怎么用数学的语言来理解人生

㈠ 【数学思维】04-巧用数学思维，让观点更容易被接受

观点可以简单的按维度区分。

观点分为一维观点，二维观点，和多维观点。

什么是一维观点呢？就是只包含一个要素的观点。

比如：管理者要具备较强的统筹能力，才不会让自己身陷琐事而不能自拔。这就是一个一维观点。一维的观点用来表达一个高度概念化的东西。在这个观点中，就能把想表达的东西都浓缩成一个概念：统筹。

在这里我想顺便说一嘴，各位千万不要讨厌概念这个词，好像谈概念就是纸上谈兵，但事实上，一个人的进步，很大程度取决于掌握并运用概念的多少。

当然不过，很多观点并不是一个概念就能表达得清楚的，而且高度概念化的东西在不同场景下往往有不同的解读，意思都不唯一，表达怎么能精准呢？

为了更精准，就需要更具体，这时往往就可以用二维的观点来表达更能被广泛接受的子项去表达。

比如：管理者除了要有较强的沟通能力，还要有抽象化的能力，才不会总是陷于繁琐事务中。这就属于二维观点，包含沟通和抽象化两个要素。

其实，大部分让人印象深刻的观点恰恰都是二维观点，因为二维观点容易造成对比，也容易造成冲突，有思考和讨论的空间。

什么是多维观点呢？管理者不仅要具备沟通和抽象化的能力，而且，要擅于处理人际关系，只有处理好关系，才能有效地放大前两者的效用。 这句话就是多维观点，里面包含着三个或三个以上的要素。

现实工作和生活中：
一维观点往往指向单一，逻辑单一，但容易引起误解。

多维观点实际运用不是特别多，更多用在学术型报告或理论性较强的研究中。

二维观点，既不会特别粗浅，也不至于不好理解，关键是，有讨论和辩证的空间。

所以在现实中，我们应该重点学习的，其实是二维观点。

所以，接下来，我们重点聊聊二维观点的呈现。

数学中，有个你一定学过的知识，坐标轴。这就是我今天要讲的第一个数学思维。X轴Y轴，天然就代表了两个不同要素。用它来表达二维观点，再合适不过。

大家可以看看我在文稿中为你准备的几张数轴框架图，每张图都表达了一个二维观点

第一张表达的是时间管理的轻重缓急，这是经典的时间管理理论，说的是时间管理要分轻重缓急。

轻重，这是一个要素，缓急，又是一个要素。

这个大家太熟悉了，每个象限代表什么我就不一一细讲了，大家在文稿中看一眼就明白。

第二张，来源于一本书《幸福的方法》。可以用一句观点来解读这本书，比如，生活重要的目标就是幸福。这是一维观点，幸福在这是个概念。但是你能从这句观点里理解到什么是幸福吗？

如果我们要解析幸福，就得把一维变二维，甚至变多维。

在书里，对“幸福”这个概念就表达成了二维观点。这个观点很有价值，我觉得哪怕它跟精准表达无关，我都很想跟各位分享一下。

它把幸福分成了两个维度，一个维度叫现在，一个维度叫未来。

第一象限，一个人既懂得关注现在，享受当下，又会规划未来，就叫幸福主义，第二象限，一个人如果只会陷于对未来的焦虑，而忘了感受当下就有的快乐，这叫忙碌主义。第三象限，一个人如果只懂得当下享乐，而没有意识筹划未来，这叫享乐主义，而最后一个，既不享受现在，也不重视未来，叫做虚无主义。

为什么这么分呢？因为当下的享受，会让一个人觉得快乐。而对未来的规划与想象，会让人觉得有意义，所以这个观点其实是把现在与未来等同于快乐与意义。

你看，一个图，一句话，把幸福这样一个很多人都觉得很虚的观点，解释得通俗易懂

这个观点是用知识和思维两个要素把我们分成了四种人，有知识会分析的是行动派，没知识但会分析的是空想派，有知识但不会分析的是硬盘派，最后没知识还不会分析的就是无用派。我相信，你只要看一眼这张图，你就能看懂，而且，你会觉得，哎，真对，既不愚蠢，也不显而易见。还记得这句话吗：既不愚蠢，也不显而易见。这就是上节课我们谈到的，一个好观点的标准之一。

这就是二维观点呈现的方式，你也可以试着做做练习，想想你平常给别人的建议，你开会时说过的观点，有哪些是可以用这个方式来呈现的。而且，你练习了就会发现，这个框架图不仅在帮你呈现观点，还会让在你创建的过程中，把观点想得更完整深入

用十字轴的形式，来图像化你的观点。尽可能把你的观点，提炼成二维观点，会让你的表达更有生命力

在这里，我们要用到数学另外一个基本而重要的知识，就是公式。

一旦你要表达的观点包含三个或三个以上的要素，就不要奢望用语言能清晰地描述出他们的逻辑先后与主次关系，我的诀窍是：尝试用公式来表达。最基本的公式表达，其实就是四则运算，加减乘除。

例1.

比如刚才我们提到的关于幸福的二维观点也可以用一个公式来表示：

幸福=快乐 意义*

快乐就是现在、当下的感受；意义代表就是对未来的期待。

这是二维观点，比较简单，我们主要来看看多维观点怎么用公式表示。

例2.

