代。信息的数字化和信息的数学处理已经成为几乎所 有高科技项目共同的核心技术。从事先设计、制定方案，到试验探索、不断改进，到指挥控制、具体 操作，处处倚重于数学技术。许多国家认识到，发展高清晰度电视是未来经济技术竞争的主战场之一。应该指出，电视屏幕不仅是现代人们日常生活所不可缺少的，而且可能通过联网成为信息传 递处理的工作面。几乎所有重要的工作岗位都将与之有关。数学技术在如此重要项目的激烈较量 中起了决定作用。1991年的海湾战争是一场现代高科技战争，其核心技术竟然也是数学技术。这一事实引 起人们不小的惊讶。美国总结海湾战争经验得出结论是：“未来的战场是数字化的战争”。

二、数学之美所知何用
现如今，越来越多的大学生在填大学专业方向时，都不愿填写数学这个专业，理由是毕业后工作不好找。我自己也是，其实我个人是非常热爱数学的，我可以一天不吃不喝在那边做一道数学题并且乐在其中。但是最终还是迫于家庭和社会各方面压力选择了大家普遍认为将来就业可能比较好的电子专业，虽然我自己不是很喜欢，但是既来之，则安之。然而，在此我还是要说学习数学是有用的，而且是非常地有用，未来的社会必是数字化的时代。
数学之美的社会应用——揭示自然规律，指导工程设计。1995年1月，在贩神大地震之后，美国利用数学模型进行地震预测，预告本世纪末加州南部可能发生大地震；1995年3月，我国中央人民广播电视台宣布启用数字式转播方式，指出以前的模拟式转播方式效果差，所以改用新的转播方式；1995年6月，欧州联盟开会研讨未来数字化通信的统一制式；1996年2月，我国电子工业部宣布“九五计划”开发重点：数字化信息技术。所订的两个重点研制项目是：数字式高清晰度电视接受机样机和数字式激光盘；1996年4月，我国国家科委发布招标公告，正式宣布数字式高清晰度电视开发项目。仅以几件事为例就能清楚地看到数学对当代人们的生产和生活所起的重要作用。
数学之美的突出表现——黄金比例分割。黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。
伯特兰•罗素以下列文字来形容他对数学之美的感觉：数学，如果正确地看它，则具有……至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。
参考文献：
（1）（美）西奥妮•帕帕斯 . 理性的乐章--从名言中感受数学之美. 王幼军 译. 上海：上海科技教育出版社，2010.
（2）（英）波斯特 . 数学证明之美 . 贺俊杰，铁红玲 译 . 湖南：湖南科技出版社，2012
（3）（美）克利福德•A•皮科夫 . 马东玺 译 . 湖南：湖南科学技术出版社，2010
（4）吴军 . 数学之美系列文章 . 2006——2007.

G. 那些艺术里的数学之美

文/陈墨祎

01

我要是指着一幅画说美，很多人会点头，但我要是指着一堆数字方程说美，估计大部分人就得摇头了。

提起数学，我们很多人只会枯燥乏味或者复杂深奥。其实，数学里也有美学。

我国着名数学家华罗庚说过，“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”

数学之美，蕴涵在生活的方方面面，尤其是在艺术当中。

02

有这么一位数学教授，把她发现艺术里的数学之美对我们娓娓道来。

梁进教授在她的这本《博物馆艺术拾珍：收敛篇》里，带我们走进世界四大着名博物馆，去领略绘画、雕塑里的数学之美。

其实，从这本书标题中的“收敛”二字，我们就可以窥得几分数学的影子。 收敛这个词来自于数学当中的微积分，大意是指会聚于一点，向某一值靠近。 与之对应的数学当中的另一个名词叫做“发散”。

《博物馆艺术拾珍：收敛篇》选择了世界四大综合博物馆以及一些历史特色明显的博物馆，包括但不限于着名的“卢浮宫博物馆”“大英博物馆”“埃及博物馆”“梵蒂冈博物馆”等，尤其是很具有历史和相关博物馆记忆的作品。

03

有的时候，我们觉得艺术美，恰恰是因为里面涵盖的数学元素。

大家耳熟能详，并且出现在很多人初中课本当中的一定有这条—— 美的起源：黄金分割比例。

黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值， 比值约为0.618， 这个比例被公认为是最能引起美感的比例。

在古希腊时期，有一天数学家毕达哥斯拉走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来。

后来，古希腊数学家欧多克索斯将这一比例进行系统研究，其研究结果被写进欧几里得的着作《几何原本》里，至今广为流传。

而画家们也发现，按0.618:1来设计的比例，画出的画最优美。因此，黄金分割的数学美学在很多着名的艺术品中被使用过。

在达芬奇的作品《维特鲁威人》、《蒙娜丽莎》、还有《最后的晚餐》中都运用了黄金分割。

古希腊的着名雕像断臂维纳斯和太阳神阿波罗都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618。

建筑师们也对数字0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院、埃菲尔铁塔，希腊雅典的巴特农神庙，都有黄金分割的足迹。

04

数学之美，也同样体现在几何图形当中。

毕达哥拉斯说：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”因为这两种图形在任何方向上看都是对称的。