稻盛和夫在很多场合的演讲，都提到了一个有名的公式：

人生成就=思维方式×热情×能力

而且还对这三项做了分数界定：思维方式是-100到-100，热情和能力是0到-100。

这样你们是不是就清晰地感受到这三个要素之间的逻辑和主次关系了吧？

例3.

再比如我们前面举的那个多维观点：管理者不仅要具备沟通和抽象化能力，而且要擅于处理人际关系，只有处理好关系，才能有效地放大前两者的效用。

这当中三个要素：沟通、抽象化能力、人际关系，怎么组成一个公式呢？我把它变成：

这样是不是清楚明了地表达了人际关系对于沟通能力和抽象化能力的放大作用呢？

你看，只需要运用加减乘除的复合，我们就能表达任何多维要素的复杂逻辑关系。下面就说说，什么时候用加减，什么时候用乘除？

用来表达正相关性。其中，乘号代表不可或缺，因为任何数与0相乘都等于0。

用来表达负相关的关系，当然除一般用的不多。

运用好加减乘除的复合，你就能简单明了地表达任何一个逻辑复杂的观点，有的时候用公式梳理逻辑关系，也能让我们对想表达的东西理解更加深入。

例4.

比如我平常在上课的时候，经常会讲到一个公式:

总结：

一维观点：概念化，多情景多解读，不精准

二维观点：生活最常见，有讨论和辩证空间。表达方式：十字轴

三维观点：研究常见，有三个以上困素。表达方式：公式化

一个人的进步，很大程度取决于掌握概念的多少，而高度概念化的东西在不同场景下有不同的解读，为了精准表达，需要更具体，更广为接受的子项为表达。

㈡ 用数学公式解释人生

对于我来说，数学就是运用一些公式，然后进行计算，这就是简单的理解数学，其实数学很简单，并没有那么多人想的那么难，我就是学数学专业的，我感到学习数学能使我感到学习并不枯燥。

㈢ 数学对个人的生活和工作有什么意义该如何理解数学

数学的魅力，显然不在于纸面上的考试成绩，更不是被现在教育所淘汰的残次品所理解的完全可以被计算机取代的数字计算，而是那种能把复杂问题变简单的化繁为简的能力以及严密的形式逻辑推理能力。有这两种能力为基础，遇到任何领域的复杂问题都可以从容应对，条理分明、事半功倍，这才是数学为什么如此重要。数学运用更重要的是数学思想，我们将生活中的各种事件进行数学化处理，然后经过逻辑分析、推理计算，从而得出最优解，这就是数学思想，数学思想可以更好的帮助我们规划生活与工作。

㈣ 你是怎么样用数学思维解决人生问题的

搜寻，所以就分理性和感性，顺着去思考和反过来去思考，你就会发现其实正反都有对立面。

㈤ 用数学书写的人生格言

用数学书写的人生格言

1、数学是符号加逻辑。——罗素

2、数统治着宇宙。——毕达哥拉斯

3、生态学本质上是一门数学。——皮娄

4、数学是无穷的科学。——赫尔曼外尔

5、数学的本质在于它的自由。——康托尔

6、数学是打开科学大门的钥匙。——培根

7、数学是上帝描述自然的符号。——黑格尔

8、数学是一切知识中的最高形式。——柏拉图

9、纯数学是魔术家真正的魔杖。——诺瓦列斯

10、数学是一种别具匠心的艺术。——哈尔莫斯

11、数学是一种会不断进化的文化。——魏尔德

12、数学是各式各样的证明技巧。——维特根斯坦

13、数学是人类的思考中最高的成就。——米斯拉

14、数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠。——考特

15、数学是研究抽象结构的理论。——布尔巴基学派

16、数学之美是很自然明白地摆着的。——哈尔莫斯

17、数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。――高斯

18、逻辑是数学的少年时代，数学是逻辑的成年时代。——罗素

19、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。——努瓦列斯

20、一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量。——拉奥

21、数学如同音乐或诗一样显然地确实具有美学价值。——雅可比

22、数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解释。——傅立叶

23、在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。——罗素

24、数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。——恩格斯

25、在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。——拉普拉斯

26、新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。——华罗庚

27、数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。——罗素

28、数学能促进人们对美的特性——数值比例秩序等的认识。——亚里士多德

29、在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。——康托尔

30、纯粹数学可以是实际有用的，而应用数学也可以是优美高雅的。——哈尔莫斯

31、数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。——克莱因

32、在数学里，分辨何是重要，何事不重要，知所选择是很重要的。——广中平佑

33、一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。——马克思

34、现代数学最主要的成就是真正揭示了数学的整个面貌及其实质存在。——Russell

35、不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。——罗巴切夫斯基

36、纯数学这门科学在其现代发展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造。——怀特海

37、硬说数学科学无美可言的人是错误的。美的主要形式是秩序匀称与明确。——亚里斯多德

38、立志于物理学的人，不懂下列的事情是不行的：第一是数学，第二是数学，第三是数学。——伦琴

39、在现实中，不存在像数学那样有如此多的东西，持续了几千年依然是确实的如此美好。——苏利文

40、数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。所有研究顺序和度量的科学均和数学有

关。――笛卡尔

41、数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。——高斯

42、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。——冯纽曼

43、宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。——华罗庚

44、数学科学呈现出一个最辉煌的例子，表明不用借助实验，纯粹的推理能成功地扩大人们的认知领域。——康德

45、当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。——柯普宁

46、我认为，说数学家选择课题的准则以及判断他是否成功的准则，主要的是美学准则，这是正确的。——冯。诺伊曼

47、一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国立的强大。数学的.发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。——拿破仑

48、数学之所以有高声誉，另一个理由就是数学使得自然科学实现定理化，给予自然科学某种程度的可靠性。——爱因斯坦

49、感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到几何的优雅，这是所有真正的数学家都清楚的真实的美的感觉。——庞加莱

50、数学家就像情人——给一个数学家最小的原理，他就会从中引出你必须承认的结果，并且从这个又引出另外一个。——弗坦内里

51、我们能够期待，随着教育与娱乐的发展，将有更多的人欣赏音乐与绘画。但是，能够真正欣赏数学的人数是很少的。——贝尔斯

52、我曾听到有人说我是数学的反对者，是数学的敌人，但没有人比我更尊重数学，因为它完成了我不曾得到其成就的业绩。――哥德

53、哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。——柏拉图

54、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根

55、一个没有几分诗人才能的数学家决不会成为一个完全的数学家。——魏尔斯特拉斯纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇。——爱因斯坦

56、数学家如画家或诗人一样，是款式的制造者……数学家的款式，如同画家或诗人的款式，必须是美的……世上没有丑陋数学的永久立身之地。——哈代

57、但是数学享有盛誉还有另一个原因：正是数学给了各种精密自然科学一定程度的可靠性，没有数学，它们不可能获得这样的可靠性。――艾伯特·爱因斯坦

58、数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有数学，它们无法达到这样的可靠程度。——爱因斯坦

59、数学之所以比一切其它科学受到尊重，一个理由是因为他的命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险。——爱因斯坦

60、在数学定理的评价中，审美标准既重于逻辑的标准，也重于实用的标准：在对数学思想的评价时，美与优雅比是否严密正确，比是否有用都重要得多。——斯蒂恩

61、现代高能物理到了量子物理以后，有很多根本无法做实验，在家用纸笔来算，这跟数学家想样的差不了多远，所以说数学在物理上有着不可思议的力量。——邱成桐

62、一种奇特的美统治着数学王国，这种美不像艺术之美与自然之美那么相类似，但她深深

地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏，与艺术之美是十分相象的。——库默

63、当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化简些呢？往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。——希尔伯特

64、数学对观察自然做出重要的贡献，它解释了规律结构中简单的原始元素，而天体就是用这些原始元素建立起来的。——开普勒数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解释。——傅立叶

65、数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的新概念；数学是创造性的艺术，因为数学家的生活言行如同艺术家一样；数学是创造性的艺术，因为数学家就是这样认为的。——哈尔莫斯

66、数学是一项工具，特别适合于处理任何一类抽象概念，而且，它在这方面的作用是无止境的。因此，一本论述新物理学的书，如果不是单纯地描述实验工作的，其本质上，必定是一本数学书。——狄拉克

67、数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后高斯（Gauss）音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。——克莱因

68、数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发促进鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。——克莱因

69、难道不可以把音乐描绘成感觉的数学，而把数学描绘成理性的音乐吗这样，音乐家感觉到数学，数学家想到音乐——音乐是梦想，数学是工作的一生——每一方都经由对方达到尽善尽美的境地，那时，人类的智慧达到完美的典型，将在某个未来的莫扎特——狄利克雷或贝多芬——高斯的歌颂下而光彩夺目。这种联合已经在一个赫姆霍尔兹的天才和工作中清楚地预示出来了。——西尔弗斯特

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㈥ 用数学书写的人生格言

1、华罗庚的减号：我国着名数学家华罗庚在谈到学习与探索时指出：“在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有那些问题没有解决，需要我们去探索解决。”

2、芝诺的圆：古希腊哲学家芝诺关于学习知识是这样说的：“如果用小圆代表你们学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一点，但两圆之外的空白都是我们的无知面。圆越大其圆周接触的无知面就越多。”

3、爱迪生的加号：大发明家爱迪生在谈天才时用一个加号来描述，他说：“天才=1％的灵感+99％的血汗。”

4、雷巴柯夫的常数与变数：俄国历史学家雷巴柯夫在利用时间方面是这样说的：“时间是个常数，但对勤奋者来说，是个‘变数’。用‘分’来计算时间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍。”

5、季米特洛夫的正负号：着名的国际工人运动活动家季米特洛夫在评价一天的工作时说：“要利用时间，思考一下一天之中做了些什么，是‘正号’还是‘负号’，倘若是‘+’，则进步；倘若是‘-’，就得吸取教训，采取措施。”

6、爱因斯坦的公式：近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时，写下一个公式：A=x+y+z。并解释道：A代表成功，x代表艰苦的劳动，y代表正确的方法，Z代表少说空话。”

7、王菊珍的百分数：我国科学家王菊珍对待实验失败有句格言，叫做“干下去还有50％成功的希望，不干便是100％的失败。”

8、托尔斯泰的分数：俄国大文豪托尔斯泰在谈到人的评价时，把人比作一个分数。他说：“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母。分母越大，则分数的值就越小。”