其实在我们身边随处可见根据对称设计的东西：小到一块橡皮、一只球拍，大到一架飞机、一座建筑。

着名的北京人民大会堂，高耸入云的上海东方电视塔，形象逼真的扇形，梅花瓣样的组合图形，铜钱式的圆中方，美丽的“雪花”图案，都显示出几何图形的对称美，和谐美。

梵高的《星空》，印象派的画风让这幅图显得绮丽迷幻，然而浪漫之下，安宁夜空仿佛剧烈流动的浓艳色彩，被人们渐渐证明，其抽象的“湍流”，非常符合着名的“柯尔莫哥洛夫微尺度”。

05

就连看起来无趣乏味的数学方程，也有其艺术之美。

比如， 心形线方程。

在威廉布莱克的画作《雅各布之梦》（也叫《雅各布天梯》）中也体现了数学模型之美。 

这幅画讲的是布莱特的弟弟罗伯特死的时候，悲痛的布莱克看见他弟弟的灵魂穿过屋顶冉冉上升，“欢乐地拍着手”，他得到灵感将圣经旧约里雅各布做梦登天梯的故事画出来。

不同于其他许多天梯是直上直下的画， 布莱特的天梯是意味深长地螺旋上升的，形成一个三维圆锥螺旋线。 整个画面很数学。

06

数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门科学。

它的特点是精密性，广泛性，抽象性。

艺术中涵盖着数学，就像数学和艺术分别是两个集合，但两者并不是并集的关系，而是交集的关系。

“美术的结构是数学的，数学的表达是艺术的。”

当我们还在思考文理之间的界限时，先行者们恐怕很早就预料到，知识的相通才是使艺术得以长存的诀窍。

看完这本书，或许你可以试着用新眼光重新去审视那些艺术品：达芬奇《维特鲁威人》中暗含的黄金人体比例，伦勃朗笔下呈现自然界“正态分布”的群像，莫奈《睡莲》中体现出来自然界的函数映射......

就像梁进教授所说的：“我从数学角度分享一些对博物馆珍品的感想，怕数学的读者也不用怕，我不会用数学公式轰炸读者，只是用数学思想和观点从另一个角度去欣赏艺术，畅游博物馆，或许会产生不一样的效果。”

H. 能体现数学之美的古诗是什么

能体现数学之美的古诗如下：

1、《山村咏怀》

作者：邵雍（北宋）

一去二三里，烟村四五家。

亭台六七座，八九十枝花。

译文：一眼看去有二三里远，薄雾笼罩着四五户人家。村庄旁有六七座凉亭，还有许多鲜花正在绽放。

2、《题秋江独钓图》

作者：王士祯（唐）

一蓑一笠一扁舟，一丈丝纶一寸钩。

一曲高歌一樽酒，一人独钓一江秋。

译文：戴着一顶斗笠披着一件蓑衣坐在一只小船上，一丈长的渔线一寸长的鱼钩。高声唱一首渔歌喝一樽酒，一个人在这秋天的江上独自垂钓。

3、《咏雪》

作者：郑板桥（清）

一片二片三四片，五片六片七八片。

千片万片无数片，飞入梅花总不见。

译文：一片一片的雪花纷纷扬扬的从天而落，整个天地都白茫茫的一片。飘落的雪花落入芦花丛里，和白色的芦花融为一体，叫人难以分辨。

4、《题秋江独钓图》

作者：王士祯（清代）

一蓑一笠一扁舟，一丈丝纶一寸钩。

一曲高歌一樽酒，一人独钓一江秋。

译文：戴着一顶斗笠披着一件蓑衣坐在一只小船上，一丈长的渔线一寸长的鱼钩；高声唱一首渔歌喝一樽酒，一个人在这秋天的江上独自垂钓。

5、《定林所居》

作者：王安石（宋代）

屋绕湾溪竹绕山，溪山却在白云间。

临溪放艇依山坐，溪鸟山花共我闲。

译文：房屋被溪水环绕着，竹林环绕着青山，临水的高山直插白云间。将小船停靠在溪水边，靠着山坐着，溪水、鸟儿、鲜花和我一起共享这份悠闲。

I. “数学之美”有什么例子

例子如下：

数学之美的例子还是比较多的。比如欧拉，历史上最重要的数学家之一，也是最高产的数学家，平均每年能写八百多页论文。我们经常能见到以他名字命名的公式与定理，可能最广为人知的便是“世界上最美的公式”欧拉公式。

先不说它的具体意义，能将自然数、虚数、π、0 和 1 这几个最基本的元素组合在一起，就是令人惊叹的美。欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，同时建立三角函数和指数函数的关系，被誉为数学中的天桥。

简介：

数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

J. “数学之美”有什么例子

浅谈数学之美

数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。“那里有数学，哪里就有美”，数学美不是什么虚无缥缈、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。数学美的内容是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等，都是数学美的具体内容。本文主要围绕数学美的三个特征：简洁性、和谐性和奇异性进行阐述。

【关键词】数学，数学美，美学特征

数学美的表现形式是多种多样的，从外在形象上看：她有体系之美、概念之美、公式之美；从思维方式上看：她有简约之美、无限之美、抽象之美、类比之美；从美学原理上看：她有对称之美、和谐之美、奇异之美等。此外，数学还有着完美的符号语言、特有的抽象艺术、严密的逻辑体系、永恒的创新动力等特点。但这些都离不开数学美的三大特征，即：简洁性、和谐性和奇异性。