㈦ 关于数学的人生格言

J.J.西勒维斯特： 置身于数学领域中不断地探索和追求，能把人类的思维活动升华到纯净和谐的境界。

J.阿巴思洛特： 数学知识使思维增加活力，使之摆脱偏见、轻信和迷信的束缚。

W.E.羌塞劳尔： 正如文学诱导人们的情感与理解一样，数学则启发人们的想象与推理。

I.拿破仑： 数学的进步和完美与国家的繁荣和富强是紧密相连的。

罗巴切夫斯基： 任何一门数学分支，不管它如何抽象，总有一天在现实世界的现象中找到应用。

笛卡儿： 数学不仅能训练人们的分析力和判断力，也可提升智能，更是研究自然科学和应用科学不可或缺的工具。

欧阳绛： 数学能令你的思维纯净、和谐，会为你的思维增添活力。它赋予你想象的翅膀，为你开通推理的渠道。

数学是科学的大门钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。更为严重的是，忽视数学的人不能理解他自己这一疏忽，最终将导致无法寻求任何补救的措施。

_______Bacon，Roger

数学不是规律的发现者，因为他不是归纳。数学也不是理论的缔造者，因为他不是假说。但数学却是规律和理论的裁判和主宰者，因为规律和假说都要向数学表明自己的主张,然后等待数学的裁判。如果没有数学上的认可，则规律不能起作用，理论也不能解释。

_______Peirce，Benjamin

历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩。

_______Bacon,Francis

对数学的酷爱，不仅在吾辈之中与日俱增，而且在军队中也是一样，对此已在上次战役中充分地体现出来了。蓬乃派托自己就有很好地数学素养，当然不能要求所有学过数学的人都能成为拉普拉斯和拉格朗日那样的几何学家，或者都成为蓬乃派托那样的英雄。但是，数学毕竟在他们的头脑中留下了痕迹。这就能使他们比未经过 数学训练的人作出更多的贡献。

_______Lalande

没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。

_______Carus,Paul

学习数学是为了探索宇宙的奥秘。如所知，星球与地层、热与电、变异与存在的规律，无不涉及数学真理。如果说语言反映和揭示了造物主的心声，那么数学就反映和揭示了造物主的智慧，并且反复地重复着事物如何变异为存在地故事。数学集中并引导我们地精力、自尊和愿望去认识真理，并由此而生活在上帝地大家庭中。正如文学诱导人们地情感与了解一样，数学则启发人们地想象与推理。

________Chancellor,W.E.

笛卡儿的解析几何于牛顿，莱不尼兹的微积分已被扩张到罗巴切夫斯基、黎曼、高斯和塞尔维斯托的奇异的数学方法中（这种扩张比哲学史上所记载的任何一门学科的扩张更大胆）。事实上，数学不仅是各门学科所必不可少的工具，而且它从不顾及直观感觉的约束而自由地飞翔着。历史地看，数学还从没有象今天那样表现出对于纯粹推理地至高无上。

________Butler，Nicholas Murray

㈧ 关注数学素养，用数学语言表达世界

关注数学素养，用数学语言表达世界

——数学核心素养在“运算律”教学中的培养

乐平市第九小学蒋铭国

数学核心素养是具有数学基本特征的、适应学生个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个核心素养。六个核心素养并非相互分离，而是密切联系，融为一体的。数学来自于生活，又实践于生活。数学教学的使命，就是让我们的学生最终学会“用数学的眼睛看”世界，“用数学的思维想”世界，“用数学的语言说”世界。

“用数学的眼睛看”世界，离不开“数学抽象”和“直观想象”；“用数学的思维想”世界，离不开“逻辑推理”和“数学运算”；“用数学的语言说”世界，离不开“数学建模”和“数据分析”。

最近在教学“运算律”，包括加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律和乘法分配律。现结合在运算律教学中如何借助教学内容培养学生核心素养，谈谈自己粗浅的认识与思考。

一、数学抽象和直观想象素养的培养

我们使用的教材是北师大版。运算律教学安排在四年级上册后半学期开始部分。从它在教材中所处的位置来看，运算律就是本册教材中最重要的部分之一。

“直观想象”是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。“数学抽象”是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者术语予以表征。简而言之，抽象就是从现实世界进入数学内部，让学生学会用数学的眼睛看。“直观想象”是“数学抽象”的基础，是“数学抽象”的起始阶段，也是一种“数学抽象”，更是构建与形成其他数学核心素养的重要基础。

纵观教材上的每一个运算律教学内容安排，都是提供情境图或者现实背景图，让学生在现实背景中理解数量之间的关系。这就是巩固孩子的直观想象能力，也是进一步促进直观想象能力的发展。直观想象素养是孩子最基本的数学素养。

例如：在加法结合律教材编排中，提供了两副情境图。以图一为例，画面呈现是小猴、松鼠、机灵狗在果园里分别摘桃30个、梨40个和苹果50个。算式：(30+40)+50与30+(40+50)分别表示什么？由于孩子具备了一定的直观想象能力与生活经验，于是能够比较容易地叙述算式所表达的意义。即使少数同学语言表达有所欠缺，但是也能够做到心领神会。

第一个算式所表达的含义是：先算桃和梨一共有多少个？然后桃与梨的个数，再加上苹果的个数，最后一共有多少个？第二个算式所表达的含义是：先算梨和苹果一共有多少个？然后再用桃的个数，加上梨和苹果的总数，最后一共是多少个？通过直观想象，孩子不难发现：虽然他们算的顺序有所不同，但是他们最终都是算了桃、梨和苹果三种水果一共有多少个？所以最后的结果一定是相等的。在此教学过程当中，直观想象能力起到了重要作用，同时也得到了进一步的发展。

在此基础上引入字母表示数。用式子：（a+b）+c=a+（b+c），表示加法结合律，清晰明了，表达准确。虽然之前一至三年级从来没有学习过用字母表示数，但是孩子们积累了一定的生活经验，对字母a、b、c也非常熟悉，只需要告诉孩子用字母代表数，进行简单的符号意识训练，于是孩子们就能够理解式子所表达的含义。

在这一教学过程当中，孩子的数学抽象能力得到两次锻炼及培养。首先是舍去情境，抽象出数字，从而用式子表示，用数学语言表达在此情境中所进行的数学运算与数学活动。其次，从具体的数字当中又抽象出字母。用含字母的式子来表示数量之间的一种运算关系与运算顺序。这种抽象已经脱离了具体的数字，字母可以代表任一数字，而式子所表达的是数量之间的一种恒定的运算关系，即某种运算律。孩子数学抽象素养在此得到了充分的训练与发展。

二、逻辑推理和数学运算素养的培养

“数学运算”是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。“逻辑推理”是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要是演绎。数学运算也是一种逻辑推理，数学运算为逻辑推理提供了一种载体与操作方式。数学运算与逻辑推理，是在直观想象与数学抽象的基础上，对指向对象进行的一种更高层次的数学思考与数学思维。

在加法结合律和乘法结合律的教学当中，数学运算能力可以得到很好的训练与发展，同是也可以提高学生的数感能力。学习运算律，最终目的是提高运算能力，让我们能够尽可能进行简便运算，提高数学运算素养。所以在此部分内容教学当中，数学运算素养的训练可以得到淋漓尽致的展现。

例如教材52页：怎样计算简便？想一想，算一算。

57+288+43=

在这一题当中，就是要求学生要能够敏锐地发现57和43相加刚好是100，这既是对学生数感的一次训练与培养，也是对学生进行数学运算素养的训练。

又如教材54页：怎样计算简便？想一想，算一算。

125×9×8=

在这一题当中，同样需要孩子观察算式中运算符号和数的特点。通过这题的训练，让孩子明白，125×8等于1000，可以先算，有利简便运算。在后续的训练题当中，要让孩子明白25×4等于100，50×2等于100，25×8等于200，125×4等于500。在这些训练当中，孩子的数感得到增强，运算能力得到大幅度的提升。

在“加法交换律和乘法交换律”、“加法结合律”和“乘法结合律”三节教学内容安排中的第一个环节，都是“观察下面的式子，你能照样子再写一组吗？说说你发现了什么。”在这一环节教学过程当中，孩子的类比能力的培养，可以得到充分的训练与培养。这是从特殊到特殊的逻辑推理。第二环节是借助情景或现实背景，理解式子成立的合理性与正确性。在第三环节当中，引入字母表示数，在数学抽象的基础下，再次运用归纳推理，从特殊到一般，将逻辑推理素养的训练落到实处。

教材55页第5题：淘气是这样计算24×25的。

   24×25

= 6×4×25

= 6×（4×25）

= 6×100

= 600

（1）你能看懂吗？和同伴交流你的想法。

（2）试着运用乘法交换律和乘法结合律进行计算下面各题。

64×125                125×25×32

这一题是一个能力提升题。短时间之内不一定能做到每个人都会。但是这题对于培养学生的数学素养非常有用。第一小题主要是考察学生的数感及数学运算素养。第二小题就是重点培养孩子的类比推理能力。在前面学习当中，当孩子有了125×8等于1000，25×4等于100的数感的前提条件下，然后再在已知运算题的类比推理下，发现第一道题，64可以拆成8×8，并且8和125相乘，刚好是1000。第二道题，32可以拆成4×8，4和25相乘刚好是100，8和125相乘刚好是1000，问题迎刃而解。这是数学运算和逻辑推理素养训练的最佳契机。

又如，在学习了“加法交换律和乘法交换律”之后，教材51页有一道题，“减法和除法也满足交换律吗？举例试一试。”虽然结果是不成立的，但是，这是孩子们进行类比推理的一个良好契机，可以让孩子进行充分类比，并且讨论结果是否成立，引导孩子养成类比的习惯，形成善于思考的品质，提升数学素养。

三、数学建模和数 据 分析素养的 培养

“数据分析”是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养。主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论。“数学建模”是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的素养。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。数学分析也是一种数学建模，它为数学建模提供了更为基础的素材与思维方式。数学分析的基础，来源于直观想象，数学抽象，数学运算，逻辑推理，同时也为数学建模铺设了更好的平台，最终让我们学会用数学的语言来表达世界。

乘法分配律，在这五个运算律当中是最难掌握的一个定律。教材以实际生活中的事例进行引入，通过两种不同的观测角度计算出一共贴了多少块瓷砖？让学生领悟到不同的算式，只是不同的观察角度，所带来了不同的思维方式的呈现。而思维的最终结果是计算贴了多少块瓷砖，所指向的目的是一致的，是等值的。从而得出这样的两个式子相等。顺而进行数学抽象和归纳推理，得出乘法分配律。为了让这一结果深入孩子心里。教材引用了现实背景进行进一步的验证，并且进行了算理上的推导。这一推导事实上是乘法分配律逆运算的推导。正如小学一年级，学习减法是利用加法理解进行学习的。

乘法分配律的应用，更多的有赖于学生数据分析的素养。例如教材57页：观察34×72+34×28的特点并计算。

此题教学重点就是培养孩子的数据分析能力与素养。让孩子通过观察发现，两个乘法算式中都有34。在此基础上明白：表示72个34，加上28个34，一共有100个34。通过数据分析，让学生明白这个式子符合乘法分配律的特征：中间是加法，前后分别是乘法，并且在前后两个乘法当中有一个乘数是相同的，从而运用乘法分配律的逆运算进行计算。

再如教材58页第5题：妈妈给淘气订了一套可以自由组合的小柜子，每个小柜子18元，柜门上每张贴画2元，算一算，这套小柜子一共花了多少元？

题目右侧配图6个小柜子。按照惯常的分类思想，孩子们可以容易地列出算式：18×6+2×6。这一算式的算理是非常简单的，也是孩子们很容易接受的。在这一题的教学当中，有必要培养孩子的数据分析素养。首先从算式的角度来看，两个乘法中都有一个相同数6。于是可以引导孩子通过乘法分配律，得出（18+2）×6。其次，可以引导孩子直接观察图。通过分析数据得出，每个小柜子18元，柜子上的贴画2元，也就是说，每个小柜子连同门上的贴画一共20元。一共有6个这样的柜子。这样的话可以直接得出算式：（18+2）×6。

在五个运算律当中，加法交换律和乘法交换律，由于孩子在过去的学习当中，有了充分的学习体验。因此掌握起来没有难度。加法结合律和乘法结合律的熟练运用，有赖于运算能力的提升，尤其是数感，发挥着重要的作用。“凑整”是思维的核心。乘法分配律掌握是有一定难度的，需要一定量的训练。

在训练到一定程度的时候，可以让孩子形成数学建模的思想。当然孩子没必要了解建模的概念。当孩子面对一个加法将两个乘法算式连接起来的时候，要有一个敏感度。当这两个乘法算式当中，有一个相同的乘数时，就满足使用乘法分配律的条件，可以运用乘法分配律的逆运算进行简便运算。

又如在教材58页第6题：我们经常用竖式来计算多位数乘法。

（1）你能结合乘法分配律解释其中的道理吗？

  26×21

=26×（1+20）

=26×1+26×20

=26+520

=546

（2）尝试运用乘法分配律计算下面各题。

58×11                  47×102

在这一题的教学当中，可以引导孩子充分地体验，对比，联系，想象，从而建立一种更高级形式的乘法分配律的模型。然后再把这种模型应用于两数相乘的乘法算式当中。使原本需要列竖式解决的乘法算式，能够直接采用乘法分配律通过递等式计算，直接写出答案，达到简便运算的效果。例如：              47×102

=47×（100+2）

=47×100+47×2

=4700+94

=4794

数学建模，在各种数学核心素养里面是层级最高的素养。数学素养与数学能力历经直观想象，数学抽象，数学运算，逻辑推理，数据分析，最终形成数学建模，达到数学素养的金字塔塔尖部分。数学建模形成之后，又利用这种素养，反观我们的现实生活，指导与改善我们生活，在条件与机会允许的情况下，形成更高级的数学建模。从而让我们形成用数学的眼光观察世界，用数学的思维理解世界，用数学的语言表达世界的能力。

㈨ 用数学书写的人生格言

1、华罗庚的减号：我国着名数学家华罗庚在谈到学习与探索时指出：在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有那些问题没有解决，需要我们去探索解决。

2、芝诺的圆：古希腊哲学家芝诺关于学习知识是这样说的：如果用小圆代表你们学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一点，但两圆之外的空白都是我们的无知面。圆越大其圆周接触的无知面就越多。

3、爱迪生的加号：大发明家爱迪生在谈天才时用一个加号来描述，他说：天才=1％的灵感+99％的血汗。

4、雷巴柯夫的常数与变数：俄国历史学家雷巴柯夫在利用时间方面是这样说的：时间是个常数，但对勤奋者来说，是个变数。用分来计算时间的人比用小时来计算时间的人时间多59倍。

5、季米特洛夫的正负号：着名的国际工人运动活动家季米特洛夫在评价一天的工作时说：要利用时间，思考一下一天之中做了些什么，是正号还是负号，倘若是+，则进步；倘若是-，就得吸取教训，采取措施。

6、爱因斯坦的公式：近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时，写下一个公式：A=x+y+z。并解释道：A代表成功，x代表艰苦的劳动，y代表正确的方法，Z代表少说空话。

7、王菊珍的百分数：我国科学家王菊珍对待实验失败有句格言，叫做干下去还有50％成功的希望，不干便是100％的失败。

8、托尔斯泰的分数：俄国大文豪托尔斯泰在谈到人的评价时，把人比作一个分数。他说：一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母。分母越大，则分数的值就越小。
数学教学格言

1、数学是无穷的科学。外尔

2、上帝是一位算术家。雅克比

3、宁可少些，但要好些。高斯

4、数统治着宇宙。毕达哥拉斯

5、二分之一个证明等于0、高斯

6、数学之美是很自然明白地摆着的。

7、问题是数学的心脏。哈尔默斯

8、一个数学家越超脱越好。无名氏

9、数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔

10、美包含在体积和秩序中。黑格尔

11、哪里有数，哪里就有美。proclus

12、数学的本质在于它的自由。康托尔

13、问题是数学的心脏。pRHalmos

14、数学的本质在于它的自由。康扥尔

15、纯数学是魔术家真正的魔杖。诺瓦列斯

16、数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚

17、数学是各式各样的证明技巧。维特根斯坦

18、数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明

19、第一是数学，第二是数学，第三是数学。伦琴

20、数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。――高斯

21、教育的艺术是使学生喜欢你所教的东西。卢梭

22、数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后。高斯

23、社会的进步就是人类对美的追求的结晶。马克思

24、数学，科学的女皇；数论，数学的女皇。CF高斯

25、历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根

26、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。努瓦列斯

27、上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的。克隆内克

28、数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥。德摩

29、数学如同音乐或诗一样显然地确实具有美学价值。雅可比

30、在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。罗素

31、数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解释。傅立叶

32、上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的。L克隆内克

33、非数学归纳法在数学的研究中，起着不可缺少的作用。舒尔

34、在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。拉普拉斯

35、没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯

36、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。纳皮尔

37、新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。华罗庚

38、观察可能导致发现，观察将揭示某种规则、模式或定律。波利亚

39、无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。希尔伯特

40、宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。JH京斯

41、数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。罗素

42、无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。D希尔伯特

43、在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。康托尔

44、唤起独创性的表现与求知之乐，是为人师者至高无比的秘方。爱因斯坦

45、数学能促进人们对美的特性数值、比例、秩序等的认识。亚里士多德

46、纯粹数学可以是实际有用的，而应用数学也可以是优美高雅的。哈尔莫斯

47、一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。维尔斯特拉斯

48、教员不是拿所得的结果教人，最要紧的是拿怎样得着结果的方法教人。──梁启超

49、教育孩童首重激发兴趣和爱心，否则只是填鸭式的灌输，毫无意义可言。蒙田

50、数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆

51、给我五个系数，我讲画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴。柯西

52、整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。GD伯克霍夫

53、发现每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其他的指导。达尔文

54、不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。罗巴切夫斯基

55、如果谁不知道正方形的对角线同边是不可通约的量，那他就不值得人的称号。柏拉图

56、纯数学这门科学再其现代发展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造。怀德海

57、给我五个系数，我讲画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴。AL柯西

58、学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的。爱因斯坦

59、发现每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其他的指导。CG达尔文

60、对待知识就要象对待粮食一样，我们活着不是为了知道，正如活着不是为了吃饭一样。洛斯金
小学数学格言

1、数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的生活经验基础上，让学生亲身经历体验、探索，将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程。

2、数学不仅仅是解题。

3、如果不是天才的话，想学数学就不要想玩游戏——你以为你做到了，其实你的数学水平并没有和你通关的能力一起变高——其实可以时刻记住：学数学是你玩“生活”这个大游戏玩的更好!

4、请不要做浮躁的人。

六年如一日，转眼间，我们要小学毕业了。我们就像一只只小鸟，马上就要展翅飞翔。明天不管我们飞向何方，我们永远不会忘记我们的第二个家——母校育英!

5、教学有法，教无定法，贵在得法。

在《合数与质数》的教学中，我跳出了教材的束缚，体现以“以人发展为本”的新课程教学理念，尊重学生，信任学生，敢于放手让学生自己去学习。在整个教学过程中，学生能从已有的知识经验的实际状态出发，通过操作、讨论、归纳，经历了知识的发现和探究过程，从中体验了解决问题的喜悦或失败的情感。

6、会用数学公式，并不说明你会数学。

即将毕业了，回想起这六年的小学生活是这么的多采多姿啊!真希望时光能倒退，让我再回到从前那个什么都不懂的黄毛ㄚ头，重新再开始一次六年的小学生活，但那只是一个不可能实现的梦想罢了。天下没有不散的宴席，有聚就有散，有离别才会有相逢的一天，这是天经地义无法改变的事情。毕业后我要更加努力用功读书，为母校争光，才不会辜负了这些年来老师的细心教导与期望。

7、浮躁的人容易问：我到底该怎么学;——别问，学就对了。

8、浮躁的人容易问：上课到底把老师的板书记下来好还是跟着老师的思维不记笔记好?——告诉你吧，都好——只要你学就行。

9、浮躁的人容易说：学数学没有用，应该学一些有用的;——是你自己没用了吧!?

时光飞逝，转眼间六年的小学生崖即将结束，再这六年经历了许多喜怒哀乐的事，我也交了许多朋友，这些朋友在我伤心的时候，鼓励我，安慰我，也有也有许多老师教导我做人做事的道理，让我在这六年里成长了许多，我要感谢老师的教导，虽然小学生崖结束了，但不代表学习结束了，可是上了国中就要跟好朋友分开了，还真是舍不得，这些美好回忆，将永远留在我心里，成为我一生最难忘的事。

10、数学课，数学的味道要纯正些，多从数学本身的角度来考虑，注重比较，有利于促进学生反思，从而达到自觉的学习状态。

11、在任何时刻都不要认为自己解过的题已经足够多了。

12、要想建立空间观念，必须有动手操作的过程，动手操作的过程，不仅是一个实践的过程，更是尝试、想象、推理和反思的过程。

13、学以致用，数学学习更是如此,把所学的知识运用到实际生活中，是数学学习的最终目的。

六年的风风雨雨，朝朝暮暮;花开花谢，潮起潮落。在不经意间，我走过了小学六年生涯。六年来，每一个欢笑，每一滴泪水，每一段故事，每一次经历，每一声感动，都使我难以忘怀。

14、学习任何新知的最佳途径是由学生自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握内在的规律和联系。

15、学习解题的最好方法之一就是研究例题。

16、学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

17、小学数学教师最大的失败和悲哀，莫过于因为你而使得某些学生害怕数学。

18、数学知识来源于生活，又服务于生活。

19、数学课要讲活、讲懂、讲深。

20、浮躁的人分两种：a)只观望而不学的人;b)只学而不坚持的人。

21、不要放过任何一道看上去很简单的例题——他们往往并不那么简单，或者可以引申出很多知识点。

22、把新奇的解题方法挂在嘴边，还不如把常规的解题方法记在心里。

23、把抽象的数学知识建立在形象的感知之上，把静态的教学理论建立在动态的体验、感悟和思考之上。

小学数学格言汇总

1、在任何时刻都不要认为自己解过的题已经足够多了。

2、要想建立空间观念，必须有动手操作的过程，动手操作的过程，不仅是一个实践的过程，更是尝试、想象、推理和反思的过程。

3、学以致用，数学学习更是如此,把所学的知识运用到实际生活中，是数学学习的最终目的。

4、学习任何新知的最佳途径是由学生自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握内在的规律和联系。

5、学习解题的最好方法之一就是研究例题。

6、学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

7、小学数学教师最大的失败和悲哀，莫过于因为你而使得某些学生害怕数学。

8、数学知识来源于生活，又服务于生活。

9、数学课要讲活、讲懂、讲深。

10、数学课，数学的味道要纯正些，多从数学本身的角度来考虑，注重比较，有利于促进学生反思，从而达到自觉的学习状态。

11、数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的生活经验基础上，让学生亲身经历体验、探索，将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程。

12、数学不仅仅是解题。

13、如果不是天才的话，想学数学就不要想玩游戏——你以为你做到了，其实你的数学水平并没有和你通关的能力一起变高——其实可以时刻记住：学数学是你玩“生活”这个大游戏玩的更好！

14、请不要做浮躁的人。

15、教学有法，教无定法，贵在得法。

16、会用数学公式，并不说明你会数学。

17、浮躁的人容易问：我到底该怎么学；——别问，学就对了。

18、浮躁的人容易问：上课到底把老师的板书记下来好还是跟着老师的思维不记笔记好？——告诉你吧，都好——只要你学就行。

19、浮躁的人容易说：学数学没有用，应该学一些有用的；——是你自己没用了吧！？

20、浮躁的人分两种：a)只观望而不学的人；b)只学而不坚持的人。

21、不要放过任何一道看上去很简单的例题——他们往往并不那么简单，或者可以引申出很多知识点。

22、把新奇的解题方法挂在嘴边，还不如把常规的解题方法记在心里。

23、把抽象的数学知识建立在形象的感知之上，把静态的教学理论建立在动态的体验、感悟和思考之上。

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㈩ 数学对人生观的影响

数学的突出特点是讲究普遍联系的，最大特征是抽象，因而数学广泛存在于众多的事物中。事物与事物的联系多少靠什么来判断呢？靠的是共性与个性，或者称为内涵与外延。表面的东西通常反映的是个性，它会掩盖共性。数学抽象性的主要特征就是从个性中发现共性。

个性“抽”的越多，就越在内涵的共同处考虑，就越能发现事物间的共性。内涵越少，外延越大。这是基本的逻辑结论.

学习高等数学实际就是学习前辈的聪明思想！去触碰他们的思维！正如牛顿所说，站在巨人肩膀上看世界。在对伟大发现这么深奥的问题发出感慨时，也对自身的渺小有所领悟，也正是这些触使我继续前行！

数学是枯燥的，但数学思想是丰富多采的。学习数学可开阔人的心灵，磨练人的意志，点亮人心！简单的数字，蕴含这大的逻辑。

说到数学不得不提逻辑，只要学了数学其逻辑就不可同日而语。数学中讲究的结构严谨、逻辑清晰。正如我们每个生活在社会中的人，做事需严谨，三思而行。一是一二是二。
数学家兼哲学家庞加莱说：“没有数学这门语言，事物间大多数密切的类似关系将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界内部的和谐，而这种和谐正是唯一真正的客观现实……是我们所能达到的唯一真理。”实际上，出现的问题是数学与世界和谐的关系。如果说是数学发现了世界的和谐，则数学优先于世界观；如果说，世界的和谐是数学发现的，则世界观优先于数学。数学对世界观起到了作用。